直线与圆及空间向量经典练习

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2024-2025学年新高二数学第三次月考卷(空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线)及答案

试卷第1页，共4页 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。 5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线310xy−+=的倾斜角是（）

A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知抛物线

2:8Cyx=的焦点为F，点M在C上．若M到直线3x=−的距离为5，则||MF=（）

A．7 B．6 C．5 D．4 3．圆

2240xyx+−=在点()1,3P处的切线方程为（）

A．320xy+−= B．340xy+−= C．340xy−+= D．320xy−+=

4．在平行六面体

1111

ABCDABCD−中，M为AC与BD的交点，若11ABa=，11ADb=，1AAc=，则下列向

量中与1BM

相等的向量是（）．

A．

22abc−++





B．1122++abcC．1122−+abcD．

22−−+





abc试卷第2页，共4页

5．过点

(1,3)P−

且垂直于直线230xy−+=的直线方程为（）

A．

210xy+−= B．250xy+−= C．250xy+−= D．270xy−+=

6．已知三点A(1,0)，B(0，

3 )，C(2，3

)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()

A．

3B．213C．253D．

7．在正方体

高考数学直线、平面、简单几何体和空间向量第61讲立体几何中的综合问题(向量法、几何法综合)练习

第61讲立体几何中的综合问题(向量法、几何法综合)夯实基础【p139】【学习目标】1．能根据题目条件灵活选择用几何法或向量法解决问题．2．会分析探究立体几何中位置关系问题和几何量的取值问题，培养探究思维能力．【基础检测】1．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直【解析】对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB，则有CD⊥AC，而AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，可得AC＝1，那么存在AC这样的位置，使得AB⊥CD成立．【答案】B2．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB ＝30°，则点P的轨迹是( )A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支【解析】利用平面截圆锥面直接得轨迹．因为∠PAB＝30°，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面α与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆．【答案】C3．(1)三角形的一边BC在平面α内，l⊥α，垂足为A，A∉BC，P在l上滑动，点P 不同于A，若∠ABC是直角，则△PBC是________三角形；(2)直角三角形PBC的斜边BC在平面α内，直角顶点P在平面α外，P在平面上的射影为A，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)【解析】(1)如图，∵PA⊥平面ABC，∴PA ⊥BC ，又∵∠ABC＝90°，∴BC ⊥AB ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴∠PBC ＝90°.(2)如图，PB 2＋PC 2＝BC 2，AB ＜PB ，AC ＜PC ，所以AB 2＋AC 2＜BC 2，故∠BAC 为钝角．【答案】(1)直角；(2)钝角4．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)【解析】先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值．如图，过点P 作PO⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠PAO＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝33x m . 在Rt △ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝20 m ．所以cos ∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x×45＝x 2－40x ＋625(m )．所以tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 【答案】539【知识要点】 1．折叠问题(1)将平面图形按一定规则折叠成立体图形，再对立体图形的位置和数量关系进行论证和计算，这就是折叠问题．(2)处理折叠问题，要先画好平面图形，并且注意平面图形与立体图形的对照使用，这样有利于分析元素间的位置关系和数量关系．(3)要注意分析折叠前后位置关系及数量关系的变化．一般位于折线一边的点、线间的位置关系和数量关系不变，位于折线两边的点、线间的位置关系，数量关系要发生变化．不变的关系，要注意在平面图形中处理；变化的关系，一般在立体图形中处理．2．探究性问题(1)若某几何量或几何元素的位置关系存在时，某点或线或面应具备何种条件的问题，就是立体几何中的探究性问题．(2)探究性问题的题设情境通常就是“是否存在”，其求解策略是：①观察——猜想——证明；②赋值推断；③类比联想；④特殊——一般——特殊．典例剖析【p 139】考点1 线面位置关系的证明例1在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF⊥平面PCB ，并证明你的结论．【解析】(1)如图，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AD ＝a ，则D(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(a ，a ，0)，C(0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P(0，0，a)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF⊥CD.(2)设G(x ，0，z)，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a)＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点．考点2 空间角与距离的求法例2如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．【解析】如图，取CD 的中点O ，连接OB ，OM.因为△BCD 与△MCD 均为正三角形，所以OB⊥CD，OM ⊥CD ，又平面MCD⊥平面BCD ，所以MO⊥平面BCD.以O 为坐标原点，直线OC ，BO ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz.因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，所以OB ＝OM ＝3，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，3)，B(0，－3，0)，A(0，－3，23)，所以BC →＝(1，3，0)，BM →＝(0，3，3)．设平面MBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BC →，n ⊥BM →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋3z ＝0，取x ＝3，可得平面MBC 的一个法向量为n ＝(3，－1，1)．又BA →＝(0，0，23)，所以所求距离为d ＝|BA →·n ||n |＝2155.【点评】求点面距一般有以下三种方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．考点3 平面图形的翻折问题例3如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过点A 作AD⊥BC，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN⊥BM，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．【解析】(1)在如图1所示的△ABC 中，设BD ＝x(0<x<3)，则CD ＝3－x.由AD⊥BC，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x.由折起前AD⊥BC 知，折起后(如图2)，AD ⊥DC ，AD⊥BD，且BD∩DC＝D ，所以AD⊥平面BCD.又∠BDC＝90°，所以S △BCD ＝12BD·CD＝12x(3－x)，于是V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x)·12x(3－x)＝112·2x(3－x)(3－x) ≤112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－x ）＋（3－x ）33＝23，当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大． (另：V A －BCD ＝13AD·S △BCD＝13(3－x)·12x(3－x)＝16(x 3－6x 2＋9x)．令f(x)＝16(x 3－6x 2＋9x)，由f′(x)＝12(x －1)(x －3)＝0，且0<x<3，解得x ＝1.当x∈(0，1)时，f ′(x)>0；当x∈(1，3)时，f ′(x)<0. 所以当x ＝1时，f(x)取得最大值．故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．)(2)法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D －xyz ，由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，M(0，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，且BM →＝(－1，1，1)．设N(0，λ，0)，则EN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，λ－1，0.因为EN⊥BM 等价于EN →·BM →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，λ－1，0·(－1，1，1)＝12＋λ－1＝0，故λ＝12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.所以当DN ＝12(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM.设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BN →，n ⊥BM →，及BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，BM →＝(－1，1，1)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－x ，可取n ＝(1，2，－1)．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由EN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，n ＝(1，2，－1)，可得sin θ＝cos(90°－θ)＝|n ·EN →||n |·|EN →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－16×22＝32，即θ＝60°.故直线EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.法二：由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2，如图b ，取CD 的中点F ，连接MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD ，EF ∥BD .由(1)知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .如图c ，延长FE 至P 点，使得FP ＝DB ，连接BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形，所以DP ⊥BF ，取DF 的中点N ，连接EN ，又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ，所以EN ⊥BF .因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂平面BCD ，所以MF ⊥EN . 又MF ∩BF ＝F ，所以EN ⊥平面BMF . 又BM ⊂平面BMF ，所以EN ⊥BM .因为EN ⊥BM 当且仅当EN ⊥BF ，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的．即当DN ＝12(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .连接MN ，ME ，由计算得NB ＝NM ＝EB ＝EM ＝52，所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中，过点E 作EH ⊥GN 于H ，则EH ⊥平面BMN .故∠ENH 是EN 与平面BMN 所成的角．在△EGN 中，易得EG ＝GN ＝NE ＝22，所以△EGN 是正三角形，故∠ENH ＝60°，即直线EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.考点4 立体几何中的探索性问题例4如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．【解析】分别以AB →，AD →，AP →为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．(1)因为AD⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)．设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)，又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.方法总结【p 140】1．求异面直线所成角时易忽视角的范围⎝⎛⎦⎥⎤0，π2而导致结论错误．2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量法求二面角的难点、易错点．4．翻折问题求解的关键是充分利用不变的量和不变关系．5．探究性问题的分析求解要求具备较好的逆向思维能力，问题探究方法通常是分析法与综合法的整合应用．走进高考【p 140】1．(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值．【解析】(1)∵AE ＝CF ＝54，∴AE AD ＝CF CD，∴EF ∥AC . ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，∴EF ⊥D ′H . ∵AC ＝6，∴AO ＝3；又AB ＝5，AO ⊥OB ，∴OB ＝4，∴OH ＝AE AD·OD ＝1，∴DH ＝D ′H ＝3， ∴|OD ′|2＝|OH |2＋|D ′H |2，∴D ′H ⊥OH . 又∵OH ∩EF ＝H ， ∴D ′H ⊥平面ABCD . (2)建立如图坐标系H －xyz .B (5，0，0)，C (1，3，0)，D ′(0，0，3)，A (1，－3，0)，AB →＝(4，3，0)，AD ′→＝(－1，3，3)，AC →＝(0，6，0)，设面ABD ′的法向量n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AD ′→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，－x ＋3y ＋3z ＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－4，z ＝5，∴n 1＝(3，－4，5)．同理可得面AD ′C 的法向量n 2＝(3，0，1)， ∴|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝|9＋5|52·10＝7525，∴sin θ＝29525.考点集训【p 254】A 组题1．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( )A.π6B.π4C.π3 D.π2【解析】以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A 1(1，0，2)，E (0，0，1)，G (0，2，1)，F (1，1，0)，∴A 1E →＝(－1，0，－1)，GF →＝(1，－1，－1)， ∴cos 〈A 1E →，GF →〉＝|A 1E →·GF →||A 1E →|·|GF →|＝|－1＋0＋1|2·3＝0，∴异面直线A 1E 与GF 所成角的大小为π2.【答案】D2．如图，将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是( )A.34B ．－34C.34D ．－34【解析】设正方形的边长为1，AC 与BD 交于点O . 当折成120°的二面角时，AC 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2·22·22cos 120°＝32.又AC 1→＝AD →＋DB →＋BC 1→，∴|AC 1→|2＝|AD →|2＋|DB →|2＋|BC 1→|2＋2AD →·DB →＋2AD →·BC 1→＋2DB →·BC 1→＝1＋2＋1＋2×1×2cos 135°＋2×2×1×cos 135°＋2AD →·BC 1→＝2AD →·BC 1→＝2|AD →|·|BC 1→|cos 〈AD →，BC 1→〉＝2cos 〈AD →，BC 1→〉， ∴cos 〈AD →，BC 1→〉＝34.【答案】A3．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2，AD ＝2，则二面角C －AS －D 的余弦值为( )A.15B.25C.65D.105【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz .则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2)，得SA →＝(2，0，－2)，SC →＝(0，2，－2)．设平面ACS 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SA →＝0，n ·SC →＝0，即⎩⎨⎧2x －2z ＝0，2y －2z ＝0.取z ＝2，得n ＝(2，2，2)．易知平面ASD 的一个法向量为DC →＝(0，2，0)．设二面角C －AS －D 的大小为θ，则cos θ＝n ·DC→|n ||DC →|＝105.即二面角C －AS －D 的余弦值为105. 【答案】D4．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面DBEF 的距离为________________________________________________________________________．【解析】建立空间直角坐标系D －xyz ，则B (1，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，设n ＝(x ，y ，z )是平面BDFE 的法向量，由n ⊥DB →，n ⊥DF →，DB →＝(1，1，0)，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1得：n ·DB →＝x ＋y ＝0，n ·DF →＝12y ＋z ＝0，所以x ＝－y ，z ＝－y 2.令y ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，－12，设点A 1在平面BDFE 上的射影为H ，连接A 1D ，A 1D 是平面BDFE 的斜线段，则：cos 〈A 1D →，A 1H →〉＝22，所以|A 1H →|＝|A 1D →|·cos 〈A 1D →，A 1H →〉＝1，所以点A 1到平面DBEF 的距离为1. 【答案】15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为________．【解析】以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP →|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.【答案】1186．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为__________．【解析】如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)，设AD ＝a ，则D 点坐标为(1，0，a )，CD →＝(1，0，a )，CB 1→＝(0，2，2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0，m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a ，1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，则由cos 60°＝m ·n |m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2.【答案】 27．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D －AE －C 的大小为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E －ACD 的体积．【解析】(1)连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12. 设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3.又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E －ACD 的高为12.三棱锥E －ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8．如图，在直三棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，AB ＝BC ＝AA 1＝3，线段AC 、A 1B 上分别有一点E 、F ，且满足2AE ＝EC ，2BF ＝FA 1.(1)求证：AB ⊥BC ；(2)求点E 到直线A 1B 的距离；(3)求二面角F －BE －C 的平面角的余弦值．【解析】(1)如图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1＝A 1B ，得AD ⊥平面A 1BC ，又BC ⊂平面A 1BC ，所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，则AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BC .又AA 1∩AD ＝A ，从而BC ⊥侧面A 1ABB 1，又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .(2)由(1)知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0，0，0)，A (0，3，0)，C (3，0，0)，A 1(0，3，3)．由线段AC 、A 1B 上分别有一点E 、F ，满足2AE ＝EC ，2BF ＝FA 1，所以E (1，2，0)，F (0，1，1)． EF →＝(－1，－1，1)，BA 1→＝(0，3，3)．所以EF ⊥BA 1，所以点E 到直线A 1B 的距离d ＝||EF ＝ 3. (3)BE →＝(1，2，0)，BF →＝(0，1，1)，设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝x ＋2y ＝0，n ·BF →＝y ＋z ＝0，取x ＝2，得n ＝(2，－1，1)，根据题意知平面BEC 的法向量为m ＝(0，0，1)，设二面角F －BE －C 的平面角为θ， ∵θ是钝角，∴cos θ＝－|cos 〈m ，n 〉|＝－16＝－66. ∴二面角F －BE －C 的平面角的余弦值为－66. B 组题1．如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．【解析】如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，∵AE ∶DE ∶AD ＝1∶1∶2，则E (0，0，0)，A (1，0，0)，F (0，2，0)，C (0，2，1)，∴AF →＝(－1，2，0)，EC →＝(0，2，1)，∴cos 〈AF →，EC →〉＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.【答案】452．如图，在几何体ABCDEF 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cos θ的取值范围．【解析】(1)在四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 60°＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴BC ⊥AC .∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE . 又因为BC ⊂平面FBC ，所以平面FBC ⊥平面ACFE .(2)由(1)知可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)，∴AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，则n 1＝(1，3，3－λ)． ∵n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量， ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝11＋3＋（3－λ）2 ＝1（3－λ）2＋4. ∵0≤λ≤3，∴当λ＝0时，cos θ有最小值77，当λ＝3时，cos θ有最大值12，∴cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤77，12.3．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，A 1在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O .(1)证明：在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； (2)求二面角A 1－B 1C －C 1的余弦值．【解析】(1)连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1∥BB 1，所以OE ⊥BB 1，因为A 1O ⊥平面ABC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ，所以OE ⊥平面BB 1C 1C ，又AO＝AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5，得AE ＝AO 2AA 1＝55.(2)如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (0，－2，0)，A 1(0，0，2)．由AE →＝15AA 1→，得点E 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，0，25，由(1)知平面B 1CC 1的一个法向量为OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，0，25，设平面A 1B 1C 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0，n ·A 1C →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0，可取n ＝(2，1，－1)，所以所求二面角的余弦值为cos 〈OE →，n 〉＝OE →·n |OE →|·|n |＝3010.4．平面图形ABB 1A 1C 1C 如图①所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC ＝2，BB 1＝4，AB ＝AC ＝2，A 1B 1＝A 1C 1＝ 5.现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A ，A 1B ，A 1C ，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题：(1)证明：AA 1⊥BC ； (2)求AA 1的长；(3)求二面角A －BC －A 1的余弦值．【解析】法一：(1)取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD .由BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1，因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1，又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.故以D 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D 1－xyz . 由题设，可得A 1D 1＝2，AD ＝1.由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，于是AD ∥A 1D 1. 所以A (0，－1，4)，B (1，0，4)，A 1(0，2，0)，C (－1，0，4)，D (0，0，4)．故AA 1→＝(0，3，－4)，BC →＝(－2，0，0)，AA 1→·BC →＝0，因此AA 1→⊥BC →，即AA 1⊥BC .(2)因为AA 1→＝(0，3，－4)，所以||AA 1→＝5，即AA 1＝5. (3)连接A 1D ，由BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，可知BC ⊥平面A 1AD ，BC ⊥A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．因为DA →＝(0，－1，0)，DA 1→＝(0，2，－4)，所以cos 〈DA →，DA 1→〉＝－21×22＋（－4）2＝－55. 即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55.法二：(1)取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD ，A 1D . 由条件可知，BC ⊥AD ，B 1C 1⊥A 1D 1，由上可得AD ⊥面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥面BB 1C 1C .因此AD ∥A 1D 1，即AD ，A 1D 1确定平面AD 1A 1D . 又因为DD 1∥BB 1，BB 1⊥BC ，所以DD 1⊥BC . 又考虑到AD ⊥BC ，所以BC ⊥平面AD 1A 1D ，故BC ⊥AA 1.(2)延长A 1D 1到G 点，使GD 1＝AD ，连接AG . 因为AD ∥GD 1，且AD ＝GD 1，所以AG ∥DD 1∥BB 1，且AG ＝DD 1＝BB 1. 由于BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AG ⊥A 1G . 由条件可知，A 1G ＝A 1D 1＋D 1G ＝3，AG ＝4，所以AA 1＝5.(3)因为BC ⊥平面AD 1A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．在Rt △A 1DD 1中，DD 1＝4，A 1D 1＝2，解得sin ∠D 1DA 1＝55，则cos ∠ADA 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠D 1DA 1＝－55. 即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55.。

(完整版)直线与圆综合练习题含答案

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．B ．C ．，不存在D ．，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（）Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题(空间向量与立体几何直线与圆圆锥曲线)含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A 版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。

5．难度系数：0.60。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1310y --=的倾斜角为（）A ．30oB ．135C ．60oD ．150【答案】A【解析】因为该直线的斜率为3，所以它的倾斜角为30o .故选A.2．在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，G 为ABC V 的重心，P 在OG 上，且12OP PG = ，则AP =（）A ．211999a b c-++ B ．811999a b c--C ．811999a b c-++D ．211999a b c--【答案】C【解析】延长BG 交AC 于点D ，则点D 为AC 的中点，因为12OP PG = ，所以13OP OG =，所以()1133AP OP OA OG OA OB BG OA =-=-=+- ，所以()1121233339AP OB BD OA OB OD OB OA =+⨯-=+-- ，所以()121118992999AP OB OA OC OA OB OC OA =+⨯+-=+- ，因为OA a = ，OB b =，OC c = ，所以811999AP a b c =-++ ，故选C.3．“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选A.4．直线:10l x y -+=与圆22:230C x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A 3B ．2C ．22D ．32【答案】B【解析】如图，由圆22:230C x y x +--=配方得，22(1)4x y -+=，知圆心为(1,0)C ,半径为2，过点(1,0)C 作CD AB ⊥于D ，由(1,0)C 到直线:10l x y -+=的距离为2||22CD =,则22||2||22(2)22AB AD ==-=,故AOB V 的面积为11||||222222AB CD ⋅=⨯=.故选B.5．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为3y x =，则C 的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】由双曲线方程易知C 的渐近线为b y x a =±，所以b a2e ==.故选C.6．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的方程为（）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】不妨设1,1,2,2，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得2222122122220x x y y a a b b -+-=，整理可得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=--+，根据题意可知直线AB 的斜率为()011312--=-，由AB 的中点坐标为(1,1)-可得12122,2x x y y +=+=-；因此()()222121222212122122b x x y y b b x x a y y a a +-=-=-==-+-，可得222a b =，又焦点为()3,0F 可得2229a b c -==，解得229,18b a ==；所以椭圆E 的方程为221189x y +=.故选A.7．已知直线1:50l ax y -+=与直线2:40()l x ay a a +-+=∈R 的交点为P ，则点P 到直线:3l y x =-距离的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线1l ，2l 分别过定点(0,5)A ，(4,1)B -，且互相垂直，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含点()0,1），这个圆的圆心坐标为()2,3-，半径为圆心到直线l距离为d =圆上的点到直线l 距离最大值为(0,1)，因此取值范围是.故选D.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点,,(2,2)M N A 在抛物线C 上，0AM AN k k +=，其中1AM k >，则|sin sin |FMN FNM ∠-∠的最大值为（）ABCD 【答案】B【解析】点(2,2)A 在抛物线C 上，把点(2,2)A 代入2:2(0)C y px p =>中得2222p =⋅，则1p =，所以抛物线为2:2C y x =，直线()():221AM y k x k -=->，与抛物线方程联立可得，2244ky y k -+-0=，则442M k y k -⋅=，则22M ky k-=，0AM AN k k +=，则AN k k =-，所以用k -替换可得22N k y k+=-，则2222M N M NMN N M M Ny y y y k y y x x --===--212M N y y =-+，则()222122,k k M k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()222122,k k N k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪⎝⎭，直线22:k MN y k --=()222112k x k ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即21112y x k =-+-，则点F 到直线MN的距离21)d k ==>，()()222221218M N k k x x kkk -+--=-=，()()()2222224412121M N k k k x x k k k--+=⋅=，()()222222212144M N k k k x x k k k -+++=+，而1111sin sin 1122M N FMN FNM dd FM FN x x ∠-∠=-=-=++()2342321125241624M N M N M N x x k d k k x x x x -=-++++44554k k kkk --=⎝⎭，令45=-t k k，因为1k >，所以451t k k =->，故211sin sin 16168t FMN FNM t t t ∠-∠⋅⋅⋅++当且仅当()161)t t t=>，即4t =时等号成立，故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===，点M 为线段11B D 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A ．当点M 为11B D 中点时，1C M ⊥平面11BBD DB ．当点M 为11B D 中点时，直线DM 与直线BC 所角的余弦值为23C ．当点M 在线段11BD 上运动时，三棱锥1C BDM -的体积是定值D ．点M 到直线1BC 距离的最小值为63【答案】ACD【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,0,1),(2,2,1)D B C C D B ，设(,,1),02M t t t ≤≤，对于A ，1t =，(1,1,1)M ，1(1,1,0)MC =- ，1(0,0,1),(2,2,0)DD DB ==，1110,0MC DD MC DB ⋅=⋅=，即111,MC DD MC DB ⊥⊥，而11,,DD DB D DD DB =⊂ 平面11BB D D ，因此1C M ⊥平面11BB D D ，A 正确；对于B ，(1,1,1),(2,0,0)DM BC ==-，1cos ,3||||DM BC MC BC DM BC ⋅〈〉===，B 错误；对于C ，由选项A 知，点1C 到平面11BB D DBDM的面积112BD DD ⋅=因此三棱锥1C BDM -的体积23是定值，C 正确；对于D ，11(2,0,1),(,2,0)BC C M t t =-=-，则点M 到直线1BC的距离d ==53t =时取等号，D 正确.故选ACD10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB，圆2228C :(x a )(y -+=，则下列选项正确的是（）A ．当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B ．1ABC 的面积最大值为1C ．若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D ．若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,02228C :(x a )(y -+=的圆心为(a，半径为1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-≤35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC 的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=-，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0,0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且AB OP =，又AB =，所以()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0，正确.故选ABD.11．如图，曲线C 是一条“双纽线”，其C 上的点满足：到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A ．点()D 在曲线C 上B ．点(),1(0)M x x >在C 上，则1MF =C ．点Q 在椭圆22162x y+=上，若12F Q F Q ⊥，则Q C∈D ．过2F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点，则2AB <【答案】ACD【解析】对选项A ，因为()()12224DF DF =+=，由定义知D C ∈，故A 正确；对选项B ，点(),1(0)M x x >在C 上，则124MF MF ==，化简得42690x x -+=，所以x =，1MF =B 错误；对选项C ，椭圆22162x y +=上的焦点坐标恰好为()12,0F -与()22,0F ，则12FQ F Q +=12F Q F Q ⊥，所以221216F Q F Q +=，故()()22212121242F Q F Q F Q F Q F Q F Q +-+⋅==，所以Q C ∈，C 正确；对选项D ，设()2,A y ，则2AB y =，因为A C ∈，则14AF y=，又22116AF y =+，所以221616y y=+，化简得4216160y y +-=，故28y =，所以2190y -=<，故y <1，所以2AB <，故D 正确，故选ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，D 为1B B 的中点，则异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为．【答案】4【解析】以A 为坐标原点，在平面ABC 内作垂直于AC 的直线Ax 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示：则()10,0,2A，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,2C，1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭，所以11,22A B ⎫=-⎪⎪⎝⎭，11,12C D ⎫=--⎪⎪⎝⎭，所以11111152cos ,4A B C D A B C D A B C D⋅<==>，则直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为104，故答案为：10413．已知圆C ：()()22114x y ++-=，若直线5y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线夹角为60o ，则实数k 的取值范围是【答案】0k ≥或815k ≤-．【解析】圆()()22:114C x y ++-=，则圆心为()1,1C -，半径2r =，设两切点为,A B ，则PA PB =，因为60APB ∠=o ，在Rt PAC △中1302APC APB ∠=∠=o ，2AC r ==，所以||4PC =,因此只要直线l 上存在点P ，使得4PC =即可满足题意．圆心(1,1)C -，所以圆心到直线的距离4d =≤，解得0k ≥或815k ≤-．故答案为：0k ≥或815k ≤-．14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =，则C 的离心率为.【答案】2【解析】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故b a2c e a ===.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知(3,1),(1,2),A B ACB -∠的平分线所在的直线的方程为1y x =+．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求AC 的直线方程．【解析】（1）AB 的中点坐标为31123,1,222-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又211134ABk -==---，-----------------------------2分故AB 的中垂线斜率为4，---------------------------------------------------------------------------------------------4分故AB 的中垂线方程为()3412y x -=-，即8250x y --=；----------------------------------------------------6分（2）由对称性可知，()1,2B -关于1y x =+的对称点(),D s t 在直线AC 上，故21121122t s t s -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，-----9分解得10s t =⎧⎨=⎩，故()1,0D ，-----------------------------------------------------------------------------------------------11分故直线AC 的方程为130113y x --=--，即210x y --=.---------------------------------------------------------13分16．（15分）已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．(1)若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =，求实数a 的值；(2)过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【解析】（1）圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，--------------2分直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B两点，且||AB =----------4分解得2a =-或6-；--------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）当切线的斜率不存在时，直线1x =，与圆C 相切，-------------------------------------------------------8分切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，---------------------------------------9分2，解得512k =-，---------------------------------------------------------13分故切线方程为512290x y +-=，综上所述，切线方程为1x =或512290x y +-=．-------------------------15分17．（15分）如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，26AC AB ==，2CD DB =.(1)证明：AD ⊥平面BOP ；(2)若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角O BP A --的余弦值.【解析】（1）PO ⊥ 平面,ABC BA BC ⊥，故以B 为坐标原点，BA 为x 轴正方向，BC 为y 轴正方向，与OP同向的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系.设OP x =，故()()0,0,0,3,0,0B A，()33,,,22O P x D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，-----------------------------------------------------------2分()AD =-，33,,0,,,2222BO BP x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.33333330,302222AD BO AD BP ⋅=-⨯⨯=⋅=-⨯⨯= .-------------------------------5分故,AD BO AD BP ⊥⊥，,,BP BO B BP BO ⋂=⊂ 平面BOP ，AD ∴⊥平面BOP .---------7分（2）圆锥PO 的侧面积3π18π,6S PA PA =⨯=∴=，OP x ∴===由（1）可知，()AD =-为平面BOP 的法向量，---------------------------------------------------------8分设平面ABP 的法向量为(),,m a b c =，而()3,0,0BA =，3,22BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故303022m BA a m BP a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1c =-得()0,2,1m =- ，-----------------------------------------------12分则5cos<,5m AD m AD m AD-⨯+⨯-⋅====⋅>，所以二面角O BP A --分18．（17分）已知双曲线C 和椭圆2214x y +=有公共焦点，且离心率e =．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()2,1P 作两条相互垂直的直线,PM PN 分别交双曲线C 于不同于点P 的M N 、两点，求点P 到直线MN 距离的最大值．【解析】（1）因为椭圆2214x y +=的焦点在x 轴上，所以双曲线C的c ==，又因为c e a ==，所以1a b =，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.---------------------------------------5分（2）当直线MN 的斜率不存在时，设()()000,0M x y y >，则()00,N x y -，()()00002,1,2,1PM x y PN x y =--=---，依题意()()00002,12,10PM PN x y x y ⋅=--⋅---= ，()()2200210x y ---=，即22000450x x y --+=，由2200022004512x x y x y ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩解得006x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0021x y =⎧⎨=⎩（舍去），所以((,6,M N ，此时P 到直线MN 的距离为624-=.------------------------------------------------------------------------------8分当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+.由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简得：()222214220k x kmx m -+++=，()()22222222Δ164212216880,210k m k m k m m k =--+=-++>-+>①，2121222422,2121km m x x x x k k -++==--，------------------------------------------------------------------------------10分依题意()()11222,12,10PM PN x y x y ⋅=----=，所以()()()()()()()()1212121222112211x x y y x x kx m kx m --+--=--++-+-()()()2212121225k x x km k x x m m =++--++-+()()22222224122502121m km k km k m m k k +-=+⋅+--⋅+-+=--，整理得22812230m km k m +++-=，即()()21630m k m k +-++=，由于P ∉直线MN ，12k m ≠+，所以630,63m k m k ++==--，函数()2226321343610y k k k k =---+=-+的开口向上，判别式为()2364341012961360640--⨯⨯=-=-<，故①成立.所以直线MN 的方程为63y kx k =--，即630kx y k ---=，------------------------------------------------------------------------------13分所以P 到MN的距离d ==22221221411d k k k k k ++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，当0k ≤时，22111k k +≤+；当0k >时222111211k k k k +=+≤+=++，当且仅当1,1k k k ==时等号成立.所以22,44d d d ⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭综上所述，点P 到直线MN的距离的最大值为分19．（17分）已知F 为椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左焦点，椭圆C过点(P ，且直线PF的斜率为.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C 上，且90MFN ∠=︒，过M ，N 分别作椭圆C 的切线1l ，2l ，1l 与2l相交于点Q.（i）求点Q的轨迹方程；（ii）求PQF△周长的最小值.【解析】（1）由题意得，直线PF的方程为()224y x=-，即20x-+=，当0y=时，2x=-，故2c=，由224214a a+=-解得28a=或22a=（舍去），椭圆C的方程22184x y+=.------------------------------------------------------------------------------3分（2）（i）设直线MN：x my t=+，()00,Q x y，1,1，2,2，与C联立()22222228028x my tm y mty tx y=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，所以12222mty ym+=-+，212282ty ym-=+，------------------------------------------------------------------------------5分由90MFN∠=︒可得()()()()()()22121212122201220x x y y m y y m t y y t+++=⇔++++++=()()()()()222221822220m t m t t t m⇔+--++++=；化简可得223840t t m+-=①--------------------7分设1l的方程为()11y y k x x-=-，即()11y kx y kx=+-，与C联立()()()()2222211111128124280x yk x k y kx x y kxy kx y kx⎧+=⎪⇒++-+--=⎨=+-⎪⎩，令()()()22221111Δ1681240k y kx k y kx⎡⎤=--+--=⎣⎦，结合221128x y+=，解得112xky=-，所以切线方程为()11112xy x x yy=--+，即直线1l方程为：11184x x y y+=，k不存在时也满足此直线方程，同理可得2l方程为：22184x x y y +=，由Q 在直线1l ，2l 上，则10102020184184x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即1,1，2,2在直线00184x x y y +=上，所以直线MN 方程为：00184x x y y +=，即00028y x y x x =-+②，由①②可得()20043y x =+，00x =时也满足此方程，所以Q 的轨迹方程为()243y x =+.-------------------------------------------------------------14分（ii ）由（i ）可知Q 在以()2,0F -为焦点，以4x =-为准线的抛物线上，过,P Q 分别向直线4x =-作垂线，垂足分别为P '，Q '，由抛物线定义可得：6PQ PF QF PQ QQ PF PP PF ++=+++='≥+'当且仅当P ，Q ，Q '共线时取等，所以PQF△周长的最小值为6+分。

高二数学第三次月考卷01(新高考地区专用,空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列)

2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：空间向量与立体几何25%+直线圆20%+圆锥曲线35%+数列20%。

5．难度系数：0.63。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线l 与直线2310x y -+= 平行，则直线l 的斜率为（） A ．32 B ．32-C ．23-D ．232．已知向量(,2,1),(2,4,2)a x b =-=-，若//a b ，则x =（） A ．1- B ．1 C ．5-D ．53．已知抛物线2:2C y x =，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（） A ．4B ．14C ．2D ．124．已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（） A ．1或3-B ．1C ．3D ．1-或35．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（） A ．29B ．31C ．33D ．366．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y -+=所截得的弦长为2a ，则双曲线C 的焦距是（） A ．2B ．3C ．4D ．67．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M为11AC ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A ．3BCD ．8．已知点P 为椭圆22:11612x y C +=上任意一点，直线l 过22:430M x y x +-+=的圆心且与M 交于,A B 两点，则PA PB ⋅的取值范围是（） A ．[]3,35B ．[]2,34C ．[]2,36D ．[]4,36二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（）A ．“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”是“1a =-”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆()222:(4)(4)0M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()4,6D ．设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =11b -<≤ 10．设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（） A ．125,3PF PF == B ．离心率为12C ．12PF F 的面积为6D ．12PF F 的面积为1211．对于数列{}n a ，定义：1n n n a a a +=∆-，21n n n a a a +∆=∆-∆，*n ∈N ，则下列说法正确的是（）A ．若n a n =，则20n a ∆= B ．若2n a n =，则1n n a a +∆>∆C ．若3n a n =，数列{}n b 的前n 项和为n a ∆，则6n b n =D ．若(2)2nn a n ∆=+⋅，12a =，则22n n n a a a ∆=+∆第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3724S S +=，则31119a a += .13．在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是BC 的中点，点E 在棱11C D 上，且11114=D E C D ，则直线EF 与平面1D AC所成角的正弦值为．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点，且12AB F F ⊥，现将平面12AF F 沿12F F 所在直线折起，点A 到达点P 处，使面12PF F ⊥面12BF F ，若25cos 9PF B =∠，则双曲线C 的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知O 为坐标原点，动点P 到两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比12，记动点P 的轨迹为曲线C ，(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 过点(0,2)B ，曲线C 截l 所得弦长等于l 的方程．16．（15分）过抛物线()220y px p =>的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，已知16AB =.(1)求抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，求AOB V 的面积.17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥，11,2AB CD AD M ===为棱PC 的中点．(1)证明：//BM 平面PAD ； (2)若1PC PD ==，（i ）求二面角P DM B --的余弦值；（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM求出PQ 的值；若不存在，说明理由．18．（17分）数列{}n a 的首项152a =，1341n n n a a a +-=-. (1)证明12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)设()9210nn nn b a =-⨯，①当数列{}n b 的项取得最大值时，求n 的值； ②求数列{}n b 的前n 项和n S .19．（17分）通过研究，已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ，(1)已知平面内点(A ，点B-，把点B 绕点A 逆时针旋转π3得到点P ，求点P 的坐标：(2)已知二次方程221+-=x y xy 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆()222210+=>>x y a b a b绕原点O 逆时针旋转π4所得的斜椭圆C ，（i ）求斜椭圆C 的离心率；（ⅱ）过点Q 作与两坐标轴都不平行的直线1l 交斜椭圆C 于点M 、N ，过原点O 作直线2l 与直线1l垂直，直线2l 交斜椭圆C 于点G 、H 21OH 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

直线与圆的练习题

直线与圆的练习题一、选择题1. 已知直线l与圆O相交于A、B两点，圆的半径为r，线段AB的长度为d，若d=r，则直线l与圆O的位置关系是？A. 相切B. 相交C. 相离D. 包含2. 直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相交，圆心到直线的距离d满足什么条件时，直线与圆相交？A. d<rB. d≤rC. d>rD. d≥r3. 圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，直线的方程为Ax+By+C=0，若直线经过圆心(a,b)，则A和B的关系是？A. A=BB. A=-BC. A+B=0D. A-B=0二、填空题4. 若直线2x-3y+6=0与圆x^2+y^2=9相交，求圆心到直线的距离d。

5. 已知圆的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=25，直线方程为3x-4y+12=0，求直线与圆的交点坐标。

三、解答题6. 已知圆的半径为5，圆心在(1,1)，求过点(2,3)的直线方程，使得该直线与圆相切。

7. 已知直线l1: x-2y-1=0与l2: 3x+y+2=0相交于点P，求点P的坐标，并判断点P与圆x^2+y^2=10的位置关系。

四、证明题8. 证明：如果两条直线都与一个圆相切，那么这两条直线的斜率互为相反数。

9. 已知圆的方程为x^2+y^2=25，直线l的方程为y=x+3，求证直线l 与圆相切。

五、计算题10. 已知圆的方程为(x-3)^2+(y+1)^2=9，直线l的方程为2x-y-5=0。

求直线l被圆所截的弦长。

11. 已知圆的方程为x^2+y^2=r^2，直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线l与圆相交于A、B两点，且AB的中点为M，求M的坐标。

六、综合题12. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x-3)^2+(y+2)^2=20，直线l 的方程为2x-3y-6=0。

求直线l与圆C的交点A、B的坐标，并计算AB 的长度。

13. 已知圆的方程为x^2+y^2=25，直线l的方程为y=-x+5。

直线与圆练习题(主要是轨迹)

直线与圆练习题1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B. B.D+F=0C.E+F=0D. D+E+F=02.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条3.设m>0，则直线2（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切4.圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于A.6B.225C.1D.55.圆x2+y2－4x=0在点P（1，3）处的切线方程为A.x+3y－2=0B.x+3y－4=0C.x－3y+4=0D.x－3y+2=06.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.7.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.8.圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.9.若直线y=x+k与曲线x=21y恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.10.直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.11.设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.12.一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程.13. 已知⊙O方程为x2+y2=4，定点A（4，0），求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹.14. 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.15. 已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.16. 已知动圆M：x2+y2－2mx－2ny+m2－1=0与圆N：x2+y2+2x+2y－2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；（2）求半径最小时圆M的方程.17. 圆x 2+y 2=1内有一定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠PAQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.18.如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点P ，使P 到直线y =2的距离等于|PQ |，求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.19. 已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 20. 已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，定点Q （4，0）. （1）求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程.21. 已知点P （2，－1），求：（1）过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；（2）过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P 点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.22. 已知n 条直线l 1：x －y +C 1=0，C 1=2，l 2：x －y +C 2=0，l 3：x －y +C 3=0，…，l n ：x －y +C n =0（其中C 1＜C 2＜C 3＜…＜C n ），这n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n .（1）求C n ；（2）求x －y +C n =0与x 轴、y 轴围成的图形的面积；（3）求x －y +C n －1=0与x －y +C n =0及x 轴、y 轴围成图形的面积.。

直线与圆训练题

第1页直线与圆练习题 1.过点(2，0)引直线l与曲线y＝21x相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( ) A. 33 B．－33

C．±33 D．－3 2.实数x，y满足03422xyx，则yx的取值范围是（） A．]3,3[ B．),3[]3,( C．]33,33[ D．),33[]33,( 3.由直线1yx上的一点向圆22680xyx引切线，则切线长的最小值为 A 7 B 22 C 1 D 3

4.若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（） A．[1，+∞） B．[﹣1，﹣） C．（，1] D．（﹣∞，﹣1] 5.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦长为，则a=（） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

6.若方程﹣x﹣a=0有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为（） A．（﹣，） B．[﹣，] C．[﹣1，） D．[1，）

7.曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个交点时，实数k取值范围是（） A．（，] B．（，） C．（，] D．（0，） 8.设曲线C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9，直线l的方程x﹣3y+2=0，则曲线上的点到直线l的距离为

的点的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4

9.如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，答案第2页，总19页

再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（） A． B．6 C． D． 10. 过点3,0P作直线220axabyb（,ab不同时为零）的垂线，垂足为M，点2,3N，则MN的取值范围是（）

A．0,55 B．55,5 C．5,55 D．55,55 11.点B在y轴上运动，点C在直线l：x﹣y﹣2=0上运动，若A（2，3），则△ABC的周长的最小值为． 12.己知圆C过点（，1），且与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=﹣3相交于点 M，N．（1 ）求圆C的方程：（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使的值为常数，并求出这个常数．

直线与圆的练习题答案

直线与圆的练习题答案：
1.
C解：直线30xy的斜率为3，直线10mxy的斜率为-m，故3·（-m)=-1，故

m=13
2.A
3.
C

解：设圆心为C，则C(1,0)，kPC＝－1，由圆的几何性质可知，PC⊥AB，所以kAB＝1，则
直线AB的方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
4.
解：圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心的圆心坐标为(－1,2)，

则所求的直线方程为y－2＝x－(－1)，即x－y＋3＝0.
5.
B解：已知圆的圆心坐标为(0,1)，则圆心到直线的距离为d＝1，

而r＝1，所以d＝r，即直线和圆相切．
6.A

解：当a＝－2时，kl1＝－2，kl2＝12，所以kl1·kl2＝－1，即l1⊥l2；当l1⊥l2时，a(a＋1)＋a
＝0，解得a＝－2，或a＝0，所以“a＝－2”是“l1⊥l
2
”的充分不必要条件．

7.A

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1 直线与圆及空间向量练习一，选择题(每题5分，共85分) 1.(0,1,1),(1,2,),10||19,( ).[1,4] .[4,3] .[2,4] .[3,2]2.330,( ). 6ABaABaABCDlxylAB已知点若则的取值集合为

若直线与直线垂直则直线的倾斜角为25. . .3363.240( ).2 .4 .6 .84.(1,2,1),(,1,5),,( ).1 CD

xyABCDabmmabmA直线在两轴上的截距之和为

已知若则

22 .1 .3 .4220,5.,4,3( )220,.8 .6 .4 .26.(3)4,,||BCDxyxyxyxyxyABCDxyykxABOA

若实数满足约束条件则的最大值为

已知圆和过原点的直线的交点为则||( )().5 .7 .9 .OBOABCDk其中为坐标原点与有关

22337.(0,0),(,),(0,2)( )2212.2 . . .1338.4440(1,0),( )2.2 .1 . 3OABABCDxyxyPllABC过三点的圆的半径长为

已知圆关于过点的直线对称则直线的斜率为1 .3D

9.10,(1,0),(2,1),||||( ).2 .2 .3 .10PxyABPAPBABCD已知点是直线上一点若则的最小值是

10.,(1,0),(1,0),(2,2),(1,3)( ).213 .210 .35 .210PPABCDABCD设点平面直角坐标系内一动点则到点的距离之和的最小值是 2

11.,(31)(32)2140(,),log( )1.0 .1 .2 .2ammxmymabbABCD不论为何实数直线恒过定点则2212.104690,,( )().2 .2 .22 .4xyxyxyABAOBOABCD已知直线与圆交于两点则的

面积为其中为坐标原点

22213.42(120,( ).2 .4 .6 .8xyxyABCD由方程）所确定的圆中最大面积是

14.40(1)0,(0,),( ).23 .12 .31 .21axbyaxybcabcABCD若两直线与垂直且相交于点则或或或或

2215.,10( )123.[0,] .(0,][,) .[0,][,) .[,]4334433kkxykABCD已知是任意实数则直线的倾斜角的范围是

2216.:4,,,( ).12 .642 .10 .442OxyxyMNPOPMPNABCD已知圆分别交轴正半轴及轴负半轴于两点点是

圆上任意一点则的最大值为

17.,,,( )124310. . . .34510PABCMPBPACMABCMABCD在正三棱锥中是侧棱的中点若则异面直线与所成角的正弦值为

二，填空题(每题5分，共25分) 18.210(1,3)_____.xy与直线平行且过点的直线的一般式为

19.(2,4),_____.P过点并且在两轴上的截距相等的直线方程是 1111100111

20.,2,3,4,6030,_____.ABCDABCDABBCAAAADBADAABAC已知平行六面体中若且则线段的长为

221.1,,,,3,(1)(01),_____.OABOAOBMNCOOCOAOBCMCN已知圆的半径为是圆上两点且是一条

直径点在圆内且满足则的最小值为

2222.(3,0):()(2)40,,,20,_____.PCxmyABPCABABCm已知点在圆内动直线过点

且交圆于两点若的面积的最大值为则的范围是

三、（每题10分，共40分） 23.(12)(1)130.(1):;(2),,,.lmxmymlMlxyABAOBl已知直线的方程为求证直线恒过定点若直线分别与轴轴的正半轴交于两点求面积的最小值及此时直线的方程

024.,,2,1,,.(1):;(2)45,.PABCDABCDADABPAABCDFBCPFFDPBABCDAPDF已知在四棱锥中底面是矩形且垂直于平面是线段的中点证明若与平面所成的角为求二面角的余弦值

25.四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60,BADQ是AD的中点（1）若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；（2）若平面APD平面ABCD，且2PAPDAD，在线段PC上是否存在点M，使二面角MBQC的大小为60，若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。 2222226.:4,:(2)(0),.(1);(2),,,,,.POMPONOxyxAAAxyrrOBCABACPOBCPBPCxMNSS已知圆与轴的正半轴交于点以为圆心的

圆与圆交于两点求的最小值设是圆上异于的任意一点直线与轴分别交于点求的最大值 4 5

参考答案 15.;610.;1115.;1617..CBABAADCDACACBCDD

18.270;19.2020;320.4783;21.;22.(3,1][7,9).4xyxyxy或

23.:(1)01103202320310532525,(,).3333mmxyxxxxyyxyllM解分别取及可得及联立得将代入直线恒成立直线过定点 25(2):1(0,0)(1)3251021040323912025410,293320,:156200.9AOBxylabababababababSabababAOBlxy设直线由得

当且仅当即时等号成立面积的最小值此时直线的方程为 24.解：解法一：（1）∵ PA平面ABCD，90BAD， 1AB，2AD，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0)ABFD．不妨令(0,0,)Pt∵(1,1,)PFt，(1,1,0)DF ∴111(1)()00PFDFt

，

即PFFD．（2）∵ABPAD平面，∴AB是平面PAD的法向量，易得1,0,0AB，又∵PA平面ABCD，∴PBA是PB与平面ABCD所成的角，

得45PBA，1PA，平面PFD的法向量为11,,122n 6

∴162cos,611144ABnABnABn





，

故所求二面角APDF的余弦值为66．解法二：（1）证明：连接AF，则2AF，2DF，又2AD，∴ 222DFAFAD，∴ DFAF 又PAABCD平面，∴ DFPA，又PAAFA，

∴ DFPAFDFPFPFPAF平面平面……4分（2）∵PA平面ABCD， ∴PBA是PB与平面ABCD所成的角，且45PBA． ∴ 1PAAB 取AD的中点M，则FMAD，FM平面PAD，在平面PAD中，过M作MNPDN于，连接FN，则PDFMN平面，则MNF即为二面角APDF的平面角 ∵RtMND∽RtPAD，∴ MNMDPAPD，

∵1,1,5PAMDPD，且90oFMN ∴ 55MN，63055FN，

∴ 6cos6MNMNFFN 25.（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图

则Q（0，0，0），0,0,3,0,3,0,2,3,0PBC），

设PMPC0＜λ＜1，则2,3,31M平面CBQ的一个法向量

1n=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为2n=（x，y，z）， 7

由22

033,0,320QMnnQBn











，∵二面角M-BQ-C的大小为60°，

121cos60cos,2nn解得λ=13，13PMPC

∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意.

22000000

2220000

26.:(1)(,),(,)4(2)2(1)2212.BxyCxyxyABACxyxxABAC解设点则点且有当且仅当时等号成立的最小值为221111

100110001010011010222201100110011022101010222201102210(2)(,)4:()0||||||||||(4)(4)||4M

POMPxyxyyyxyxyPByyxxyxxxyyxyxyxyyxyxyxyxyxyxyOMONyyyyyyyyyyyySS设点则且直线为令得同理211111||||||||4422PONPOMPONOMyONyySS的最大值为