【精】初中数学竞赛辅导资料(47-48)配方法 非负数
非负数及其应用
(
)(
)
= −5+ 2 6
(第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届
[例3]
2u − v v − 2u 解： Q ≥ 0, ≥ 0. 4 u + 3v 4 u + 3v
∴ 2 u − v = 0. 即v = 2u.
v − 2u 3 2u − v 若u、、满足v = + + ， 4u + 3v 4u + 3v 2 2 2 求u − uv + v 的值.
定理
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称 如果两个图形关于某直线对称， 定理 轴是对称点连线的垂直平分线。 轴是对称点连线的垂直平分线。 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对 两个图形关于某直线对称， 定理 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。
(
)
则 a − b ＞0.
2
(
( )
2
−2 a • b +
)
( )
b = −
2
(
a− b .
)
2
2
2 ab − a − b = =
( − a) + 2 − a ( − a + − b)
2 2
−b + −b
( )
2
Hale Waihona Puke = − a + −b.
(1997年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题
[例2] 已知
解： Q
b a−b−2 3 +(a+b−2 2) =0,求 的值 。 a
初中数学竞赛辅导
初中数学竞赛辅导资料3质数 合数甲内容提要1 正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数质数也称素数.合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数.2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积.能写成几个质数的积的正整数就是合数.乙例题例1两个质数的和等于奇数a a ≥5.求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a －2.例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵－1－m=m∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d 值共有24组,试把它写出来.例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数.解：本题答案不是唯一的设N 是不大于5的所有质数的积,即N ＝2×3×5那么N ＋2,N ＋3,N ＋4,N ＋5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数.本题可推广到n 个.令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N ＋2, N ＋3,N ＋4,……N ＋n+1就是所求的合数.丙练习31， 小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2， 己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P ＝＿＿,Q ＝＿＿3， 己知两个素数的差是41,那么它们分别是＿＿＿＿＿4， 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是＿＿＿如果两个整数的积等于73,那么它们是＿＿＿＿如果两个质数的积等于15,则它们是＿＿＿＿＿5, 两个质数x 和y,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.那么 ⎪⎩⎪⎨⎧===c b a7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿8,己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99,AB ＝M.求M 及B A ＋AB 的值 9,试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数.10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数11,求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是＿＿＿13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是＿＿.。
初中数学竞赛辅导资料(1)2
初中数学辅导资料数的整除内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除8或125 末三位数能被8或125整除3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________ 2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________- 3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
最新整理初中数学竞赛辅导资料最大最小值
定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于
同周长的圆面积 .
二、例题 例 1. 已知： 3x2+2y2=6x, x 和 y 都是实数， 求： x2+y 2 的最大、最小值 .
2
解：由已知
y
2
=
6x
3x
,
2
∵ y 是实数，
∴ y2≥ 0.
即 6 x 3 x 2 ≥ 0， 6x－ 3x2 ≥ 0， x2－ 2x ≤ 0. 2
∴当 a=b= k 时， a+b 有最小值 2 k .
3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：
定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值
. 当这两边
相等时，其和的值最大 .
定理四： 一条边和这边上的高都有定值的三角形， 其他两边的和有最小值 . 当这两
边相等时，其和的值最小 .
k
那么 y=a+ ,
a
a2－ ya+k=0. （这是关于 a 的二次议程方程）
∵ a 为正实数， ∴△≥ 0. 即 (－ y) 2－ 4k ≥ 0，
y2－ 4k≥ 0.
∴ y≤－ 2 k (不合题意舍去 )； y ≥ 2 k .
∴ y 最小值 =2 k .
解方程组 a b 2 k， 得 a=b= k . ab k.
时， y = 最小值
；
2a
4a
2
b
4ac b
若 a<0 时，当 x= －
时， y = 最大值
.
2a
4a
②判别式法：原函数可化为关于 x 的二次方程 ax2+bx+c － y=0.
初中数学解题方法-配方法课件
配方法在方程中的应用
在解方程的过程中，配方法 能够帮助我们找到方程的特 点，并通过变形和运算来求 解方程。
配方法在函数中的应用
通过配方法，我们可以分析 函数的性质和图像，并运用 相关的方法来解决与函数相 关的问题。
常见错误及解决办法
1 配方法使用错误的情况
有时候学生在使用配方法时会犯一些常见的错误，比如选择错误的配方法或者在计算过 程中出现错误。
2 配方法修正错误的方法
当我们发现使用了错误的配方法时，可以通过调整和修正的方法来纠正错误，并重新进 行解题。
3 沟通交流技巧
在配方法的应用过程中，良好的沟通和交流能够帮助我们更好地理解问题，并与他人分 享和学习配方法的经验。
总结
1 配方法的重要性
配方法是初中数学解 题的重要方法之一， 能够帮助学生发现问 题的规律和解题的思 路，提高数学解题的 效率。
初中数学解题方法-配方 法ppt课件
在这个课件中，我们将介绍初中数学解题方法中的一种重要方法——配方法。 通过理解配方法的概念、应用场景以及解题流程，帮助学生更好地应对各种 数学问题。
理解配方法的概念
1 什么是配方法
配方法是一种数学解 题技巧，通过配合适 当的方法和思路来解 决复杂的数学问题。
2 配方法的应用场景 3 配方法的解题流程
公式配方法
运用数学公式和定理，将问题转化为符合 公式特点的形式，简化问题求解的过程。
其他配方法
除了上述常见的配方法外，还有一些特殊 的配方法，根据不同的情况选择合适的方 法来解决问题。
实例分析
配方法在代数式中的应 用
通过配方法，我们可以将复 杂的代数式转化为更简单的 形式，从而更容易理解和计 算。
配方法适用于解决代 数式、方程和函数等 领域的问题，能够帮 助学生发现问题的规 律和解题的思路。
南开中学初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
初中数学竞赛辅导资料一元二次方程、完全平方数
初中数学竞赛辅导资料1一元二次方程的根甲内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.乙例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). 例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.丙练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）参考答案练习1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛辅导资料为2完全平方数和完全平方式甲内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根丙练习1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
初中数学竞赛辅导材料目录
初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。
祝学习愉快！。
中考数学非负数专题讲座
中考数学非负数专题讲座所非数，是指零和正数．非数的性在解中适用．常的非数有三种：数的偶次、数的和算根．1．数的偶次是非数若 a 是任意数， a2n≥ 0(n 正整数 ) ，特地，当 n=1 ，有 a2≥0．2．数的是非数若 a 是数，性最小的数是零．`3．一个正数的算根是非数4．非数的其他性(1)数上，原点和原点右的点表示的数都是非数． (2) 有限个非数的和仍非数，即若 a1，a2，⋯， a n非数，a1＋a2＋⋯＋ a n≥0．(3)有限个非数的和零，那么每一个加数也必零，即若a1，a2，⋯，a n 非数，且 a1＋ a2＋⋯＋ a n=0，必有 a1＝a2＝⋯＝ a n＝ 0．在利用非数解决的程中，条性使用的最多．(4)非数的和商 ( 除数不零 ) 仍非数．(5)最小非数零，没有最大的非数．(6)一元二次方程 ax2＋bx＋ c=0(a ≠0) 有数根的充要条件是判式△=b2-4ac 非数．用非数解决的关在于能否并揭穿出目中的非数，正确运用非数的有关看法及其性，巧妙地行相关系的化，从而使获取解决．解得 a=3，b=-2．代入代数式得解由于 (20x -3) 2为非负数，因此-(20x -3) 2≤0．①-(20x -3) 2≥0．②由①，②可得： -(20x -3) 2=0．因此原式 =｜｜ 20±0｜＋ 20｜=40．说明本题解法中应用了“若 a≥ 0 且 a≤0，则 a=0”，这是个很适用的性质．例 3 已知 x， y 为实数，且解由于 x， y 为实数，要使 y 的表达式有意义，必有解由于 a2 +b2-4a-2b+5=0，因此a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a -2) 2+(b -1) 2=0．(a -2) 2=0，且 (b -1) 2=0．因此 a=2，b=1．因此例 5 已知 x， y 为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3 的最小值和获取最小值时的x， y 的值．解 u=5x 2 -6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2 +1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x -y+1) 2+(2x -y) 2+2．由于 x， y 为实数，因此(x -y+1) 2≥ 0， (2x -y) 2≥0，因此 u≥2．因此当时， u 有最小值 2，此时 x=1，y=2．例 6 确定方程 (a 2 +1)x 2 -2ax+(a 2+4)=0 的实数根的个数．解将原方程化为a2x2 -2ax+1+x2+a2 +3=0，即(ax -1) 2+x2+a2+3=0．对于任意实数 x，均有(ax -1) 2≥0，x2≥0，a2≥ 0， 3＞0，因此， (ax -1) 2+x2+a2 +3 恒大于 0，故(a 2+1)x 2-2ax+(a 2+4)=0 无实根．例 7 求方程的实数根．解析本是已知一个方程，但要求出两个未知数的，而要确定两个未知数的，一般需要两个方程．因此，要将已知方程形，看能否出新的形式，以利于解．解之得，均原方程的解．明用非数的性“几个非数之和零，几个非数都零”，可将一个等式化几个等式，从而增加了求解的条件．例 8 已知方程求数 x1，x2，⋯， x n的．解然， x1 =x2=⋯=x n=0 是方程的解．由已知方程可知，在 x1， x2，⋯， x n中，只要有一个零，必有 x1=x2 =⋯=x n=0．因此当 x1≠0，x2≠ 0，⋯， x n≠0 ，将原方程化将上面 n 个方程相加得又因 x i数，因此，原方程的解例 9 求足方程｜ a-b｜ +ab=1 的非整数 a，b 的．解由于 a， b 为非负整数，因此解得例 10 当 a，b 为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a 2+4ab+4b2+2=0 有实数根？解由于方程有实数根，因此△≥0，即△=4(1+a) 2-4(3a 2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2 +8a-4≥0，因此2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2 -4ab-4b2≥0，-(a -1) 2 -(a+2b) 2≥ 0．由于 (a -1)2 ≥ 0，(a+2b) 2≥0，因此例 11 已知实数 a，b，c，r ，p 满足pr ＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2 +2bx+c=0必有实数根．△=(2b) 2-4ac=(pc+ra) 2 -4ac=p2c2 +2pcra+r 2a2-4ac =p2c2-2pcra+r 2a2+4pcra -4ac=(pc -ra) 2+4ac(pr -1) ．由已知 pr -1＞0，又 (pc -ra) 2≥0，因此当ac≥0 时，△≥ 0；当 ac＜0 时，也有△ =(2b) 2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例 12 对任意实数 x，比较 3x2+2x-1 与 x2+5x-3 的大小．解用比差法．(3x 2+2x-1) -(x 2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x 2+2x-1) -(x 2+5x-3) ＞0，因此 3x 2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判断差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题获取解决．例 13 已知 a，b，c 为实数，设证明： A， B， C中最少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a 2-2a+1)+(b 2-2b+1)+(c 2-2c+1)+ π -3=(a -1) 2+(b -1) 2+(c -1) 2+( π-3) ．由于 (a -1) 2≥0，(b -1) 2≥ 0， (c -1) 2≥0，π -3＞0，因此 A+B+C＞0．若 A≤0，B≤0，C≤0，则 A+B+C≤ 0 与 A+B+C＞ 0 不符，因此 A，B，C中最少有一个大于零．例 14 已知 a≥0，b≥0，求证：解析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明由于 a≥ 0， b≥ 0，因此又由于因此原不等式成立．例 15 四边形四条边长分别为 a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4 -4abcd=0，因此(a 4-2a2b2+b4)+(c 2-2c2d2+d4)+(2a 2b2-4abcd+2c2d2 )=0 ，即 (a 2-b2 ) 2 +(c 2-d2) 2+2(ab-cd) 2=0．由于 a， b， c， d 都是实数，因此(a 2-b2) 2≥0，(c 2 -d2) 2≥0，(ab -cd) 2≥0，因此由于 a， b， c， d 都为正数，因此，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习：1．求 x，y 的值：4．若实数 x，y，z 满足条件5．已知 a， b， c， x， y， z 都是非零实数，且 a2+b2 +c2=x2+y2+z2=ax+by-cz ，6．若方程 k(x 2-4)+ax -1=0 对一的确数 k 都有实数根，求 a 的取值范围．。
初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数⼀. n 位数的个数：⼀位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. ⼀本书共1989页，⽤0到9的数码，给每⼀页编号，总共要⽤数码＿＿＿个. 2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是⼀个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.⼆. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推⼴到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6. 1+3+5+……+99=____________.7. 5+10+15+……+100=_________.8. 1+4+7+……+100=____________.9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为⽌：位198011121234567891这个数⽤9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：①它是⼀个________位数；②它的各位上的数字和等于________；③从这⼀数中划去100个数字，使剩下的数尽可能⼤，那么剩下的数的前⼗位是___________________________.四.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n !整除.如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n ! 中含有质因数m 的个数是m n +2m n +…+??i m n . [x]表⽰不⼤于x 的最⼤正整数，i=1,2,3… m i ?n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：+????2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积5的个数是：____16.⼀串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都⼩于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.⼄. 正整数⼗进制的表⽰法⼀. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0?a i ?9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最⾼位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除⼆. 常见的⼀些特例 99999个n =10 n －1, 33333个n =31(10 n －1), 9111111= 个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何⼀个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91 -n (10 n +2) =331103110+-?-n n=)13110(3110+-?-n n = 33333个n ×433333)1(个-n . 证毕. 练习：21. 化简 99999个n × 99999个n +199999个n =_______________________________. 22. 化简2122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证119901111个是合数. 24. 已知：存在正整数 n,能使数11111个n 被1987整除. 求证：数p= 11111个n 99999个n 88888个n77777个n 和数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n717777个+n 都能被1987整除. (1987年全国初中数学联赛题)25. 证明：把⼀个⼤于1000的正整数分为末三位⼀组，其余部分⼀组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证： 11111个n ×110000个-n 5+1是完全平⽅数. 丙. 末位数的性质.⼀.⽤N (a)表⽰⾃然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r ) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的：个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本⾝.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本⾝.2. N (a)=N (b)?N (a －b)=0?10 |(a －b).3. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ；和②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28. 求证：10 | (19871989－19931991).29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.⼆. ⾃然数平⽅的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平⽅的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. ⽤这⼀性质计算连续整数平⽅的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题)解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平⽅的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2. 为判断不是完全平⽅数提供了⼀种⽅法例题2. 求证：任何五个连续整数的平⽅和不能是完全平⽅数.证明：(⽤反证法)设五个连续整数的平⽅和是完全平⽅数，那么可记作：(n －2)2+(n －1)2+n 2+(n+1)2+(n+2)2=k 2 (n, k 都是整数)5(n 2+2)=k 2 .∵ k 2是5的倍数，k 也是5的倍数.设k=5m, 则5(n 2+2)=25m 2.n 2+2=5m 2.n 2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n 2的倍数是8或3.但任何⾃然数平⽅的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成⽴∴任何五个连续整数的平⽅和不能是完全平⽅数.3.判断不是完全平⽅数的其他⽅法例题3. 已知：a 是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平⽅数证明：∵a(a+1)+1=a 2+a+1，且a 是正整数∴ a 2< a(a+1)+1=a 2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平⽅之间∴a(a+1)+1不是完全平⽅数例题4. 求证：11111个n (n>1的正整数) 不是完全平⽅数证明：根据奇数的平⽅数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 11111个n =1100111112-个n =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 即11111个n 除以4余数为3，⽽不是1，∴它不是完全平⽅数.例题5. 求证：任意两个奇数的平⽅和，都不是完全平⽅数.证明：设2a+1,2b+1(a,b 是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平⽅和，都不可能是完全平⽅数.三. 魔术数：将⾃然数N 接写在每⼀个⾃然数的右⾯，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的⾃然数，其末位数是1，2，5 (即10的⼀位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的⾃然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的⾃然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在⼩于130的⾃然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续⾃然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n 是⾃然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻⾃然数的积，那么n 的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的⼀种分类：??).1(.)1( 1然数整除和本⾝外还能被其他⾃除合数；然数整除和本⾝外不能被其他⾃除质数； 2. 质数中，偶数只有⼀个是2，它也是最⼩的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续⾃然数，个个都是合数.解：答案不是唯⼀的，其中的⼀种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.⼀般地，要写出n 个连续⾃然数，个个是合数，可⽤令m=n+1, 那么m !+2, m !+3, m !+4, +……+ m !+n+1 就是所求的合数.∵m !+i (2?i ?n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ，与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最⼩公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m !=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续⾃然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这⾥11=10+1，即N 是不⼤于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的⼀种分类：)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被2. 运算性质：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：①两个连续整数必⼀奇⼀偶，其和是奇数，其积是偶数.②奇数的平⽅被4除余1；偶数的平⽅能被4整除；除以4余2或3的整数不是平⽅数.a) 2n (n 为正整数)不含⼤于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必⼀奇⼀偶.c) 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必⼀奇⼀偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有⼀个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从⽽m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求⽅程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴⽅程左、右两边不能相等.若x, y 为⼀奇⼀偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴⽅程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，⽅程两边都不能相等.所以原⽅程没有整数解本题是根据整数的⼀种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了⽅程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的⽴⽅和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：⽅程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： =?=++++.0321321n x x x x x x x x n n ；求证：n 是4的倍数. 42. 若n 是⼤于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘⽅的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989，∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期⼀，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, ⾄少有两个是同余数，这是为什么？ 45. a 是整数，最简分数7a 化为⼩数时，若为循环⼩数，那么⼀个循环节最多有⼏位？4. 运⽤余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进⾏检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ；② 2473×429=1060927.解：①⽤各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7，∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.⽽7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有⽆差错：①372854－83275=289679 ；②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应⽤例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，⾄少有⼀个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有⼀个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，⾄少有⼀个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复⼜不违漏)例4. 已知： p ?5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1；只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数，符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平⽅和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：⾃然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果有⼀个是质数，则另⼀个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，⾄少有⼀个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. ⼆元⼀次⽅程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有⼀个整数的特解?==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ?-=+= 2. 运⽤整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数，整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)⾃然数=整数3. ⼀元⼆次⽅程，⽤求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. ⼩军和⼩红的⽣⽇.都在10⽉份，且星期⼏也相同，他们⽣⽇的⽇期的和等于34，⼩军⽐⼩红早出⽣，求⼩军的⽣⽇.解：设⼩军和⼩红的⽣⽇分别为x, y ，根据题意，得=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ==.2410y x ，当k=4时，?==.313y y x ， (10⽉份没有31⽇，舍去) ∴⼩军的⽣⽇在10⽉10⽇例2. 如果⼀个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平⽅和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初⼆数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ，且－8( 1)当a －b+c=0时，得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代⼊，并整理为关于a 的⼆次⽅程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0根据韦达定理??-=-=+.2522121c c a a c a a ，这是必要⽽⾮充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐⼀讨论a 的解.当 c=2, 4时，⽆实数根；当c=1, 3时，⽆整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时，得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代⼊，并整理为关于a 的⼆次⽅程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐⼀以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满⾜等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5那么 x 5的最⼤值是________. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值. （1988年全国初中数学联赛题） 54.能否找到这样的两个正整数m 和n ，使得等式m 2+1986=n 2成⽴. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初⼆数学双基赛题） 55.当m 取何整数时，关于x 的⼆次⽅程m 2x 2－18mx+72=x 2－6x 的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初⼆数学双基赛题） 56.若关于x 的⼆次⽅程（1+a ）x 2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a 的取值是________________. （1989年泉州市初⼆数学双基赛题） 57.不等边三⾓形的三条边都是整数，周长的值是28，最⼤边与次⼤边的差⽐次⼤边与最⼩边的差⼤1，适合条件的三⾓形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 58.直⾓三⾓形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于⾯积的数值，求各边长. 59.鸡翁⼀，值钱；，鸡母⼀，值钱三；鸡雏三，值钱⼀.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各⼏何？ 60. 甲买铅笔4⽀，笔记本10本，⽂具盒1个共付1.69元，⼄买铅笔3⽀，笔记本7本，⽂具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、⽂具盒各1，应付⼏元？若1×2×3×4×……×99×100=12 n ×M ，其中M 为⾃然数，n 为使得等式成⽴的最⼤⾃然数，则M 是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)练习701. 9+90×2+900×3+990×4=68492. 2893 79563. 30，300，3×10n －14. 50, 33, 476, 317 .5.25506.2500.7. 10501. 1717. 9.奇数 (1+1989)×21989 . 10有两组：18，19，20，21，22； 9，10，11，12，13，14，15，16.11.有四组：除上题中的两组外，尚有－8到16；－17到2212. 13501. 13. 余数是6(由1到102刚好是198位).14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15.516. 60个. 计算积中含质因数5的个数是：从10，25，40，55，……700这组数中含质因数5⽽25，100，175，……700含有52因数，应各加且250，625，含有53因数，应再各加1个5625 含有54因数，再加1个5. ∴总共是17. ??+++625198912519892519895198918. 把a(a 2－1)(3a+2)化为a(a+1)(a －1)[(2a+4)+(a －2)]=2(a －1)a(a+1)(a+2)+(a －2)(a －1)a(a+1).19.因为它们都⼩于2n,n 组中的⼀个互质.20. 易证能被21. 原数=(10n22. 原数=91=(3110-n )2=( 个n 2)3333( (109－1) =91×(10995+1) (10－1)×N (N 为整数) 24. p= n×(103n +9×102n +8×10n +7) q=11111+n ×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7) ∵10n =9×个n 1111+1， 103n+3，102n+2，10n+1除以个n 1111的余数分别为103，102，10.∴q 的第⼆因式除以个n 1111的余数分别为1×103+9×102+8×10+7…… 25.设A=103 M+N ， 7|(M －N).A=103 M+N=103 M+M －M+N=1001M －(M －N).26. 原数=1)510(9110++?-n n =…… 27. 1. 28. 71与33的个位数相同. 29 . 0.30. 9个(1，25，10，20，25，50，100，125).31. 2，6. 可设9n 2+5n+26=m(m+1), 配⽅，分解因式32. 2，9. 33. 8，9.34. 22!+3，22!+5，22!+7，………22!+19，22!+2135. 可设2×3×5×7×11×13×17，那么 N+2，N+3，……N+16即所求.36. (22n+1)2+(x 2n )2+2×22n+1×x 2n －4×22n ×x 2n =(22n+1+x 2n )2－(2 ×2m ×x n )2……37. 奇数. 38 奇数 .39. 4个正整数的和为奇数，则这4个数中有1个或3个是奇数.40. 若有奇数根，则奇+奇+奇≠0；若有偶数根，则偶+偶+奇≠0.41. 若n 为奇数，则与(1)⽭盾；若n 为偶数，由(1)可知，偶数必成双，再由(2)知n 是4的倍数.42. 奇数 43. 星期⼆，∵9 9除以7余数是1.44. 除以整数n －1的余数，最多只有n －1种45. 六位. ∵除以7，余数除0以外，只有6种.46. ①不对，∵⽤9除的余数 11－7≠5，②错.8×2=32，除以9余数不是6.47. a=6k ±1， a 2+23=12k(3k ±1)+2448. 把整数按模4分类为4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3.其平⽅后除以8余数分别为0，1，4，1任何两个余数的和都不等于6.49. a 8+3a 4－4=(a 4+4)(a 2+1)(a 2－1), a ≠5k ,则a=5k ±1,5k ±2, a 2 除以5的余数分别为1和4， a 4 除以5余数均为1.50. 2 n 不是3的倍数，可分别设为3k+1，3k －1.51. (同练习69第10题). 52. 5 53. 854. 不可能.(n+m)(n －m)=1986 按n+m, n －m 同奇，同偶讨论.m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0, [(m+1)x-12][(m-1)x-6]=0.； x 2=16-m . ∵⽅程的根是⾃然数，∴ 11,2,3,4,11,2,3,6.m m +=??-=? 0,1,2,3,5,11;2,3,4,7.m m =??=? ∴m=2,；或m=3.∴当m=2时，x 1=4；或 x 2=6. 当 m=3时, x 1=x 2=3. 56. a=－3,－2, 0, 1 (x 1+x 2=－a +12, x 1x 2=－1+a+12)57. 有三个，其边长分别是：11，9，8； 12，9，7； 13，9，6.58. 6，8，10或5，12，13.59. 设鸡翁，鸡母，鸡雏⼀只分别值 x,y,z 钱，则1001531003x y z x y z ++=++=??消去⼀元，得⼆元⼀次⽅程： 7x+4y=200. 求⾃然数解，得有四组答案：12,8,4,0,4,11,18,25,84;81;78;75.x x x x y y y y z z z z ============???? 60.=++=++12673169104 z y x z y x x+y+z=40 .61. 选(A). 根据连续整数的积的性质，100!含因数2共97个，含因数3有48个……。
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初中数学竞赛辅导资料（47-48）配方法 非负数 【附详细解答】配方法【甲】难点点拨1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式（a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2. 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：① 用完全平方式来因式分解例如：把x 4+4 因式分解.原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝…… 这是由a 2+b 2配上2ab.② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简625-.我们把5－26写成 2－232＋3＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2.这是由2 ab 配上a 2+b 2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2+2a －2 的最值. ∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3. 这是由a 2±2ab 配上b 2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0. 要使等式成立，必须且只需⎩⎨⎧=-=+0201y x .解得 ⎩⎨⎧=-=21y x此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.【乙】典型例题例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）＝（ab+1）2－(a －b)2（配方）＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想. 例2. 化简下列二次根式：①347+； ②32-； ③223410+-. 解：化简的关键是把被开方数配方①347+＝33224+⨯+＝2)32(+＝32+＝2＋3.②32-＝2322-＝2324-＝2)13(2-＝2)13(2-＝226-.③223410+-＝2)12(410+-＝）＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-=2－2.例3. 求下列代数式的最大或最小值：① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 .解：①x 2+5x+1＝x 2+2×2`5x+225⎪⎭⎫ ⎝⎛－425+1＝（x+25）2－421. ∵（x+25）2≥0，其中0是最小值. 即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－421.②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-21）=－2(x 2+2×23x+4949-－21)＝－2（x+23）2+211 ∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值211.例4. 解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0. 解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组） (x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-012y x x∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或⎩⎨⎧=-=11y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组) (x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方） ∴⎩⎨⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x例5.已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2, 则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题） 解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2 +b 2 c 2+ b 2 d 2= a 2c 2+ b 2 d 2+2abcd+ a 2d 2 +b 2 c 2－2abcd (分组，添项) =(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解 解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项) （x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩⎨⎧==04y x同理，共有12个解⎩⎨⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……【丙】模拟考场 1. 因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4 ；②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1. 2. 化简下列二次根式：①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）； ②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)； ③21217-； ④53+；⑤324411-+； ⑥5353-++； ⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（x -3）2＋1682+-x x . 3求下列代数式的最大或最小值： ①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1. 4.已知：a 2+b 2－4a －2b+5 . 求：223-+b a 的值.5.已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式cb a 111++值的正负. （全国初中数学联赛题） 7.已知：x=3819- .求：1582316262234+-++--x x x x x x . （全国初中数学联赛题） 8.已知：a 2+c 2+2(b 2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c. 9. 解方程：①x 2-4xy+5y 2-6y+9 ； ②x 2y 2+x 2+4xy+y 2+1=0 ； ③5x 2+6xy+2y 2-14x-8y+10=0. 10.求下列方程的整数解：①（2x-y －2）2＋(x+y+2)2=5； ②x 2-6xy+y 2+10y+25=0. 【丁】答案精析1. ②（x －y －3）22. ①8， ②0.5x ， ③3－22， ④2210+， ⑤2＋3， ⑥10 ⑦3＋5， ⑧7－2x （x ≤3） 3. ①当x=－25时，有最小值－223 ②x=1时，有最大值－214. a=2, b=1 代数式值是3＋225. ±136.负数。
由（a+b+c ）2=0 得出ab+ac+bc<04. 值为5。
先化简已知为4－3，代入分母值为2， 可知x 2－8x+13=0 分子可化为（x 2+2x+1）(x 2－8x+13)+10 ＝105. 配方（a －b ）2+(b －c)2=06. ①⎩⎨⎧==36y x ②⎩⎨⎧-=-=1,11,1y x ③⎩⎨⎧-==12y x7. ①⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==21312111y x y x y x y x ②（x-3）2+(y+5)2=9 …… 非负数【甲】难点点拨1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作a ≥0,读作a 大于或等于零，即a 不小于零. 2. 初中学过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则a ≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a 是实数，则a 2n ≥0（n 是正整数）. ⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a 是二次根式，则a ≥0， a ≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立. 若二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 有两个实数根， 则b 2－4ac ≥0. 若b 2－4ac ≥0 (a ≠0)， 则二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数. 3. 非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a 2有最小值0（当a=0时）， 1+x 也有最小值0（当x=－1时）. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零. 若a ≥0且－a ≥0， 则a=0；如果a －b ≥0且b －a ≥0，那么a －b=0. ⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若a ，b ，x 都是实数数，则a 2+b 2≥0, a ×b ≥0, a 2x ≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零. 例如 若+-1a （b ＋3）2+12+c =0那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-0120)3(012c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-0120301c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==5.031c b a .【乙】典型例题例1. 求证：方程x 4+3x 2+2x+6=0没有实数根 证明：把方程左边分组配方，得 （x 4+2x 2+1）+(x 2+2x+1)+4=0 即（x 2+1）2+(x+1)2=－4∵（x 2+1）2＞0，(x+1)2≥0， ∴（x 2+1）2+(x+1)2≥0. 但右边是－4.∴不论x 取什么实数值， 等式都不能成立. ∴方程x 4+3x 2+2x+6=0没有实数根. 例2.a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(a a a a --+--有意义？解：∵二次根式的被开方数（a －2）()1-a 与(a －2)(1－)a 都是非负数，且（a －2）()1-a 与(a －2)(1－)a 是互为相反数， ∴（a －2）()1-a ＝0. （非负数性质2） ∴a －2=0；或 1-a =0.∴a 1=2, a 2=1, a 3=－1.答：当 a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义. 例3.要使等式（2－31x ）2+48162--+x x x ＝0成立，x 的值是＿＿＿＿.（泉州市初二数学双基赛题）解：要使原等式成立∵（2－31x ）2≥0， ∴48162--+x x x ≤0.∴48162--+x xx ＝44--x x ＝－1，(x －4≠0)∴（2－31x ）2＝1，且x －4<0. 即⎪⎩⎪⎨⎧<-=041)3122x x －（ 解得⎩⎨⎧<=493x x x 或＝ ∴x=3 .答：x 的值是3.例4. 当a, b 取什么实数时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0有实数根？（全国初中数学联赛题）解：∵当△≥0时，方程有实数根.解如下不等式： ［2（1＋a ）］2－4(3a 2+4ab+4b 2+2)≥0－8a 2－16ab －16b 2+8a －4≥0， 2a 2+4ab+4b 2－2a+1≤0， （a+2b ）2+(a －1)2≤0 ①∵（a+2b ）2≥0且(a －1)2≥0， 得（a+2b ）2+(a －1)2≥0 ②∴只有当（a+2b ）2＝0且(a －1)2＝0 不等式①和②才能同时成立.答：当a=1且b=－21时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0有实数根. 【丙】模拟考场1. 已知在实数集合里x x -+-33有意义，则 x=____.2. 要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.3. 已知1212+++-b b a ＝0，则 a=＿＿, b=＿＿, a 100b 101=____.4. 把根号外因式移到根号里：① －a a =＿＿＿， ② b b -=＿＿＿＿， ③－c c1-=＿＿＿＿. 5.如果a<b,那么)()(3b x a x ++-等于（ ）（A ）（x+a ）))((b x a x ++-. (B) （x+a ）))((b x a x ++. (C) －（x+a ）))((b x a x ++-. (D) －（x+a ）))((b x a x ++.（全国初中数学联赛题）6. 已知a 是实数且使a a -=x , 则x=＿＿＿＿.(泉州市初二数学双基赛题)7. 已知a, b 是实数且a 2111+-+-≤b b . 化简1214422+--+-ab b a ab a 后的值是＿＿＿＿.(泉州市初二数学双基赛题)8. 当x=＿＿时，3－（x ＋2）有最大值＿＿＿.（泉州市初二数学双基赛题）9. 已知： ,141=-+-c a 且a -1,4-c 都是整数.求a, c 的值.（全国初中数学联赛题）10. 求方程x 2+y 2+x 2y 2+6xy+4=0的实数解.11. 求适合不等式2x 2+4xy+4y 2－4x+4≤0的未知数x 的值.12. 求证：不论k 取什么实数值，方程x 2+(2k+1)x －k 2+k=0都有不相等的实数解. 13.比较a 2+b 2+c 2与ab+bc+ca 的大小.14.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++a z xy a xz yz xy z y x 112的解x,y,z 都是非负数. 求a 的值.【丁】答案精析1. 32. －13. 1，－1，－14. ①－3a ， ②－3b -， ③c - 5. C6. 0。