不等式的概念与性质

§不等式的概念与性质

一.内容归纳

１．知识精讲:

(1)两个＂公理＂：

两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a

0>-?>b a b a ；0<-???????>>01；b a b b a 0

1．

(2)可加性：c b c a b a R c +>+?>∈,；d b c a d c b a +>+?>>,反之不可；d b c a d c b a ->-?<>,反之不可．

(3)可乘性：bc ac c b a >????>>0；bc ac c b a 0；bc ac c b a =????=>0

反之不可．

(4)()000≥>??

??≥>≥>bd ac d c b a 反之不可． (5)可除性：b a ab b a 110>反之不可；b a ab b a 1010

>>????<> 如：已知－１＜x ＜3 ()0≠x ,求

x 1的范围．解得：()1,,31-∞-???? ??+∞ a b m a m b m b a >++??

??>>>00 (6)关于乘方：()()

*∈≥>?≥>N n b a b a n n 00反之不可；若n 为正奇数，则有：n n b a b a R b a >?>∈,,

(7)关于开方：()00≥>?

≥>n n b a b a 反之不可；可用反证法证之．若n 为正奇数，则有：n n b a b a R b a >?>∈,,

2.重点难点:(1)正确应用不等式的性质，对数与式的大小判定须进行严格的证明后方可下结 论，不能凭估计就去断言他们间的大小．（２）大多数的性质的推出仅是单向的，并不是充要的，不能乱来．

3.思维方式:严格的逻辑推理．以及比较两数（式）大小的方法．

4.特别注意:区分一个数或式所具有的大小性质与这个数或式所有的范围的差别，只有推导是充要的，或虽不知是充要，但可以证明是取得到的，才是范围．

二.例题分析:

例1、 对于实数，判断以下命题的真假：

1、若a>b,则2

2bc ac >. 2、若a

b

a 11>. 3、若

b a <,则b a a b >. 4、若0<>.

5、若a>b>0,d>c>0,则d

b c a > 解：1。假 2。假 3。假 4。真。略证：ab a a b a >???

?<<20；20b ab b b a >????<< ５．真．略证：0>-=-cd

bc ad d b c a ．又一性质：非负异向不等式相除，不等号同被除式． [思维点拔] 用反例判定假，用严格证明判定真．在不等式中尤其多用．

例2、P(85例2)命题P:若a,b ,11R a b ∈+>>则是a+b 的充分而不

必要重要条件;命题q:函数y =的定义域是

(,1][3,)-∞-?∞,则A. p 或q 假 B 。p 且q 真 C. p 真q 假

D. .p 假q 真

例3 P(85例1)已知-1

解，P85.

[思维点拔]不能求出a,b 的范围再求2a+3b 的范围。要有整体思想

例4、P(85例3)

比较1log 322(1,)x x log x x o +≠>与的大小.

练习:已知函数()b ax x x f ++=2，1=+q p ，试比较()()y qf x pf +与()qy px f +的大

小．

解 作差()()y qf x pf +—()qy px f +=()()

b ay y q b ax x p +++++22()2qy px +- ()b qy px a -+-()()pqxy y q q x p p 21122--+-=()()()221y x p p y x pq --=-= ()1∴当y x =时，()()012

=--y x p p 得()()y qf x pf +=()qy px f +。 （2）当y x ≠时，()02>-y x ∴①当0,1==orp p 时，()()012

=--y x p p 得

()()y qf x pf +=()qy px f +。②当10<

>--y x p p 得 ()()y qf x pf +>()qy px f +。③当01<>orp p 时，()()012

<--y x p p 得 ()()y qf x pf +<()qy px f +。

综上所述：当y x =或0,1==orp p 时()()y qf x pf +=()qy px f +。当y x ≠且10<

()qy px f +。当y x ≠且01<>orp p 时()()y qf x pf +<()qy px f +。

[思维点拔]两数或两式的大小只有大于，小于或等于三者之一。

三、课堂小结

1、熟练掌握准确运用不等式的性质。

2、比较两数大小，一般用作差法。步骤：作差---变形---判断

四、作业：