自动化车床管理的数学建模问题
数学建模论文车床加工任务安排
数学建模论⽂车床加⼯任务安排数学建模论⽂车床加⼯任务的安排⼭东省⽇照市莒县第⼀中学⾼⼆.11班李昌昊指导教师：吕秀云摘要本⽂通过建⽴线性规划模型，运⽤线性规划知识，对车床加⼯任务的安排进⾏分析，借助Lingo软件分析、计算数据，对⽬标函数求得最优解得出最终结果。
⼀提出问题某⼯⼚⽤A1，A2两台机床加⼯B1，B2，B3三种不同零件，已知在⼀个⽣产周期内A1只能⼯作80机时，A2只能⼯作100机时。
⼀个⽣产周期内加⼯B1为70件，B2为50件，B3为20件。
两台机床加⼯每个零件的时间和加⼯每个零件的成本，分别如下所⽰：问怎样安排两台车床⼀个周期的加⼯任务，才能使加⼯成本最低？⼆分析问题在现在这样⼀个⼯⼚林⽴的社会，⼯⼚的运营关乎重多⼈的利益，⼯⼚的合理运营意义重⼤。
⼯⼚的运营问题涉及多个⽅⾯，是⼀个不错的数学问题。
本题是⼀个线性规划问题，涉及多个变量。
要确定车床加⼯任务的安排⽅案，使加⼯成本最低，需建⽴线性规划模型，构造相应函数，借助Lingo软件分析、计算数据，对⽬标函数求得最优解得出最终结果。
三建⽴模型1、变量符号说明C：两台车床⼀个周期的加⼯成本Xij：第i台机床，⽣产第j种的零件个数。
2、模型建⽴由题⽬中信息易得：1、⽬标函数：C=2X11+3X12+5X13+3X21+3X22+6X232、约束条件：◆在⼀个⽣产周期内A1只能⼯作80机时，即：X11+2X12+3X13≤80◆A2只能⼯作100机时,即：X21+X22+3X23≤100◆⼀个⽣产周期内加⼯B1为70件，B2为50件，B3为20件，即：X11+X21=70 ；X12+X22=50 ；X13+X23=20四模型求解⽬标函数：C=2X11+3X12+5X13+3X21+3X22+6X23约束条件：X11+2X12+3X13≤80X21+X22+3X23≤100X11+X21=70X12+X22=50X13+X23=20将上述条件，以及数据写⼊Lingo中，编写程序求解。
自动化车床管理
40组 xzd zzx cjc自动化车床管理摘要本文是为解决自动化车床连续加工中出现的故障及更换刀具的问题。
有效的发现并解决故障，可以提高自动化车床生产加工的效率，减少生产成本以及优化企业生产管理。
为解决题目中三个问题，我们建立了三个优化模型。
对于问题一，我们把每个零件损失费的期望F确定为评价指标，建立了一个离散型随机优化模型。
首先，我们对已知数据进行合理性分析，并通过卡方拟合优度检验，认为刀具寿命服从正态分布。
然后，我们利用计算机枚举出所有换刀间隔与检查策略，求得最优解即每个零件损失费期望最小值为2.9696元/件。
此时检查间隔n为251件,刀具更换间隔m为524件。
最后，我们还对结果进行了可行性分析，发现方案符合实际。
对于问题二，考虑到零件的检查工作存在误差,势必使总的损失费用增加，我们在模型一的基础上建立模型二。
首先根据实际，我们分四种情况计算了刀具故障损失费。
然后，我们假定其它故障服从均匀分布，计算了其它故障损失费。
最后，我们以每个零件损失费期望最小为目标函数，建立了一个单目标优化模型，并通过计算机穷举出所有方案，求的最优解为9.5229元/件。
此时，检查间隔n为18件,刀具更换间隔m为540件。
对于问题三，考虑到误检停机损失费远高于一次检查费，我们在模型二的基础上调整了检查方案建立了模型三。
其中新检查分案为：若一次检查零件合格，则再检查一次，若仍然合格，则认为工序无故障，否则认为出故障；若一次检查零件不合格，则认为出故障。
首先，我们对以上新检查方案进行了简要评估，发现其有效降低了误检率。
然后，我们用类似问题二的解决方法，求得最优解为7.8711元/件，最小损失费比模型二减少了17.35%。
此时检查间隔n为58件,刀具更换间隔m为522件。
最后，我们从五方面对模型三进行了灵敏性分析。
我们分别单独把零件损失费、检查费、调节恢复费、换刀费、误检停机损失费降为200元、10元、2000元、1000元、1000元，发现每个零件损失费期望值各降低了16.85%、4.75%、2.06%、4.13%、1.45%.虽然参数变化幅度不相同，但我们还是能明显看出零件损失费和换刀费对总损失费的影响是很大的，调节恢复费对损失费期望影响很小。
第二题终稿3
第31组自动化车床管理优化模型摘要本文针对自动化车床管理问题，在工序出现故障时会造成一定的经济损失，要求设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。
由于题目给的数据统计分析后得到刀具寿命服从正态分布，故采用离散递推的方法可以求出在单位预防换刀周期()0T 内系统故障次数的期望值。
针对此问题，基本思路是把所有经济损失费用平均到生产的每个零件即每个零件的生产成本，现以预防换刀周期()0T 内单个零件的平均生产成本()M T 作为目标函数，建立两个关于车床自动化管理的检查间隔和刀具更换策略的随机优化模型。
针对问题一，首先根据刀具寿命服从正态分布求出在单位预防换刀周期()0T 内系统故障次数的期望值。
在假设故障时零件均为不合格，正常时零件均为合格的前提下，以检查间隔a t 和预防换刀周期T 为变量建立目标函数使每个零件的平均生产成本()M T 最小。
()M T +++=预防换刀费用故障调整费检查费坏零件损失费预防换刀周期内生产的零件个数根据此种思想列出模型求解，得出最佳的预防换刀周期T = 340，最佳的检查周期a t = 19，平均每个零件的费用()M T =3.4831元。
针对问题二，将题目给的已知条件分成两部分并作出相应假设，假设一该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%的零件为不合格品；该工序故障时产出的零件均为不合格品。
假设二假设该工序正常时产出的零件均为合格产品；该工序故障时产出的零件有40%为合格品，有60%为不合格品。
类似问题一的求解思路求出假设一、二中每个零件的费用()1M T 和()2M T ，使每个零件的平均生产成本()()()12M T M T M T =+最小。
根据此种思路列出模型求解，得出最佳的预防换刀周期T = 313，最佳检查周期a t = 40，平均每个零件的费用()M T =3.4664元。
针对问题三在问题二的基础上采取的改进措施为将等间隔检查改为不等间隔检查。
为方便实际生产需要和抽样检查的随机性，类比于简单随机抽样检查。
自动化车床管理的优化问题详解
自动化车床管理的优化问题摘要本文解决的是自动化车床连续加工零件中工序定期检查和刀具更换的最优策略问题。
针对这三个问题，建立了三个关于自动化车床管理的检查间隔及刀具更换策略的随机优化模型。
并在结果分析中对每个问题方案进行评价。
首先通过MATLAB 对题目已知数据进行数据处理与检验（见附录一），样本数据分布与正态分布拟合度极高，从而接受了数据服从正态分布假设。
又考虑实际情况，将其他故障设为几何分布。
针对问题一：在刀具故障服从正态分布，其他故障服从几何分布基础上，以更换刀具、检查间隔为决策变量，一个换刀周期内生产零件总费用的期望值为目标函数建立动态规划模型，利用计算机程序对问题结果进行穷举和比较（见附录二）, 找出使目标值最小的检查间隔73=n 和刀具更换周期510=m ，最小的总费用期望值=)(y E 1817.8元。
并对问题结果进行分析与评价。
针对问题二：在问题一基础上，考虑到实际中可能存在误判与漏检两种情况，建立了单目标随机优化模型。
利用计算机程序对问题结果进行穷举和比较（见附录三）, 找出使目标值最小的检查间隔86=n 和刀具更换周期515=m ，最小的总费用期望值=)(y E 3761.8元。
并与问题一进行比较验证了问题二结果的正确性。
针对问题三：采用连续组合检查法。
在做定性分析时，将问题二的目标函数在问题三假设下做了相应改变。
利用计算机程序对问题结果进行穷举和比较（见附录四）, 找出使目标值最小的检查间隔91=n 和刀具更换周期545=m ，最小的总费用期望值=)(y E 1627.8元。
通过与问题二比较，一个换刀周期内平均到一个零件的花费期望值减少了4.3元。
说明问题三检查方式更优化。
关键词 随机优化模型. 动态规划 穷举法 连续组合检查法1.1 问题背景用自动化车床连续加工某种零件，通过检查零件来确定工序是否出现故障。
故障包括刀具损坏故障和其它故障，分别占90%与10%。
工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。
关于自动化机床管理的数学模型分析
1 问题提出
一道工序用自动化车床连续加工某种零件 , 由于刀具损坏等原因该工序会出现故障 . 其中刀 具损坏故障占 95 % ,其他故障仅占 5 %. 工作人员 通过检查零件来确定工序是否出现故障 . 现计划 在刀具加工一定件数后定期更换新刀具 . 己知生 产工序的费用参数如下 : 出现故障时产出的零件损失费用 f = 200 元 / 件; 进行检查的费用 t = 10 元 / 次 ; 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用
d = 3 000 元 / 次 ( 包括刀具费) ;
1 000元/ 次 .
2 模型假设
● 工序出现故障是完全随机的
, 假定在生产任
一零件时出现故障的机会均相同 . ● 设备刀具故障的发生服从参数为 μ 及σ的 正态分布 , 以近似代替泊松分布 . ●设 n 为定期进行检查间隔 , 即每生产 n 个零 件进行依次检查 , 若发现故障立即进行调节 , 使车 床恢复正常 , 假设此时车床和刀具均恢复到原来 状态 . ● 刀具在生产了 m 个零件后因使用时间过长 而必须被更新 , 从而设备又回到原来状态 . ● 假定其他故障的发生服从平均分布 ,并且因 为刀具损坏故障占 95 % ,其他故障仅占 5 %. 可以 假设其他故障发生的概率很小 ; 其概率为刀具故 障的 5/ 95 ,即 1/ 19.
摘 要 : 为解决自动化车床连续加工出现的故障及更换刀具的问题 ,运用数理统计与概率论 ,根据不同的实 际情况和要求 ,建立了两种数学模型 ,设计出合理可行的算法 ,进行编程计算 ,得出最优解 ,并提出了改进后 的检查方式 . 这一数学模型为自动化车床的管理提供了可靠的依据 . 关键词 : 正态分布 ; 数学期望 ; 概率 ; 概率密度 ; 均值 中图分类号 : O213 :TB114 文献标识码 : A
自动化车床管理(1)
第30卷第1期2000年1月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l130 N o11 Jan.2000 Abstract: In the article,the op ti m um tactics of the regu lar check to w o rk ing p rocedu res and the rep lacem en t of cu tting too ls in the cou rse of con tin i ou s componen t p rocessing by au tom atic lathes has been disscu ssed.Fo r questi on one,the op ti m um model of average m anagem en t co st u sed fo r regu lar check and adju stm en t of componen t has been m ade ou t by app lying the theo ry of m anagem en t co st and m ethod of p robab ility statistics,the best designed in terval of check and cu tting too ls′rep lacem en t in the w o rk ing p rocedu re has been ob tained.Fo r questi on tw o,based on questi on one,the ob jective functi on s has been estab lished,and the op ti m um tactics of the best designed in terval of check and thd rep lacem en t of cu tting too ls has been ob tained con sidering the average lo ss b rough t abou t by unqualified.p roducts at the in terval of check and the average lo ss of m ach ine stop fo r being m isregarded as ex isting b reakdow n.T he au tom atic check ing and adju sting system the b reakdow n of w o rk ing p rocedu res has been designed by u sing au tom atic devices,and the algo rithm flow chart has been given too T hu s the lo ss of m ach ine stop fo r being m isregarded as ex isting b reakdow n w ou ld be avo ided,and the ben2 efit of w o rk ing p rocedu re w ou ld be increased.自 动 化 车 床 管 理石 敏, 林超友, 方 斌指导教师: 数模组(海军工程大学,武汉 430033)编者按: 该文思路正确,考虑较全面,对问题一给出了正确的模型和结果,并对检查方式、灵敏度分析、误差分析进行了详细讨论.本文另一特色是进行了计算机模拟,这对许多类似的问题都行之有效.本文缺点是对问题二的模型有欠缺.摘要: 本文对自动化车床管理问题进行了讨论,将检查间隔和刀具更换策略的确定归结为单个零件期望损失最小的一个优化问题,并提供了有效算法.对问题一,得到检查间隔Σ0=18,定期换刀间隔Σ1=342,相应的单个零件期望损失费用C=4175元的最优解,并用蒙特卡罗法对结果进行了模拟检验.对问题二,得到检查间隔Σ0=11,定期换刀间隔Σ1=242,单个零件期望损失费用C=7122元.对问题三,我们采用新的改进方案使单个零件期望损失费用降为5134元.本文还对变检查间隔、参数灵敏性、误差分析等进行了讨论.1 问题的重述(略)2 问题的分析由于刀具损坏等原因会使工序出现故障,工序出现故障是完全随机的.工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障,并且计划在刀具加工一定件数的零件后定期更新刀具.因此,给定检查间隔,对零件作检查,当发现零件不合格时则认为工序发生了故障并立即进行停机检查,若实际存在故障则进行修理,无故障则继续生产;当检查发现零件合格则不干涉设备的工作.当到了定期更换刀具时刻,即使设备未出现故障,也进行刀具更新.显然,检查间隔过大,可能会使设备长时间处于故障状态,造成损失增大;若检查时间间隔过小,会使检查费用增加.定期更换刀具的情况亦是如此.问题是寻找最优的检查间隔和定期更换刀具的间隔,使工序效益达到最好.这里将工序效益最好表示为单个零件的期望损失最小,并把相邻两次刀具更新之间称为一个周期.则单个零件的期望损失费用C=一个周期内的期望损失期望周期长3 假 设1.生产单个零件的时间设为112.不考虑检测时间和故障调节及更换刀具的时间.3.更换刀具或故障调节后,工序恢复初始状态.4.工作人员一经检查发现不合格零件,即认为工序出现故障.5.一台自动化车床只有一把刀具.4 符号约定f 产出不合格品的损失费用 f=200元 件t检查的费用 t=10元 次d故障调节所需的平均费用 d=3000元 次k未发现故障时更换一把新刀具的费用(定期更换刀具费) k=1000元 次X工序无故障工作时间长F(x)X的分布函数p(x)X的概率密度函数Σ0检查间隔时间Σ1定期更换刀具间隔时间E(L)一个周期内的期望总损失费用E(T)期望周期长C单个零件期望损失费用5 模型的设计及结果511 建模的准备11100次刀具故障记录的统计分析首先画出频数分布的直方图(略).通过检验可知:在Α=0110的显著性水平下,刀具无故障工作时间近似服从N(Λ,Ρ2)分布,其中Λ=600,Ρ2=1951642.21工序无故障工作时间的概率分布由于刀具损失故障占95%,起决定作用.我们认为,整个工序无故障工作时间长的分布近似于刀具无故障工作时间长的分布,即X～N(0195Λ,(0.95Ρ)2)3.刀具更换策略在定期更换前,必须进行检查.若检查出故障,立即修理,若没有检查出故障,再进行定期更换.为了实际操作的方便,可将定期更换周期定在第m次检查后,即若Σ0为常数,则63数 学 的 实 践 与 认 识30卷Σ1=mΣ0(m=1,2,…)512 模型的建立及求解1.模型I(问题一的模型) 若X>Σ1 损失为:L1=m t+k; 若nΣ0<X≤(n+1)Σ0 (n=0,1,2,…,m-1) 损失为:L n=(n+1)t+d+[(n+1)Σ0-X]f 期望损失E(L)=∫∞mΣ0L1p(x)d x+∑m-1n=0∫(n+1)Σ0nΣ0L n p(x)d x 期望周期长E(T)=mΣ0∫∞mΣ0p(x)d x+∑(m-1)n=0∫(n+1)Σ0nΣ0(n+1)Σ0p(x)d x 要使效益最好,等价于求Σ0、Σ1,使C=E (L)E(T)达到最小.经计算得Σ0=18(即每生产18个零件检查一次),Σ1=342(即每生产342个零件定期更换刀具一次),单个零件期望损失费用C=4175元.2.模型 (问题二的模型略)3.模型 (问题三的模型)考虑到一般设备使用期限内可分为稳定期和不稳定期.这里的稳定是指故障少,而所谓不稳定是指故障多.我们改进等间隔检查方式,使其在稳定期内检查间隔长,在不稳定期内检查间隔短,从而获得更高的效益.这里检查间隔Σ0与时间x有关,记作Σ0(x).也就是说故障率大时(即设备运行到x时刻未发生故障的条件下,[x,x+d x]时间内设备发生故障的条件概率大),那么单位时间内的检查次数n(x)也随之增大.易知Σ0(x)= 1n(x).我们取n(x)=ftp(x)1-F(x)其中:p(x)d x是设备在[x,x+d x]内发生故障的概率, 1-F(x)是x时刻设备未发生故障的概率.因此,p (x)d x1-F(x)是设备到x时刻未发生故障的条件下,[t,t+d t]内设备发生故障的条件概率.这里p(x)=12Π185.9e-(x-570)22×185.92 根据以上分析,检查方式可表述如下:第1次检查时间间隔为d1=1n(0);1n(0)表示对1n(0)取整,d i表示第i次检查的时间间隔第2次检查时间间隔为d2=1n(d1);731期石 敏等:自动化车床管理第3次检查时间间隔为d3=1n(d1+d2);结果列表如下:i123456789101112131415d i724232262220181615141312121110i161718192021222324252627282930d i10109998888777777i31323334353637383940414243……d i7666666666555……将以上d i代入问题(2)的目标函数C=E (L)E(T)中,即可得期望损失费用C=51344,此费用小于问题(2)的期望损失费用.并且在问题(2)定期更换刀具Σ1=242情况下,我们的检查方式为:对第72、114、146、172、194、214、232、242个零件检查,大大减少了检查次数,从而可以使效益提高.6 模型的检验1.计算机模拟检验针对问题一的情况,我们采取蒙特卡罗法进行模拟检验,具体步骤如下:1)工序无故障工作时间X～N(570,185192),用蒙特卡罗法模拟产生1000个无故障工作时间的伪随机数X i(i=1,2,…,1000) (编者按:1000太少了)2)给定检查间隔Σ0和刀具定期更换间隔Σ1,可以计算出X i所对应的损失费用L iL i=k+Σ1Σ0t [X i]>Σ1 ([X i]表示对X i取整) d+Σ1Σ0 t [X i]=Σ1d+X iΣ0t+(Σ0-[X i]%Σ0)f [X i]<Σ1 (%表示求余运算) 3)计算单个零件的损失费用CC=∑1000i=1L i∑1000i=1T i 其中T i=Σ1 [X i]≥Σ1X iΣ0+1Σ0 [X i]<Σ1 4)对Σ0,Σ1进行搜索,取Σ0∈(0,200),Σ1∈(0,1000)求得单个零件损失费用C最小时的最优检查间隔Σ0=18,定期更换刀具间隔,Σ1=378,相应的单个零件损失费用为4116元.将模型I的结果与蒙特卡罗模拟的结果进行比较,列表如下83数 学 的 实 践 与 认 识30卷Σ0Σ1C模型I 183424.75蒙特卡罗模拟183784.16由以上数据观察可发现用计算机模拟的结果与模型 的结果比较接近.因此说明模型 的结果较为稳定.2.灵敏度分析对于X ～N (570,1851862)的正态分布,我们改变P (P 为工序正常时不合格产品的比例)和q (q 为工序故障时不合格产品的比例)得下表及P -C 、q -C 散点图:P0.010.0120.0140.0160.0180.020.0220.0240.0260.0280.030.035Σ01313121212111111101097m222222222222222222222222Σ1286286264264264242242242220220198154C 6.36.56.76.887.057.227.377.527.647.767.857.93q0.10.20.30.40.50.60.70.80.9Σ0121212111111111111m222222222222222222Σ1264264242242242242242242242C7.067.147.187.217.227.227.227.217.20由P -C 、q -C 图可知,P 、q 的变化都会对单个零件的损失费C 产生影响.由P -C 图可知,P 与C 之间的关系基本上是线性的且P 对C 的影响较q 显著.从q -C 图可知,当q 达到014左右时,q 的继续增大对C 的影响不大.总之,C 对P 的变化反应灵敏,而对q 的变化反应迟钝.因此在实际管理中只要控制好P 的大小就能较好地控制单个零件的期望损失费.我们要尽量减小P ,使C 达到最小,从而使效益最高.同理,改变误认为有故障而停机产生的损失费(1500元 次),发现它的变化对C 的影响931期石 敏等:自动化车床管理04数 学 的 实 践 与 认 识30卷并不明显.3.误差分析我们在分析工序无故障的工作时间时,用刀具无故障工作时间的分布来近似,但实际工序无故障的工作时间是未知的.若用正态分布来描述,其均值Λ、均方差Ρ的不确定性,对结果会造成误差.我们利用模型I的结果来进行误差分析,得下表:Λ570570580590600600Ρ185.86195.64185.86185.86185.86195.64C4.754.94.634.514.44.55∃03.2%2.5%5%7.4%4.2%∃代表相对误差,用C-C0×100◊(C0取4175)表示.C0由表可见均值Λ、均方差Ρ的较小变化对结果的影响不大,因此我们采用文中所给方法近似工序无故障工作时间的分布是合理的.7 模型的评价及改进1.本模型通过对检查间隔和换刀间隔进行遍历搜索,得到了固定检查间隔下的最优解.2.进行蒙特卡洛方法模拟的次数有限,使得模拟结果精度有限,误差较大.3.对问题三,只提供了一种有效的方案,而没能给出最优解.我们建议提出一种简单易行的方案,便于工作人员在实际操作中按方案进行检查.参考文献:[1] 曹晋华等1可靠性数学引论1科学出版社,北京.[2] 蔡常丰1数学模型建模分析1科学出版社,北京.[3] 徐士良1C常用算法程序集1清华大学出版社,北京.The M anagem en t of An Automatic LatheSH IM ing, L I N Chao2you, FAN G B in(T he N aval U n iversity of Engineering,W uhan 430033)Abstract: T he m anagem en t of an au tom atic lathe is discu ssed.T he determ inati on of exam in2ing in terval and change tactics of cu tting2too l leads to the analysis of an op ti m izati on p rob lem ofexpectati on lo ss of a single part.A n effective compu tati on is given.T h ree examp les′resu ltshave been ob tained.。
自动化车床问题(1)15组doc
五组自动化车床问题摘要本文是自动化车床中道具的检测与更换问题。
在已知生产工序的费用参数和故障记录的情况下，建立随机模型，得出工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。
首先我们对附表中的数据在6SQ软件拟合中进行分析并在MATLAB中对其进行假设检验，发现其服从X(600，1962)的正态分布。
对于问题一，我们以每个正品的平均费用作为评价指标。
我们规定一个周期内我们最多进行n次检测，每次检测的零件序号为c i(i=1，2，··，n)。
通过规定等概率间距对刀具零件进行检测。
同时将总费用和生产正品的期望分为未达到最大检测次数前和达到最大检测次数两部分。
然后，通过穷举法求解出不同间距和不同检验次数时，每个正品的平均生产最小费用，我们得出其最优解。
其结果为：检验次数为9次，检验的零件数序号分别为：58 ，99，135，167，196，221，244，263，281。
换刀的间距为281零件。
而平均每个正品零件花费为：4.5913元。
对于问题二，我们采用单策略模型。
由于正品的来源分为两个部分。
因此在检测时存在误判问题。
我们通过分析未达到最大检测次数前和达到最大检测各元素的来源，从而得出各元素的表达方法。
最后通过matlab对不同间距和不同次数的花费进行比较，最后得出最优解。
其结果为：检验次数为10次，检验的零件数序号为：82，101，152，184，211，237，253，275，300，321。
换刀的间距为：320。
平均均每个正品零件花费为：9.3912元。
对于问题三，我们采用双策略模型。
由于问题二中误判率较大，对生产工序有较大的误导作用，因此我们采用双策略模型即一次检验连续检查两个零件，这样通过概率计算工序正常时生产的产品合格率为96.04%，工序不正常时生产的产品合格率为16%。
这样误判率就大大的降低。
然后可以再通过穷举法，得出最优解。
关键词：6SQ拟合等概率间距单策略双策略穷举法1.问题的重述工业生产中，自动化车床刀具的检测与磨损是比较常见的问题，如何检测何时更换刀具将直接影响生产成本。
第一组.自动化车床管理finish
自动化车床管理模型摘要本题是对自动化车床管理问题进行了讨论，将检查间隔和刀具更换策略的确定归结为单个零件期望损失最小的一个优化问题，并提供了有效算法。
对问题一，得到检查间隔18，定期换刀间隔342，相应的单个零件期望损失费用为4.7944元。
对于问题二，在问题一模型的基础上深入考虑工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品和工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品对单个零件期望的影响，最后用MATLAB7.1编程得到检查间隔为93，定期换刀时间为279，相应单个零件损失费9.6846元。
对于问题三，可以降低问题二中工序正常而误认有故障的概率。
关键字：期望、优化问题、检查间隔、刀具更换策略问题重述零件加工中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。
工序出现故障完全随机, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。
工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。
现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。
现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
问题1), 对该工序设计出效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。
问题2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。
对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.问题3）在2)的情况, 改进检查方式获得更高的效益。
模型假设1 单个零件加工时间为12 第一问中5%的其他故障不考虑3 开始生产加工时，机器和刀具都是新的4 不考虑检测和换刀时间5 相邻两次刀具更换时间为一个周期6 生产任意零件出现故障的概率相同7 定期换刀时间和检查周期呈线性关系变量说明f故障时产出的零件损失费用t 进行检查的费用d 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用k 未发现故障时更换一把新刀具的费用c工序正常而误认有故障停机产生的损失费用T 无故障工作时间x 定期换刀时间a 为x y 线性关系系数，x=ayy 检查周期H 换刀周期（相邻两次换刀时间）G（T）分布函数g(T) 概率密度E（F）周期平均费用E(H) 平均周期S 单个零件的平均损失问题分析问题一，为了方便讨论，把相邻两次刀具更换时间为一个周期，只要工作人员检查时发现不合格品就换刀，否则按照定期换刀时间换刀。
自动化加工中机床热变形的数值模拟
自动化加工中机床热变形的数值模拟一、前言自动化加工已经成为当今制造业中的一个重要领域。
随着自动化加工技术的不断发展，其应用领域也越来越广泛。
在自动化加工中，机床热变形是一个非常重要的问题，它会对加工精度和加工效率产生非常大的影响。
数值模拟是解决机床热变形问题的一种重要手段。
本文将从热变形问题的背景、数值模拟方法、数值模拟案例等方面对自动化加工中机床热变形的数值模拟进行详细介绍。
二、热变形问题的背景机床热变形是由于机床加工过程中传导到机床上的热量引起的。
热量会使机床零件发生热胀冷缩现象，从而导致机床发生形状变化。
这种变化对加工精度和加工效率产生非常大的影响。
机床热变形是一个非常复杂的问题，它受到许多因素的影响，如机床结构、工件材料、切削参数等。
因此，要准确地估计机床热变形是非常困难的。
三、数值模拟方法针对机床热变形问题，目前主要采用的方法是数值模拟法。
数值模拟法是通过计算机程序来模拟机床加工过程中的温度场和应力场，从而得出热变形情况。
数值模拟方法主要包括有限元法和边界元法两种。
有限元法将机床和工件分割成有限个单元，然后用单元来表示机床和工件的热传导特性和力学特性，并建立求解偏微分方程的系统。
边界元法，则是在工件表面或接触面上对物理方程进行离散化求解。
四、数值模拟案例下面以数值模拟方法在某铸造企业中的应用为例，简要介绍数值模拟在机床热变形问题中的应用。
某铸造企业投资引进一台国内最先进的自动化铸造生产线，该生产线包括一条自动化铸造流水线和一台数控加工中心。
由于自动化铸造生产线要求生产速度较快，因此切削速度较高，切削温度也相应较高。
为此，必须对机床热变形进行准确的估算，以确保加工质量和生产效率。
通过有限元法数值模拟后发现，该生产线中的加工中心的工作台会因为高温而发生微小的热胀冷缩，导致工件的加工精度下降。
为了解决这个问题，该企业采取了以下措施：- 将加工中心放置在温度较低的环境中，以减少机床热变形并提高加工精度；- 调整加工参数，以降低切削温度，并通过数值模拟方法确定合适的切削参数；- 对工作台进行特殊设计，以提高其抗热变形能力。
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题目：自动化车床管理的数学建模问题摘 要本文讨论了自动化车床连续加工零件的工序定期检查和刀具更换的最优策略。
我们根据原始数据利用EXCEL 软件进行统计分析，得出刀具正常工作时长的函数，建立了以期望损失费用为目标函数的数学模型。
问题一，我们假设所有的检查为等间距，以检查到的零件是否为次品来判定工序是否正常，若一直未出现故障则当加工到定期换刀时刻就换刀，利用概率论的相关知识，求出一个周期内的期望损失费用)(L E 和期望零件个数)(T E ，建立了以零件的期望损失费L 为目标函数的随机优化模型，求解得检查间隔310=t ，换刀间隔1248t =，每个零件的期望损失费用7.3693L =。
问题二，不管工序是否正常都有可能出现正品和次品，在问题一的基础上调整了检查间隔中的不合格品所带来的损失费用，同时加上了因误检停机而产生的费用，求出期望损失费用)(L E 和期望零件个数)(T E ，建立了以每个零件的期望损失费用L 为目标函数的随机优化模型，求解得出检查间040t =，换刀间隔1240t =，每个零件的期望损失费用10.779L =。
问题三，在问题二的基础上将工序正常工作的时间长由开始的近似等于刀具无故障工作的时间长，改进为刀具无故障工作时间长的95%，其它的故障近似服从均匀分布，求出一个周期内的期望损失费用)(L E 和零件个数)(T E ，建立了以每个零件的期望损失费用L 为目标的随机优化模型，求解得出检查间041t =，换刀间隔1246t =，期望损失费用7.9118L =。
关键词：自动化车床管理 检查间隔 换刀间隔一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90%，其他故障仅占10%。
工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。
工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。
现积累有150 次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附件表。
现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用f=300 元/件；进行检查的费用t=20 元/次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000 元/次（包括刀具费）；未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1200 元/次。
1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。
2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有25%为合格品，75%为不合格品。
工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。
对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。
3）在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。
附：150次刀具故障记录（完成的零件数）311 460 975 463 708 666 398 771 532 474538 740 651 458 407 420 467 207 457 337759 488 509 486 539 218 715 509 647 565314 613 530 578 599 319 574 647 730 481597 589 628 132 316 601 484 440 372 477497 591 243 587 172 668 865 362 678 382389 673 749 836 468 384 548 643 563 526749 487 417 649 570 214 527 308 553 743747 619 656 525 372 607 620 726 379 605280 586 763 851 653 492 528 607 590 590779 576 651 249 560 723 927 449 644 325619 734 320 599 754 433 521 971 175 582549 549 375 802 256 557 529 678 567 656627 502 708 531 503 452 677 524 539 212309 573 673 398 408 592 447 463 415 594由题中信息可知，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障, 工序出现故障完全是随机的，即在生产任意一个零件时都有可能发生故障。
工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障, 如果检查过于频繁, 那么工序就会经常处于正常状态而少生产出不合格品, 然而, 这将使检查费用过高;检查间隔过长, 虽然可以减少检查费用, 但由于不能及时发现故障而可能导致大量不合格品出现, 必将提高每个零件的平均损失费用。
根据题目信息，刀具加工一定件数的零件后将定期更新刀具，从而我们可以通过确定最佳检查间隔和换刀间隔来减少损失。
2.1 对问题一的分析根据题目要求，我们假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时生产的零件都是合格品，所以当发现零件不合格时就认为工序发生了故障，从而停机检查并使其恢复正常。
若一直未发生故障，则当加工到定期更换刀具时刻，不管是否发生了故障都进行换刀。
计算平均费用可分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，记平均损失费用为1L ，（2）在换刀之前发生了故障，记平均损失费用为n L 。
然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB 等软件进行编程求解使其最小。
2.2 对问题二的分析根据题目中所给的条件，我们还是假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时次品率为1%，发生故障时的正品率为25%，所以不能单凭是否检查到次品来判定工序是否正常，在工序正常时有可能误判，这样就会产生误检停机费用，计算平均费用分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，损失费用记为1p ，（2）在换刀之前发生了故障，损失费用记为2p ，然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB 软件等进行编程求解使其最小。
2.3 对问题三的分析在实际情况下，在工序过程中，各个时间发生故障的概率是不同的，而第二问采取的等间隔检查就在一定程度上浪费了这个条件，而且在第二问中误检，漏检的概率比较大，因此我们针对这两点采取改进措施：非等距检查，连续检查法。
三、模型假设(1)检查时间和换刀时间忽略不计； (2)所有的故障都为刀具故障； (3)刀具故障服从正态分布： (4)每次只抽查一个零件检查； (5)s 为整数，即0)mod(0,1 t t (6)一道工序只需要一把刀具；四、变量说明f ：每件不合格品的损失费用；t ：每次检查的费用；d ：发现故障进行调节使恢复正常的平均费用；k ：未发现故障时更换一把新刀具的费用；0t ：平均检查间隔；1t ：定期换刀间隔；n ：一个周期内的实际检查次数；h ：工序正常而误认有故障停机产生的损失费用；L ：每个零件的期望损失费用；)(x f ：刀具寿命的概率密度函数； x ：出现故障时已经生产的零件个数；)(L E ：一个周期内的期望损失总费用； )(T E ：期望零件个数； s ：一个周期内的最多检查次数1L ：在定期换刀之前未发生故障的损失费用 n L ：在定期换刀之前发生故障的损失费用五、模型建立与求解5.1数据处理5.1.1 刀具正常工作的时间长的概率密度函数题中附录给出了150次刀具故障的记录，我们利用了EXCEL 软件对这些数据进行了相关的统计分析。
我们采用了假设检验下的NPar 检验来对其进行正态分布的检验，在显著性水平0.1α=时，发现刀具故障服从正态分布()2,N μσ，其中539.93,163.98μσ==。
由此可知概率密度函数()()2222x f x eμσπσ--=⨯图下面我们对正态分布进行检验：卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。
它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。
其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。
利用2χ拟合检验法进行检验，我们用刀具寿命的最大值减去最小值，取70为区间长度，将其分成了12个区间，分别算它们的频数，其中由于最后两个区间的频数都为3，根据检验的原则，我们将它们合并为一个区间，再计算各数值在区间出现的概率，其中n=70,得到表1所示数据：表1：各区间内数据21221158.861508.86i i if n np χ==-=-=∑，()20.1914.684χ=因为()220.19χχ<，在可接受区间内，故服从正态分布。
5.1.2 刀具更换间隔在定期更换刀具之前，我们采用了等间距检查的方式对零件进行检查，若出现故障则进行调节使其恢复正常，若没有检查出故障，则到了定期更换刀具时刻进行换刀，为了简化模型，我们假定在正常换刀之健康前进行的是整数次检查，即()10mod ,0t t =。
5.2 模型一的建立与求解 5.2.1 模型一的建立如果在换刀之前未发生故障，则损失包括两部分： （1）检查费用s t ⨯； （2）更换刀具费用k ；则此种情况下总的损失为1L s t k =⨯+；如果在换刀之前发生了故障，此时实际检查次数为1n +，假设前n 次检查生产的都是正品，个数为x ，则次品的个数为()01n t x +⨯-，此时损失包括三部分： （1）检查费用为()1n t +⨯；（2）发现故障进行调节使恢复正常的费用d ； （3）损失费用()01n t x f +⨯-⨯⎡⎤⎣⎦；则此种情况下总的损失费用为()()011n L n t d n t x f =+⨯+++⨯-⨯⎡⎤⎣⎦ 期望损失为： ⎰∑⎰∞⨯-=⨯+⨯⨯+⨯=01)1(1)()()(t s s n t n t n n dx x f L dx x f L L E期望零件个数：()()()()()0110001s n t s t n t n E T s t f x dx n t f x dx -∞+⨯⨯⨯==⨯⨯++⨯⨯∑⎰⎰每个零件的期望损失费用：()()E L L E T =即()()min E L L E T ==，要使期望损失费用达到最低，则等价于求最佳的01,t t ，使L 达到最小。
5.2.2 模型一的求解利用MATLAB 对上述模型进行求解，可得到310=t ， 1248t =， 7.3693L =。
即每生产31个零件检查一次，生产248个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为7.3693。
5.3 模型二的建立与求解 5.3.1 模型二的建立如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为1t ，根据题中的信息，这些零件中的废品率为1%，则损失费用包括四部分： （1）检查费用：s t ⨯；（2）误检停机费用：1%h s ⨯⨯；（3）正常工作时的次品损失费用：11%t f ⨯⨯； （4）更换刀具费用：k ；则此种情况下总的损失费用为：111%1%L s t k t f h s =⨯++⨯⨯+⨯⨯如果在换刀之前已经发生故障，假设第1n +次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为：()01n t +⨯，前n 次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为x ()0x n t =⨯，发生故障后生产的零件个数为：()01n t x +⨯-，根据题中信息，我们可知，正常工作时次品率为1%，发生故障时次品率为75%，则损失费用包括五部分： （1）检查费用：()1n t +⨯； （2）误检停机费用：1%n h ⨯⨯；（3）正常工作时的次品损失费用：1%x f ⨯⨯； （4）发现故障进行调节使恢复正常的费用d ；（5）发生故障后次品的损失费用：()0175%n t x f +⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦则此种情况下总的损失费用为：0(1)1%1%[(1)]75%n L n t h n x f d n t x f =+⨯+⨯⨯+⨯⨯+++⨯-⨯⨯期望损失为： ⎰∑⎰∞⨯-=⨯+⨯⨯+⨯=01)1(1)()()(t s s n t n t n n dx x f L dx x f L L E期望零件个数：()()()()()0110001s n t s t n t n E T s t f x dx n t f x dx -∞+⨯⨯⨯==⨯⨯++⨯⨯∑⎰⎰每个零件的期望损失费用：()()E L L E T =即()()minE LLE T==，要使平均损失费用达到最低，则等价于求最佳的01,t t，使L达到最小。