高中数学 指数与指数函数

当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分

高考 要求

内容 要求层次 具体要求 A B C

有理数指数幂的含义 √ 理解有理指数幂的含义

实数指数幂的含义 √ 通过具体实例了解实数指数幂的意义 幂的运算 √ 掌握幂的运算

指数函数的概念及其性质 √ 通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景; 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点; 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型

北京 高考 解读

2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标）

第2题 5分 第13题 5分 第3题5分 第13题5分 第6题 5分 第14题 5分

第6题 5分

第8题 5分 第13题 5分 第14题 5分

指数引入 在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22，32等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事： 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4

粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．

新课标剖析 指数 与指数函数 计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言. 这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：631248162，，，，，，， 最后一格中有632粒小麦，1032102410，6018210，也就是百亿亿，那6360282就是八百亿亿．这还不包括前面63个格子的．其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是6421，大约是一千六百亿亿．这大概是全世界两千年所产的小麦的总和． 再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道7500圈．如果把这些小麦堆放在一间教室（16平）里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，两倍两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了“指数爆炸”.一种事物如果成倍成倍地增大（如222），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人. 那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.

1．整数指数 在初中我们就学过正整数指数幂，如2a，3a等，并且我们也知道235aaa，32aaa，那么在这些整指数幂中a叫做什么？23，又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.

⑴ 正整数指数幂：nnaaaa个，是n个a连乘的缩写（Nn），na叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵ 正整数指数幂的运算法则：

① mnmnaaa；②()mnmnaa；③(,0)mmnnaamnaa；④()mmmabab

【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中mn的限制，

则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当0a时，有33303aaaa，33525aaaa，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，331aa，

3521a

aa.这就启示我们，如果规定02211aaa，，则上述运算就合理了.于是，

我们得出如下的整数指数幂：

⑶ 整数指数幂：01(0)aa，1(0,)nnaanaN． 【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.

5.1指数与指数幂的运算 知识点睛 ②对于整数指数幂的要求是“底数不等于0”.为什么底数不等于0，因为分母不等 于0 ③老师可以给学生举一些小例子，例如，081；081；01abab；

3311010；6611164121642；333312208xxxx；

2364246xxrrrx







；40.000110；22212aabcbc

我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：

2．分数指数 在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式： ⑴根式 ① n次方根：如果存在实数x，使得nxa(,1,)annRN，那么x叫做a的n次方根． ② 求a的n次方根，叫做a开n次方，称做开方运算． ⅰ）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n 次方根用符号na表示． ⅱ）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．正数a的正、负n次方根分别表示为：na，na，可以合并写成(0)naa． ③ 正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．负数没有偶次方根． 0的任何次方根都是0，记作00n． ④ 当na有意义的时候，式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．

【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如nna和nna有什么区别？它们分别等于什么？下面我们来举几个例子说明一下： 1.nna是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶性来决定： ①当n为大于1的奇数时，aR.例如，332727，553232，7

700；

②当n为大于1的偶数时，0a≥.例如，442727，233，6600；若0a，式子nna无意义，例如，22，4454均无意义，也就不能说它们的值了. 因此只要nna有意义，其值恒等于a，即nnaa 2.nna是实数na的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，aR.但是这个式子的值受n的奇偶性限制：

①当n为大于1的奇数时，其值为a，即nnaa，例如，3322，55

6.16.1；

②当n为大于1的偶数时，其值为a，即nnaa.例如，4433，2333. 由此当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，0||0nnaaaaaa，≥， 所以，我们得到根式具有如下的性质： ⑤ 根式具有的性质： ()1nnaannN，且；

当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，0||0nnaaaaaa，≥，．

【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如，311333aaa，2233233aaa.显 然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定133aa，232

3aa，则上述分数指数幂的运算就能像整数指数幂那样运算了.

为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数0a，于是分数指数幂定义为：

⑵ 分数指数幂 ① 正分数指数幂：

10nnaaa；()(0,,,)mnmmnnmaaaanmnN且为既约分数．

② 负分数指数幂： 1(0,,,)mnmnmaanmnaN且为既约分数

⑶ 整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则： ① (0)rsrsaaaarsQ，，；

② (0)rssrsraaaarsQ，，； ③ ()(00)rrrabababrQ，，

【教师备案】①整数指数幂的运算性质，比如()knknaa，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容的． ②分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几

个例子，例如，2212338824；55151123222； 33

2322933125255527











；3232155588888；

111111

123636236233333333339；33322113233444ababab；

22111111222222abababab；21111

22222ababab



.