闭环系统的极点配置
rst结构控制器极点配置方法
一、简介在控制系统设计中，rst结构控制器是一种常用的控制器结构，其极点配置是控制系统设计中重要的一环。
极点配置方法可以有效地影响控制系统的性能指标，如稳定性、快速响应性等。
本文将介绍rst结构控制器的极点配置方法，帮助读者更好地理解和应用该方法。
二、rst结构控制器的基本原理1. rst结构控制器概述rst结构控制器是由一个比例环节、一个复式滤波器和一个时延环节组成的控制器结构。
其闭环传递函数可以表示为：G(s) = K * (1 + Ts) / (1 + Ts + Td*s)其中，K为比例增益，T为复式滤波器的时间常数，Td为时延环节的时间常数。
rst结构控制器既可以用于离散系统，也可以用于连续系统。
2. rst结构控制器的特点- rst结构控制器可以在保证系统稳定性的前提下，实现对系统性能的灵活调节。
- 通过合理配置比例环节、复式滤波器和时延环节的参数，可以使系统在满足动态响应指标的前提下，获得较好的抗干扰性能和鲁棒性能。
三、rst结构控制器极点配置方法1. 极点配置的基本原理极点配置方法是一种通过选取控制系统闭环传递函数的极点来调节系统的性能指标的方法。
rst结构控制器的极点配置方法主要包括两种：位置型极点配置和动态可调型极点配置。
2. 位置型极点配置方法- 位置型极点配置方法是指通过直接选取所需的闭环极点位置来调节系统的性能指标。
这种方法需要事先确定所需的阶跃响应特性，并根据特性要求来确定控制系统的极点位置，然后通过计算得到对应的rst结构控制器参数。
- 位置型极点配置方法适用于要求系统快速响应和较好抗干扰性能的场合，但对稳定性的要求不是很高。
3. 动态可调型极点配置方法- 动态可调型极点配置方法是指在闭环极点位置一定的情况下，通过调节rst结构控制器的参数来实现对系统性能指标的调节。
这种方法通常需要通过迭代计算或数值优化方法来确定合适的参数值。
- 动态可调型极点配置方法适用于对系统性能指标要求较为严格的场合，需要兼顾稳定性、快速响应性、抗干扰性等多个方面。
控制器极点配置方法
控制器极点配置方法如果已知系统的模型或传递函数，通过引入某种控制器，使得闭环系统的极点可以移动到指定的位置，从而使系统的动态性能得到改善。
这种方法称为极点配置法。
例6－12 有一控制系统如图6－38，其中，要求设计一个控制器，使系统稳定。
图6-38解：（1）校正前，闭环系统的极点：> 0因而控制系统不稳定。
（2）在控制对象前串联一个一阶惯性环节，c>0，则闭环系统极点：显然，当，时，系统可以稳定。
但此对参数c 的选择依赖于 a 、b 。
因而，可选择控制器，c 、d ，则有特征方程：当，时，系统稳定。
本例由于原开环系统不稳定，因而不能通过简单的零极点相消方式进行控制器的设计，其原因在于控制器的参数在具体实现中无法那么准确，从而可能导致校正后的系统仍不稳定。
例6－13 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数：要求设计一串联校正装置Gc(s) ，使校正后系统的静态速度误差系统，闭环主导极点在处。
解：首先，通过校正前系统的根轨迹可以发现，如图6－39所示，其主导极点为：。
图6-39为使主导极点向左偏移，宜采用超前校正装置。
（2）令超前校正装置，可采用待定系数法确定相关参数：又其中、、、为待定系数。
进一步可得：即将代入式子可以得到：，，，。
进一步可得超前校正装置的传递函数：校正后系统的根轨迹如图6-39所示。
该校正装置与例6－7中由超前装置获取的校正装置结果基本相同，说明结果是正确的。
在matlab中，亦有相应的命令可进行极点配置，主要有三个算法可实现极点配置算法：Bass-Gura算法、Ackermann 算法和鲁棒极点配置算法。
这些算法均以状态空间进行表征，通过设定期望极点位置，获取状态反馈矩阵K。
下面通过示例介绍其中的一种算法。
例6－14 考虑给定的系统，其状态方程模型如下：，期望的闭环系统配置在，，，试设计其控制器。
解：可以使用下面的MATLAB语句来实现极点的配置：A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]; B=[0;1;0;-1];eig(A)'ans =0 0 3.3166 -3.3166P=[-1;-2;-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1)];K=place(A,B,P)place: ndigits= 15Warning: Pole locations are more than 10% in error.K =-0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000eig(A-B*K)'ans =-1.0000 - 1.0000i -1.0000 + 1.0000i -2.0000 -1.0000。
线性系统理论6极点配置与特征结构配置-文档资料
算法6.3.3 [极点配置-基于能控规范型的设计]
第一步:把能控矩阵对(A,B)化成为Wonham第二
能控规范型(AW ,BW )或Luenberger第二能控规范型
(AL,BL ),即按4.7节的方法求得变换阵S,使得:
AW
SAS
1
或
AL
SAS 1
BW SB
BL SB
第二步:根据能控规范型的分块结构将给定的期望
且 m r 1 n ，则系统 x Ax Bu
y
Cx
Du
“几乎”总可以用静态输出反馈任意配置极点。
推论6.2.2 设（A，B）能控，（A，C）能观， 则“几乎”总存在
0, q n m r 1,
mr 1 n mr 1 n
阶动态补偿器，使得该系统在该补偿器作用
下的闭环系统极点可以任意配置。
引理6.2.1 已知
A Rnn , B Rnr ，且 A, B 能控
则几乎对于任意的 K Rrn ，矩阵 A BK 具有互异特征值，从而为循环矩阵。
引理6.2.2 设
A Rnn , B Rnr ，且 A, B 能控
且 A 为循环的，则对几乎任意的
Rr 有 A, B 能控。
例6.2.1 考虑下述既完全能控又完全能观
但较状态反馈包含了较少的信息，对于输 出反馈的情况，即使系统完全能控和完全 能观，闭环系统的极点也不可能被任意配 置。
定理6.2.2 设（A，B）能控，（A，C）能观
则系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
“几乎”总可以用静态输出反馈任意接
近地配置 minn, m r 1 个极点。
推论6.2.1 设（A，B）能控，（A，C）能观，
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
状态反馈与极点配置报告
自动控制原理（课程设计）一、题目用MATLAB创建用户界面，并完成以下功能：（1）由用户输入被控系统的状态空间模型、闭环系统希望的一组极点；（2）显示未综合系统的单位阶跃响应曲线；（3）显示采用一般设计方法得到的状态反馈矩阵参数；（4）显示闭环反馈系统的单位阶跃响应曲线；（5）将该子系统嵌入到寒假作业中程序中。
分别对固定阶次和任意阶次的被控系统进行设计。
分别给出设计实例。
二、运行结果界面：如图由用户输入被控系统的状态空间模型、闭环系统希望的一组极点例如，输入010001034A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，1B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，[]2000C=，0D=，闭环系统希望的一组极点:22j-+、22j--、5-如图所示：被控系统的单位阶跃响应曲线闭环系统的单位阶跃响应曲线状态反馈矩阵显示三、讨论该闭环控制系统的状态反馈与极点配置设计系统可用于任意阶次的控制系统。
在此之前，我还做了一个固定阶次的控制系统状态反馈与极点配置的Matlab 控制台程序（见附录二）。
该系统的利用状态反馈进行极点任意配置所采用的方法为一般方法，其步骤如下：①判断受控系统是否完全能控；②由给定的闭环极点要求确定希望的闭环特征多项式的n个系数~i a；③确定原受控系统的特征多项式系数ia；④确定系统状态反馈矩阵~~~~[,,,]12nff fF=的诸元素~~11ii if a a-=--；⑤确定原受控系统化为能控标准形的变换阵的逆1P-，⑥确定受控系统完成闭环极点配置任务的状态反馈阵~1F F P-=。
四、参考文献[1]黄家英.《自动控制原理》.高等教育出版社,2010.5[2]唐向红，郑雪峰.《MATLAB及在电子信息类》.电子工业出版社,2009.6[3]吴大正，高西全.《MATLAB新编教程》.机械工业出版社，2008.4五、附录function varargout = tufeiqiang(varargin)%TUFEIQIANG M-file for tufeiqiang.fig% TUFEIQIANG, by itself, creates a new TUFEIQIANG or raises the existing% singleton*.%% H = TUFEIQIANG returns the handle to a new TUFEIQIANG or the handle to% the existing singleton*.%% TUFEIQIANG('Property','Value',...) creates a new TUFEIQIANG usingthe% given property value pairs. Unrecognized properties are passed via % varargin to tufeiqiang_OpeningFcn. This calling syntax produces a% warning when there is an existing singleton*.%% TUFEIQIANG('CALLBACK') and TUFEIQIANG('CALLBACK',hObject,...) call the% local function named CALLBACK in TUFEIQIANG.M with the given input % arguments.%% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one% instance to run (singleton)".%% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES% Edit the above text to modify the response to help tufeiqiang% Last Modified by GUIDE v2.5 20-May-2015 23:49:56% Begin initialization code - DO NOT EDITgui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @tufeiqiang_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @tufeiqiang_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [], ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin{1})gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});endif nargout[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});elsegui_mainfcn(gui_State, varargin{:});end% End initialization code - DO NOT EDIT% --- Executes just before tufeiqiang is made visible.function tufeiqiang_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin unrecognized PropertyName/PropertyValue pairs from the% command line (see VARARGIN)% Choose default command line output for tufeiqianghandles.output = hObject;% Update handles structureguidata(hObject, handles);% UIWAIT makes tufeiqiang wait for user response (see UIRESUME)% uiwait(handles.figure1);% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = tufeiqiang_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Get default command line output from handles structurevarargout{1} = handles.output;function WZH_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to WZH (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);C=get(handles.edit3,'String');C=char(C);C=str2num(C);D=get(handles.edit4,'String');D=char(D);D=str2num(D);sys = ss(A,B,C,D);axes(handles.axes1);set(handles.axes1,'unit','normalized');step(sys);%title('••×••••••••••••×•••ì•••ú••')set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 0 1]),...'Color','red',...'LineWidth',2)% --- Executes on button press in BFK.function BFK_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to BFK (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);C=get(handles.edit3,'String');C=char(C);C=str2num(C);D=get(handles.edit4,'String');D=char(D);D=str2num(D);P=get(handles.edit5,'String');P=char(P);P=str2num(P);K = acker(A,B,P);at = A-B*K;bt = B;ct = C;dt = D;%[num,den]=zp2tf(z,p,k);%[num1,den1]=cloop(num,den);axes(handles.axes1);set(handles.axes1,'unit','normalized');%step(cloop(num,den));%rlocus(A,B,K,0)%step(num1,den1);sys = ss(at,bt,ct,dt);step(sys);title('±••··••••••••••••×•••ì•••ú••')set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 3 3]),...'Color','yellow',...'LineWidth',2)function FKC_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to FKC (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);Z=get(handles.edit5,'String');Z=char(Z);Z=str2num(Z);Zif rank(ctrb(A,B)) == rank(A)N = acker(A,B,Z);Nstr=num2str(N)H = findobj('tag','edit6');set(H,'string',str);elsemsgbox('•••••••••••••••••••••••• ');endfunction pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to pushbutton6 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');AA=char(A);AA=str2num(A);AB=get(handles.edit2,'String');BB=char(B);BB=str2num(B);BM = ctrb(A,B);if rank(M) == rank(A)msgbox('•••••ê••••••••••••••••••');%[num,den]=zp2tf(z,p,k);%[num1,den1]=cloop(num,den);%step(cloop(num,den));%rlocus(A,B,K,0)%step(num1,den1);elsemsgbox('•••••••••••••••••••••••• '); end。
极点配置设计与间接自校正控制方法
极点配置设计与间接自校正控制方法极点配置（Pole Placement ）设计是控制系统中一种常用的设计方法，它能适应逆不稳（Inverse instability ）系统和开环不稳定的情况，并且有设计方法直观、动态性能好、系统稳定的特点。
设已知被控对象或过程可用下列方程描述：()()()11()()d k k k A z y z B z u v ---=+ （3-1）式中，y(k)、u(k)、v(k)分别为系统的输出、控制和干扰，d 为纯延时。
111112012()1()aa bb n n n n A z a z a z B z b b z b z b z -------=+++=++++我们打算设计的控制器是()()()111()()()k r k k F z u R z y G z y ---=- （3-2）其中1()F z -、1()R z -、1()G z -为待定多项式，()r k y 为参考输入。
于是，极点配置系统控制的方框图如下图3-2所示：图3-2 极点配置系统控制方框图该系统的输出表达式为(r k y )()k v()()()11111111111()()()()()()()()()()()d k r k d k d z B z R z y y A z F z z B z G z F z v A z F z z B z G z --------------=+++闭环特征多项式为11111()()()()()d c A z F z z B z G z A z ------+= （3-3） 极点配置的设计任务就是要根据系统的固有性质和设计要求决定期望的闭环特征多项式1()c A z -，通过式（3-3）确定出1()F z -和1()G z -来加以实现。
该式称为Diophantine 方程式。
设期望的输入输出表达式为（不考虑干扰）()()11()()d m m m k r k A z y z B z y ---=式中，1()m A z -为期望的传递函数分母多项式；1()m B z -为期望的传递函数分子多项式，并且两多项式互质。
7.4 状态反馈和极点配置
这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等。 通过使s的同次幂系数相等，可得
7
极点配置定理_充分性
a0 k0 a0
a1 k1 a1
an 1 kn 1 an 1 求解上述方程组，得到 ki
的值，则
K KP 1 [k 0 k1
[ a0 a0 a1 a1
0 1 an1 0
0 0 1 Bc P B 0 1
6
极点配置定理_充分性
设 K KP [k 0 k1 kn 1 ] 由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bc r
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。 ◆最后得到状态反馈增益矩阵K为 K [ a0 a0 a1 a1
1 an 1 an 1 ] P
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
1 0 0 0 , B 0 A 0 0 1 Ax Bu x 5 6 1 1 利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状 态反馈增益矩阵K。
0 0 1 Ac P AP 0 a0
x Ac x Bcu
1 0 0 a1
0 1 0 a2
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值为 1 , 2 , , n ，则 期望的特征方程为
( s 1 )( s 2 )
* n 1 * * ( s n ) s n an s ... a s a 1 1 0 0
an1 1 0 0 1 0 0 0
现代控制理论 极点配置
− −
= [ − − A − ]
= [ − − + ( − )( )]
ഥ−
ഥ
ഥ )]
= [ − (
ഥ −
其中， = , 即 =
这说明对于任意给定的期望极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ ，都可以找到状态反馈矩阵
,
= 2
1 3
满秩，系统是完全能控的，可由状态反馈任意配置系统的闭环极点。
（2）闭环系统的期望特征多项式为 ：
∗ = ( − 1 )( − 2 ) = 2 + 2 + 5
（3）设状态反馈阵为： =
− −
=
−
−2
4Hale Waihona Puke ，则状态反馈控制系统的特征多项式为：
二. 状态反馈极点可配置的条件
定理：线性定常系统
ሶ =A+B ， 0 = ， ≥0
=
可通过状态反馈 = − + 任意配置全部极点的充要条件是系统完全能控。
5.2
极点配置问题
证明：充分性(只讨论单输入单输出系统)
已知系统为完全能控，证明可任意配置极点。
即通过状态反馈必成立 − −
1. 利用非动态输出反馈 = − + ，不能任意地配置系统的全部极点。
以单输入单输出系统为例，设受控系统的传递函数为 ()，则输出反馈系统的传递函
数为:
()
=
1 + ()
因此，闭环系统的根轨迹方程为: 1 + =
当从0到∞ 变化时，就得到了闭环系统的根轨迹。
5.2
极点配置问题
三.单输入单输出系统状态反馈极点配置的算法
直线一级倒立摆极点配置
基于直线一级倒立摆模型的基点配置算法1. 极点配置方法介绍开环系统通过选择反馈增益矩阵（状态反馈阵K ）将闭环系统的极点配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。
极点配置的冲要条件是开环系统完全可控。
闭环系统的稳定性和响应品质同闭环极点密切相关，控制系统的各种特性及其各种品质指标很大程度上由其闭环系统的零点和极点的位置决定。
经典控制理论中通常用调整开环增益及引入串、并联校正装置来配置闭环极点。
在现代控制理论中，广泛采用状态变量反馈来配置极点。
就是通过对状态反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标要求。
对于完全能控和完全能观的系统，设其状态方程为：.X AX Bu =+，Y CX =。
X 为n 维状态向量， u 为控制向量，A 为n*n 维常数矩阵，B 为n*1维常数矩阵。
控制规律选择为线性状态反馈： U=u-KX ；K=[k 1，k 2，k 3…k n ]将U 带入原方程，可得闭环系统状态方程为：.()X A BK X BU =-+，Y CX =，显然，闭环系统特征多项式为：det （SI-A+BK ）=0。
因此通过改变K 阵使闭环系统有所需要的极点配置，达到期望的性能指标要求。
图4.1加入状态反馈后系统结构图单输入单输出系统确定满足极点配置要求的状态反馈矩阵K 的算法主要有系统匹配法、Ackermann 配置法、Gura-Bass 算法等几种方法。
假定期望的闭环极点为λi （i=1……n ），则原系统的开环特征方程为：()S α=()011.....det ααα++++=---S S S A SI n n n 闭环系统特征方程为：()()∏=--++++=-=ni n n n S S S i S S 1011......βββλβ(1)系统匹配法是计算反馈阵的一个最直接的方法，它主要通过比较系统特 征方程的系数来求解，即上两式的对应系数相等。
此方法较为简单，但只适合于低阶系统。
采样系统的闭环极点
采样系统的闭环极点采样系统的闭环极点，作为控制系统中的一个重要概念，具有广泛的应用性和研究价值。
本文将详细解析闭环极点的定义、特性以及对系统性能的影响，帮助读者深入理解闭环控制系统中的采样过程和闭环极点的重要性。
一、闭环极点的定义闭环极点，又称为反馈极点或闭环特征方程的根，是指闭环控制系统中的极点位置。
在控制系统中，闭环极点的位置决定了系统的稳定性、动态响应和抗干扰能力。
对于采样系统来说，闭环极点的位置与采样周期密切相关。
二、闭环极点的特性闭环极点的位置可以分为三种情况：在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外。
在单位圆内的闭环极点代表系统的稳定性良好，系统具有稳定的动态响应和较强的抑制干扰的能力。
在单位圆上的闭环极点表示系统处于临界稳定状态，系统的稳定性较差，容易产生振荡现象。
在单位圆外的闭环极点代表系统不稳定，系统的动态响应不受控制，无法正常工作。
三、闭环极点对系统性能的影响闭环极点的位置直接影响了系统的稳定性和动态响应性能。
过高或过低的闭环极点位置都会影响系统的性能。
过高的闭环极点会使系统的响应速度较慢，过低的闭环极点会使系统产生过度振荡。
因此，选择适当的闭环极点位置是保证系统稳定性和性能的关键。
四、闭环极点的调节方法为了控制闭环极点的位置，可以采取以下方法：1. 调整采样周期：采样周期是影响闭环极点位置的关键参数。
通过调整采样周期，可以改变闭环极点的位置，从而控制系统的稳定性和响应速度。
2. 采用滤波器：在采样过程中引入合适的滤波器可以改变闭环极点的位置。
滤波器可以有效抑制采样噪声和干扰，提高系统的稳定性和控制精度。
3. 设计合理的控制器：合理设计闭环控制器的参数可以间接影响闭环极点的位置。
通过选择适当的控制器参数，可以使系统的闭环极点位置满足稳定性和性能的要求。
五、总结闭环极点在采样系统中扮演着重要的角色，直接决定了系统的稳定性和动态响应性能。
选择合适的闭环极点位置是保证系统正常工作和提高控制性能的关键。