无损耗传输线
1.4传输线的传输功率、效率与损耗
1.4 传输线的传输功率、效率与损耗传输线传输功率效率与损耗传输功率本节要点传输效率 损耗 功率容量Decibels (dB)作为单位功率值常用分贝来表示，这需要选择一个功率单位作为参考，常用的参考单位有1mW 和1W 。
如果用1mW 作参考，分贝表示为：=)mW (lg 10)dBm (P P 如1mW=0dBm 10mW=10dBm 1W=30dBm 0.1mW=−10dBm如果1W 作参考，分贝表示为：如1W=0dBW10W=10dBW0.1W=−10dBW)W (lg 10)dB (P P =插入损耗1.5 阻抗匹配阻抗匹配具有三种不同的含义，分别是负载阻抗匹配、源阻抗匹配和共轭阻抗匹配。
抗匹配源阻抗匹配和共轭阻抗匹配本节内容三种匹配阻抗匹配的方法与实现1. 三种匹配(impedance matching)入射波射波反射波Z 0Z lZ (1)g负载阻抗匹配：负载阻抗等于传输线的特性阻抗。
此时传输线上只有从信源到负载的入射波，而无反射波。
(2)源阻抗匹配：电源的内阻等于传输线的特性阻抗。
()阻抗内阻等传输线特性阻抗对匹配源来说，它给传输线的入射功率是不随负载变化的，负载有反射时，反射回来的反射波被电源吸收。
E gZ gZ in=Z g* E g负载阻抗匹配Z l =Z 0 Z =Z 信号源阻抗匹配g 0 共轭阻抗匹配Z in =Z g *匹配器1匹配器2*g in ZZ =Z in =Z 02. 阻抗匹配的实现方法隔离器或阻抗匹配衰减器负载匹配的方法：从频率上划分有窄带匹配和宽带匹配；从实现手段上划分有λ/4阻抗变换器法、支节调配法。
(1) λ/4阻抗变换器匹配方法此处接λ/4阻抗变换器lR Z Z 001=Z Z =0in电容性负载Z 0若是l 1λ/401Z Z =电感性负载又如何？Z 0Z 0Z 01ρR x =Z 0/ρZ i n =Z 0(2) 支节调配法(stub tuning)(2)(i)支节调配器是由距离负载的某固定位置上的并联或串联终端短路或开路的传输线（称之为支节）构成的。
第5章习题答案
第5章5-1传输线长度为1m ，当信号频率分别为975MHz 和6MHz 时，传输线分别是长线还是短线?答：1) 频率为975MHz 时，信号的波长为0.3077m<1m ，传输线是长线；2) 频率为6MHz 时，信号的波长为50m>1m ，传输线是短线；5-2已知同轴电缆的特性阻抗为75Ω，其终端接负载阻抗Z L =25+j50Ω，计算终端反射系数2Γ。
答：217550257550250L 0L 2+-=++-+=+-=Γj j j j Z Z Z Z5-3 一无耗传输线特性阻抗为Z 0=100Ω，负载阻抗Z L =75-j68Ω，试求距离终端为λ/8和λ/4处的输入阻抗。
答：1006850687568257568250L 0L 2+-=++-+=+-=Γj j j j Z Z Z Z100685068)(100685068100685068822'228/++=-+-=+-=Γ=Γ--j j j j j e j j e j z j λλπβλ 100686850)1(100685068100685068422'224/+-=-+-=+-=Γ=Γ--j jj j e j j ej z j λλπβλL 02L 075681002568756810017568Z Z j jZ Z j j-----Γ===+-+-222'8/82256825682568()175681756817568j j z j j j ee j j j j πλβλλ-------Γ=Γ==-=---0256811(8)1756825682000013617568(/8)10010025681(8)175682568150117568in j j j j j Z Z j j j j λλλ-++Γ-+---====--Γ--+-- 222'4/42256825682568(1)175681756817568j j z j j j ee j j jπλβλλ------+Γ=Γ==-=---0256811(4)1756825682000017568(/4)10010025681(4)175682568150136117568in j j j j Z Z j j j j j λλλ+++Γ-++-====+-Γ------5-4设无耗线终端接负载阻抗L L j X Z Z +=0，其实部0Z 为传输线特性阻抗，试证明：负载的归一化电抗L ~X 与驻波系数ρ的关系为ρρ1~L -=X 。
传输线的特性阻抗
考察最大点的相位：
得同相位移动的速度：
相位速度
波传播方向上，相位差为2π的相邻两点间的距离称为波长λ。
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⑤ 沿线传播的功率
i 同理考察u-和 -
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v x
u-、i-为随时间增加向x减小方向（即从线的终端向始端的方向）运动的衰减 波。将这种波称为电压或电流反射波、或反向行波 。
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5. 反射系数
定义反射系数为沿线任意点处反射波电压相量与入射波电压相量之比。
任一点的反射 系数
终端反射系数
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注意
ZC
Z2
x 0
① 反射系数是一个复数，反映了反射波与入射波在幅值和相位上的差异；
② 反射系数的大小与传输线特性阻抗和终端负载阻抗 有关；
全反射 在通信线路和设备连接时，均要求匹配，避免反射
x
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解得： x处的电压电流为：
可写为
返回 上页 下页
双曲函数：
② 已知终端(x=l)的电压 和电流 的解
+
+
-
-
x
l
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解得： x处的电压电流为：
+
l
+ 以终端为零点
0
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例1 已知一均匀传输线 Z0=0.42779/km ,
Y0=2.710-690s/km. 求 f=50Hz，距终端900km处的电压和电流。
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+ u(t)
l
短线
+ -
集总参数电路中
电场
C
磁场
L
热
电路理论第18章均匀传输线
L0
•
R0 I
•
dI dx
jC0
•
G0 U
令：Z0 R0 jL0
Y0 G0 jC0
注意
1 Z0 Y0
Байду номын сангаас
dU dx
Z0
I
dI dx
Y0U
单位长度复阻抗
单位长度复导纳
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dU dx
Z0
I
两边求导
d2U dx2
Z0Y0U
2
U
dI dx
Y0U
传播常数
d 2 I dx2
Z Y0 0I
Z C I2s hx I2chx
例1 已知一均匀传输线 Z0=0.42779/km ,
Y0=2.710-690s/km. U2 220kV , I2 455A
求 f=50Hz，距终端900km处的电压和电流。
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解
UI((xx))UZUC22cshhxx
Z C I2s hx I2chx
令x l x，x为传输线上一点到终点的距离。
I(x)
I2
+
+
U(x)
-
U-2
l
x
0
以终端 为零点
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U(x)
1 2
(U2
e ZCI2 )
x
1 2
(U2
e ZCI2 )
x
I(x)
1 2
(U2 ZC
I2 )e
x
1 2
(U2 ZC
e I2 )
x
UI((xx))UZUC22cshhxx
(U1
ZC
I1)
第二章 传输线理论总结
当Z0为实数时，电压入射波与电流入射波的相位 相同；电压反射波与电流反射波相位相反。
三、 传输线的特性参数
1、特性阻抗Z0
将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的 特性阻抗, 用Z0来表示, 其倒数称为特性导纳, 用Y0来表
示。
由定义得 Z 0
R1 jL1 G1 jC1
可见特性阻抗Z0通常是个复数, 且与工作频率有关。 它由传输 线自身分布参数决定而与负载及信源无关, 故称为特性阻抗。
或者
二、传输线方程
2. 时谐均匀传输线方程
a. 时谐传输线方程
对于时谐电压和电流, 可用复振幅表示为 v(z, t)=Re［V(z)e jωt］ i(z, t)=Re［I(z)e jωt］ 将上式代入（2.1-1）式, 即得时谐传输线方程：
dV ( z ) ( R1 jL1 ) I ( z ) Z1 I ( z ) dz （2.1-3） dI ( z ) (G1 jC1 )V ( z ) Y1V ( z ) dz Z1 R1 jL1 传输线单位长度的串联阻抗 式中 传输线单位长度的并联导纳 Y1 G1 jC1
（2.1-11）
二、传输线方程
2. 时谐均匀传输线方程
c. 电压、电流的定解
V (d ) VL chd I L Z 0 shd VL I (d ) shd I L chd Z0
写成矩阵形式：
（2.1-12）
chd V (d ) I (d ) shd Z0
无耗线 j L1C1
低耗线
0, L1C1
（2.1-22）
R1 G1Z 0 c d 2Z 0 2
（2.1-23）
均匀传输线
均匀传输线1 分布参数电路分布参数电路与集总参数电路不同，描述这种电路的方程是偏微分方程，它有两个自变量即时间t 和空间x 。
这显示出分布参数电路具有电磁场的特点。
集总参数电路的方程是常微分方程，只有一个自变量。
均匀传输线是分布参数电路的一种。
均匀传输线何时采用分布参数电路，何时采用集总参数电路，是与均匀传输线的长短有关的。
均匀传输线的长短是个相对的概念，取决于它的长度与它上面通过的电压、电流波波长之间的相对关系。
当均匀传输线的长度远远小于工作波长)100/(λ<l 时，可当作集总电路来处理，否则，应作为分布参数电路处理。
对于集总参数电路，电压、电流的作用，从电路的始端到终端是瞬时完成的，但在分布参数电路中则需要一定的时间。
集总参数电路的连接线，只起到“连接”的作用，若电源通过连接线接在负载上，则负载端的电压、电流，也就是电源端的电压、电流；而均匀传输线不同，沿线的电压电流都在发生变化。
2 均匀传输线及其方程2.1 均匀传输线上的电压和电流传输线上的电流和来回两线之间的电压不仅是时间的函数，还是距离的函数。
()()x t i i x t u u ,,==传输线的电压情况：是连续变化的。
电流在导线的电阻中引起沿线的电压降；电流在导线的周围产生磁场，即沿线有电感的存在，变动的电流沿线产生电感电压降。
传输线的电流情况：沿线各处的电流不同。
线间有分布电容的效应，存在电容电流；导体间还有漏电导，当两线间电压较高时，则漏电流也不容忽视。
2.3 均匀传输线的原参数0R ----两根导线每单位长度具有的电阻。
其单位为m /Ω，km /Ω。
0L ----两根导线每单位长度具有的电感。
其单位为H/m ，H/km 。
0G ----每单位长度导线之间的电导。
其单位为S/m ，S/km 。
0C ----每单位长度导线之间的电容。
其单位为F/m ，F/km 。
这几个参数称为传输线的原参数。
2.4 均匀传输线方程⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+=∂∂-∂∂+=∂∂-tu C u G xi t i L i R x u0000 这就是均匀传输线方程，它是一组对偶的常系数线性偏微分方程。
4-有耗传输线理论
变为频率的复杂函数
Dept of Electronic & Information Engineering
广州学院
Le
Guangzhou College of SCUT
2 l j 2 l
e
Le
2 l
变为指数衰减
越靠近源端，反射越小。
相速为频率的函数，有耗传输线具有色散特 性（即传播速度与频率有关）。
广州学院
射频电路与天线 RF Circuits & Antennas
有耗传输线
教材pp34~36
Dept of Electronic & Information Engineering
广州学院
1.6 有耗传输线
无耗传输线是理想状态，实际的传输线总是 有损耗的。
Guangzhou College of SCUT
vp
Dept of Electronic & Information Engineering
广州学院
小损耗时 R L，G C ，则
R j )(1 L G j )(1 C G j ) C G j ) C
Guangzhou College of SCUT
R 1 j (1 Z L L L Zc • • G Y C C 1 j (1 C L • C 1 j
Dept of Electronic & Information Engineering
广州学院
R0 j L0 Zc G0 jC0 Z0 Y0
－变为复数
Z College of SCUT
R0 j L0 G0 jC0
电磁场与微波技术第4章1-2传输线理论
= - (Gl + jwCl )V (z)= - YV (z ) l
dV (z ) = - Z l I (z )
(Rl+jωLl)∆z
即
dz dI (z ) dz
= - YlV (z )
式中
移项
dz d 2 I (z ) dz
2
2
= - Yl
定义电压传播常数： 定义电压传播常数：
γ = Zl Yl =
(Rl + jωLl )(Gl + jωCl )
§1.1 传输线方程
则方程变为： 则方程变为：
d 2V ( z ) − γ 2V ( z ) = 0 dz 2 d 2 I (z ) − γ 2 I (z ) = 0 dz 2
∂v ( z , t ) ∂i( z , t ) = − Rl i( z, t ) − Ll ∂z ∂t ∂i( z , t ) ∂v( z, t ) = −G l v( z, t ) − C l ∂z ∂t
§1.1 传输线方程
2）时谐均匀传输线方程 ）
a）时谐传输线方程 ） 电压和电流随时间作正弦变化或时谐变化， 电压和电流随时间作正弦变化或时谐变化，则 电压电流的瞬时值可用复数来表示： 电压电流的瞬时值可用复数来表示：
1 I ( z) = (A1e- g z - A2 eg z ) Z0
V + = A1 e I
+ gz
1 = A1 e Z0
gz
e
gz
表示向-z方向传播的波，即 表示向 方向传播的波， 方向传播的波 自负载到源方向的反射波， 表示。 用V-或I -表示。 ？
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§14.5 无损耗传输线14.5.1 无损耗传输线的特点如果传输线的电阻0R 和导线间的漏电导0G 等于零，这时信号在传输线上传播时，其能量不会消耗在传输线上，这种传输线就称为无损耗传输线，简称无损耗线。
当传输线中的信号的ω很高时，由于00R L >>ω、00G C >>ω，所以略去0R 和0G 后不会引起较大的误差，此时传输线也可以被看成是无损耗线。
因为00=R ，00=G ，所以无损耗传输线的传播常数γ000000))((C L j C j L j Y Z ωωωγ===即0=α，00C L ωβ=，可见无损耗线也是无畸变线。
无损耗传输线的特性阻抗c Z 为00C L Y Z Z c ==为纯电阻性质的。
因为0=α，所以依式（14-8）可知无损耗线上的电压和电流相量为)sin()cos()sin()cos(2222x Z U j x I I x I jZ x U U cc '+'='+'=ββββ （14-10） 其中x '为传输线上一点到终端的距离。
从距终端x '处向终端看进去的输入阻抗为c c cin Z x jZ x Z x jZ x Z I U Z )sin()cos()sin()cos(22'+''+'==ββββ （14-11）其中，222I UZ =为终端负载的阻抗。
14.5.2 终端接特性阻抗的无损耗线当传输线的终端阻抗与传输线相匹配，即c Z Z =2时，由式（14-10）可求得无损耗线上的电压和电流相量为x I x j x I x Z U j x I I x U x j x U U x I jZ x U U cc '∠='+'='+'='∠='+'='+'=ββββββββββ22222222)]sin()[cos()sin()cos()]sin()[cos()sin()cos(其电压、电流的时域表达式为)sin(2)sin(22222i u x t I i x t U u ϕβωϕβω+'+=+'+=其中，2u ϕ和2i ϕ分别为终端电压和电流的初相。
可见，传输线上的电压和电流均为无衰减的入射波，没有反射波分量。
没有反射波分量的原因在前面定义“匹配”这一概念的时候已经解释过了，而入射波无衰减的原因则是因为无损耗线的00=R ，00=G ，无法消耗入射波的能量，故入射波是无衰减的。
匹配的无损耗线还有一个特点，由式（14-11）不难看出，从线上任一位置向终端看进去的输入阻抗c in Z Z =即从线上任一位置向终端看进去的输入阻抗都是相同的，都等于特性阻抗c Z 。
14.5.3 终端开路或短路的无损耗线 1. 终端开路的无损耗线当无损耗线的终端开路时，∞→2Z ，02=I 。
此时，由式（14-10）可求得无损耗线中的电压、电流相量为)sin()cos(22x Z U j I x U U c'='=ββ 其时域表达式为)cos()sin(2)sin()cos(22222u cu t x Z U i t x U u ϕωβϕωβ+'=+'= 其中，2u ϕ为终端电压的初相。
可见，此时传输线上的电压和电流是一个驻波。
结合βπλ2=不难推得，在 23,,2,0λλλ='x 处会出现电压的波节和电流的波峰；在 45,43,4λλλ='x 处会出现电压的波峰和电流的波节。
其电压电流分布曲线如图14-12所示。
iu ,图14-12 空载无损耗线的电压和电流分布曲线对于电压和电流是驻波的原因可以从能量的角度来加以解释。
一般而言，电压、电流的行波才能传输有功功率，驻波是不能传输有功功率的。
对于终端开路的无损耗线而言，其线上和终端处都没有消耗电路的有功功率，其上的电压、电流是驻波的形式正意味着没有有功功率被消耗在线上或终端处。
显然，当终端接纯电抗时，传输线上也会出现电压和电流的驻波。
终端开路时，由式（14-11）可求得从距终端x '处向终端看进去的输入阻抗为)2cot()cot(x jZ x j I U Z c in '-='-==λπβ （14-12）上式表明输入电阻为一个纯电抗，以4λ为间隔而变号，即从40λ<'<x 、 432λλ<'<x 位置看进去，in Z 为虚部为负的纯虚数，传输线对外表现出电容的性质；从24λλ<'<x 、λλ<'<x 43位置看进去，in Z 为虚部为正的纯虚数，传输线对外表现出电感的性质。
从距终端 45,43,4λλλ='x 位置看进去时，0=in Z ，传输线相当于短路；从 23,,2λλλ='x 位置看进去时，∞=in Z ，传输线相当于开路。
如图14-13所示。
图14-13 空载无损耗线的输入阻抗2. 终端短路的无损耗线当无损耗线的终端短路时，02=Z ，02=U 。
由式（14-10）可得传输线上的电压、电流相量为)cos()sin(22x I I x I jZ U c '='=ββ其时域表达式为)sin()cos()cos()sin(2222i i c t x I i t x I Z u ϕωβϕωβ+'=+'=其中，2i ϕ为终端电流2I 的初相。
可见，短路无损耗线上的电压和电流也是驻波。
其电压和电流的分布曲线如图14-14所示。
iu ,图14-14 短路无损耗线的电压和电流分布曲线由式（14-11），从距终端x '处往终端看进去的输入阻抗in Z 为)2tan()tan(x jZ x jZ I U Z c c in '='==λπβ （14-13）可见，输入阻抗也是一个纯电抗。
输入阻抗随x '的变化情况如图14-15所示。
图14-15 短路无损耗线的输入阻抗3. 开路（短路）无损耗线的一些应用开路（短路）无损耗线输入阻抗的一些特点在高频技术中得到了一定的应用。
下面做一个简要的介绍。
（1）在高频情况下，通常的线圈和电容器已经无法作为电感和电容使用了。
所以在高频技术中，常使用长度小于4λ的开路无损耗线来代替电容，用长度小于4λ的短路无损耗线来替代电感。
可根据需要的电容和电感由式（14-12）和（14-13）可计算出应使用多长的无损耗线。
（2）长度为4λ的无损耗线，还可以用来接在传输线和负载之间，使负载和传输线相匹配。
下面介绍一下其工作原理。
2Z图14-16 无损耗线作为阻抗变换器如图14-16所示，设传输线的特性阻抗为c Z ，负载的阻抗为2Z ，且2Z Z c ≠。
一般来说，实际中的c Z 和2Z 一般都是不可变的，为使负载和传输线匹配，可将负载和传输线用一段长度为4λ的无损耗线连接起来。
设无损耗线的特性阻抗为1c Z ，此时从ab 端口看进去的输入阻抗为12121)42tan()42tan(c c c in Z jZ jZ Z Z Z ++=λλπλλπ 为达到匹配的目的，应使c in Z Z =，从而有21Z Z Z c c =可见，只要选择一段特性阻抗为2Z Z c 、长度为4λ的无损耗线接在负载和传输线之间，就可以实现匹配。
§14.6 无损耗线方程的通解及其波过程14.6.1 无损耗线方程的通解在前面我们讨论了均匀传输线上的电压和电流的入射波及反射波。
在本节中，将以无损耗线为例，简要分析一下无损耗线上的电压和电流的动态过程，即从0=t 时刻开始，传输线上的电压和电流的传播过程，以进一步加深对传输线上的入射波和反射波这两个概念的理解。
因为无损耗线的00=R ，00=G ，所以由均匀传输线方程，即式（14-1）有ti C x i ti L x u∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-00 （14-14） 上式即为无损耗线的方程，是均匀传输线方程在00=R ，00=G 的情况下的一个特例，式中的x 为到始端的距离。
可以证明，该偏微分方程的通解具有以下形式：-+-+-=+--=+=++-=ii vt x f vt x f Z t x i u u vt x f vt x f t x u c)]()([1),()()(),(2121 式中的001C L v =。
1f 和2f 均为待定的函数，需根据边界条件和初始条件确定。
在此不讨论如何待定1f 和2f ，仅对上式作一个定性分析。
对于)(1vt x f u -=+分量，这是一个以速度v 传播的正向电压行波；)(2vt x f u +=-分量为以速度v 传播的反向电压行波。
同理，cc Z u vt x f Z i ++=-=)(11分量是以速度v 传播的正向电流行波，cc Z u Z vt x f i --=+=)(2分量为以速度v 传播的反向电流行波。
可见，传输线上的电压电流也是由入射波和反射波叠加而成的，这一点和正弦稳态情况是相同的，只不过当激励源不是正弦信号时，入射波和反射波不是正弦形式而已。
14.6.2 无损耗线的波过程下面以直流激励下的开路无损耗线为例来阐述电压波或电流波从0=t 时刻开始沿传输线传播的过程。
如图14-17所示，设无损耗线的长度为l ，终端开路，在0=t 时刻将直流激励源0U 接入到传输线的始端，在0=t 时沿线的电压和电流均为零。
图14-17接直流激励的无损耗线电路在vlt <<0的时间内，电压波和电流波从0=t 时刻开始以速度v 由始端向终端传播，如图14-18（a ）所示。
此时传输线上只有电压的第一次入射波01U u =+和电流的第一次入射波011I Z u i c==++，反射波尚未产生。
当vlt =时，电压和电流的入射波到达终端，由于终端开路，所以电流的第一次反射波必为01I i =-，即发生全反射，这样才能使得电流的反射波和入射波在终端处叠加后的值为零，从而满足开路处电流为零这一终端的边界条件。
此时，电压的反射波011U i Z u c ==--亦为全反射。
在vlt v l 2<<的时间内，电压和电流的反射波将以速度v 由终端向始端传播。
电流的反射波使其所到之处的电流变为零（011=-=-+i i i ），电压的反射波使其所到之处的电压变为02U （0112U u u u =+=-+）。
如图14-18（b ）所示。
在vlt 2=时电压和电流的反射波到达始端，电压和电流的反射波在始端处将再次发生反射。
由于电压源使始端处的电压始终为0U （始端的边界条件），故始端处的电压的反射波即第二次电压入射波必为02U u -=+，从而满足始端的边界条件。