三角函数的图像与性质题型归纳总结
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质
一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质
二、正切函数的图象与性质
R R x ＝2k π＋π
2
(k ∈Z )时，y max ＝1；
x ＝2k π－π
2
(k ∈Z )时，y min ＝－1
奇函数
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ωπ2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅；
(2)2T πω=称为周期；
(3)1f T
=称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相
(6)ω称为圆频率.。
三角函数的图像题型总结
三角函数的图像题型总结三角函数的图像与性质是三角函数的重要内容，近几年在对三角函数图像的考查，出现新题型，这类题目能灵活考查对知识掌握情况。
下面就分类解析。
一、基本类例1、如图是周期为π2的三角函数y ＝f （x ）的图像的一部分，那么f （x ）可以写成 （ ）A 、)1sin(x +B 、)1sin(x --C 、)1sin(-xD 、)1sin(x - 分析：由函数的图像求解析式问题，要抓住特殊点、函数的单调性、奇偶性等方面进行判定。
解：由图像提示，与x 轴的一个交点是（1，0），即f （1）＝0，所以可以排除A 、B ；又由图像提示，与y 轴的交点在原点上方，即0)0(>f ，所以排除C ，故正确答案是 D.例2、函数()()0,0sin >>++=w A b wx A y ϕ的图象如图所示，求此函数的表达式。
分析：由最值点可确定振幅A ，又由相邻最值点间的距离得T=2πω=8，又由于特值点确定ϕ的值。
解：由图易求得24sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕπx y 。
下面求ϕ。
由图知，当2-=x 时，4max =y ，即()4224sin 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯ϕπ，()Z k k ∈+=+-∴222ππϕπ.取0=k ，得πϕ=。
24sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=∴ππx y 。
点拨：ϕ的确定（1）也可以利用2=x，0min =y 求ϕ。
（2）ϕ有无穷性，相差πk 2。
（3）确定ϕ的值还可用五点相位法。
注意：若将平衡点（0，2）代入关系式，πϕk =，应再由其他条件舍去k 为偶数的ϕ值，但不如用最值法简单。
二、创新型例3、设函数f （x ）的图像与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴围成图形的面积称为函数f （x ）在[a ，b]上的面积，已知函数nx y sin =在],0[n π上的面积为)(2*∈N n n（1）x y 3sin =在]32,0[π上的面积为________； （2）1)3sin(+-=πx y 在]34,3[ππ上的面积为_________.解：（1）如图，x y 3sin =在]3,0[π上的面积为32，根据x y 3sin =的图像，可以知道在]3,0[π上与在]32,3[ππ上的面积相等，所以x y 3sin =在]32,0[π上的面积为.34（2）根据图像变换，作出1)3sin(+-=πx y 的图像，根据图像，运用补形手段，1)3sin(+-=πx y 在]34,3[ππ的面积计算可以由一个长为π宽为1的矩形面积，再加上一个正弦草垛形面积32得出，所以所求面积为.32+π点评：与三角函数图像有关的命题较为灵活，周期、最值、单调性是司空见惯的问题，本题新定义一个面积，然后借助新定义，通过变换求另一个区域的面积。
三角函数图像与性质知识点总结
函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x .6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−→ 得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． .。
三角函数经典题型总结
三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。
-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。
-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。
2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。
-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。
3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。
-利用图像解三角函数方程和不等式。
4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。
-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。
-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。
5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。
-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。
6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。
以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。
三角函数的图像与性质(名师经典总结)
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。
人教版高中数学必修第一册知识点及题型总结---三角函数的图像与性质
目录三角函数的图像与性质 (2)模块一：三角函数图像与性质 (2)考点1：正弦函数图像与性质 (3)考点2：余弦函数图像与性质 (5)考点3：正切函数图像与性质 (6)课后作业： (7)三角函数的图像与性质模块一：三角函数图像与性质1．正弦函数sin=．y x2对称中心()ππ0 2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ， 奇偶性偶函数单调性单调增区间[]()π2π2πk k k -+∈Z ，单调减区间[]()2ππ2πk k k +∈Z ，3．正切函数tan y x =．正切函数 tan y x =图象性质定义域 ()ππππ22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，值域 R 最小正周期π对称性对称轴无对称中心()π0 2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ， 奇偶性奇函数单调性单调增区间()ππππ22k k k ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭Z ， 单调减区间无考点1：正弦函数的图像及性质例1.（1）函数()sin (0)f x A x A =>的图象如图所示，P ，Q 分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，则(A = )A ．3B C D ．1【解答】解：函数()sin (0)f x A x A =>，周期2T π=， 可得：(2P π，)A ，3(,)2Q A π-． 连接PQ ，过P ，Q 作x 轴的垂线，可得：2224[()]2QP A π=+，222()]2OP A π=+，2223()]2OQ A π=+，由题意，OPQ ∆是直角三角形，222QP OP OQ ∴=+，即222522A ππ+=，解得：A = 故选：B ．（2）已知函数2sin y x =的定义域为[a ，]b ，值域为[2-，1]，则b a -的值不可能是() A ．56π B ．π C ．76π D ．32π 【解答】解：函数2sin y x =的定义域为[a ，]b ，值域为[2-，1]，[x a ∴∈，]b 时，11sin 2x -， 故sin x 能取到最小值1-，最大值只能取到12， 例如当2a π=-，6b π=时，区间长度b a -最小为23π； 当76a π=-，6b π=时，区间长度b a -取得最大为43π，即2433b aππ-， 故b a -一定取不到32π， 故选：D .（3）在[0，2]π内满足2sin 2x的x 的取值范围是 ．【解答】解：由2sin x，可得32244k x k ππππ++，k z ∈． 再根据[0x ∈，2]π，可得x 的范围为[4π，3]4π，故答案为：[4π，3]4π．考点2：余弦函数的图像与性质例2.（1）已知(4x π∈，)2π，sin a x =，cos b x =，则( )A ．a b a a >B ．a a a b <C ．log 1a b <D．b a a b >【解答】解法一：由正弦曲线和余弦曲线知012b a <<<<，对选项A ，考虑函数x y a =是减函数，得a b a a <，A 错误；对选项B ，考虑函数a y x =是增函数，得a a a b >，B 错误；对选项C ，考虑函数log a y x =是减函数，得log log 1a a b a >=，C 错误；由a b a a <和a a a b >，得b a ab >， 故选D ；解法二：取12a b ==，则12)<，选项A错误；1(2>选项B 错误；112>，选项C 错误； 故选：D ． （2）设417cos,sin,cos1264a b c πππ===，则( ) A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【解答】解：4177sin sin(8)sin sin cos 66663ππππππ=-=-==， 7coscos(2)cos()cos 4444πππππ=-=-=， cos y x =在(0,)2π上是减函数，coscoscos1243πππ∴>>，即a c b >>， 故选：A ．（3）下列区间中，使函数cos y x =为增函数的是( ) A ．[0，]πB ．[2π，3]2πC ．[2π-，]2πD ．[π，2]π【解答】解：cos x 的递增区间是[2k ππ-+，2]k k Z π∈ 当1k =时，递增区间为：[π，2]π 故选：D ．（4）若函数()cos f x x =，[2x π∈-，2]π，则不等式()0xf x >的解集为_________． 【解答】解：当0x >时，由()cos 0f x x =>可得不等式的解集(0，13)(,2)22πππ， 当0x <时，由()0f x <可得不等式的解集为31(,)22ππ-- 故答案为：(0，1331)(,2)(,)2222πππππ--考点3：正切函数的图像与性质例3.（1）函数()tan f x x =，[0x ∈，]4π的值域是 ．【解答】解：函数()tan f x x =，在[0x ∈，]4π上是单调增函数，tan 0tan tan4x π∴，即0tan 1x ，∴函数()f x 在[0，]4π上的值域是[0，1]．故答案为：[0，1]．（2）求使得不等式tan 0x 成立的x 的取值范围 ．【解答】解：tan 0x ，可得：tan 3x ，∴由正切函数的图象和性质可得：[,)()32x k k k Z ππππ∈++∈．故答案为：[,)()32k k k Z ππππ++∈．（3）在(0,2)π内，使tan 1x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(4π，)(2ππ⋃，5)4π B ．(4π，)πC ．(4π，5)4πD ．(4π，5)(24ππ⋃，3)2π【解答】解：由tan 1x >，可得24k x k ππππ+>>+，k z ∈．再根据(0,2)x π∈，求得(4x π∈，5)(24ππ⋃，3)2π，故选：D ．课后作业：1．函数2cos (0)y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为( )A B C D 【解答】解：函数2cos (0)y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，由2cos 3tan x x =，可得22cos 3sin x =，即22sin 3sin 20x x +-=， 求得1sin 2x =，或sin 2x =-（舍去），结合0x π<<， 6x π∴=，或56x π=．(6A π∴，、5(6B π，．根据函数图象的对称性可得AB 的中点(2C π，0)，OAB ∴∆的面积等于OAC ∆的面积加上OCB ∆的面积，等于11113||||||2322222A C A C QC y OC y OC y y ππ+=-==， 故选：A ．2．函数sin y x =和cos y x =都是减函数的区间是( ) A ．[2,2]()2k k k z ππππ++∈B ．[2,2]()2k k k z πππ++∈C ．3[2,2]()2k k k z ππππ++∈ D ．3[2,22]()2k k k z ππππ++∈ 【解答】解：根据正弦函数和余弦函数的图象与性质知，函数sin y x =和cos y x =在[0，2]π上相同的减区间是[2π，]π，sin y x ∴=和cos y x =都是减函数的区间是[22k ππ+，2]k ππ+．故选：A ．3．函数2sin 1y α=-的最小值是 ．【解答】解：由sin y α=的性质可得，其最小值为1-． 那么：函数2sin 1y α=-的最小值：213min y =--=-． 故答案为：3-．4．已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[a ，]b ，则b a -= ．【解答】解：已知函数cos y x =在[,]3ππ上单调递减，当3x π=时，函数的1212max y =⨯=，当x π=时函数的2min y =-， 即2a =-，1b =， 所以3b a -=． 故答案为：35．函数y =的定义域是 ． 【解答】解：由2cos 10x +得1cos 2x -， ∴222233k x k ππππ-+，k Z ∈． 故答案为：2[23k ππ-，22]()3k k Z ππ+∈． 6．在区间(,)22ππ-范围内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有 个． 【解答】解：因为“sin tan ((0,))2x x x x π<<∈”，故sin y x =与tan y x =，在(0,)2π内的图象无交点，又它们都是奇函数，从而sin y x =与tan y x =，在(2π-，0)内的图象也无交点，所以在区间(,)22ππ-范围内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为1个，即坐标原点(0,0)． 故答案为：1。
高三三角函数的性质归纳总结
三角函数的图像与性质一、题型全归纳题型一 三角函数的定义域和值域【题型要点】1．三角函数定义域的求法（1）形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； 形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c ，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将其转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c .（2）形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； 令t ＝sin x 或t ＝cos x ，进而将三角函数转化为关于t 的函数．形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，可设t ＝sin x ，将其转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (t ∈[－1,1])；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c ，可设t ＝sin x ±cos x ，则t 2＝1±2sin x cosx ，即sin x cos x ＝±12(t 2－1)，将其转化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c (t ∈[－2，2])．1.(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3 B.0 C.－1D.－1－32.函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫76π，136π的值域是( )A.[－3，1] B.[－2，1] C.(－3，1] D.(－2，1] 3.(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A.4 B.5C.6D.74.(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.155.函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.．6.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6的值域是________．.8当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的值域为________.9. .已知函数f (x )=3cos (2x -π4)在[0,π2]上的最大值为M ,最小值为m ,则M+m 等于( ).A.0B.3+3√22C.3-3√22D.3210. 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 11. 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. 12.当函数取得最大值时，的值是.13. 已知，则函数的值域是_________________ 14．(2020·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 15.．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 题型二 三角函数的单调性类型一 求三角函数的单调区间【题型要点已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图象利用y ＝sin x 的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．1.函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的递减区间是 2函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间为 . 3.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是 . 4．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________.()R x x x y ∈-=sin 3cos 2x tan _______x R ∈sin cos sin cos y x x x x =++6.2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ上单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |7.．已知π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πϕ的零点，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-122,1252ππππ B.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1272,122ππππ C.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππ D.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππ 类型二 根据单调性求参数【题型要点】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．1.若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B ．π2 C.3π4D ．π2.若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是________．3.已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．4.. 已知ω＞0，函数f (x )＝12cos ωx －32sin(π－ωx )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上单调递增，则ω的取值范围是( )A.[2，6]B.(2，6)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103 5.．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(6.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减，则ω的取值范围是________类型一 三角函数的周期性【题型要点】(1)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(2)图象法：利用三角函数图象的特征求周期． (3)函数y ＝|sin x |，y ＝|cos x |，y ＝|tan x |的周期为π，函数y ＝sin|x |，不是周期函数，y ＝tan |x |不是周期函数．2．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．1.(2020·南开区模拟)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2 C ．π D ．2π2.(2020·云南保山模拟)在函数：①y ＝cos|2x |，①y ＝|cos x |，①y ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ，①y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42πx 中，最小正周期为π的所有函数的序号为( )A ．①①①B ．①①①C ．①①D ．①①3.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4π B.2π C.πD.π24．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( )A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 6．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.类型二 三角函数的奇偶性1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．2.函数具有奇偶性的充要条件函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ①R )是奇函数①φ＝k π(k ①Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ①R )是偶函数①φ＝k π＋π2(k ①Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ①R )是奇函数①φ＝k π＋π2(k ①Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ①R )是偶函数①φ＝k π(k ①Z )． 【例3】已知函数f (x )＝3sin(2x －π3＋φ)，φ①(0，π)．1若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________. 2．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________. 3．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝cos x B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 D ．f (x )＝cos6x4.设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为 .5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝()A.－π6 B.π6C.－π3 D.π36(2020·北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的x ①R ，同时满足条件f (x )＝f (－x )和f (x －π)＝f (x )的函数是( )A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝sin x cos x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝cos 2x －sin 2x7.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________类型三 三角函数的对称性【题型要点】(1)对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(2)函数图象的对称性与周期T 之间有如下结论：①若函数图象相邻的两条对称轴分别为x ＝a 与x ＝b ，则最小正周期T ＝2|b －a |；①若函数图象相邻的两个对称中心分别为(a ，0)，(b ，0)，则最小正周期T ＝2|b －a |；①若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为(a ，0)与x ＝b ，则最小正周期T ＝4|b －a |.1.已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称2.若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是()A.2 B.4 C.6D.83..如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 4函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________． 5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝5π3对称 6. 若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)的图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A.1 B ．2C.4D ．87.(2020·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,6π对称 B ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称 8.(2020·辽宁辽阳一模)已知偶函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6⎝⎛⎭⎫ω>0，π2<φ<π的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，则⎪⎭⎫⎝⎛83πf ＝( )A.22 B ．－ 2 C ．－ 3 D.2三角函数中ω值的求法已知函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx (ω>0)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π，则ω有( ) A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【例4】已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． 【例5】已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ，且f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ内有最小值无最大值，则ω＝________．练习题3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足f (x ＋π)＝f (x )与⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f 4π＝⎪⎭⎫⎝⎛-x f 4π的函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝sin 2x4．(2020·河南六市联考)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<2πϕ的图象的对称中心完全相同，则φ为( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π35．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12B ．π3C.13π6 D ．7π66.已知函数f (x )＝tan2x ，则下列说法不正确的是( )A ．y ＝f (x )的最小正周期是πB ．y ＝f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,4ππ上单调递增 C ．y ＝f (x )是奇函数D ．y ＝f (x )的对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,4πk (k ①Z ) 7．(2020·福建六校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有⎪⎭⎫⎝⎛+x f 3π＝f (－x )，则⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝( ) A ．2或0 B ．0C ．－2或0D ．－2或25. 已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<20πϕ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f 4π是奇函数，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,4上单调递减 B ．f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π上单调递减C ．f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4上单调递增D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛4,0π上单调递增 9．(2020·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6 B.π3 C.7π6 D.4π3 10.函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-32πx 的单调递减区间为________． 11．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ①R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω①(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．12．已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx 的图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,3π，其中ω为常数，且ω①(1，3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．13.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝________.14．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x 2＋(y －1)2＝m 2至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+125ππx m－ 3 cos⎪⎭⎫⎝⎛+32ππx m(m >0)的一个最大值点和一个最小值点，则m 的取值范围是________． 15.(2020·赣州摸底)已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πωx ＋12，ω>0，x ①R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则⎪⎭⎫⎝⎛43πf ＝________，函数f (x )的单调递增区间为________． 三、解答题 1.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ时，求函数f (x )的最大值和最小值． 2．已知函数f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．3.已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性． 4．已知函数f (x )＝2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π－3cos2x －1，x ①R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称，且t ①(0，π)，求t 的值； (3)当x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)18．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念19用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T4.20．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种方法联系：两种变换方法都是针对x 而言的，即x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少．区别：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，平移的量是⎪⎪⎪⎪φω个单位题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【题型要点】(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．[记结论]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1.(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 2.(2022·天津二中模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0≤φ<π2个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，则φ等于( )A.π12B.π6C.π3D.5π33．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( )A ．3 B ．6 C ．9 D ．125.将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为 A ．B ．C ．0D ． 6.将函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一)7.设ω>0,函数y=s in(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是8.若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是 若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原点轴对称，则ϕ的最小值是()sin 2y x ϕ=+x 8πϕ34π4π4π-若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原函数图像重合，则ϕ的最小值是题型二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【题型要点】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .“）即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二零点”⎪⎭⎫⎝⎛-0，ωϕπ(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；①五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(第一零点”），（0-ωϕ即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(⎪⎭⎫⎝⎛-0，ωϕπ即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【例1】如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)B ． D ．f (x )＝2sin(2x －π6)【例2】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.3.知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 4.设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意x ∈R ，都有，f (x 1 )≤f (x )≤f (x 2 )成立，则|x 1—x 2|的最小值为 ( )5.已知函数)sin(2θω+=x y 为偶函数0(＜θ＜π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为1x ，2x ，||12x x -的最小值为π，则（ ） A.2=ω,2π=θ B.21=ω,2π=θ C.21=ω,4π=θ D.2=ω,4π=θ 6.已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是7.已知函数)0(tan >=w wx y 的图像与直线1y =的交点间的最小距离是3π，则w =______。
专题4-2 三角函数图像与性质归类-(原卷版)
专题4-2 三角函数图像与性质归类目录一、热点题型归纳【题型一】平移1：正弦←→余弦 (1)【题型二】平移2：识图平移 (3)【题型三】平移3：恒等变形平移 (4)【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质 (5)【题型五】平移5：最小平移 (6)【题型六】平移6：求w 最值 (7)【题型七】正余弦函数对称轴 (8)【题型八】正余弦对称中心 (9)【题型九】三角函数周期 (9)【题型十】单调性与最值 (11)【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值 (11)【题型十二】三角函数零点 (12)【题型十三】图像与性质：x1与x2型 (13)【题型十四】三角函数最值 (14)【题型十五】万能代换与换元 (15)【题型十六】图像和性质综合 (15)二、真题再现 (16)三、模拟检测 (178)【题型一】平移1：正弦←→余弦【典例分析】（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()f x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则（ ）A ．6π=ϕB ．π4ϕ= C ．π3ϕ= D ．2π5ϕ=1（2023·全国·高三专题练习）已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移24π个单位长度B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度2.（2022·全国·高三专题练习）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移712π个单位长度B ．向右平移712π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长度D ．向右平移724π个单位长度3.（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位D ．向左平移7π24个单位【题型二】平移2：识图平移【典例分析】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））如图，函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫⎪⎝⎭两点，为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像，应将()f x 的图像（ ）A ．向右平移7π6个单位长度 B ．向左平移7π6个单位长度 C ．向右平移5π2个单位长度D ．向左平移5π2个单位长度()++(0)0Asin x b A ，的步骤和方法：确定函数的最大值M 和最小值2M mA ，2M mb； ：确定函数的周期T ，则可2T得＝； ：常用的方法有代入法和五点法． 把图象上的一个已知点代入(此时A b ，，已知)或代入图象与直线y b ＝的交点求解注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．五点法”中的某一个点为突破口．【变式演练】1.（2022·河南·高三阶段练习（理））函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω且0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，将函数()y f x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．1C ．－1D ．2.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（ ）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12-C D ．【题型三】平移3：恒等变形平移【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）要得到2()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象（ ） A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（ ）A ．65B ．115C ．15 D ．852.（2022·全国·高三专题练习）为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度3.（【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学）设()cos 22f x x x =，把()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数()cos 22g x x x =-的图象，则ϕ的值可以为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．0D ．12)+)00((Asin x A ，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，y min二、正切函数的图象与性质三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2ππϕ±=k 时为偶函数；（3）最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义(1) A 称为振幅；(2)2T πω=称为周期；(3)1f T=称为频率；(4)xωϕ+称为相位；(5)ϕ称为初相(6)ω称为圆频率.。
三角函数正切函数的图像与性质之专题总结
正切函数的图像与性质之专题总结1．正切函数的性质2．正切函数的图像(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线．(3)正切函数的图像特征：正切曲线是被的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的注意：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数b.正切函数在每个单调区间内都是增函数题型一、作正切函数的图像例1.画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3tan πx y 的图像并讨论其性质分析：可以利用平移法，将个单位像左平移3tan πx y =例2.画出函数[]ππ,,tan -∈=x x y 的图像，并讨论其性质题型二、正切函数的定义域问题例1求函数)4tan(x y -=π的定义域.分析：)4tan()4tan(ππ--=-x x 我们已经知道了ztan 的定义域，那么)4tan(π-x 的定义域相当于令4π-=x z ，把)4tan(x -π看做4tan π-=x z z 和复合而成，此时称）4tan(π-=x y 为复合函数，即定义域为2ππ+≠k z ，Z k ∈,也就是24-πππ+≠k x Zk k x ∈+≠，43ππ例2..函数2225)tan 1(log xx y -+=的定义域变式练习： 1.求函数的定义域:1cos 2)1lg(tan -+=x x y .2.函数y ＝11＋tan x 的定义域3.求函数)42tan(π-=x y 的定义域小结：正切函数定义域方法定义域限制条件：①分母不为0②偶次根式被开方数大于等于0③对数的真数大于0④特别地，2,tan ππ+≠=k x x y ⑤复合函数的定义域需要用到换元法，令2ππβ+≠+k nx 题型三、正切函数的值域例1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈46ππ，x ，求函数2tan tan 2++=x x y 的最值分析：令xt tan =例2.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈612ππ，x 时，求x y tan =的值域例3.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+=40cot tan πx x x y 的值域变式练习：1.求函数3tan 2tan 2+-=x x y 值域2.求函数y ＝1tan 1tan +-x x 的值域3.当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34ππ，x 时，求函数1tan tan 2++=x x y 的值域4.求函数3tan(π-=x y 的值域5.求函数)32tan(2π+=x y 的定义域和值域6.函数y ＝3tan(π＋2x )，－π4<x ≤π6的值域小结:正切函数值域求法①二次型c x b x a y ++=tan tan 2，换元令x t tan =，运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)②对勾函数型xbx a y tan tan +=，形如ab b a 2≥+③()ϕ+=wx y tan 型，先求ϕ+wx 的取值范围，再由x y tan =单调性求值域题型四、利用正切函数解不等式例1.解不等式3tan ≥x .分析：根据正切函数图像，在一个周期内只需23ππ≤≤x ，所以23ππππ+≤≤+k x k例2.解不等式1tan -≤x 变式练习：1.不等式tanx＞-1的解集是？2解不等式tan(2x-3π)≤1小结：解正切不等式方法①图像法，即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合②三角函数线法，则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域题型五、判断正切函数的奇偶性例1.判断函数1tan ()lg1tan xf x x+=-+的奇偶性例2..判断函数()tan f x x =的奇偶性变式练习： 1.求函数y =tan4x 的定义域、值域，并判断其奇偶性。
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三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1 函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。
一、函数的奇偶性例1 f (x )＝sin ()x ϕ+〔0≤ϕ<π〕是R 上的偶函数，那么ϕ等于〔 〕A.0 B ．4π C ．2πD ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(1)若是奇函数，则sin()+();2y A x k k Z πϕϕπ=+=∈(2)若是偶函数，则cos()();2y A x k k Z πϕϕπ=+=+∈(3)若是奇函数，则 cos()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(4)若是偶函数，则tan()().2k y A x k Z πϕϕ=+=∈(5)若是奇函数，则.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ）A.0 B ．1 C ．1- D ．1±2.0()cos()()R f x x x R ϕϕϕ∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ）A 充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件D ．无关条件3.()sin()0()f x x f x ωϕω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0f =2.()sin(2)()()2f x x x R f x π=-∈例设，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π最小正周期为的奇函数 D ．2π最小正周期为的偶函数2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数2.(0,)2ππ变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )A.cos 2y x = B ．|sin 2|y x = C ．|cos 2|y x = D ．|sin |y x =二、函数的周期性3.sin(2)cos(2)66y x x ππ=++例函数的最小正周期为( )A.2π B ．4πC ．2πD ．π【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：sin()b,cos()b,tan()b22,,.||||||y A x y A x y A x ωϕωϕωϕπππωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πωϕωϕωϕω=+=+=+(2)函数的周期均为2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x πωϕωϕω=++≠=++≠(3)函数的周期均为1.sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )A.,1π B．π C ．2,1π D．2π()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )A.3π最小正周期为的周期函数 B ．23π最小正周期为的周期函数 C ．π最小正周期为2的周期函数 D ．非周期函数三、函数的单调性.sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈例4函数的递增区间是( )A.[0,]3π B ．7[,]1212ππ C ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ【评注】求三角函数的单调区间：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>若函数则22()22322()22(3)sin()0,0sin()sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x πππωϕππππωϕπωϕωωϕωϕωϕωϕ-≤+≤+∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；(2)函数的递减区间由决定；若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；对于函数和单调性的讨论同上。
31.sin ()[()44y x f x f x ππ=+-变式函数在,]内单调递增，则可以是( )A.1 B ．cos x C ．sin x D ．cos x -()sin()(0)(42f x x ππωωπω=+>变式2.若在,)上单调递增，则的取值范围是（ ）A.15[,]24 B ．13[,]24 C ．1(0,]2 D ．(0,2]3.()cos()cos()(0)33(1)()(2)(),[0,]()22f x x x x f x f x x f x ππωωωωππ=+++->∈变式已知函数求的值域；若的最小正周期为，的单调递减区间.四、函数的对称性〔对称轴、对称中心〕.sin(2)3y x π=+例5函数图象的对称轴方程可能是( )A.6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．12x π=【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：sin (),(,0)();2cos (),(,0)();2tan (,0)();22sin()(),=();2:y x x k k Z k k Z y x x k k Z k k Z k y x k Z k y A x b x k k Z x k Z x k πππππππππϕπωϕωϕπωωϕπ==+∈∈==∈+∈=∈+-=+++=+∈∈+=(1)函数的对称轴为对称中心(2)函数的对称轴为对称中心(3)函数无对称轴，对称中心(4)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令()=(),(,)()cos()(),=();22:()=(),(,)()2k k k Z x k Z b k Z k y A x b x k k Z x k Z k k x k k Z x k Z b k Z πϕπϕωωπϕωϕωϕπωπππϕπϕπωϕπωω--∈∈∈-=+++=∈∈+-+-+=+∈∈∈得对称中心为；(5)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令得对称中心为1.sin()(0)()3y x f x πωωπ=+>变式已知函数的最小正周期为，则的图象( )A.(,0)3π关于点对称 B ．4x π=关于直线对称C ．(,0)4π关于点对称D ．3x π=关于直线对称.sin()4y x π=-变式2函数的图象的一个对称中心是( )A.(,0)π- B ．3(,0)4π- C ．3(,0)4π D ．(,0)2π 223.()sin cos .55x xf x =+变式函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是__________.sin 0x x a a a =>变式4若函数y 的图象向右平移个单位（）后的图象关于y 轴对称，则的最小值是( )A.76π B ．2π C ．6π D ．3π五、三角函数性质的综合【思路提示】三角函数的性质〔奇偶性、周期性、单调性、对称性〕中，对称性尤为重要；121()()()()(2)224(3)()()sin(),00()[,]f x y f x f x f x T T Tf x f x A x A f x ωωθθ⇒⇒⇒=>>（）对称性奇偶性：若函数的图象关于轴对称，则是偶函数；若函数的图象关于原点对称，则是奇函数；对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；对称性单调性：在相邻的对称轴之间，函数单调；特殊的，若，函数在上单调12120[,]{||,}4Tmax θθθθθθ∈=≥，且设，则。
6.()sin 2cos 2,0,()(),6117(1)()0;(2)()();(3)()121052()[,]()63(5)(,)().f x a x b x ab f x f x R f f f f x f x k k k Z a b f x ππππππππ=+≠≤∈=<++∈例设若对任成立则不具奇偶性；(4)的单调递增区间是；存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论中正确的是__________________7.()4cos()sin cos(2)(0)63(1)()(2)()[,].22f x x x x f x f x πωωωπωππω=--+>-例已知函数求的值域；若在区间为增函数，求的最大值21.()2sin (0),()[,].43f x x f x ππωωω=>-变式已知函数若在上递增，求的取值范围8.()sin()(0),()()(,)=______.36363f x x f f πππππωωω=+>=例若且在上有最小值无最大值，则题型2 根据条件确定解析式方向一：“知图求式〞，即三角函数的局部图象，求函数解析式。
【思路提示】由图象求得y ＝A sin(ω x ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得到唯一解。
依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点〔即图象上升时与横轴的交点〕为0x ωϕ+=，第二点〔即图象最高点〕为2x πωϕ+=，第三点〔即图象下降时与横轴的交点〕为x ωϕπ+=，第四点〔即图象最低点〕为32x πωϕ+=，第五点〔即图象上升时与横轴的交点〕为2.x ωϕπ+=。
.()sin(2)(,)(0)f x A x A R f ϕϕ=+∈=例9函数部分图象如下图所示，则（ ）A.12-B ．1-C ．32-D ．31.()sin()(0,0)(0)________.f x A x A f ωϕω=+>>=变式函数部分图象如下图所示，则2.()cos()()(0)________.23f x A x f f πωϕ=+=-=变式2部分图象如下图所示，,则.()sin()(0,0,||)()f x A x A f x ωϕωϕπ=+>><例10已知函数部分图象如下图所示，求的解析式。
变式1.)(cos )(2ϕω+=x x f 〔ω，ϕ为常数〕，如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数()f x 的图象如下图〔图象经过点〔1,0〕〕，求ω的值.方向二：知性质〔如奇偶性、单调性、对称性、最值〕求函数解析式。