圆的标准方程练习题
圆的一般方程练习
• [解析] 化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0距 离为，得＝，∴a＝2或0.
4．若点(2a，a－1)在圆x2＋y2－2y －5a2＝0的内部，则a的取值范围是
()
• A．(－∞，] B．(－，) • C．(－，＋∞) D．(，＋∞)
时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若 D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准” 形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
• (2)在书写本题结果时，易出现r＝(m－2)的错误结果，导致这种错误的原因 是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．
2．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2 －6x＝0的圆心连线方程为( )
• A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 • C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[答案] C [解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y＝(x－3)即 3x－y－9＝0，故选C．
3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到 直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值
10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－
6)，该圆与两坐标轴的四个截距之
和为－2，求圆的方程．
• [解析] 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
• ∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)， • 代入圆的一般方程，得
• 设根程(－圆，yE2＋)在得＝Exx－y轴1＋＋2上x，F2＝的＝即0截－D的距＋D两．为E个－设x1根2、圆＝，x在02得，.y轴y它1③＋上们y的是2＝截方－距程E为x.由2y＋1已、D知xy＋2，，F得它＝－们0的D是＋两方个 • 由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20. • ∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
第8节 圆的标准方程
（）
A．（x﹣1）2+y2=5
B．x2+（y﹣1）2=5
C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5
D．（x﹣1）2+（y+1）2=5
解：设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 则点 A（0，2）和 B（﹣1，1）在圆上， ∴4+2E+F=0，…①；2﹣D+E+F=0，…②；又圆心（﹣ ，﹣ ）在直线 x﹣y﹣1=0
） D．（2，﹣3），
练习：若直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限，则圆（x+a）2+（y+b）2=1 的圆心 位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限，则
，∴﹣a＞0、﹣b
＜0， 故圆（x+a）2+（y+b）2=1 的圆心（﹣a，﹣b）在第四象限， 故选：D．
例 3：（1）已知圆心在点 P（﹣2，3），并且与 y 轴相切，则该圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y+3）2=4
圆的方程.直线与圆的方程
练习
平面上三个定点 A(－2 3， 0)，B( 2 3 ,0) C(4 3 ,6), 点P是平面上满足 APB ＝ 的一 3 个动点，求线段 PC 的长的最小值及点 P的坐标
再
见！
3、圆的参数方程
x a r cos (为参数) y b rsim
4、直线与圆的关系 １）直线L：y = k x + b 和圆 x2 + y2 = r2 相切、相交、相离 ２）过圆x2 + y2 ＝ r2上点Ｐ（x０，y０）的切线方 程：x０ x＋y０ y＝r2 3）直线被圆所截曲线方程：F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它们的交 点是P(x0,y0)求证：方程 F1(x,y)+λF2(x,y)=0 的曲线也经过点P（ λ是任意实数 ）
练习6.求经过两圆x2 +y2 +6x–4=0 和x2 + y2 +6y–28 = 0
的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆方程
练习2.如果直线L将圆x2 + y2 -2x-4y=0平分，且不过第 四象限，那么L的斜率的取值范围是＿＿＿
(全国高考题)
例2.求当点(x,y)在以原点为圆心，a为半径的
圆上运动时，点(x+y,xy)的轨迹方程
练习3.求由曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的图形 的面积
例3.如果直线l：y = x + b与曲线C： y 1 x 2 只有
圆方程及直线与 圆的位置关系
一、基本概念
１、圆的标准方程 以（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程为： (x - a)2+(y - b)2 = r2
２、圆的一般方程：
x2 + y2 +D x + E y + F = 0
2014圆与方程专题练习题
1．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（.A 相离 .B 相交.C 外切 .D 内切2．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．3．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为A ．1B ．5C ．D ．3+4．已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ． 22(1)(1)2x y -++=C ． 22(1)(1)2x y -+-=D ． 22(1)(1)2x y +++= 5．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是（ ） A ．35r << B ．46r << C ．4r > D ．5r >6．已知圆O 的半径为1，PA.PB 为该圆的两条切线，A.B 为两切点，那么⋅的最小值为（ ）A ． 4-+B ．3-+C ． 4-+D ．3-+ 9．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝17．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2－5，－2＋5)B ．[－2－5，－2＋5]C ．[－5，5]D ．(－5，5)8．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )A ．30＋226B ．30＋426C ．30＋213D ．30＋4139．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－5D.12(5＋2)，12(5－2) 10．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．圆D ．半圆11．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 12．圆心在曲线y ＝3x (x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 13．若原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝8的内部，则实数m 的取值范围是A ．－22<m <2 2B ．0<m <22C ．－2<m <2D ．0<m <2 14．曲线x 2＋y 2＋22x －22＝0关于( ) A ．直线x ＝2轴对称B ．直线y ＝－x 轴对称C ．点(－2，2)中心对称D ．点(－2，0)中心对称15．一动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点轨迹是A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1 D ．(2x －3)2＋4y 2＝116．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]17．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14]C ．(－14，0) D ．(－∞，14) 18.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6 B ．206C ．30 6 D ．40 61．点(a ，b)为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，ab 的最大值为________．2．已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x|＋|y|＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是________．3．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．4．已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为________． 6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为=a ___________ 。
必修二 圆的方程(例+练)2019年
圆的方程1、已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且被直线y=x 截得的弦长为72，求该圆的方程.2、动点P 在圆4:22=+y x C 上运动，求它与定点A （3，1）相连的线段的中点Q 的轨迹方程。
()对称的圆的方程。
关于、求圆0241:322=+-=+-y x y x C1、已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.2、的方程。
求圆两点，且轴的正半轴交于与轴相切于点与圆C B A y T x C 2,|AB |,),0,1(=3、过原点O 作圆C:x 2+y 2-8x=0的弦OA 。
(1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)过圆C 上任意一点A 作x 轴的垂线到B ，求AB 中点N 点的轨迹方程.4、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，求圆C 的方程。
5、求与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.6、已知点P(0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求圆C 内过点P 的弦的中点的轨迹方程.题型二 直线与圆的位置关系1、已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最大，则直线l 的方程是________________；若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。
2、过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.3、若曲线21x y -=与直线b x y +=有一个交点，则b 的取值范围是 ；若有两个交点，则b 的取值范围是 .4、若实数x ，y 满足x 2＋y 2-6y+5＝0.求： (1)的取值范围；11y -+x (2)的取值范围；y x -3；(3)().422的取值范围y x +-.()()()()()理由。
圆与方程+练习题-2023届高考数学一轮复习
高考数学一轮复习《圆与方程》练习题（含答案）一、单项选择题1．已知圆221:1C x y +=与圆()()222:121C x y -++=，则圆1C 与2C 的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．外切D ．外离2．已知点（1，1）在圆（x ﹣a ）2+（y +a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．{1，﹣1}3．以点A （-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是 A ． B ． C ．D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线l 与圆O ：221x y +=相切，且直线l 与圆C ：()(22433x y -+=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）A 5B 3C ．2D 25．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，(),0B m ，()0m >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值和最大值分别为（ ） A ．4，7B ．4，6C ．5，7D ．5，66．若虚数．．i,,z x y x y R =+∈，且1|1|2z -=，则yx的取值范围为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦B ．330,3⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C ．[3,3]D ．[3,0)3]-⋃7．已知两定点(3,0),(3,0)A B -，点P 在直线230x y --=上，使得PA PB ⊥，则这样的P 点个数有（ ）A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个8．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB 是圆O 的一条直径，且 4.,AB C D =是圆O 上的任意两点，2CD =，点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．3,2⎡⎤⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]3,4D ．[]1,29．已知直线20x y ++=和圆22220x y x y a ++-+=相交于,A B 两点．若||4AB =，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-810．设过点1,0A 的直线l 与圆()()22:344C x y -+-=交于,E F 两点，线段EF 的中点为M .若l 与y 轴的交点为N ，则AM AN的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．160,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．162,5⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．162,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．圆221:(1)(1)28O x y -+-=与222:(4)18O x y +-=的公共弦长为（ ）A ．23B ．26C ．32D ．6212．平面直角坐标系中，动圆T 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于两点C ，D ，若|AB |和CD 均为定值，则T 的圆心轨迹一定是（ ） A ．椭圆（或圆）B ．双曲线C ．抛物线D ．前三个答案都不对二、填空题13．以双曲线C ：()222103x y a a -=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________．14．过点()1,2M -作圆225x y +=圆的切线l ，则l 的方程是___________.15．若圆222430x y x y +++-=上到直线20x y a ++= 2 的点恰有3个，则实数a 的值为___________.16．已知()11,A x y 、()22,B x y 为圆22:4M x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设00(,)P x y为弦AB 的中点，则00|3410|x y +-的最小值为________.三、解答题17．求经过三点()0,0A ，()3,0B ，()1,2C -的圆的方程.18320x y +-=与圆2220x y y =++的位置关系．19．已知圆C ：22230x y y ++-=，直线l ：30x y ++=. (1)求圆C 的圆心及半径；(2)求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度.20．已知圆221:(6)(7)25C x y -+-=及其上一点()2,4A .(1)设平行于OA 的直线l 与圆1C 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程； (2)设圆2C 与圆1C 外切于点A ，且经过点()3,1P ，求圆2C 的方程.21．已知圆C ：2240x y mx ny ++++=的圆心在直线10x y ++=上，且圆心C 在第四象限，半径为1.(1)求圆C 的标准方程；(2)是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.22．已知抛物线E ：22x py =过点()1,1，过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ，PN 与圆C ：()2221x y +-=相切，且分别交抛物线E 于M 、N 两点． （1）求抛物线E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若直线MN 的斜率为3-P 的坐标．23．已知椭圆E ：2213x y +=上任意一点P ，过点P 作PQ y ⊥轴，Q 为垂足，且33QM QP =.(1)求动点M 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与曲线Γ相切，且与椭圆E 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值（O 为坐标原点）.24．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>330x y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN面积的最大值，并求出此时直线l 的方程。
高一数学新课标人教版必修2第四章 圆与方程练习题含答案解析 双基限时练29
双基限时练(二十九)1．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切解析圆：x2＋y2－2x＝0，配方(x－1)2＋y2＝1，圆心C1(1,0)，半径r1＝1.圆：x2＋y2＋4y＝0，配方x2＋(y＋2)2＝4，圆心C2(0，－2)，半径r2＝2.圆心距|C1C2|＝5<r1＋r2＝3，且5>r2－r1，∴两圆相交．答案C2．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是()A.10B.5C．5 D.10 2解析圆心距(0－3)2＋(0＋1)2＝10＝2r.∴r＝10 2.答案D3．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0⇒(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(2，－1)，半径r1＝2.圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0⇒(x＋2)2＋(y－2)2＝9，圆心C2(－2,2)，半径r2＝3.∵|C 1C 2|＝(2＋2)2＋(－1－2)2＝5＝r 1＋r 2. ∴两圆相外切，∴公切线有3条． 答案 C4．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0⇒(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.∴圆心(－1，－2)，半径为r ＝2 2.而圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，∴圆上点到直线的距离为2的点有3个． 答案 B5．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析 设动圆圆心G (x ，y )．当两圆内切时，有(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.当两圆外切时，有(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.应选D. 答案 D6．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．解析 二圆相减可得x ＋3y ＝0.答案 x ＋3y ＝07．以点(1,2)为圆心，与直线4x ＋3y －35＝0相切的圆的方程是____________．解析 半径r ＝|4×1＋3×2－35|42＋32＝5，又圆心(1,2)． ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝258．两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为__________．解析 当两圆内切时，有(0＋4)2＋(0－a )2＝(5－1)2. ∴a ＝0；当两圆外切时，有(0＋4)2＋(0－a )2＝(5＋1)2， ∴a ＝±2 5.∴a ＝0，或a ＝±2 5. 答案 0，或±259．已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，点A (12,0)是x 轴上的一定点，当点P 在圆上运动时，线段P A 的中点M 的轨迹是什么？并分析此轨迹与圆x 2＋y 2＝16的位置关系．解 设线段P A 的中点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋122，y ＝y 0＋02，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －12，y 0＝2y .P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝16上， ∴(2x －12)2＋(2y )2＝16. 即(x －6)2＋y 2＝4. 这就是点M 的轨迹方程．∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆．两圆的圆心距d＝(6－0)2＋02＝6，而两半径之和为6.∴两圆相外切．10．求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y ＝0也相切的圆的方程．解由题意设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)，或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1.(1)当C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72，或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±210.∴所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝42，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝42.(2)当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72，或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2 6.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝42，或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝42.11．求圆C1：x2＋y2－2x＋2y－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2y－3＝0的公共弦长．解两圆的方程相减，整理得公共弦所在的直线方程为2x－2y－1＝0.把圆C1的方程化为标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝3.它的圆心C1(1，－1)，半径r＝ 3.又圆心C 1到直线2x －2y －1＝0的距离为 d ＝|2×1－2×(－1)－1|22＋(－2)2＝342， 所以公共弦长为2r 2－d 2＝23－98＝302.12．已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②圆心在直线x －3y ＝0上；③在直线y ＝x 上截得的弦长为27.求圆C 的方程．解 设圆C 与直线y ＝x 交于A ，B 两点， ∵圆心在直线x －3y ＝0上， ∴可设圆心的坐标为C (3a ，a )． ∵圆C 与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |.又圆心C 到直线y －x ＝0的距离d ＝|3a －a |2＝2|a |.由③知|AB |＝27，∴r 2－d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，即9a 2－2a 2＝7.解得a ＝±1.∴圆心C 的坐标为(3,1)或(－3，－1)． 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9 或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.。
高考数学一轮复习例题解析 15.3 圆的标准方程和一般方程 试题
高中数学一轮(y ī l ún)复习资料第十五章 解析几何(ji ě x ī j ǐh é)第三节 圆的HY 方程(f āngch éng)和一般方程A 组1．假设圆x 2＋y 2－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公一共点，那么实数k 的取值范围为________．解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2－1，假设圆与两坐标无公一共点，即⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－1<|k |k 2－1<1，解得1<k < 2. 2．假设圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，那么该圆的HY 方程是________．解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|42＋(－3)2＝1，解得x 0＝2或者x 0＝－12(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．(2021年调研)D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥02x ＋y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案：π4．(2021年高考宁夏、卷改编)圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，那么圆C 2的方程为________________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．(原创题)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，假设∠APB ＝90°，那么实数c 的值是________．解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的间隔 等于半径的22倍．由于圆的HY 方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，即2＝22×5－c ，解得c ＝－3.6．点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足(mǎnzú)|P A |＝2|PB |.(1)假设(jiǎshè)点P 的轨迹(guǐjì)为曲线C ，求此曲线(qūxiàn)的方程；(2)假设点Q 在直线l ：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公一共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，那么(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图那么直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，那么|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42， 此时|QM |的最小值为32－16＝4，这样的直线l 2有两条，设满足条件的两个公一共点为M 1，M 2，易证四边形M 1CM 2Q 是正方形，∴l 2的方程是x ＝1或者y ＝－4.B 组1．(2021年质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，那么圆的方程为________________．解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的HY 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.2．(2021年调研)假设直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，那么以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.3．(2021年高考卷改编(gǎibiān))点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点(yī diǎn)连线的中点轨迹方程是________________．解析(jiě xī)：设圆上任一点(yī diǎn)坐标为(x 0，y 0)，那么x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 4．点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，那么a ＝________，b ＝________.解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心(－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.5．圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝252－12＝46，四边形ABCD的面积为20 6.6．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，那么△ABP的外接圆的方程是____________________．解析：∵圆心为O(0,0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝OP＝25，∴半径r＝ 5.而圆心C为(2,1)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.7．动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，那么PO的取值范围是______．解析：方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可化为(|x|－12)2＋(|y|－12)2＝12.所以动点P(x，y)的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO的取值范围是{0}∪[1， 2 ]．8．(2021年质检)曲线f(x)＝x ln x在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析(jiě xī)：曲线(qūxiàn)f(x)＝x ln x在点P(1,0)处的切线(qiēxiàn)l方程(fāngchéng)为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x－12)2＋(y＋12)2＝12.答案：(x－12)2＋(y＋12)2＝129．设实数x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，假设对满足条件的x 、y ，不等式y x －3＋c ≥0恒成立，那么c 的取值范围是________．解析：由题意，知－c ≤y x －3恒成立，又y x －3＝y －0x －3表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－34，0]，所以－c ≤－34，即c 的取值范围是c ≥34. 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)假设⊙E 与直线CD 相切，务实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，假设存在？求出⊙E 的HY 方程；假设不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a . 由题意得|a 2－a 2＋4|2＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的间隔 为3 2.又圆心E 到直线CD 间隔 为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E 半径2a 2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的HY 方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.11．在Rt △ABO 中，∠BOA ＝90°，OA ＝8，OB ＝6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 间隔 的平方和的最大值和最小值．解：如下(rúxià)图，以O 为原点，OA 所在(suǒzài)直线为x 轴，OB 所在(suǒzài)直线为y 轴，建立(jiànlì)直角坐标系xOy ，那么A (8,0)，B (0,6)，内切圆C 的半径r ＝12(OA ＋OB －AB )＝8＋6－102＝2.∴内切圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4. 设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的间隔 的平方和为d ，那么d ＝P A 2＋PB 2＋PO 2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76.∵点P (x ，y )在圆C 上，∴(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴d ＝3×4－4x ＋76＝88－4x .∵点P (x ，y )是圆C 上的任意点，∴x ∈[0,4]．∴当x ＝0时，d max ＝88；当x ＝4时，d min ＝72.12．(2021年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)务实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)显然b ≠0.否那么，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以(suǒyǐ)b 的取值范围(fànwéi)是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程(fāngchéng)x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是(yúshì)，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 02＋y 02＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 02＋y 02＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，或者⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上， 因此，圆C 过定点． 内容总结。
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圆的标准方程练习题 第四章4．1 ４.1.1 A级基础巩固 一、选择题 1．圆心是(4,－１),且过点（５,2)的圆的标准方程是（) A．（x－4)２+(y＋1)2=10 Ｂ．(ｘ+4)2＋（y-1)2=１0 C.(x－４)２＋(y+１）2＝1０0 Ｄ．(x-4)２＋(y+1）2＝错误! 2．已知圆的方程是(x－2)2+(y－３)２＝4，则点P(3,２)满足( ） Ａ．是圆心?Ｂ．在圆上 C.在圆内?D.在圆外 3.圆(x＋1）2＋(y－2)2=4的圆心坐标和半径分别为（) Ａ.（-1,2)，2 B.（1,－２)，2 C.(－1,2)，4 D.（1,－2)，4 4.(2０１6·锦州高一检测）若圆Ｃ与圆(x+2)2＋(ｙ-1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(） A．(x-２)2+（y＋1)2＝1?B．(ｘ－2)2＋(y-1)2＝１ C．(x－1)2＋(y＋2)2=１D．（ｘ＋1)2+（y+２)2=１ 5.(2016·全国卷Ⅱ)圆ｘ２＋y２－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1=0的距离为1，则ａ= （) A.－错误! B.－错误!? C.错误!?Ｄ．2 6．若P（２，－1）为圆(x-１)2＋y２＝25的弦AＢ的中点，则直线AB的方程是( A） A.x－y-3=0 ? B.2x+y－3=0 C.x+ｙ-1=0? D.2x－ｙ-5＝0 二、填空题 7.以点(2，-1)为圆心且与直线ｘ＋y＝6相切的圆的方程是． 8．圆心既在直线x-y＝0上，又在直线x+ｙ－４＝0上，且经过原点的圆的方程是 三、解答题 9.圆过点A（1，-２)、Ｂ(-１,4），求 (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x－y－４=0上的圆的方程． 10．已知圆N的标准方程为(x－5)2+(ｙ-6)2=a2（a＞0). (1）若点M(6,9）在圆上,求a的值; (2)已知点P（3，３）和点Ｑ（5,3)，线段PQ(不含端点）与圆Ｎ有且只有一个公共点，求a的取值范围. B级素养提升 一、选择题 1．(２０１6~2017·宁波高一检测)点错误!与圆ｘ2＋y2=错误!的位置关系是（) A.在圆上?B．在圆内?Ｃ.在圆外?D．不能确定 2．若点(2a,a－１)在圆ｘ2＋(y＋1）２=5的内部,则a的取值范围是( ) Ａ．（－∞，1]Ｂ.(-1,1）C．(２,５）Ｄ.(1，＋∞) 3.若点P(1,１)为圆(x－3)2＋y2=9的弦MN的中点,则弦MＮ所在直线方程为( ) A.2x+ｙ－3＝0Ｂ．x-2y＋1=0 C．x+2y－3＝0 ?D.2ｘ－y－１＝0 4.点Ｍ在圆(ｘ-5)2+（y－3）2=9上，则点M到直线3ｘ+4y－２＝0的最短距离为（) A．9 B.8 C．５D．2 二、填空题 5．已知圆C经过A(5,１)、Ｂ(1,3）两点,圆心在x轴上,则C的方程为__＿_. ６.以直线2ｘ+y－4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为_＿__. C级能力拔高 1．如图,矩形AＢCD的两条对角线相交于点M(２,0),AB边所在直线的方程为x-3y-６=０， 点T(-1,1）在AＤ边所在的直线上.求ＡＤ边所在直线的方程． 2.求圆心在直线4x＋y＝０上,且与直线l：x+y－1=0切于点P(３,－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径． 第四章 4.１ 4.１.2 A级基础巩固 一、选择题 1．圆x2＋y2-4ｘ+6y＝0的圆心坐标是() A．(2,3) ?B．(－２,3) C．(-2，－3)D．(2，－３） 2.（２01６~2017·曲靖高一检测)方程x2＋y2+2ａx－by+c＝０表示圆心为Ｃ(2,2),半径为2的圆，则a，b,c的值依次为(） Ａ.-2,4,4 ?B.-2,－4,4 C.２,－4,4 D.2，-４,-４ 3.(２016~２01７·长沙高一检测)已知圆Ｃ过点Ｍ(1,１)，N(5,1)，且圆心在直线y=ｘ－2上,则圆Ｃ的方程为( ） A．ｘ2+ｙ2－6x－2y＋6=0 B．x２＋y2＋6ｘ-2y＋6=0 C．x2＋ｙ２＋6x＋2y＋6＝０?D．x2+ｙ2-２x－６y＋6=０ 4.设圆的方程是x２+y2＋２ax＋２y+（a－1)２=０,若０＜a<1,则原点与圆的位置关系是( ) Ａ．在圆上?B.在圆外C．在圆内?D．不确定 5.若圆ｘ2＋ｙ2－2x－4y＝０的圆心到直线x-y＋ａ＝0的距离为错误!,则a的值为（） A.-2或2 ? B.错误!或错误!?Ｃ．2或0 D．-2或０ 6．圆ｘ2+y２－2ｙ－1=０关于直线y=x对称的圆的方程是( ) A.(x－1)２+y2=2 Ｂ．（ｘ+1）2+ｙ2＝2? C．(x－1)２＋y2=4 D.(ｘ+１)2+y2＝4 二、填空题 ７．圆心是(-３,4),经过点M（5,1)的圆的一般方程为＿_＿＿. 8.设圆ｘ2+y2-4x+２y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则P A的中点M的轨迹方程是_ 三、解答题 9.判断方程ｘ２＋y２－4mx+2ｍy+2０m－20＝０能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径. 1０．求过点A(－1,0)、B(3，0)和C（0,1)的圆的方程． Ｂ级素养提升 一、选择题 1．若圆x2＋y２－2ax+3ｂy＝0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay＋b=０一定不经过( ） A．第一象限?B．第二象限 C.第三象限Ｄ．第四象限 2.在圆x2+y2-2x－６y＝０内，过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面只为( ) A．5错误!?B.1０错误!C．15错误!?D.20错误! 3．若点（2a，ａ－1)在圆x2+y2－2y－5a２=0的内部,则ａ的取值范围是（) Ａ.(－∞，错误!］?B．(－错误!,错误!) Ｃ.（-错误!，+∞)D．（错误!,+∞) 4.若直线l：aｘ＋ｂｙ＋1＝0始终平分圆Ｍ：x２＋y2+4ｘ＋2ｙ＋1=０的周长，则(ａ-2)２+(b－２)2的最小值为() 二、填空题 ５．已知圆Ｃ:x2+y2+2ｘ＋ay-3＝0(a为实数）上任意一点关于直线l：x-ｙ＋2＝0的对称点都在圆Ｃ上，则a 6.若实数ｘ、ｙ满足ｘ2+y2+4ｘ－2y-4=０,则x2＋ｙ2的最大值是___. C级能力拔高 １.设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于点A、Ｂ，O是坐标原点,点P为AB的中点，当l绕点Ｍ旋转时,求动点P的轨迹方程. 2．已知方程x2＋y2－2(m+3)ｘ＋2(1-4m2)y+１6m4＋９＝０表示一个圆． (1)求实数m的取值范围; (２）求该圆的半径r的取值范围; (３)求圆心Ｃ的轨迹方程. 第四章 4.2 4.2.1 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若直线3x ＋y ＋a ＝0平分圆x 2＋ｙ2+2ｘ-4y ＝0,则ａ的值为 ( ) Ａ.－1 B.1 ?C ．３ Ｄ.－3 ２.(20１6·高台高一检测）已知直线ａｘ＋by ＋c ＝０(a 、b 、ｃ都是正数)与圆x 2＋y 2=１相切，则以a 、b 、c 为三边长的三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形? C.钝角三角形 ?D ．不存在 3.(2０16·北京文)圆(x +１)2＋y 2＝2的圆心到直线y =x ＋3的距离为 ( ) A ．1 Ｂ．2 C.2 ?Ｄ.2２ [4.（２016·铜仁高一检测)直线x +ｙ=ｍ与圆x 2+y 2＝m (m ＞０)相切,则m ＝ ( ) A.错误! ?B ．错误! C ．错误! D ．2 5.圆心坐标为（２,－1)的圆在直线ｘ-y －1＝0上截得的弦长为2错误!,那么这个圆的方程为 （ ） A ．(x -2)2＋(y +1）２ ＝４?B ．(ｘ-２)2＋（ｙ＋1)2=2 C.(x －2)2+(ｙ＋1）2＝8 D.(x -２)２ +（ｙ+1)2=1６ 6．圆(x -３)2＋（ｙ－3)２ =9上到直线3x ＋4ｙ－11＝0的距离等于１的点有 ( ） A.1个 B.２个 C ．３个 ?Ｄ．4个 二、填空题 7.(２0１６·天津文)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M （0,＼r(5))在圆C 上,且圆心到直线２ｘ-ｙ=0的距离为4５5 ,则圆C 的方程为__ __. 8.过点(3,1)作圆(x －２)2＋(y -2)2=４的弦,其中最短弦的长为_＿ _＿． 三、解答题 9.当m 为何值时,直线x －ｙ－ｍ＝０与圆x 2＋y ２ -4x －２y ＋１=０有两个公共点？有一个公共点？无公共点 10．(2０1６·潍坊高一检测）已知圆C：ｘ２+（y-1)2=5,直线ｌ:mx-y＋1－m＝０. （1)求证:对ｍ∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点; (２)若直线l与圆Ｃ交于Ａ、B两点，当｜AB|=1７时,求m的值． Ｂ级素养提升 一、选择题 1．过点(2,１)的直线中，被圆x2+ｙ2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（) Ａ．3x-y-5=0Ｂ.３ｘ+y-7=０ C.３x－y－1＝0Ｄ．3ｘ＋y-５=０ ２.（2016·泰安二中高一检测)已知2a2＋２ｂ2=ｃ2，则直线aｘ+ｂy＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是（) A.相交但不过圆心Ｂ．相交且过圆心 C．相切??D．相离 3.若过点Ａ(4，０)的直线l与曲线(ｘ-２）２+ｙ2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( ) Ａ．(－３，错误!) ?Ｂ．［－错误!，错误!] C.（-错误!,错误!) D.［－错误!,错误!] ４．设圆(x-３)２＋(y＋５）２＝r２(r＞0)上有且仅有两个点到直线４x-3y-2=0的距离等于１,则圆半径r的取值范围是()