人大附中 高三 数学练习三

数学练习三

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知

=+-=+ni m i n m ni i

m

是虚数单位，则是实数，，，其中11 A ．1+2i B ．1-2i C ．2+i D ．2- i 2．原点与极点重合，x

轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为(2,--的点的极坐标是 A ．(4,

)3

π

B ．4(4,

)3π C ．2(4,)3π-- D ．2(4,)3

π 3．在ABC ?中，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的

A ．充要条件

B ．必要非充分条件

C ．充分非必要条件

D ．既非充分又非必要条件

4．若向量a 与b 不共线，0≠ a b ，且??

???

a a c =a -

b a b ，则向量a 与

c 的夹角为 A ．0

B ．

π

2

C ．

π3

D ．

π6

5．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+）

，则)2011()2010(f f +-的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

6．下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是

3

1

，则 ？处的关系式是 A ．3

1x y = B ．3

x y = C ．x

y -=3 D ．x

y 3=

7．如果直线y =kx +1与圆042

2=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x y -= 对称，

则不等式组??

?

??≥≤-≥+-0,0,01y m y kx y kx 表示的平面区域的面积是

A ．1

B ．2

C ．

21 D ．4

1 8．在边长为1的正方体中，,,,E F G H 分别为1111,,,A B C D AB CD 的中点，

点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记,,,E F P Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在02x

＃时，

D D 11

1

V 与x 的图像应为

A B

C D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．代数式5)1)(1(x x +-的展开式中3

x 的系数为 ． 10．样本容量为200的频率分布直方图如右图所示，根据样本频率分布直方图估计, 样本数据落在[6,10)内的频数为

，数据落在

[2,10)内的概率约为 .

11．已知c b a ,,分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边，若c =2,b B C A 3=+，则

C sin = ．

12．如图，CE 为圆O 的直径，PE 为圆O 的切线，E 为切点，PBA 为圆O 的割线，交CE 于D 点，CD =2，AD =3，BD =4，则圆O 的半径为r = ；PB = .

13．已知斜率为2的直线l 过抛物线2

y ax =的焦点F ，且与y 轴

相交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 ；

14． 如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,y y ,使得12()(

)f

y f y =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数。

B

A

D

C

F

E

（第16题）

则 ①,1()0,11,,1x x f x x x x ≥??=-<

(),sin ,22

x f x x x πππ?=-??=?

?-<≤?? ③1,1

()0,11,1,1

x f x x x ≥??

=-<

④,1(),1,1x x f x x x ≥?=?+

四个函数中为不严格增函数的是 ，

若已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{1,2,3}A =,B A ?, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 有 个．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

设2()6cos 2f x x x

=． （Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-4

tan 5

α的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，?=∠90AEB ，

BC BE =，F 为CE 的中点，

（Ⅰ）求证：//AE 平面BDF ； （Ⅱ）求证：平面⊥BDF 平面ACE ；

（Ⅲ）EB AE =2，在线段AE 上找一点P ，使得二面角F DB P --的余弦值为10

10

，求AP 的长．

17．（本小题满分13分）

某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i (123)i =，，次射击时击中目标得4i -分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为8.0，且其各次射击结果互不影响． （Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 18．（本小题满分13分）

函数),0(,)

1(ln )(R a x x

x a x x f ∈>--

=． (Ⅰ)试求)(x f 的单调区间； (Ⅱ)求证：不等式

2

111ln 1<--x x 对于)2,1(∈x 恒成立. 19．（本小题共 14 分）

已知椭圆22221x y a b +=

的离心率为e =O 到过两点(,0),(0,)A a B b -

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线1(0)y kx k =+≠交椭圆于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．

20．（本小题共 13 分）

设12,,,n a a a …为1，2，…，n 按任意顺序做成的一个排列，k f 是集合{}

,i i k a a a i k <>元素的个数，而k g 是集合{}

,i i k a a a i k ><元素的个数（1,2,,k n =…），规定10n f g ==，例如：对于排列3，1，2，

1232,0,0f f f ===

（Ⅰ）对于排列4，2，5，1，3，求

1

n

k

k f

=∑

（Ⅱ）对于项数为2n-1 的一个排列，若要求2n-1为该排列的中间项， 试求1

n

k

k g

=∑的最大值， 并写

出相应得一个排列

（Ⅲ）证明1

1

n n

k k

k k f g

===∑∑

B

A

D

C

F

（第16题）

答案

一．C BAB CDD C

二．9． 0 ；10．64， 0.4 ；11．3

6

；12． 4，20；13． 28y x =或28y x =-

；14．①③，10． 15．（本小题共13分）

设2()6cos 2f x x x

=． （Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角α满足()3f

α=-4tan 5

α的值． 解：（Ⅰ）1cos 2()6

22x

f x x +=

………3分

3cos2

23x x =+

1

2sin 232x

x ?=-+???

236x π?

?=++ ??

?．

………6分

故()f x 的最大值为3； 最小正周期22

T π

=

=π．

………8分

（Ⅱ）由()3

f α=-2336απ??++=- ???cos 216απ?

?+=- ???

．

又由02απ<<

得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得

5

12α=

π．………12分 从而4tan tan 53

απ

== ………13分

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，?=∠90AEB ，BC BE =，F 为CE 的中点， （Ⅰ）求证：//AE 平面BDF ；

（Ⅱ）求证：平面⊥BDF 平面ACE ；

（Ⅲ）EB AE =2，在线段AE 上找一点P ，使得二面角F DB P --的余弦值为

10

10

，求AP 的长． （1）设AC BD G = ,连接FG ，易知G 是AC 的中点，

∵F 是EC 中点．∴在△ACE 中，FG ∥AE ，………2分 ∵AE ?平面BFD ，FG ?平面BFD ， ∴ AE ∥平面BFD ． …………4分 （2） 平面ABCD ⊥平面ABE ,BC AB ⊥,

平面ABCD 平面ABE AB =BC ∴⊥平面ABE ,又AE ? 平面,ABE BC AE ∴⊥, 又AE BE ⊥ ，BC BE B = ,AE ∴⊥平面,BCE AE BF ∴⊥,……6分 在BCE △中，,BE CB F =为CE 的中点，

BF CE ∴⊥,AE CE E =

BF ∴⊥平面ACE ，

又BF ?平面BDF ，

∴平面BDF ⊥平面ACE ．………8分

(3)如图建立坐标系，设AE=1，则B （2，0，0），D （0，1，2），C （2,0,2），F （1,0,1），设P （0，a ，0），

)2,1,2(-=，)1,0,1(-=，)0,,2(a -=

设1n ⊥面BDF ，且),,(1111z y x n =，则 由1n ⊥得022111=++-z y x 由1n ⊥得011=+-z x

令11=z 得0,111==y x ，从而)1,0,1(1=n ………10分 设2n ⊥面BDP ，且),,(2222z y x n =，则 由2n ⊥得022222=++-z y x 由2n ⊥PB 得0222=-ay x

令22=y 得1,22-==a z a x ，从而)1,2,(2-=a a n

10

10

)1(42|1||

|||cos 2

22121=

-++?-+=

?=

a a a a n n θ，解得0=a 或1=a （舍） 即P 在E 处 ………14分 17．（本小题满分12分）

某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击，否则停止射

击；同时规定第i (1

23)i =，，次射击时击中目标得4i -分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为8.0，且其各次射击结果互不影响．

（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 解：（Ⅰ）设选手甲第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，， 则()0.8()0.2i i P A P A ==，

依题可知：i A 与(,123,)j A i j i j =≠，，相互独立

所求为：16.02.08.0)()()(2121=?==A P A P A A P ……6分 （Ⅱ）ξ可能取的值为0，3，5，6． ……6分 分布列为：

………10分

00.230.1650.12860.512 4.192E ξ∴=?+?+?+?=．……12分

18．（本小题满分14分）

函数),0(,)

1(ln )(R a x x

x a x x f ∈>--

=． (Ⅰ)试求)(x f 的单调区间；

(Ⅱ)求证：不等式

2111ln 1<--x x 对于)2,1(∈x 恒成立. 解：（1）2

21)(x

a

x x a x x f -=-=' 当0≤a 时，)(x f 只有单调增区间为),0(+∞

当0>a 时，)(x f 在),0(a 上为减函数，在),(+∞a 上为增函数；………6分 （2）由于)2,1(∈x ，有01,0ln >->x x ，变形不等式为022ln )1(>+-+x x x 因此只需证022ln )1(>+-+x x x 在)2,1(∈x 恒成立 ………8分 作函数22ln )1()(+-+=x x x x g （)2,1(∈x ），则x

x x x g 1

ln )(--

=' 在（1）中取1=a ，有)()(x f x g ='，由（1）知)(x g '在（1,2）上为增函数， 从而有0)1()(='>'g x g ，说明)(x g 在（1,2）上单调增 于是0)1()(=>g x g ，即022ln )1(>+-+x x x

所以

2

111ln 1<--x x 。………14分 19．（本小题共 14 分）

已知椭圆22221x y a b +=

的离心率为e =O 到过两点(,0),(0,)A a B b -

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线1(0)y kx k =+≠交椭圆于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．

解：（Ⅰ）方法1：由已知得直线AB 的方程为：

1x y

a b

+=-， 即 0b x a y a b --=，

=

= ① 又

c

e a

=

= ② 2

2

2

a b c =+ ③ 由①②③联立得： 2

2

16,4a b ==

∴椭圆的方程为：

22

1164

x y +=．………5分 方法2：∵AOB ?是直角三角形，AB 为斜边，

故

11252AB OA OB ?=?，

ab =， 以下同解法1．

（Ⅱ）设1122(,),(,)E x y F x y ，EF 的中点为00(,)H x y ，

由22

1164

1x y y kx ?+=???=+?

得：22

(14)8120k x kx ++-= 2

2

(8)4(14)(12)0k k ?=-+-> ④ 则

122

814k

x x k

+=-

+，

121212(1)(1)()2y y kx kx k x x +=+++=++ =2

8()214k

k k -

++

=2

2

8214k k -

++． ………10分 ∴1202

4214x x k

x k +=

=-+ 212022

41

121414y y k y k k +==-+=++ ∴22002

1

2

(2)83

1440414BH

y k k k k x k k +--++===

---

+ 而,E F 又在以B 为圆心的圆上，故 EF BH ⊥， ∴1EF BH k k ?=-，

即

283

14k k k

+?=--

解得：k = ∴k

的值为 ………14分 20．（本小题共 13 分）

设12,,,n a a a …为1，2，…，n 按任意顺序做成的一个排列，k f 是集合{}

,i i k a a a i k <>元素的个数，而k g 是集合{}

,i i k a a a i k ><元素的个数（1,2,,k n =…），规定10n f g ==，例如：对于排列3，1，2，

1232,0,0f f f ===

（1）对于排列4，2，5，1，3，求

1

n

k

k f

=∑

（2）对于项数为2n-1 的一个排列，若要求2n-1为该排列的中间项， 试求1

n

k

k g

=∑的最大值， 并写出

相应得一个排列

（3）证明

1

1

n n

k k

k k f g

===∑∑

解：（1）由题意可知， k f 是指排列中第K 项后小于k a （该项）的个数。 k g 是指排列中第K 项前大于k a （该项）的个数。所以 对于排列4，2，5，1，3， 123453,1,2,0,0.f f f f f =====，1

n

k k f =∑

=6。

………3分 （2） 此排列为 22,23,24,21,1,2,1,n n n n n n ---???--???

123410,1,2,3, 2.n g g g g g n -====???=-122210.,23,22,n n n n g g n g n g n +--==???=-=-

所以

1

n

k

k g

=∑的最大值为22(1)n -。 ………8分

（3）证明 考虑集合{}

(,),i k i k S a a a a i k =<>的元素个数S 。一方面，固定k 先对i 求和，然后再对k 求和，得1n

k

k S f

==

∑；另一方面，固定i 先对k 求和，然后再对i 求和，又得到1

1

n n

i k

i k S g g

===

=∑∑，

所以得1

1

n

n

k k

k k f g

===∑∑。 ………13分