离散数学定义列表
A.定义
1.简单命题/原子命题、复合命题
2.定义1.1：否定式、否定联结词
3.定义1.2：合取式、合取联结词
4.定义1.3：析取式、析取联结词
定义1.4：蕴含式、前件、后件、蕴含联结词；规定19.4、20.4
5.定义1.5：等价式、等价联结词；规定
6.联结词的定义（真值表）表1.1、优先级
7.命题常项、命题变项（不是命题）、合式公式
8.定义1.6：原子命题公式、公式、子公式
9.定义1.7：公式层次
10.定义1.8：赋值/解释、成真赋值、成假赋值
11.定义1..9：真值表
12.定义1..10：重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式
13.哑元
************************重点：命题逻辑等值演算***************
15.等值演算、置换规则4.1
16.定义2.2：文字、简单析取式、简单合取式
17.定义2.3：析取范式、合取范式、范式
18.定义2.4：极小项、极大项
定义2.5：主析取范式、主合取范式
********************************一阶逻辑**********************
19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域
20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词
量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3
********************************集合代数**********************
21.定义6.1：子集、包含
22.定义6.2：相等
23.定义6.3：真子集
定义6.4：空集P139 1
24.n元集、m元子集、（单元集）
25.定义6.5：幂集公式：
26.定义6.6：全集
27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交
28.定义6.8：对称差集
29.定义6.9：绝对补集
30.定义6.10：广义并
31.定义6.11：广义交
幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、
德摩根律、双重否定律eg6.8,P108 36
****************************重点：二元关系***********************
32.定义7.1：有序对/序偶
33.定义7.2：笛卡尔积性质P111
34.定义7.3：二元关系/关系P139 7
35.定义7.4：从A到B的二元关系、A上的二元关系、空关系
36.定义7.5：A上的全域关系（E）、恒等关系（I）、小于等于关系（L）、整除关
系（D）、包含关系（R）
37.关系矩阵（x行，y列）、关系图
38.定义7.6：定义域、值域、域
39.定义7.7：逆关系
40.定义7.8：右复合（左复合）
41.定义7.9：R在A上的限制、A在R下的像
42.定义7.10：关系的n次幂
定义7.11：自反、反自反
定义7.12：对称、反对称
定义7.13：传递
43.定义7.15：等价关系（性质）P142 32(4)、41
44.定义7.16：等价类
45.定义7.17：商集
46.定义7.18：划分、划分块 P134 eg7.18
47.定义7.19：偏序关系（性质）
48.定义7.20：小于、可比
49.定义7.21：全序关系/线序关系
50.定义7.22：偏序集P135
51.定义7.23：偏序集中顶点的覆盖关系（为画哈斯图）P143 43（2）
***************************函数*******************************
53.定义8.1：函数
54.定义8.2：函数相等
55.定义8.3：从A到B的函数P171 6（8）（9）
56.定义8.4：从A到B的函数的集合B A
57.定义8.5：A1在?下的像、函数的像、完全原像
定义8.6：满射、单射、双射/一一映射P173 25
58.定义8.7: 常函数、恒等函数、单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、
自然映射
59.反函数（双射）
*************************代数系统*****************************
60.定义9.2：一元运算
定义9.3：可交换/交换律
定义9.4：可结合/结合律
定义9.5：幂等律、幂等元
61.定义9.6：可分配/分配律
62.定义9.7：吸收律
63.定义9.8：左单位元（右单位元）、单位元/幺元
64.定义9.9：左零元（右零元）
65.定义9.10:左逆元（右逆元）、逆元、可逆
66.定义9.11：消去律、左消去律（右消去律）注意P183 eg9.6
67.定义9.12：代数系统/代数、特异元素/代数常数
68.定义9.13：具有相同的构成成分/同类型
69.定义9.14：子代数系统/子代数、平凡的子代数、真子代数（函数对子集封闭）
70.定义9.15：积代数、因子代数
************************************群与环***************************************
半群与群都是具有一个二元运算的代数系统
71.定义 10.1：半群（）、幺半群/独异点（）、群（）
72.有理数加群、整数加群、实数加群、复数加群、四元群、子代数、语言
73.定义 10.2：有限群、无限群、平凡群、交换群/Abel群
74.定义 10.3：n次幂
75.定义 10.4：（元素的）阶/周期、k阶元、无限阶元
***********************************格与布尔代数**********************************
格与布尔代数是具有两个二元运算的代数系统
定义11.1：格（偏序集定义的）P221
76.幂集格、子群格
77.定义11.2：对偶命题、格的对偶原理
78.定义11.3：格（代数系统定义的）
79.定义11.4：子格
80.定义11.5：分配格
81.定义11.6：全上界、全下界
82.定义11.7：有界格
83.定义11.8：补元
84.定义11.9：有补元
定义11.10：布尔格/布尔代数（有补分配格）
85.定义11.11：布尔代数（代数系统定义）
86.定义11.12：原子
**********************************14.图的基本概念********************************
87.无序积A&B
88.定义14.1：无向图、顶点集、顶点/结点、边集、无向边/边
89.定义14.2：有向图、无向边/边
90.（P294）图、阶、n阶图；零图、平凡图；空图；标定图、非标定图；基图；端
点、关联、关联次数、环、相邻；始点、终点、孤立点；邻域、闭邻域、关联集、
后继元集、先驱元集
91.定义14.3：平行边、重数、多重图、简单图
92.定义14.4：度数/度、出度、入度、最大度、最小度、悬挂顶点、悬挂边、偶度
（奇度）顶点
93.度数列、可图化的、可简单图化的，出度列、入度列
94.定义14.6：n阶无向完全图/n阶完全图、n阶有向完全图、n阶竞赛图
95.定义14.7：k-正则图
96.定义14.8：母图、真子图、生成子图、导出的子图
97.定义14.10：删除边e、删除E’、删除顶点v、删除V‘、边的收缩、新加边
删点边不留，删边点还在
98.定义14.11：通路、始点、终点、长度、回路、简单通路、简单回路、初级通路/
路径、初级回路/圈、奇圈、偶圈、复杂通路、复杂回路
99.定义14.12:连通、连通图、非连通图
100.定义14.13：连通分支、连通分支数
101.定义14.14：短程线、距离
102.定义14.15：点割集、割点
103.定义14.16：边割集/割集、割边/桥
104.定义14.21：弱连通图/连通图、单向连通图、强连通图
105.定义14.22：二部图/二分图/偶图，完全二部图
定义14.23：无向图关联次数、关联矩阵
定义14.24：有向图关联矩阵
定义14.25：邻接矩阵
定义14.26可达矩阵
**********************************15.欧拉图与哈密顿图****************************
106.定义15.1：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图
107.定义15.2：哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密度图
**********************************16.树*****************************************
108.定义16.1：无向树/树、森林、平凡树、树叶、分支点
109.定义16.2：生成树、树枝、弦、余树
110.定义16.:5：权、最小生成树
111.避圈法（Kruskal算法）
B.定理
1.定理
2.1：简单析取式是重言式的充要条件；简单合取式是矛盾式的充要条件
2.定理2.2：析取范式（矛盾式）、合取范式（重言式）
3.定理2.3：范式存在定理
4.定理2.4：极小项和极大项关系
5.定理2.5：主析、主合存在并唯一
6.定理6.1：子集是一切集合的子集
推论：空集是唯一的
7.定理7.1：逆关系性质
8.定理7.2：复合结合律、逆
9.定理7.3：关系与恒等关系复合
10.定理7.4：复合分配律注意交
11.定理7.5：限制和像的分配律注意像的交
12.定理7.6：有穷集上只有又穷多个不同的二元关系
13.定理7.7：关系的幂性质
14.定理7.8：有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，R2等是一个呈现周期性变化的序
列
15.定理7.9：五大性质
16.定理7.14：等价关系的性质
17.定理8.1：函数的复合（关系的右复合）
推论1：函数复合结合律
推论2：?：A→B，g：B→C，则?。g：A→ C，且……
定理8.2：函数复合能够保持单射、满射、双射的性质
18.定理8.3：函数和恒等关系复合
19.定理8.4：函数双射，反函数也是双射
20.定理8.5：双射函数与反函数的复合
21.定理9.1：左右单位元相等
22.定理9.2：左右零元相等
23.定理9.3：单位元和零元不相等
24.定理9.4：左逆元等于右逆元
25.定理9.5：积代数的性质
26.定理10.1：群的幂运算
27.定理10.2：群的消去律
28.定理10.3：元素阶的性质
29.定理11.1：运算∨和∧满足交换律、结合律、幂等律、吸收律
30.定理11.2：P225
31.定理11.3：格的上下确界
32.定理11.4：P226
33.定理11.6：补元唯一定理
34.定理11.7：布尔代数的双重否定律、德摩根律
35.定理14.1：握手定理（无向图）
36.定理14.2：握手定理（有向图）
推论：奇度顶点个数
37.定理14.3：可图化的充要条件
38.定理14.4：最大度取值
39.定理14.5：通路存在，长度
40.定理15.1：无向图欧拉图的充要条件
41.定理15.2：无向图半欧拉图的充要条件
42.定理15.3：有向图欧拉图的充要条件
43.定理15.4：有向图半欧拉图的充要条件
44.定理15.5：非平凡的欧拉图充要条件
45.定理15.6：无向哈密顿图连通分支数性质
推论：无向半哈密顿图连通分支数性质
46.定理15.7：哈密顿通路存在定理
推论：哈密顿回路存在定理
47.定理15.8：无向图哈密顿图充要条件
48.定理16.1：P329
49.定理16.2：树和树叶
50.定理16.3：无向图有生成树的充要条件
推论：无向连通图的边数大于等于生成树的边数
离散数学课本定义和定理
第1章集合 1.1 集合的基本概念 1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集 2. 表示集合的方法：列举法、描述法 3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。 如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。 4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为或 1.2 集合的运算 定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为. 定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为. 定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。 定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为. 定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为. 定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为 1.3 包含排斥原理 定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则 定理 1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则 定理1.3.3设为有限集，则 重要例题P11 例1.3.1 第2章二元关系 2.1 关系 定义2.1.1（序偶）： 若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。 ※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为
离散数学的定义精简版
图 1.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍. 2每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个. 3G=
离散数学 ( 第1次 )
第1次作业 一、单项选择题（本大题共30分，共 15 小题，每小题 2 分） 1. 图G所示平面图deg(R3)为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 2. 在完全m叉树中，若树叶数为t，分枝点数为i，则有（）。 A. (m-1)i
C. (m-1)i=t-1 D. (m-1)i≤t-1 3. 命题a）：如果天下雨，我不去。写出命题a）的逆换式。 A. 如果我不去，天下雨。 B. 如果我去，天下雨。 C. 如果天下雨，我去。 D. 如果天不下雨，我去。 4. 设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点（） A. 5 B. 4
C. 2 D. 6 5. 假设A={a,b,c,d},考虑子集S={{a,b},{b,c},{d}}，则下列选项正确的是（）。 A. S是A的覆盖 B. S是A的划分 C. S既不是划分也不是覆盖 D. 以上选项都不正确 6. 没有不犯错误的人。M(x)：x为人。F（x）：x犯错误。则命题可表示为（）。 A. (?x)(M(x)→F(x) B. (?x)(M(x)?F(x) C.
（?x）(M(x)?F(x)) D. (?x)(M(x)→F(x) 7. 命题逻辑演绎的CP规则为（） A. 在推演过程中可随便使用前提 B. 在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果 C. 如果要演绎出的公式为B→C形式，那么将B作为前提，演绎出C D. 设?(A)是含公式A的命题公式，B<=>A，则可以用B替换?(A)中的A 8. 设G是有6个结点的完全图，从G中删去（）条边，则得到树。 A. 6 B. 9 C. 10 D.
离散数学定义必须背
命题逻辑 ?(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。它由三部分组成： ?(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体； ?(2) 一个关于D的函数集合F； ?(3)一个关于D的关系集合R。 ?（逻辑连接词）定义 ?设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。 ?若n =0，则称为0元函数。 ?（命题合式公式）定义： R) A n ?结构：论域和解释称为结构。 ?语义：符号指称的对象。公式所指称对象。合式公式的语义是其对应的逻辑真值。 ?（合式公式语义）设S是联结词的集合是{?，∧，∨，⊕，→，?}。由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下： ?⑴v(0)=0, v(1)=1。 ?⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。 ?⑶若Q1,Q2是合式公式 ?若Q= ?Q1，则v(Q)= ?v(Q1) ?若Q=Q1 ∧ Q2，则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)
?若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2) ?若Q=Q1→ Q2，则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2) ?若Q=Q1 ? Q2，则v(Q)=v(Q1)? v(Q2) ?若Q=Q1⊕ Q2，则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2) ?（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：?⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。 ?⑵若Q是命题变元p，则v(Q)= pv。 ?⑶若Q是FQ1…,Qn，其中n≥1，F是S中的n元联结词，Qi是公式，则v(Q)=v(FQ1…Qn)=Fv(Q1)…v(Qn)。 ?（可满足与有效）定义1.7 设Q是公式。 ?⑴如果真值赋值v使得v(Q)=1，则称v满足Q。 中 F。 A1 Bn ?（逻辑推论）定义： ?若真值赋值v满足公式集合Γ中的每个公式，则称v满足Γ。若有真值赋值满足Γ，则称Γ是可满足的，否则称Γ是不可满足的。 ?设Γ是公式的集合，A是公式。如果每个满足Γ的真值赋值都满足A，则称A 是Γ的逻辑推论，记为Γ|=A。若Γ|=A不成立，记为Γ|≠A。 谓词逻辑
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
离散数学及答案
全国2010年7月自学考试离散数学试题 课程代码：02324 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列句子不是．．命题的是（ D ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的 D ．太好了！ 2．下列式子不是．．谓词合式公式的是（ B ） A ．（?x ）P (x )→R (y ) B ．(?x ) ┐P （x ）?(?x )(P (x )→Q (x )) C ．(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ) D ．(?x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(?z )R (x ,z ) 3．下列式子为重言式的是（ ） A ．(┐P ∧R )→Q B ．P ∨Q ∧R →┐R C ．P ∨(P ∧Q ) D ．(┐P ∨Q )?(P →Q ) 4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A ．(?x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B ．(?x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C ．(?x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D ．(?x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} 5．对于公式(?x ) (?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元 C ．(?x )的辖域是R(x , y ) D ．(?x )的辖域是(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6．设论域为{1,2}，与公式(?x )A (x )等价的是（ ） A ．A (1)∨A (2) B ．A (1)→A (2) C ．A (1)∧A (2) D ．A (2)→A (1) 7．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ） A ．仅是入射 B ．仅是满射 C ．是双射 D ．不是函数 8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．???? ? ?????001110101 B ．???? ? ?????101110001
离散数学课本定义和定理
第1章集合 集合的基本概念 1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集 2. 表示集合的方法：列举法、描述法 3. 定义（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。 如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。 4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或 集合的运算 定义（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为. ! 定义（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为. 定义（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。定义（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B的差集，记为. 定义（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为. 定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为 包含排斥原理 定理设为有限集，其元素个数分别为，则 。 定理设为有限集，其元素个数分别为，则 定理设为有限集，则 重要例题P11 例第2章二元关系 关系 定义（序偶）： 若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为 定义（有序元组）： 若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。 : 定义（直接积）： 和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）： 设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为. 定义（二元关系） 若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。如果，则称为上的二元关系。 定义（恒等关系）： 设是上的二元关系，，则称是上的恒等关系。 定义（定义域、值域）：若是一个二元关系，则称 为的定义域。为的值域。 < 定义（自反）：设是集合上的关系，若对于任何 ．．，都有即则称关系是自反的。 定义（反自反）：设是集合上的关系，若对于任何，都满足,即对任何都不成立，则称关系是反自反的。 定义（对称）：设是集合上的关系，若对于任何，只要,就有,那么称关系是对称的。 定义（反对称）：设是集合上的关系，若对于任何，只要并且时,就有，那么称关系是对称的。 定义（传递）设是集合上的关系，若对于任何，只要并且时，就有，则称关系是传递的。 定理设是集合上的关系，若是反自反的和传递的，则是反对称的。 关系矩阵和关系图 定义无定理无 $ 关系的运算 定义（连接）：设为上的关系，为上的关系，则定义关系 称为关系和的连接或复合，有时也记为.
离散数学(本)主要概念
《离散数学(本)》主要概念、定理与方法 第1章集合及其运算 一、概念 集合（元素）——集合是一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体，而集合中的事件称为元素．因此，集合是由若干元素组成的．若a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∈A；若a不是集合A中的元素，则称a不属于A，记作a?A． 定义1.1.1（子集）对任意两个集合A和B，若B中的每个元素都是A中的元素，则称B 为A的子集，记作B?A或A?B． 若B是A的子集，也称A包含B，或B被A包含．若B不是A的子集，即B?A不成立时，记作B?A． 定义1.1.2（集合相等）对任意两个集合A和B，若有A?B且B ?A，则称A与B相等，记作A= B． 定义1.1.3（真子集）对任意两个集合A和B，若B?A且B≠A，则称B为A的真子集，记作B?A或A?B． 定义1.1.4（空集）不含任何元素的集合称为空集，记作?． 空集的定义也可以写成 ≠} （1.1.1） ?={x x x n元集（m元子集）——含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m（m≤n）个元素的子集叫做它的m元子集． 定义1.1.5（全集）在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则将这个集合称为全集，记作E． 定义1.1.6（幂集）设A是一个集合，由A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作P(A)或2A． 定义1.2.1（并集、交集、差集、补集、对称差）设E为全集，A和B是E中任意两个子集． （1）所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A?B．即 ∈}（1.2.1） {或x B A B x x A ?=∈ ?．即（2）既属于A又属于B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A B ∈}（1.2.2） {且x B ?=∈ A B x x A 如果两个集合A和B没有公共元素，即A B ?=?，称为集合A与B不相交． -．即（3）属于A而不属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的差集，记作A B -=∈? A B 且（1.2.3） x x A x B {} （4）由E中所有不属于A的元素组成的集合，称为A的补集，记作~A．即 ~A={} 且（1.2.4） x x E x A ∈? 补集~A可以看作全集E与集合A的差集，即~A = E -A． （5）集合(A - B )?(B - A )称为集合A和B的对称差，记作A⊕B．即 A⊕B = (A - B )?(B - A )．（1.2.5）对称差运算的另一种定义是 A⊕B = (A?B ) - (B ?A )．（1.2.5’） 二、定理与性质 集合包含关系的自反性：对于任意集合A，有A?A． 集合包含关系的反对称性：对任意两个集合A和B，若有A?B且B?A，则A=B． 集合包含关系的传递性：对任意三个集合A，B和C，若有A?B，B?C，则A?C．定理1.1.1空集是一切集合的子集． 定理1.1.1的推论空集是唯一的． 集合运算的交换律：A B B A ?=? ?=? A B B A
离散数学的概念总结
图论基本概念 重要定义： 有向图：每条边都是有向边的图。 无向图：每条边都是无向边的图。 混合图：既有有向边又有无向边的图。 自回路：一条边的两端重合。 重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。 多重图：含有平行边的图。 简单图：不含平行边和自回路的图。 注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。 定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。称为的G定向图. 底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D底图。 逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。 赋权图：每条边都赋上了值。 出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。入度：以该定点为终边的边数为入度。 特殊！度数为零的定点称为孤立点。度数为一的点为悬挂点。 无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。Kn 完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。 注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。 下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。 ②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。 子图：删去一条边或一点剩下的图。 生成子图：只删边不删点。 主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。 补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。 重要定理： 定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v) deg+(vi)=deg-(vi)=m 定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v) deg(vi)=2m 推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。 通路和富权图的最短通路 1通路和回路 基本概念： 通路的长度：通路中边的条数。 回路：如果通路中始点与终点相同。 简单通路：如果通路中各边都不相同。 基本通路：如果通路中各顶点都不相同。显然（基本通路一定是简单通路，但简单通路不一定是基本通路）
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝
图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ? ? ? ? ? c a b e d ? f 图四
离散数学数理逻辑部分定义与概念
命题逻辑 1.（论域）定义：论域是一个数学系统，记为D。它由三部分组成： (1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体； (2)一个关于D的函数集合F； (3)一个关于D的关系集合R。 2.（逻辑联结词）定义： ?设n > 0，称{0, 1}n到{0, 1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词； ?若n = 0，则称为0元函数。 3.（命题合式公式）定义： (1)常元0和1是合式公式； (2)命题变元是合式公式； (3)若Q是合式公式，则(?Q)是合式公式； (4)若Q, R是合式公式，则(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q?R)、(Q⊕R)是合式公式； (5)只有有限次应用(1)-(4)构成的公式是合式公式。 4.（生成公式）定义：设S是联结词的集合。由S生成的公式定义如下： (1)若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式； (2)原子公式是由S生成的公式； (3)若n≥1，F是S中的n元联结词，A1, …, A n是由S生成的公式，则F A1…A n是由S 生成的公式。 5.（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)。 ?常元复杂度为0； ?命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC(P) = 0； ?如果公式A = ?B，则FC(A) = FC(B) + 1； ?如果公式A = B1∧B2， 或A = B1∨B2， 或A = B1→B2， 或A = B1?B2， 或A = B1⊕B2， 则FC(A) = max{FC(B1), FC(B2)} + 1。 6.命题合式公式语义： ?论域：研究对象的集合。 ?解释：用论域的对象对应变元。 ?结构：论域和解释称为结构。 ?语义：符号指称的对象。公式所指称对象。合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
离散数学图的练习
第十四章 图的基本概念 1. 设9阶无向图G 中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G 中至少有5个6 度顶点或至少有6个5度顶点。 证明：由握手定理，顶点的度数之和为偶数，则5度的顶点度数之和必为偶数， 所以5度顶点的个数只能是0，2，4，6，8。而与之对应的6度顶点的个数为9，7，5，3，1。可以看出G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。 2．设G 是n 阶无向简单图，n ≥3且为奇数，证明G 与G -中奇度顶点的个数 相等。 证明：因为n 为奇数，所以n 阶无向完全图的每个顶点的度数都是偶数。设G 中有m 个奇度顶点，则在G -中和这m 个顶点对应的m 个顶点也必定是奇度顶点，因为偶数－奇数＝奇数。而G -中与G 中余下的n-m 个偶度顶点相对应的顶点也必定是偶数顶点，因为偶数－偶数＝偶数。 因此，G 与G - 中奇度顶点个数相等。 3. 设G 是n 阶自补图，证明n=4k 或n=4k+1,其中k 为正整数。 证明：由握手定理知2m=n(n-1)/2, 即4m=n(n-1)。m 是正整数，所以n 和n-1两 者必有一个是4的倍数，所以n=4k 或n=4k+1。 4．若无向图G 中恰有两个奇度顶点，证明这两个奇度顶点必然连通。 证明：每一个连通分支都是一个单独的图，而图的奇度顶点是偶数个，所以图G 中的两个奇度顶点必在同一连通分支内，所以这两个奇度顶点必然连通。 5．判断：存在7个结点的自补图。（选自离散数学典型题解析与实战模拟） 答：假设存在7个结点的自补图G ，则G 与它的补图G -同构，并且，G G -＝7k 。 但是7k 中有21条边，为一个奇数，所以这两个图的边数一定一奇一偶，不可能相等，于是假设不成立。 6. 设简单图G 连通，其每个结点的度均为偶数。证明对于任一结点v ，图G-v 的连通分支数不大于v 的度数的一半（选自离散数学典型题解析与实战模拟）
离散数学图的练习
第十四章图的基本概念 1.设9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。 证明： 由握手定理，顶点的度数之和为偶数，则5度的顶点度数之和必为偶数，所以5度顶点的个数只能是0，2，4，6，8。而与之对应的6度顶点的个数为9，7，5，3，1。可以看出G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。 2．设G是n阶无向简单图，n3且为奇数，证明G与G中奇度顶点的个数相等。 证明： 因为n为奇数，所以n阶无向完全图的每个顶点的度数都是偶数。设G中有m个奇度顶点，则在G中和这m个顶点对应的m个顶点也必定是奇度顶点，因为偶数－奇数＝奇数。而G中与G中余下的n-m个偶度顶点相对应的顶点也必定是偶数顶点，因为偶数－偶数＝偶数。 因此，G与G中奇度顶点个数相等。 3.设G是n阶自补图，证明n=4k或n=4k+1,其中k为正整数。 证明： 由握手定理知2m=n(n-1)/2,即4m=n(n-1)。m是正整数，所以n和n-1两者必有一个是4的倍数，所以n=4k或n=4k+1。 4．若无向图G中恰有两个奇度顶点，证明这两个奇度顶点必然连通。 证明： 每一个连通分支都是一个单独的图，而图的奇度顶点是偶数个，所以图G 中的两个奇度顶点必在同一连通分支内，所以这两个奇度顶点必然连通。 5．判断：
存在7个结点的自补图。（选自离散数学典型题解析与实战模拟）答： 假设存在7个结点的自补图G，则G与它的补图G同构，并且，G G＝k 7。 但是k 7中有21条边，为一个奇数，所以这两个图的边数一定一奇一偶，不可能相等，于是假设不成立。 6.设简单图G连通，其每个结点的度均为偶数。证明对于任一结点v，图G-v的连通分支数不大于v的度数的一半（选自离散数学典型题解析与实战模拟）证明： 由于简单图G中每个结点的度均为偶数，所以G-v中奇结点的数目等于v 的度数，并且原来与v相邻。由于G是连通的，所以G-v的每个连通分支中都有原来在G中与v相邻的结点。然而，G-v的每个连通分支都可以看作是一个完整的图，所以每个分支中原来与v相邻的结点至少有两个，并且不同的连通分支中没有公共的奇结点，所以G-v的连通分支数不大于奇结点数目的一半，也就是v的度数的一半。 7．设V(G),E(G)分别为无向图G的结点集合和边的集合，记W(G)为图G的连通分支数，证明对于E(G)中任意的e，有W(G)W(G-e)W(G)+1。（选自离散数学典型题解析与实战模拟） 证明： 由于图G-e中分支数目为W(G-e)个，而G可以通过G-e增加一条边得到，所以G不外乎以下两种情况： （1）e的两个端点处在G-e的同一连通分支当中： 这时，不会增加连通分支的数目，于是W(G-e)＝W(G)。 （2）e的两个端点分别处于G-e的两个连通分支当中，这时G-e的两个连通分支将与e一起合并成G的一个连通分支，于是W(G-e)=W(G)+1。
离散数学 群与环习题及解答
第六章群与环 1. S={2n | n N}，加法是S上的二元代数运算吗？乘法呢？ 解：加法不是S上的二元代数运算，乘法是。 2. 自然数集N 上的二元代数运算* 定义为x * y = x y，* 是否满足结合律？是否满足交换律？ 解：都不满足。 3. 设* 是集合S上的二元代数运算，且满足结合律，设x，y是S中任意元素，如果x * y = y * x，则x = y。试证明* 满足等幂律。 证明：由于对S中任意的x，y和z，有x*(y*z)=(x*y)*z，故x*(x*x)=(x*x)*x，于是有x*x=x。
4. 设（G，·）是代数系统，则（G×G，*）是代数系统，这里G×G的运算“*”规定如下： （a，b）*（c，d）=（a·c，b·d）， 其中，a，b，c，d为G中任意元素。证明：当（G，·）是半群时，（G×G，*）是半群；当（G，·）有单位元素时，（G×G，*）有单位元素；当（G，·）是群时，（G×G，*）是群； 证明：设（G，·）是半群，a，b，c，d，e，f为G中任意元素，若有(a，b),(c，d)，(e，f)属于G×G，则有 (a，b)*((c，d)*(e，f))=(a，b)*(c·e，d·f)=(a·(c·e)，b·(d·f)) =((a·c)·e，(b·d)·f))=((a·c)，(b·d))*(e，f)=((a，b)*(c，d))*(e，f)， 这就证明了当（G，·）是半群时，（G×G，*）是半群。 设（G，·）有单位元素1，(a，b)是（G×G，*）中任意元素，则有(a，b)=(a·1，b·1)=(a，b)*(1，1)且(a，b)=(1·a，1·b)=(1，1)*(a，b)，故(1，1)就是（G×G，*）的单位元素。 设（G，·）是群，1是群（G，·）的单位元素，则由前面的证明知(1，1)就是（G×G，*）的1且（G×G，*）是半群。 我们来证明（G×G，*）中的任意元素(a，b)有逆元素。(1，1)=(a·a’，b·b’)=(a，b)*(a’，b’)，其中a’和b’分别是a和b在群（G，·）中的逆元素。同样有(1，1)=(a’·a，b’·b )=(a’，b’ )*(a，b )，这就证明了(a’，b’ )是(a，b)的逆元素，从而说明（G×G，*）是群。
《应用离散数学》方景龙版-4.5 陪集与商群
§4.5 陪集与商群 习题4.5 1. 集合}19210{20，，，， =Z 在“模20加法20+”下构成群。设H 是由元素5生成的20Z 的子群。 （1）求H 的每个元素及其次数。 （2）求H 在20Z 中的所有左陪集。 解 （1）}151050{，，， =H ，151050，，，的次数分别为：1，4，2，4。 （2）H 在20Z 中的所有左陪集如下： }151050{，，，=H ，}161161{1，，，=H ，}171272{2，，，=H }181383{3，，，=H ，}191494{4，，，=H 2. 求12阶循环群}{11432a a a a a e G ，，，，，， =的子群}{84a a e H ，，=在G 中的所有左陪集。 解 所有左陪集如下： }{84a a e H ，，=，}{95a a a aH ，，=，}{10622a a a H a ，，= 3. 设H 是群>*<， G 的子群，证明H 的所有不同左陪集（右陪集）中有且仅又一个在*下构成>*<， G 的子群。 解 略 4. 证明6阶群必含有3次元。 解 略 5. 证明偶数阶群必含2次元。 解 设>*<， G 是偶数阶群，若它无二次元，则对G 中的非单位元a ，有 1-≠a a 所以，G 中的元素，除单位元外，其他都是成对出现的，所以G 中的元素是偶数个，矛盾。故偶数阶群必含2次元。 6. 证明在有限群中次数大于2的元素的个数必定是偶数。 解 略 7. 设>*<， G 是一个阶数为p 的有限群，其中p 是质数，证明G 是循环群并求它的所有子群。 解 略 8. 设H 和K 分别是群>*<，G 的s r ，阶子群，若s r ，互质，证明}{e K H = 。 解 略 9. 设i 为虚数单位，即12-=i ，令 ?????????? ??±???? ??-±???? ??-±???? ? ?±=000110001001i i i i G ，，， 证明G 在矩阵乘法下构成群，并 （1）给出G 的运算表。 （2）找出G 的所有子群。
11-群和编码-离散数学讲义-海南大学(共十一讲)
11.群和编码Group and coding §11.1 二进编码和查错 coding of binary information and error detection Alphabet 字母集。B ＝{0,1}. message 从有限alphabet 中选取有限多个符号组成的一个序列。 word m 个0和1组成的一个序列。 B ＝B ×B ×……×B （m 个）。 B m 的加法⊕： (x 1,x 2,…,x m )⊕(y 1,y 2,…,y m ) =(x 1+y 1 ,x 2+y 2,…,x m +y m ) B m 中共有2m 个元素, B m 的阶是2m 。 0＝(0,0,……,0). 由于disterbance （noise ）x ≠x t 。 用编码方法查错、纠错。 取n>m ，一一对应 e ：B m →B n ，
称e是（m,n）编码函数。 b∈B m，e(b)∈B n叫做b的码词Code word e(b)比b多几位0，1用来查错和纠错。 将要发出的word b编码得到x=e(b),发送后接收到x t，如果没有干扰，x＝x t，b＝e-1(x t). 如果有干扰，x和x t有≤k位出错，即有1位到k位错误。 x的权（weight）：x含有1的个数，记做|x|. 奇偶校验码parity check code： 如果b＝b1b2…b m， 令e(b)＝b1b2…b m b m+1, b m+1=0, if |b|是偶数， b m+1=1, if |b|是奇数。 b m+1=0, 当且仅当b含有偶数个1。 m＝3 e(000)=0000 e(001)=0011 e(010)=0101 e(011)=0110 e(100)=1001 e(101)=1010 e(110)=1100 e(111)=1111 对任意b，e(b)的权总是偶数。 设b=111，x＝e(b)=1111. 如果接收到有一位错x t＝1101， x t的权是奇数，发现有错。 x t的权是偶数，无法判断有错。 例3．（m，3m）编码函数： e：B m→B3m， b＝b1b2…b m， e(b)＝b1b2…b m b1b2…b m b1b2…b m. e(000)=000000000
离散数学试题及解答
n 离散数学 2^m*n 一、选择题（2*10） 1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（）。 （A）P→Q（B）P∨Q ?? （C）P∧Q（D）P∧Q ? 2．下列命题公式为永真蕴含式的是（）。 （A）Q→（P∧Q）（B）P→（P∧Q） （C）（P∧Q）→P（D）（P∨Q）→Q 3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死 的”的否定是（）。 （A）所有人都不是大学生，有些人不会死 （B）所有人不都是大学生，所有人都不会死 （C）存在一些人不是大学生，有些人不会死 （D）所有人都不是大学生，所有人都不会死 4、永真式的否定是（）。 （A）永真式 （B）永假式 （C）可满足式（D）以上均有可能 5、以下选项中正确的是（）。 （A）0= ? （B）0 ? （C）0∈?（D）0?? ? 6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（）
（A）自反性（B）有限性（C）对称性（D）传递性 7、集合A={1,2,…,10}上的关系R={
离散数学类与群
面向对象中类概念与群的概念的相关性 一：群 对任意代数系统（G，·），若满足：①对任意x,y∈G.x·y=c∈G； ②对任意x,y,z∈G，x·（y·z）=（x·y）·z； ③G中有一个元素e, 对任意x∈G,使x·e=e·x=x； ④对任意x∈G，存在x-1∈G,使x· x-1 =x-1·x=e； 则（G，·）就是一个群。 二：类 类是对自然现象或实体的程序语言描述，具有相同或相似性质的对象的抽象就是类。因此，对象的抽象是类，类的具体化就是对象，也可以说类的实例是对象。类具有属性，它是对象的状态的抽象，用数据结构来描述类的属性。类具有操作，它是对象的行为的抽象，用操作名和实现该操作的方法来描述。 属性说明了这个类的特性，方法是对属性的操作。 三：类与群 有群的定义可知，群也就是一个满足各种条件的多个以非空集合和其上的二元代数运算为元素的集合，而类是具有共同属性、共同方法、共同事件的对象的集合。所以二者就有了共同之处。若我们可以用（G，·）中的“G”表示类中的属性，“·”表示类中的方法，则群（G，·）就可以表示一个类。从而用“群”概念可以很简单明了地表示出“类”的概念，这样也方便我们将数学的知识应用到计算机领域。四：继承与群
面向对象中继承是指面向对象中一个类自动拥有另一个类的全部属性和方法，是子类自动共享父类数据结构和方法的机制，这是类之间的一种关系。在定义和实现一个类的时候，可以在一个已经存在的类的基础之上来进行，把这个已经存在的类所定义的内容作为自己的内容，并加入若干新的内容。继承性是面向对象程序设计语言不同于其它语言的最重要的特点，是其他语言所没有的。 由于子群享有群的任意性质和方法，并且子群中的单位元和原群的单位元一致，所以也可以将其的关系看作是继承。 五：子类与子群 面向对象中通过继承创建的新类称为“子类”或“派生类”。被继承的类称为“基类”、“父类”或“超类”。“子类”的定义使得在程序的编译过程更加的清楚简洁，大大地提高了编程的效率。同样的，在离散数学中，“子群”的提出也是更利于数学的研究，相同于“类”可以用“群”的概念表示，面向对象中的“子类“也可以用“子群”的概念表示。 设群（H，·）为群（G，·）的子群，因为G的子群H不只是一个包含在G中的群，而且H的运算必须与G的运算一样。所以子群与群的关系同子类与类的关系，又因为群可以表示类的概念，所以可以用子群表示子类的概念。 A09计算机张海燕 090604135