高中数学 指数与指数函数

当前形势

函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分 高考 要求

内容

要求层次 具体要求

A B C 有理数指数幂的含义 √ 理解有理指数幂的含义

实数指数幂的含义

√ 通过具体实例了解实数指数幂的意义 幂的运算

√

掌握幂的运算

指数函数的概念及其性质 √

通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景;

理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点;

在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型

北京 高考 解读

2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 第2题 5分 第13题 5分

第3题5分 第13题5分

第6题 5分 第14题 5分

第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分

第14题 5分

指数引入

在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22，32等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．

新课标剖析

指数 与指数函数

计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言.

这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：631248162，，，，，，， 最后一格中有632粒小麦，1032102410=≈，6018210≈，也就是百亿亿，那6360282=⨯就是八百亿亿．这还不包括前面63个格子的．其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是6421-，大约是一千六百亿亿．这大概是全世界两千年所产的小麦的总和．

再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道7500圈．如果把这些小麦堆放在一间教室（16平）里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，两倍两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了“指数爆炸”.一种事物如果成倍成倍地增大（如222⨯⨯⨯），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人.

那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.

1．整数指数

在初中我们就学过正整数指数幂，如2

a ，3

a 等，并且我们也知道2

3

5

a a a ⋅=，3

2a a a

=，那么在这

些整指数幂中a 叫做什么？23，又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.

⑴ 正整数指数幂：n n a a a a =⋅⋅⋅个

，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵ 正整数指数幂的运算法则：

① m n m n

a a a +⋅=；②()m n mn a a =；③(,0)m m n n a a m n a a

-=>≠；④()m m m ab a b =

【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是

正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中m n >的限制，

则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当0a ≠时，有3

3303a a a a

-==，

3352

5a a a a --==，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，331a a =，3521a a a =.这就启示我们，如果规定02

211a a a -==

，，则上述运算就合理了.于是，我们得出如下的整数指数幂：

⑶ 整数指数幂：01(0)a a =≠，1

(0,)n n

a a n a -+=

≠∈N ．

【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且

正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.

5.1指数与指数幂的运算

知识点睛

②对于整数指数幂的要求是“底数不等于0”.为什么底数不等于0，因为分母不等 于0 ③老师可以给学生举一些小例子，例如，081=；()0

81-=；()()0

1a b a b -=≠；

3

311010-=；6

611164121642-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫

- ⎪⎝⎭

；()()333

312208x x x x ---==≠； 2

364246x x r r r x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭

；40.000110-=；2221

2a a b c b c --=

我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：

2．分数指数

在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式： ⑴根式

① n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a n n +∈>∈R N ，那么x 叫做a 的n 次方根． ② 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．

ⅰ）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n

ⅱ）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方根分

0)a >．

③ 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．

0的任何次方根都是0

0．

④

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如

n

么？下面我们来举几个例子说明一下：

1.

n

是实数a 的n 次方根的n 次幂，

其中实数a 的取值范围由n 的奇偶性来决定：

①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .

例如，

3

27=

，

5

32=-

，

7

0=；

②当n 为大于1的偶数时，0a ≥.

例如，4

27=

，2

3=

，6

0=；

若0a <

，式子n

无意义，例如，2

，4

均无意义，也就不能

说它们的值了.

因此只要

n

有意义，其值恒等于a

，即n

a =

n a 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制： ①当n 为大于1的奇数时，其值为a

a =

2

=-，

6.1=；

②当n 为大于1

的偶数时，其值为a

a .3

，

33-=.