导数测试题(有详细答案)
《导数》
例题
求函数f(x)=xlnx 的单调区间
解析：由f(x)=xlnx 易知x>0，所以函数的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=lnx+1>0解得x>1/e, 由f ′(x)=lnx+1<0,解得0 (2009年陕西卷）已知函数f(x)=x3-3ax-1,a ≠0. （1）求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m 与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围. 解析：（1）f ′(x)=3x2-3a=3(x2-a), ①当a ＜0时，对x ∈R ，有f ′(x)＞0,所以当a ＜0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); ②当a ＞0时，由f ′(x)＞0解得x ＜ 或x ＞ , 由f ′(x)＜0解得 ＜x ＜ ,所以当a ＞0时， f(x)的单调增区间为(-∞, ),( ,+∞)； f(x)的单调减区间为( , ). （2）因为f(x)在x=-1处取得极值， 所以f ′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f ′(x)=3x2-3, 由f ′(x)=0解得x1=-1,x2=1. 由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值 f(-1)=1，在x=1处取得极小值f(1)=-3. 因为直线y=m 与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m 的取值范围是(-3,1). 例3 已知f(x)=ex-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解析：f ′(x)=ex-a. （1）若a ≤0，f ′(x)=ex-a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a>0,ex-a ≥0,∴ex ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). 卷子 一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4 C ．2 D ．以上皆不正确 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为 A ．1- B ．e C ．ln 2 D ．1 8. 若函数)1,1(12)(3 +--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或 C ．22<<-k D ．不存在这样的实数k 9. 10．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10.已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为 A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数sin x y x = 的导数为 _________________ 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f (2)等于____________. 13．函数2cos y x x =+在区间[0, ]2 π 上的最大值是 14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ， 0) ()(2 >-'x x f x f x ） （0>x ，则不等式 0)(2>x f x 的解集是 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0 17. 已知函数3 ()3f x x x =-. （Ⅰ）求)2(f '的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. 18. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3. （1）求)(x f 的单调区间和极值； （2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围. 19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈< （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间； （3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。 20. 已知函数2 ()ln .f x x ax bx =-- （I ）当1a =-时，若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （II ）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，且AB 的中点为0(,0)C x ，求证： 0'()0.f x < 21. 已知函数2 (),()2ln (x f x g x a x e e ==为自然对数的底数） （1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()F x 有最值，请求出最值； （2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点， 且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。 《导数》参考答案 二、填空题： 11. 2 cos sin 'x x x y x -= ；12. 18 13.36+π； 14.}0|{ 16. [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π 4 )＋1 (0 令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－2 2， 解之得x ＝π或x ＝3 2 π. x ，f ′(x )以及f (∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)单调减区间为(π，3 2π)． f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π 2. 17. 解：（Ⅰ）33(2-='x x f ），所以9)2(='f . （Ⅱ）2()33f x x '=-， 解()0f x '>，得1x >或1x <-. 解()0f x '<，得11x -<<. 所以(,1)-∞-，(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间. 18. 解:（1）2,2,0)(),2(3)(212= -=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分 ∴当()0;,()0x x f x x f x ''<>><<,当，…………………2分 ∴)(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和，单调递减区间是)2,2(-……3分 当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-= 有极小值x f x .…………4分 （2）由（1）可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略） ∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点，……6分 即当55a -<<+α=)(x f 有三解. …………………………………7分 （3）)1()5)(1()1()(2 -≥-+--≥x k x x x x k x f 即 ∵),1(5,12 +∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. …………………………………………9分 令5)(2 -+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数， ∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分 19. 解：（1）2'()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f = 即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+ （2）由（1）知，22 '()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m =-+++=--+ 当0m <时，有2 11 >+，当x 为化时，()f x 与'()f x 的变化如下表： 故由上表知，当0m <时，()f x 在(,1)m -∞+单调递减，在(1,1)m +单调递增，在(1,)+∞上单调 递减. （3）由已知得'()3f x m >，即22(1)20mx m x -++>又0m <，所以222 (1)0x m x m m - ++<，即222 (1)0,[1,1]x m x x m m - ++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以 22(1)0120(1)010 g m m g ? -<+++ ? 03m -<<即m 的取值范围为4(,0)3- 20.（1）由题意：bx x x x f -+=2ln )(， )(x f 在),0(+∞上递增，∴021 )(≥-+= 'b x x x f 对),0(+∞∈x 恒成立，即x x b 21+≤对),0(+∞∈x 恒成立，∴只需min )21 (x x b +≤， 0>x ，∴ 2221≥+x x ，当且仅当2 2 =x 时取“=”，∴22≤b ，∴b 的取值范围为)22,(-∞ （2）由已知得，???=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ????-=-=22 221 211ln ln bx ax x bx ax x ，两式相减，得： )())((ln 21212121x x b x x x x a x x -+-+=?])()[(ln 21212 1b x x a x x x x ++-=， 由b ax x x f -+= '21 )(及2102x x x +=，得： ])([221)(2211000b x x a x x b ax x x f ++-+=--= '2 111ln 1 222x x x x x x +-+= ]ln )(2[1 2 1111222x x x x x x x x -+--=]ln )1() 1( 2[1212 121 12x x x x x x x x -+--= ，令)1,0(21∈=x x t ， 且t t t t ln 122)(-+-=?)10(< 2 <+--='t t t t ?，∴)(t ?在)1,0(上为减函数， ∴0)1()(=>??t ，又21x x <，∴0)(0<'x f 21. 解：（1）3222() ()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex -'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立 ()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，-∞） ，没有最值……3分 ②当0a >时，()0)F x x =>， 若0x <<()0,()F x F x '<在上单调递减； 若x > ()0,())F x F x '>+∞在上单调递增， x ∴=当()F x 有极小值，也是最小值， 即min ()2ln F x F a a a a ==-=-…………6分 所以当0a >时，()F x 的单调递减区间为 单调递增区间为)+∞，最小值为ln a a -，无最大值…………7分 （2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点…………8分[来源:学_科_ 网] 由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得…………10分 此时，2 ()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥ m i n ())0F x == 1,()()f g f x g x ∴==∴与的图象的唯一公共点坐标为 又f g ''== ()()f x g x 与的图象在点处有共同的切线， 其方程为1y x -= -，即1y x =-…………13分 综上所述，存在a 1=，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方 程为 1.y x = -…………14分 方法二：设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ， 根据题意得???==)()()()(0' 0'00x f x f x g x f 即20 002ln 22x a x e x a e x ?=????=?? 由②得2 0x a e = ，代入①得021 ln ,2x x =∴= 从而1a =…………10分 此时由（1 ）可知min ()0F x F == 0x x ∴>≠当且()0,()()F x f x g x >>即 因此除0x = 0x ，使00()()f x g x =…………13分 故存在1a =，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得 公共点坐标为 ，公切线方程为1y x =-…………14分 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )导数练习题 含答案
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