函数的图像与性质
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
高中各种函数图像画法与函数性质
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
二次函数二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
一次函数图像性质总结
一次函数图像性质总结一次函数是数学中常见的一种函数形式，其图像具有一些特定的性质。
通过对一次函数图像性质的总结，我们可以更好地理解和应用一次函数，下面就让我们来详细了解一次函数图像的性质。
首先，一次函数的图像是一条直线。
这是因为一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数，且a不等于0。
当a不等于0时，函数的图像是一条不垂直于x轴的直线，斜率为a，截距为b。
因此，一次函数的图像总是直线，这是一次函数的一个重要性质。
其次，一次函数图像的斜率决定了直线的倾斜程度。
斜率a表示了直线上每单位水平位移对应的垂直位移的比值。
当a大于0时，直线向右上方倾斜；当a小于0时，直线向右下方倾斜。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。
通过斜率，我们可以直观地了解一次函数图像的倾斜方向和程度。
另外，一次函数图像的截距决定了直线与y轴的交点位置。
截距b表示了直线与y轴的交点的纵坐标值。
当b大于0时，直线与y轴的交点在y轴上方；当b小于0时，直线与y轴的交点在y轴下方。
截距可以帮助我们确定直线与y轴的位置关系，从而更好地理解一次函数的图像性质。
此外，一次函数图像的性质还包括了直线的斜率和截距之间的关系。
斜率a决定了直线的倾斜程度，而截距b决定了直线与y轴的位置，这两者共同决定了一次函数图像的形状。
通过斜率和截距的关系，我们可以进一步分析一次函数图像的性质，例如确定直线的上下平移和纵向拉伸压缩等变换。
最后，一次函数图像的性质还包括了直线的斜率和截距的变化对图像的影响。
当斜率a发生变化时，直线的倾斜程度会发生相应的变化；当截距b发生变化时，直线与y轴的位置会发生相应的变化。
通过分析斜率和截距的变化对图像的影响，我们可以更好地掌握一次函数图像的变化规律。
综上所述，一次函数图像的性质包括了直线的形状、倾斜程度、位置关系以及变化规律等方面。
通过对一次函数图像性质的总结，我们可以更好地理解和应用一次函数，为进一步学习和应用数学知识奠定坚实的基础。
常见函数的图像和性质
常见函数的图像和性质在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。
而函数的图像和性质，则是我们理解和把握这些关系的关键。
今天，咱们就来一起聊聊常见函数的图像和性质。
首先，咱们来看看一次函数。
一次函数的表达式一般写作 y ＝ kx＋ b （k、b 为常数，k ≠ 0）。
它的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，直线是上升的，意味着函数值 y 随着 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线是下降的，函数值 y 随着 x 的增大而减小。
b 呢，则决定了直线与 y轴的交点，当 b ＞ 0 时，交点在 y 轴的正半轴；当 b ＜ 0 时，交点在 y 轴的负半轴；当 b ＝ 0 时，直线过原点。
再来说说反比例函数，它的表达式通常是 y ＝ k ／ x （k 为常数，k ≠ 0）。
反比例函数的图像是两条曲线，叫做双曲线。
当 k ＞ 0 时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
二次函数也是常见函数中的重要一员，其表达式一般为 y ＝ ax²＋bx ＋ c （a、b、c 为常数，a ≠ 0）。
二次函数的图像是一条抛物线。
当a ＞ 0 时，抛物线开口向上，有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，有最大值。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
而且，判别式Δ ＝ b²4ac 能帮助我们判断抛物线与 x 轴的交点情况。
当Δ ＞ 0 时，抛物线与x 轴有两个交点；当Δ ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当Δ ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。
接下来看看指数函数，它的表达式是 y ＝ a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
当 a ＞ 1 时，函数单调递增，图像从左到右逐渐上升；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减，图像从左到右逐渐下降。
指数函数的图像恒过点（0, 1)。
(完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结
i ng si nt he i rb ei n ga re g三角函数的图像与性质一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x图象定义域RR 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最 值x ＝2k π＋(k ∈Z )时，y max ＝1；π2x ＝2k π－(k ∈Z )时，y min ＝－1π2x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称中心：(k π＋，0)(k ∈Z )π2对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：（含原点）(,0)()2k k Z π∈最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由的图象得到()的图象x y sin =)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>xy sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1ω结果)sin(ϕ+=x y xy ωsin =操作横坐标变为原来的倍1ω向左平移个单位ϕω结果)sin(ϕω+=x y 操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
一次函数的图像和性质
一次函数的图像和性质一次函数是一个代数函数，也称为线性函数或直线函数。
它是最简单的一种函数形式，在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一个直线，在平面直角坐标系中表示为一根斜率为a的直线，并且通过点(0,b)。
斜率a表示函数的变化率，即y随x的变化速度。
当a>0时，表明随着x增大，y也增大；当a<0时，表明随着x增大，y减小；当a=0时，函数是一个常数函数。
一次函数图像的性质包括斜率、截距、与坐标轴的交点等。
1.斜率：一次函数的斜率表示函数图像在x轴方向每单位变化时，y轴方向的变化量。
斜率的计算可以通过选择两个不同的x值，计算对应的y值的差异，然后除以对应x值的差异。
即斜率a=Δy/Δx。
斜率为正的函数图像向上倾斜，斜率为负的函数图像向下倾斜，斜率为零的函数图像是水平的。
2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点，它的值可以从函数的形式y=ax+b中得到。
当x=0时，y=b，因此截距为b。
3. 与坐标轴的交点：一次函数的图像与x轴的交点为y=0时的x值，可以通过令y=0，解方程ax+b=0，得到x=-b/a。
图像与y轴的交点已经在上述截距部分提到，为(0, b)。
4.平行：两个斜率相等的一次函数图像是平行的，它们可能在坐标轴上的交点不同，但是平行于同一直线。
5. 垂直平分线：对于一次函数y = ax + b，它的垂直平分线为x =-a/2、如果两个函数的图像关于该直线对称，那么它们是互为反函数。
6. 对称轴：对于一次函数y = ax + b，它的对称轴为x = -b/(2a)。
如果交换a和b的位置，可以得到该函数关于y轴对称函数。
如果交换x和y的位置，可以得到原函数的倒数。
7.等差数列：一次函数的图像可以表示等差数列，其中公差为斜率a。
数列的第一个项为截距b。
8.增长率：一次函数的增长率等于斜率a的绝对值。
函数的图像特征
函数图像的参 数影响
参数对函数图像形状的影响
斜率：斜率越大， 函数图像越陡峭
截距：截距越大， 函数图像越远离 原点
正负号：正负号 决定函数图像的 上升或下降趋势
幂指数：幂指数 越大，函数图像
越接近原点
常数项：常数项 影响函数图像的
起始位置
导数：导数决定 函数图像的凹凸
性
参数对函数图像位置的影响
翻转变换
翻转变换的定义：将 函数图像沿x轴或y轴 进行翻转
翻转变换的类型：包 括x轴翻转、y轴翻转 和原点翻转
翻转变换的应用：在 解决实际问题中，如 物理、工程等领域， 经常需要对函数图像 进行翻转变换
翻转变换的性质：翻 转变换不改变函数的 单调性、奇偶性、周 期性等性质
函数图像的对称性
轴对称：函数图像关于x轴、y轴或原点对称 旋转对称：函数图像关于某一点旋转一定角度后与原图像重合 反射对称：函数图像关于某一点或直线反射后与原图像重合 平移对称：函数图像关于某一点或直线平移一定距离后与原图像重合
圆函数：y=f(x)=x^2
开口方向：向上
形状：对称的抛物线
渐近线：y=x和y=-x
顶点：(0,0)
极值：(0,0)是最大值和最小值
函数图像的坐 标轴关系
截距
截距的定义：函数图像与x轴或y轴的交点 截距的作用：确定函数图像的位置和形状 截距的计算：通过函数解析式求解 截距的应用：解决实际问题，如物理、工程等领域
双曲线函数：y=a/x^2，其中a>0
形状：开口向上或向下，取决于a的 正负
顶点：(0,a)或(0,-a)，取决于a的正 负
渐近线：y=x和y=-x，与x轴相交于 (0,a)和(0,-a)
焦点：(0,±a/2)，取决于a的正负
函数的图像与性质
函数的图像与性质函数是数学领域中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的图像是指函数的输入与输出之间的关系在坐标平面中所形成的图形。
函数的图像不仅反映了函数的性质，还能帮助我们更好地理解和应用函数。
一、函数的图像函数的图像可以通过绘制函数的图表或者绘制函数的曲线来展示。
在绘制函数的图像时，我们通常使用直角坐标系，其中横轴表示函数的输入，纵轴表示函数的输出。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过选取不同的x值，计算出对应的f(x)值，并将这些点在坐标平面上连接起来，就得到了函数f(x) = x^2的图像。
这个图像是一个抛物线，开口朝上，并且经过点(0,0)。
二、函数的性质函数的图像可以反映函数的一些重要性质，例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数的输入可能取值的范围，而值域是指函数的输出可能取值的范围。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的定义域和值域。
2. 奇偶性：一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = -f(x)；一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的奇偶性。
3. 单调性：一个函数在其定义域内的某个区间上是增函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)；一个函数在其定义域内的某个区间上是减函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) > f(x2)。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的单调性。
三、函数图像的应用函数的图像不仅仅是一种美观的几何形状，它还能帮助我们更好地理解和应用函数。
1. 函数的最值：通过观察函数的图像，我们可以确定函数的最大值和最小值。
最大值和最小值对于解决实际问题和优化函数的应用非常重要。
2. 函数的零点：函数的零点是指使得函数等于零的输入值。
在函数的图像上，零点对应的是函数与横轴的交点。
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函数的图像与性质
函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们通常用图像来表示一个函数。
函数的图像以及其性质
对于我们理解函数的特点和行为至关重要。
一、函数的图像
函数的图像是函数在坐标系中的表现形式。
在直角坐标系中，横轴
表示自变量，纵轴表示因变量。
函数的图像是由一系列点组成的，这
些点表示了不同自变量对应的因变量的取值。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地观察函数的特性和行为。
例如，我们可以通过图像看出函数的增减性、奇偶性、周期性以及极值等。
因此，理解函数的图像对于我们研究函数的性质非常重要。
二、函数的性质
1. 定义域与值域
函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的定义域和值域。
例如，如
果函数的图像在横轴上存在断点，那么该点就是函数的定义域的边界点。
2. 奇偶性
函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数的情况下，函数值是否相等。
如果函数满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足f(-x) =
-f(x)，则函数是奇函数。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的奇偶性。
例如，如果函数的图像关于纵轴对称，则函数是偶函数；如果
函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数。
3. 增减性与极值
函数的增减性描述了函数图像的上升和下降趋势。
在一个区间内，
如果函数的图像随自变量的增大而增大，则函数在该区间内是增函数；如果函数的图像随自变量的增大而减小，则函数在该区间内是减函数。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的增减性，并找出函数的
极值点。
函数的极值点是函数图像中的最高点和最低点，也称为极大
值点和极小值点。
极值点通常是函数图像的拐点或者切线与横轴的交点。
4. 周期性
周期性是指函数在一个周期内具有相同的特征。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的周期性。
如果函数的图像在一个区间内重复
出现，且图像的形状和性质相同，那么函数是周期函数。
函数的周期性对于理解函数的周期性规律以及应用场景非常重要。
例如，三角函数就是一类典型的周期函数，在物理学、工程学等领域
有着广泛的应用。
综上所述，函数的图像与性质之间存在密切的关系。
通过观察函数
的图像，我们可以推断出函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、增
减性和周期性等。
掌握函数的图像与性质对于我们理解并应用函数具
有重要意义，有助于我们更好地解决实际问题。
因此，在学习和应用函数时，我们应该注重对函数图像与性质的研究和理解。