中考常见的定义新运算题型
定义新运算试题及答案
定义新运算试题及答案1. 题目：设a*b表示a与b的和除以a与b的差的运算，求3*5的值。
答案：首先计算3与5的和，即3+5=8。
然后计算3与5的差，即5-3=2。
最后将和除以差，得到8÷2=4。
所以，3*5的值为4。
2. 题目：定义一种运算，a@b=a×b+a-b，计算4@6。
答案：根据定义的运算规则，先计算乘法部分，即4×6=24。
然后计算加法部分，即24+4=28。
接着计算减法部分，即28-6=22。
所以，4@6的值为22。
3. 题目：如果a#b表示a的平方减去b的平方，求2#3的值。
答案：首先计算a的平方，即2²=4。
然后计算b的平方，即3²=9。
接着计算平方的差，即4-9=-5。
所以，2#3的值为-5。
4. 题目：定义一种运算，a&b=a^b，其中^表示a的b次方。
计算2&3。
答案：根据定义的运算规则，计算2的3次方，即2³=2×2×2=8。
所以，2&3的值为8。
5. 题目：设a$b表示a与b的积除以a与b的和，求5$7的值。
答案：首先计算a与b的积，即5×7=35。
然后计算a与b的和，即5+7=12。
最后将积除以和，得到35÷12=2.9167。
所以，5$7的值为2.9167。
6. 题目：定义一种运算，a%b=a+b-(a×b)，计算8%3。
答案：首先计算a与b的和，即8+3=11。
然后计算a与b的积，即8×3=24。
接着计算和减去积，即11-24=-13。
所以，8%3的值为-13。
7. 题目：设a&b表示a的b次方根，求4&2的值。
答案：首先计算4的平方根，即√4=2。
所以，4&2的值为2。
8. 题目：定义一种运算，a*b=a的b次方，计算3*2。
答案：根据定义的运算规则，计算3的2次方，即3²=9。
所以，3*2的值为9。
新定义题型中考复习
1.定义新运算：a⊕b＝a（a﹣b）．例如：3⊕2＝3×（3﹣2）＝3，﹣1⊕4＝﹣1×（﹣1﹣4）＝5．（1）请直接写出3⊕a＝b的所有正整数解；（2）已知2⊕a＝5b﹣2m，3⊕b＝5a+m，说明：12a+11b的值与m无关；（3）已知a＞1，记M＝ab⊕b，N＝b⊕ab，试比较M，N的大小．2.定义：任意两个数a，b，按规则c＝﹣a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b 的“传承数．”（1）若a＝﹣1，b＝2，求a，b的“传承数”c；（2）若a＝1，b＝x2，且x2+3x+1＝0，求a，b的“传承数”c；（3）若a＝2n+1，b＝n﹣1，且a，b的“传承数”c值为一个整数，则整数n的值是多少？3.我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b 表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．4.先阅读材料，再回答问题：分解因式：1)(2)(2+---b a b a解：将“a-b ”看成整体，令a-b=M ，则原式=M 2-2M+1=(M-1)2,再将a-b=M 还原，得到：原式=(a-b-1)2.上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：（2）分解因式：=-+-1222y xy x .（3）若n 为正整数，则4)5)(4)(1(2++++n n n n 的值为某一个整数的平方，试说明理由．5.发现与探索．（1）根据小明的解答将下列各式因式分解小明的解答：a 2﹣6a +5＝a 2﹣6a +9﹣9+5＝（a ﹣3）2﹣4＝（a ﹣5）（a ﹣1）①a 2﹣12a +20②（a ﹣1）2﹣8（a ﹣1）+7③a 2﹣6ab +5b 2（2）根据小丽的思考解决下列问题：小丽的思考：代数式（a ﹣3）2+4无论a 取何值（a ﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a ﹣3）2+4大于等于4，则（a ﹣3）2+4有最小值为4．①说明：代数式a 2﹣12a +20的最小值为﹣16．②请仿照小丽的思考解释代数式﹣（a +1）2+8的最大值为8，并求代数式﹣a 2+12a ﹣8的最大值．。
专题10 代几综合题中的新定义-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 (解析版)
专题10 代几综合题中的新定义目录【题型一】 二次函数中的新定义【典例分析】﹣x，其顶点（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x22为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x22﹣x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x22﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；﹣t，即可求解；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t22②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A （1，﹣1），点B （m ，m ），则m ＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，y ＝x 22﹣x ＝（x 1﹣）21﹣故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 22﹣t ，解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②当OC ∥AB 时，∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0），∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A （1，﹣1），点B （m m ），∴m ＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y ＝x 22﹣x 向左平移2个单位得到的；当OB ∥AC 时，同理可得：抛物线的表达式为：y ＝（x 2﹣）2+2＝x 24﹣x +6，当四边形OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y ＝（x +1）21﹣．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．【提分秘籍】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
中考复习专题之新定义问题
练习巩固
1、[2016·芜湖繁昌县一模]定义一种新运算：观 察下列式子： 1⊙3＝1×4＋3＝7； 3⊙(－1)＝3×4－1＝11； 5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4－3＝13.
(1)请你想一想：a⊙b＝ 4a＋b ；
(2)若a≠b，则a⊙b ≠ b⊙a(填入“＝”或“≠”)
(3)若a⊙(－2b)＝4，请计算 (a－b)⊙(2a＋b)的
(2)除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说
明理由．
是,设这个奇数为2n＋1(n为正整数)，2n＋1＝(n＋1)2 －n2，所以除1外，所有正奇数一定是“智慧数”。．
课堂小结
1、这节课主要复习了新定义问题中的两 种类型：
① 定义新运算 ② 定义新概念
2、新定义运算，新概念问题一般是介绍 新定义、新概念，然后利用新定义、新概 念解题. 其解题步骤一般分为以下几步：
一、定义一种新运算 14. [2011·安徽] 定义运算：a⊕b＝a(1－
b)，下列给出了关于这种运算的几点结论： ①2⊕(－2)＝6； ②a⊕b＝b⊕a； ③若a＋b＝0，则(a⊕a)＋(b⊕b)＝2ab； ④若a⊕b＝0，则a＝0. 其中正确的结论序号是___①__③___(在横线上填上
你认为所有正确结论的序号)．
2、 [2016·安庆二模]定义：经过原点的抛物线y＝a(x＋
m)2＋n(a<0)与x轴交于点A，顶点为P，当△OAP为等腰直
角三角形时，称抛物线y＝a(x＋m)2＋n(a<0)为“正抛线
”．则下列关于正抛线的描述中，正确的是(A)
A．an＝－1
B．m＋n＝0
C．m＝n
D．mn＝a－2
3. [2016·舟山]我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做
中考复习： 新定义型
04 定义新图形
P1A=
1 3
，AO=
2
3
2
，
P（1 -
2
3
2
，1）. 3
∵ 点 P1 与点 P2 关于 y 轴对称，∴ P（2 2 2 ，1）. 33
则点 P1 与点 P2 均符合要求.
04 定义新图形
感悟——认识图形特征是关键
05 定义新性质
“定义新性质”是通过一个新的定义呈现数学 表征内在所具有的某些特征． 解决这类问题关键 是抓住性质的本质，理解运用性质特征，再结合 已学过的知识解题．
02 定义新符号
例 2．对于实数 x，规定x表示不小于 x 的最小整数，例如
1.2 = 2 ，3 =3，-2.5 =-2 ，则
（1）填空：①- =
；
②若x=-2，则 x 的取值范围是
．
（2）已知
x
为正整数，且
x
1 2
3，求
x
的值．
02 定义新符号
【简析】（1）①[﹣π]＝﹣3；
②x 的取值范围是﹣3＜x≤﹣2；
“新 定义” 型问 题
01 定义新运算
“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达 式表示一种新的运算． 解决这类问题的关键是理解 新运算规定的规则，明白其中的算理算法． 运算时， 要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运 算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．
01 定义新运算
例 1．对于任意实数 a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下： a⊗b=2a+b．例如 3⊗4=2×3+4=10． （1）求 2⊗（-5）的值； （2）若 x⊗（-y）=2，且 2y⊗x=-1，求 x+y 的值．
中考数学新定义题型专题复习(最新整理)
考点三：探索题型中的新定义3 + 2（一）专题诠释新定义型专题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、 新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．（三）考点精讲考点一：规律题型中的新定义例 1.定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1- a 称为 a 的差倒数．如：2 的差倒数是 11- 2= -1，－1 1 11 的差倒数是 = ．已知 a 1＝－ ，a2 是 a 1 的差倒数，a3 是 a 2 的差倒数，a 41- (-1) 2 3是 a 3 的差倒数，…，依此类推，a 2009＝．考点二：运算题型中的新定义例 2.对于两个不相等的实数 a 、b ，定义一种新的运算如下， a *b = a + ba +b ＞0），如：（ a ﹣b3* 2 = = 3﹣2，那么 6*（5*4）=．ab 例 3.我们定义 cd = ad - bc ，例如23=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若 x ，y 均为整数，且满足 1＜1x ＜45y 43，则 x+y 的值是 ．5例4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2，∠AFD 与∠DEC 的角平分线FP，EP 相交于点P．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3 平行四边形和图4 梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PA+PB=PC+PD 或PA+PC=PB+PD．（）考点四：阅读材料题型中的新定义阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足AB=AD、CB=CD 且AB≠BC 的四边形ABCD 叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．真题演练1.定义运算a ⊗b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几点结论：①2 ⊗（﹣2）=6；②a ⊗b=b ⊗a；③若a+b=0，则（a ⊗b）+（b ⊗a）=2ab；④若a ⊗b=0，则a=0．其中正确结论序号是．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）2.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有；（2）如图，梯形ABCD 中，AB∥DC，如果延长DC 到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．3.如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中 F K 1 ， K 1K 2 ， K 2 K 3 ， K 3 K 4 ， K 4 K 5 ， K 5 K 6，……的圆心依次按点 A ，B ， C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为 l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当 AB ＝1 时，l 2 011等于（ ）A.2011 2B.2011 3C.2011 4D.2011 6K 5K 6K 4D ECF B A K 1 K 3K 2 （第 12 题图）一、选择题1 11、定义一种运算☆，其规则为 a ☆b = ＋ ，根据这个规则，计算 2☆3 的值是（）A. 56B. 1 5 a bC.5D.62.在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算 8×9 时，左手伸出 3 根手指，右手伸出 4 根手指，两只手伸出手指数的和为 7， 未伸出手指数的积为 2，则 8×9=10×7+2=72．那么在计算 6×7 时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）A 、1，2B 、1，3C 、4，2D 、4，33.（2010 浙江杭州，10，3 分）定义[ a ， b ， c ]为函数 y ＝ a x 2+ bx c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当 m ＝﹣3 时，函数图象的顶点坐标是（ 1 , 8）；3 3②当 m ＞0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3；2③当 m ＜0 时，函数在 x ＞ 1时， y 随 x 的增大而减小；4 ④当 m≠0 时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论有（）A 、①②③④B 、①②④C 、①③④D 、②④二、填空题4.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的K 7（ ） （ ） 比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
中考专题复习——“新定义”问题(课件)
（一）运算模式
（二）函数模式
（二）函数模式
根据题目提示解题
其实就是“旋转函数”的性质
（二）函数模式
要证明两个函数互为“旋转函数”仍然要回归到 “旋转函数”的定义进行判定
（二）函数模式 注意
定义 既是 性质 又是 判定
（二）函数模式
解题关键是理解新定义，再结合已学知识解答。
专题复习——“新定义”问题
“新定义”型试题常见模式：运算模式、函数模式、几何模式
解决“新定义”问题常见思路：给什么，用什么。
陈一良
一、专题诠释 所谓“新定义”型试题，是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图 形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新 奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。其特点是源于初中 数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，要求学生读懂题意并结 合已有知识、能力进行理解，然后根据新定义进行运算、推理、迁 移的一种题型。“新定义”型试题常常以运算模式、函数模式、几 何模式等形式出现。 二、解题策略 解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。即：正确理解新定义， 并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方 法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题。
1、解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。
2、注意定义既有性质又有判定功能。
3、解题时要关注题目中的提示。
布置作业：练习卷
（二）函数模式
答案不唯一
（二）函数模式
（三）几何模式
（三）几何模式
直接运用“等对角四 边形”的性质解题
要证明一个命题是假命题只要 举一反例即可
（三）几何模式
（三）几何模式
注 意 分 类 讨 论
（三）几何模式
专题69 数与式中的新定义问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-新定义问题
例题精讲【例1】．定义一种新运算：，例如．若，则k＝．变式训练【变1-1】．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（）A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7【变1-2】．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．现在有一列非负数a1，a2，a3，…，已知a1＝10，当n≥2时，a n＝a n﹣1+1﹣5（[]﹣[]），则a2022的值为．【例2】．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i根据以上信息计算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．变式训练【变2-1】．贾宪是生活在北宋年间的数学家，著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》等书，但是均已失传．所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开方作法本源”图，也称为“杨辉三角”．贾宪发明的“开方作法本源“图作用之一，是为了揭示二项式（a+b）n（n＝1，2，3，4，5）展开后的系数规律，即（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．则二项式（a+b）n（n为正整数）展开后各项的系数之和为（）A．2n﹣1+1B．2n﹣1+2C．2n D．2n+1【变2-2】．已知n行n列（n≥2）的数表中，对任意的i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，n，都有a ij＝0或1．若当a st＝0时，总有（a1t+a2t+…+a nt）+（a s1+a s2+…+a sn）≥n，则称数表A为典型表，此时记表A中所有a ij的和记为S n．（1）若数表，，其中典型表是；（2）典型表中S5的最小值为．1．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝3⊗2＝2，则等于（）A．B．3C．D．22．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{}＝的解为（）A．1或3B．1或﹣3C．1D．33．定义：如果a x＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝log a N．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4B．3C．2D．14．我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc．如＝2×5﹣3×4＝﹣2，请你计算的值为．5．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+1）◎（m ﹣2）＝16，则m＝6．设n为正整数，记n！＝1×2×3×4×…×n（n≥2），1！＝1，则+++…++＝．7．新定义：任意两数m，n，按规定y＝﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数m，n 的“愉悦数”．则当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x 的值是．8．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636，可以转化为指数式62＝36．计算log39+log5125﹣log232＝．9．对于正整数m，我们规定：若m为奇数，则f（m）＝3m+3；若m为偶数，则f（m）＝．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f（m2），m4＝f（m3），…，依此规律进行下去，得到一列数m1，m2，m3，m4，…，m n，…（n为正整数），则m1+m2+m3+…+m2021＝．10．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序数对（a，b）为点P的斜坐标．（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是；（2）在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点P的斜坐标为（2，4），点N与点P关于x 轴对称，则点N的斜坐标是．11．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：＝（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．（1）当r＝0时，常数p的值为．（2）利用欧拉公式计算：＝．12．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s、t是正整数，且s≤t），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整数，则F（n2）＝1，其中正确说法的是（将正确答案的序号填写在横线上）．13．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值．14．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．（1）求的值．（2）若＝20，求m的值．15．材料：对于一个四位正整数m，如果满足百位上数字的2倍等于千位与十位的数字之和，十位上数字的2倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数”．例如：∵3579中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579是“相邻数”．（1）判断7653，3210是否为“相邻数”，并说明理由；（2）若四位正整数n＝1000a+100b+10c+d为“相邻数”，其中a，b，c，d为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，设F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，若为整数，求所有满足条件的n值．16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）5展开式共有项，系数和为．（2）求（2a﹣1）5的展开式；（3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为．17．若规定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n为正整数，例如f（3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．（1）计算f（4，3）﹣f（3，4）；（2）试说明：；（3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+ f（27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．①a，b的值分别为多少？②试确定a b的个位数字．18．请阅读以下材料，解决问题．我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi （a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝；②将m2+9（m为实数）因式分解成两个复数的积：m2+9＝；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2022的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．19．式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示为．（1）把写成加法的形式是；（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为；（3）计算：．20．好学的小贤同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算（x﹣5）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为．（2）若计算（x2+x﹣1）（x2﹣2x+a）（2x+3）所得多项式的一次项系数为2，求a的值；（3）若（x+1）2022＝a0x2022+a1x2021+a2x2020+…+a2021x+a2022，则a2021＝．21．阅读下列材料．材料一：对于一个四位正整数，如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字，则称这个数是“双增数”；如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字，则称这个数是“双减数”．例如：3628、4747是“双增数”，5231、9042是“双减数”．材料二：将一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m'，规定：F（m）＝m﹣m'，例如：F（2146）＝2146﹣2416＝﹣270．（1）最大的“双增数”是，最小的“双减数”是；（2）已知“双增数”s＝1000x+100（y+4）+10y+6（1≤x≤9，0≤y≤9，x、y是整数），“双减数”t＝3000+20a+b（0≤a≤9，0≤b≤9，a、b是整数），且t的各个数位上的数字之和能被12整除，现规定k＝F（s）+F（t），求k的最大值．。
中考新定义问题(课堂PPT)
·新课标
思考探究：若记 y＝f(x)＝1＋x2x2，其中 f(1)表示当 x＝1 时 y 的
值，即 f(1)＝1＋1212；f21表示当 x＝12时 y 的值，即 f12＝1＋21122 2＝
15；
…；
则 1
f(1) ＋ f(2) ＋ f 21 ＋ f(3) ＋ f 31 ＋ … ＋ f(2011) ＋ f 20111 ＝
15 ，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算
C160
．
小结：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年
出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．·新课标 6
类型之三 定义一种新数
1.一个数有两个或两个以上相同的质因数叫漂亮数，如果 两个漂亮数之间相差1，则称为孪生漂亮数。写一个漂亮 数＿ ；一对孪生漂亮数是＿ ＿ 。
S2
A1B1C1 与△A2B2C2 有一定的“全等度”如图 7，已知 梯形 ABCD,AD∥BC°，∠B＝30º，∠BCD＝60º， 连结 AC.
（1）若 AD＝DC,求证：△DAC 与△ABC 有一 定的“全等度”；
（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全 等度”正确吗？若正确说明理由；若不正确，请 举出一个反例说明
____2_0_1_0_2________.
[解析] 本题是找规律的题目，f(1)＝12，f(2)＝45，f12＝15，f(3)＝190， f13＝110由此可以发现：f(2)＋f12＝1；f(3)＋f13＝1，以此类推， f(2011)＋f20111＝1，共有 2010 个 1，所以，答案是 201012.
这类问题最关键的思维
3
·新课标
3.A、B表示两个数，A※B= A B ，
中考数学复习新定义、新运算型问题精讲(共24张PPT)
3
1
解析:选项A中,3×(-2)+2×3=0,∴两向量互相垂直;
选项 B 中,( 2-1)· ( 2+1)+1×1=2,∴两向量不垂直; 1 选项 C 中,3×(-3)+20180×(-1)=-2,∴两向量不垂直; 选项 D 中, 8×( 2) +(- )×4=2,∴两向量不垂直.
所以说法错误的是 C.
4.(2018· 聊城)若x为实数,则[x]表示不大于x的最大整数,例如 [1.6]=1,[π]=3,[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数,对任意的实 数x都满足不等式[x]≤x<[x]+1 ①.利用这个不等式①,求出满足
[x]=2x-1的所有解,其所有解为 1 或2
解析:根据题意,得 第一次:当n=13时,F①=3×13+1=40,
第二次:当 n=40 时,F②=23 =5,
2
40
第三次:当 n=5 时,F①=3×5+1=16, 16 第四次:当 n=16 时,F②= 4 =1, 第五次:当 n=1 时,F①=3×1+1=4, 4 第六次:当 n=4 时,F②=22 =1,
������������ ������ ������������ ������
b1a2
b2 = 2
13 -2
b2 = 1 c2 = 2
-14 -7 21 -7
112
-2 =1×(-2)-1×12=-14,
13 12 =2×12-1×3=21,
������ = ������ =
= =
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中考常见的定义新运算题型
新定义
“新定义” 问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．
一、定义新运算
1．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
①f（x，y）＝（y，x）．如f（2，3）＝（3，2）；
②g（x，y）＝（－x，－y），如g（2，3）＝（－2，－3）．
2．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[4/3]＝0，[3.14]＝3．
3．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a ＋b．
4．对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B＝（x1＋x2）＋（y1＋y2）．例如，A（－5，4），B（2，－3），A⊕B＝（－5＋2）＋（4－3）＝－2．
5．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n为非负整数时，若n－1/2≤x＜n＋./2，则<x>＝n，如<0.46>＝0，<3.67>＝4．
6．对于实数a、b，定义一种运算“?”为：a?b＝a2＋ab﹣2．
7．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．
【典型例题】——定义新运算
001．（13定西）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32﹣3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是．
【解析】
解：∵a★b＝a2﹣3a＋b，
∴x★2＝ x2－3x＋2＝6，即x2－3x－4＝0，解得：x1＝4，x2＝－1，
则实数x的值是－1或4．
故答案为：－1或4．
【总结】根据新定义，表示出x★2，即可建立等量关系求出x的值．。