第4讲 图形的相似(黑马班)
九年级数学 第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第3课时 利用三边判定三角形相似教学
A
具备两个条件：
D
E (1) DE∥BC；
B
12/10/2021
(2)两个三角形在同一图形中. C
(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. (4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形 相似的方法吗？
例2:如图所示，在△ABC和△ADE中， AB BC AC.
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵ ABBCAC, AD DE AE
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
A
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
A
B
A B 8 ,B C 21 0,A C 22 ;
A B 4 ,B C 1 0 ,A C 2 ; AB AC BC 22.
AB AC BC 1 △ABC与△ABC相似.
C
A′
B′
C′
12/10/2021
2.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm， BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝ 30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．
C1 ∴ △ABC∽△A1B1C1.
二 相似三角形的判定定理3的运用
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
D 2.4
E
1.8
2.1 F
A
4
B
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件(第2课时)课件
答案
àn)
第四页，共八页。
1
2
3
4
5
3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①②③
④四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列(xiàliè)结论中一定正确的是 (
A.①和②相似
B.①和③相似
C.①和④相似
D.②和④相似
)
关闭
B
答案
答案
(dá àn)
第五页，共八页。
第二(dì
èr)课时
12/11/2021
第一页，共八页。
定理:两边
成比例(bǐlì)且夹角(jiā jiǎo) 相等(xiāngděng)
的两个三角形相似.
第二页，共八页。
1
2
3
4
5
1.已知,图①、图②中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图
②中AB,CD交于点O,对于各图中的两个三角形而言,下列说法(shuōfǎ)正确的是
(
)
A.都相似
B.都不相似
C.只有图①相似 D.只有图②相似
关闭
A
答案(dá
答案
àn)
第三页，共八页。
1
2
3
4
5
2.(2017·山东枣庄中考)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示
中的虚线剪开,剪下的阴影(yīnyǐng)三角形与原来三角形不相似的是(
)
关闭
C
答案(dá
关闭
证明:因为
=
,∠A=∠A,所以△ACD∽△ABF,
所以∠B=∠C.
又因为∠DEB=∠FEC,所以△DEB∽△FEC.
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 第3课时 利用三边判定三角形相似教学
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别(fēnbié)是AB，BC，
CA的中点，
∴ D E1A C ， D F1B C ， E F =1A B ，
2
2
2
∴ DEDF=EF=1， AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
第二十页，共二十四页。
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米(qiān mǐ)，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路(gōnglù) AB 与 CD 平行.
∴ ABAD=BD=2，
28
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
第二十一页，共二十四页。
课堂(kètáng)小结
三边成比例 (bǐlì)的两个三 角形相似
利用三边判定(pàndìng)两个三角形相 似
DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6， EF 2.1 0.6， FD 1.8 0.6，
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴
DE
EF
FD .
AB BC CA
∴ △ABC ∽ △DEF.
第十页，共二十四页。
归纳总结
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两 个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值， 看是否(shì fǒu)相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
第十一页，共二十四页。
练一练
九年级数学 第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似教学
第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似
导入新课
12/9/2021
讲授新课
当堂练习
第一页，共十六页。
课堂小结
学习(xuéxí)目 标
1.掌握相似三角形的判定(pàndìng)定理2；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点）
12/9/2021
第二页，共十六页。
导入新课
观察与思考
问题1.有两边(liǎngbiān)对应成比例的两个三角形相 似吗?
3
3
5
不相似
5
(xiānɡ sì)
问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以
添加什么条件来判定两个三角形相似？
相似
3
3
5 5
12/9/2021
第三页，共十六页。
讲授新课
一 相似三角形的判定定理2
画一画
①任意画△ABC; ②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且
ABACk(如 取 2,3等 ) A'B' A'C'
③量出B′C′及BC的长，计算
(bǐlì)？
的B 值C ，并比较是否三边都对应成比例 B 'C '
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C吗？
为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的
同学交流.
我发现这两个(liǎnɡ ɡè) 三角形是相似的
12/9/2021
第四页，共十六页。
验证猜想
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， AB AC . A'B' A'C ' 求证(qiúzhèng)：△A′B′C′∽△ABC.
九年级数学上册 第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明课件上册数学课件
求证(qiúzhèng):A△BC∽△ A'B'C'
A'
证明：在线A'段 B（ ' 或它的延长线 A
上）截取 A'D AB，过点 D再做
DE∥ B'C'交 A'C'交于 E， 点可得
D
A'DE∽ A'B'C'
B
C
A'∴D A' E A' B' A'C'
B'
又 AB AC,A'DAB A'B' A'C'
∴△ADE∽△EFC．
第九页，共十一页。
课堂小结
通过这节课的学习(xuéxí)活 动，你有什么收获？
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
No ﹡5 相似三角形判定定理的证明。∠C = ∠C'。△ABC∽△A'B'C'。分别(fēnbié)度量这两个三角形的边长，
计算
, 你有什么发现。已知：⊿ABC和⊿A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，。求证 ：△ABC∽△A'B'C'。
第三页，共十一页。
相似三角形判定定理1：
如果一个三角形的两个(liǎnɡ ɡè)角与另一个三角形的两个 (liǎnɡ ɡè)角对应相等，那么这两个(liǎnɡ ɡè)三角形相似.
简记(jiǎn jì)为：两角对应相等，两三角形相似.
几何语言： A
A′
B
C B′
C′
∵∠A =∠A′ ， ∠B =∠B′
B′
C′
第八页，共十一页。
九年级数学上册 第四章 图形的相似3 相似多边形教学课件
图形 的相 (túxíng)
4.3 相似 多边形 (xiānɡ sì)
导入新课
12/11/2021
讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂练习
第一页，共十四页。
课堂小结
学习(xuéxí) 目标
1.了解相似多边形和相似比的概念.
2.会根据条件判断两个(liǎnɡ ɡè)多边形是否为相似多边形.（重点）
第十四页，共十四页。
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
12/11/2021
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
4.3 相似(xiānɡ sì)多边形。2.会根据条件判断两个多边形是否为相似(xiānɡ sì)多边形.（重点）。多边形
ABCDEF是显示在电脑屏幕上的,而多边形A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.。相似(xiānɡ sì)多边形的对应角相等，
3.掌握相似多边形的性质,能根据相似比进行相关的计算.（难点）
12/11/2021
第二页，共十四页。
导入新课
观察 (guānchá)与
思考
想一想:下面(xià mian)几组图形有什么相同点和不同点?
1） （12/11/2021
（2）
（3）
第三页，共十四页。
（4）
讲授(jiǎngshòu)新课
一 相似多边形的概念及基本性质
归纳总结
相似多边形的定义：
相似多边形用符号“∽”表
示，读作“相似于”
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相 似多边形.
相似(xiānɡ sì)多边形的特征：
相似多边形的对应角相等(xiāngděng)，对应边成比 例.
相似(xiānɡ sì)比：
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似PPT课件
第1节 成比例线段 第1课时
教学目标
1.结合实例了解线段的比及成比例线段的概念. 2.掌握比例的基本性质及其简单的运用.
教学重难点
重点：成比例线段及比例的基本性质. 难点：比例的基本性质的灵活运用.
情景导入
全等形
回忆
指能够完全重合的两个图形，即中，同学们还见过哪些 形状相同但大小不一定相等的图形？
（请讨论）
情景导入
黄山松
情景导入
情景导入
这几组图片有什么相同的地方？
1.如果选用 同一个 长度单位 量得 两条线段AB、CD
的 长度 分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB∶
CD=m∶n，或写成
.其中，线段AB、CD分别叫
课堂小结
1.知道了可用相应线段长度的比来描述形状相同的 图形的大小关系. 2.成比例线段. 3.比例的基本性质.
布置作业
完成《课堂1+1》p36“课后练案”
谢谢！
第四章 图形的相似
第1节 成比例线段 第2课时
教学目标
1.掌握等比性质，并能灵活运用它解决有关问题. 2.了解合比、分比的性质.
（2）∵a=2cm,c=6cm,b=30m=3000cm,d=1000cm, ∴
则 ∴a、c、d、b是成比例线段.
6.直角三角形的斜边与斜边上的中线的比是 2 .
7.某图纸的比例尺是1∶20,图上零件长32mm,则实际长 为 64 cm.
8.已知线段a=3厘米，线段b=13毫米，则a与b的比是 （C）
解：2000m=200000cm, 这个地图的比例尺为：2∶200000=1∶100000.
点评：求线段的比时，要特别注意比的前项与后项的单位要 一致.
九年级数学上册第四章图形的相似-图形的位似课件
第四章 图形的相似
考场对接
题型五 以原点为位似中心的位似变换
例题5 如图4-8-14 , 在Rt△ OAB 中 ,
∠OAB=90°, 且点B的坐标为(4, 2)．
(1) 画出△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90 °
后的
；
(2)以坐标原点O为位似中心, 按1∶2的位似
比 在y轴的右侧画出
缩小后的 ．
课后作业 1.完成导学案剩余练习 2.完成数学作业本相应练习。
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第四章 图形的相似
考场对接
题型一 确定位似中心
例题1 如图4-8-9所示 , 将 △ ABC 的三 边分别扩大为原来的 2 倍得到 ( 顶点均在格点上 ) , 它们是以点P为位 似 中心的位似图形, 则点P的坐标是( A
考场对接
题型二 应用位似图形的性质进行计算
例题2 如图4-8-10, 已知△ADE与△ABC是 位似 图形, 且DE垂直平分AC. (1)求∠C的度数； (2)求△ A DE 与 梯 形 DECB的面积比.
第四章 图形的相似
考场对接
分析 抓住位似图形与相似图形的关系, 再利用相似三角形的性质 计算.
2.位似的三要素即是判定位似 的依据，也是位似图形的性质.
目标检测
1.如图，△OAB和△OCD是位似图形， AB与CD平行吗？为什么？
答案：平行.位似图形的
目标检测
2.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图 形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△AB C=8,则S△A′B′C′=?
独学：3分钟
对学：1分钟
新知探索
位似图形的性质：
如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝ 3，B′O＝6. （1）若AC＝5，求A′C′的长； （2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.
九年级数学 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明预习
12/9/2021
第五页，共六页。
内容(nèiróng)总结
5 相似三角形判定(pàndìng)定理的证明。5 相似三角形判定(pàndìng)定理的，共六页。
第四章 图形的相似
5 相似三角形判定定理的证明
12/9/2021
第一页，共六页。
第四章 图形 的 (túxíng) 相似
5 相似三角形判定定理(dìnglǐ)的证明
12/9/2021
第二页，共六页。
5 相似三角形判定定理(dìnglǐ)的证明
探究新知
活动1 知识准备 如图 4－5－1，点 E，C 分别在 AB，AD 上，BC 与 DE 相交于点 O，若∠B＝∠D，则图中相似三角形 有几对？分别写出来，并说明理由．
12/9/2021
第四页，共六页。
5 相似三角形判定(pàndìng)定理的证明
[解析] 过点 P 分别作与 BC 或 AC 平行的直线，截得的三 角形都与△ABC 相似；过点 P 作∠APD＝∠C，PD 交 AC 于点 D， 则△APD∽△ACB；同样过点 P 作∠BPE＝∠C，PE 交 BC 于点 E， 则△BPE∽△BCA.如图，所以过点 P 最多可作四条直线，使截 得的三角形与△ABC 相似．
12/9/2021
图 4－5－1
2对，分别(fēnbié)是△ABC∽△ADE，△BOE∽△DOC.
第三页，共六页。
5 相似三角形判定定理(dìnglǐ)的证明
活动2 教材导学
在△ABC 中，P 是 AB 上的动点(点 P 异于点 A，B)， 过点 P 的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相 似，这样的直线最多有__4 ______条．
九年级数学上册 第四章 图形的相似3 相似多边形课件上册数学课件
六边形ABCDEF与六边形 A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形；
它们的六个角都分别相等，称为 对应角；六条边的比都相等，称 为对应边.
例 下列每组图形形状相同，它们的对 应角有怎样的关系？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
解：（1）由于正三角形每个角都等于
A’= —15—0 A’B’= —13— mm
B=—12—0 BC= —5.—5 mm
B’=—12—0 B’C’= —11— mm
C=—10—5 CD= —6— mm
C’=—10—5 C’D’=—12— mm
D=—13—5 E= —12—0
DE= EF=
— —75.——5
mm mm
D’= E’=
——1132——05
3 相似多边形
复习旧知
我们把形状相同的两个图形说成是相似图形.
D1
C1
D
C
A 1.5 B
A1
3
B1
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;
AB BC CD DA 1.6 A 1B 1 B 1C 1 C 1D 1 D 1A 1 3.2
获取新知
C1
C
2
3
A
B
A1
B1
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,
点，若矩形ABCD 相似于矩形ABFE ，AB =1，求矩
形ABCD的面积.
根据相似多边形的对应角相等
对应边成比例，可得
X ∶1=1∶2X
2X 2=1
求得X的值，就可求得矩形的面积
课堂小结
1.使我感触最深的是…… 2.我学会了…… 3.我还感到困惑的是…… 4.我发现生活中…… 5.我想我将……
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2014秋季冲A培训资料 初三数学 班级 姓名
1 / 4
第4讲 图形的相似（1）
【知识要点】
1、 理解比例的相关性质，了解黄金分割。
2、 知道并会运用相似三角形的性质与判定。
3、 掌握相似三角形的几种基本图形。
【典型例题】
例1、（1）把adbc=写成比例式，不正确的是（ ）
A. acbd= B. abcd= C. bcda= D. bdac=
（2）若53ab=，则______aba+=；_______aab=-；_______.abab-=+
例2、
若::3:5:7abc=且2328abc+-=, 则32abc-+的值为 ．
例3、(2009义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金
比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
例4、（2013•莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A． 正方形与菱形
C． 菱形与菱形 D． 正五边形与正五边形
例5、（2012年枣庄市）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，
D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:6
例6、（2014•滨州，第15题4分）如图，平行于BC的直线
DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．
例7、（2013•青岛）如图，△ABO缩小后变为OBA''△，其中A、B的对应点分别为''BA、，
''BA、
均在图中格点上，若线段AB上有一点),(nmP，则点P在''BA上的对应点'P的坐
标为（ ）
A、),2(nm B、),(nm
C、)2,(nm D、)2,2(nm
2014秋季冲A培训资料 初三数学 班级 姓名
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第14题图
Q
H
G
F
E
D
C
B
A
例8、（2013•白银）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）
20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
例9、（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：
①BACD? ；
②ADCACB? ；③ACABCDBC=；④2ACADAB=；
其中单独能够判定ABCACD△∽△的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例10、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC△相似的
是（ ）
例11、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，
AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长
交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2
例12、（2013•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，
∠ADE=60°，则AE的长为 ．
例13、（2014·云南昆明，第14题3分）如图，将边长为6cm的正方形
ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，
EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是cm
2014秋季冲A培训资料 初三数学 班级 姓名
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例14、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD
相交于点N．
求证：
（1）AECG=；（2）ANDNCNMN
【课堂巩固】
1、已知ΔABC∽ΔA′B′C′，ΔABC的周长是20cm，ΔA′B′C′的周长是12cm，ΔABC的最长
边为8cm，则ΔA′B′C′的最长边是 cm．
2、已知234abc==,则abbc++的值为 。
3、如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，EF∥AB，EM∥CD，
则EFEMABCD+的值为（ ）
A. 2 B. 0.5 C. 1 D. 3
4、（2013济宁）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源
到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕
上图形的高度为 cm．
5、已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC， 若AB=3cm，BC=5cm，则DC= 。
M
F
E
D
C
B
A
D
C
B
A
2014秋季冲A培训资料 初三数学 班级 姓名
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F
E
D
A
C
B
F
E
DCB
A
【课后作业】
1、若23xyy-=, 则
_____xy=
。
2、已知线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则BC=___________cm.
3、如图，D、E分别是ABC△的边AB、AC上的点，
则使AED△∽ABC△的条件是__________ ．
4、如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则图中相似三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
5、（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且
BF=2，则DF= ..
6、（2013•荆州）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，
角∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S
四边形
BDEF
为（ ）
A.3：4 B.1：2 C.2：3 D.1：3
7、（2012长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE
绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求DG的长．
A
E
D
B
C