2022-2023学年上海市虹口区复兴高级中学高一数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析
2023-2024学年上海中学高一上学期数学期末试卷及答案(2024.01)
1上海中学2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数224y x x =−+的图像关于直线________成轴对称． 2．已知函数()21,2,lg ,2,x x f x x x +<= ≥ 则()()()05f f f +=________．3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为________．4．已知点()sin ,cos P αα在第二象限，则角α的终边在第________象限．5．化简：4224441sin cos sin cos sin cos θ⋅θ+θ⋅θ=−θ−θ________．6．若函数()1f x x a =−+在区间[)1,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______． 7．函数()21yf x =−的定义域为()0,1，则函数()1yf x =−的定义域为________．8．函数3132xx y −=−的值域是________．9．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且当0x >时，其表达式为()22x f x x =+，则当0x <时，其表达式为()f x =________．10．已知函数()3log ,034,3x x f x x x <<= −≥，若存在0a b c <<<满足()()f a f b ==()f c ，则()()f a f c abc的取值范围为________．11．已知函数()f x ，()g x ，()h x 的定义域均为R ．给出以下3个命题： （1）()f x 一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；（2）若()f x 是奇函数，且在().0−∞是严格减函数，则()f x 在R 上是严格减函数； （3）若()()f x g x +，()()g x h x +，()()h x f x +在R 上均是严格增函数；则()f x ，()g x ，2()h x 中至少有一介在R 上是严格增函数．其中，假命题的序号为________．12．已知函数()f x 满足：()()()()22114f x f x f x f x +−++−=则下列三个结论： （1）()()()()2220242024186518654f f f f −+−=；（2）()()20232024f f =； （3）()()202418654f f +≤．其中正确的结论是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．若幂函数()()22235mm f x mm x −−=+−的图像不经过原点，则m 的值为（ ）A ．2B ．3−C ．3D ．3−或214．存在函数()f x 满足：x R ∀∈都有（ ） A ．()31fx x +=B ．211f x x=−C ．()211f x x +=+D ．()221f x x x +=+15．已知函数()()1,0,2,0,x x f x x x x +< =−≥ 若(1)f x −在区间I 上恒负，且是严格减函数，则区间I 可以是（ ）．A ．()2,1−−B ．()1,0−C ．()0,1D ．()1,216．定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）． （1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．43三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知函数()f x 是R 上的严格增函数，()g x 是R 上的严格减函数，判断函数()()f x g x −的单调性，并利用定义证明．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 在下面的坐标系中画出下列函数的图像： （1）2y x −=（2）22x y =−．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 解下列关于x 的方程：（1）162log log 163x x +=； （2）()()2416290x x x a a a −+⋅−−⋅=．20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k ≤ += ≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）．521.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．6参考答案一、填空题1.1x =；2.1；3.8；4.四；5.12； 6.(],2−∞； 7.()0,2； 8.()1,1,2−∞∪+∞；9.212x x +； 10.10,3； 11.（3）； 12.（1）（3）； 二、选择题13.A ； 14.D ； 15.B ； 16.B16.定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）．（1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．4B(1)方程()0f g x = 有且仅有三个解;()g x 有三个不同值,由于()y g x =是减函数,所以有三个解,正确;(2)方程()0g f x = 有且仅有三个解;从图中可知,()()0f x ,a ∈可能有1,2,3个解,不正确; (3)方程()0f f x = 有且仅有九个解;类似(2)不正确;(4)方程()0g g x = 有且仅有一个解.结合图象,()y g x =是减函数,故正确.7故选B . 三、解答题 17.严格增，证明略 18. 画图略 19. （1）416x or =（2）①当0a ≤时，()23log 1x a =−；②当01a <<时，()()122233log 1,log 2x a x a =−=；③当1a ≥时，()23log 2x a =20.某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k≤ +=≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）． （1）1000k = （2）522(1)由17时测得的平均行车速度为3/km h ,得100n =, 代入*2600,9,1033000,10,……n n vn N n n k +∈ +,可得2330003100k =+,解得1000k =. (2)①当9…n 时,60060010101nq nv n n===++为增函数,所以6009300109…q ×<+; ②当10…n 时,330001000q nv n n==+在(0,上单调递增,在,)+∞上单调递减,8且由()31.631.7,知,当31,32n n ==时,较大的q 值为最大值, 分别代入31n =和32n =计算,结果均约为522,故522max q ≈. 综上可知,一天内车流量q 的最大值为522.21.若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．（1）()f n <()1f n + （2）不是 （3）证明见解析（3）①首先证明对于任意*n N ∈,()()1.f n f n <+当()1x n,n ∈+时,由()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 可知()f x 介于()f n 和()1f n +之间.若()()1,…f n f n +则()f x 在区间(]1n,n +上存在最小值()1f n +,矛盾. 利用归纳法和上面结论可得：对于任意*,k n N ∈,()(),.n k f n f k <<当时 ②其次证明当1…n 且x n >时,()()f x f n >;当2…n 且x n <时,()()…f x f n . 任取x n >,设正整数k 满足1剟n k x k <+,则()()()()1剟剟f n f k f x f k …+. 若存在01厖k x k n +>使得()()0…f x f n ,则()()()()00剟?f x f n f k f x , 即()()0f k f x =.由于当()1x k ,k ∈+时,()()…f k f x , 所以()f x 在区间(0k ,x 有最小值()0f x ,矛盾.9类似可证,当2…n 且x n <时,()()…f x f n .③最后证明:当1…x 时,()()2f x f x >.当1x =时,()()21f f >成立.当1x >时,由21x x x −=>可知,存在*n N ∈使得2x n x <<,所以()()()2…f x f n f x <.当()1x n,n ∈+时,有:()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 若()()1f n f n =+,则()()()1,f x f n f n ==+所以()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故不成立.若()()1f n f n ≠+,则()(){}()()(){},11min f n f n f x max f n ,f n +<<+假设()()1f n f n +<,则()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故假设不成立. 所以当()1x n,n ∈+时,()()()1f n f x f n <<+对于任意*n N ∈都成立. 又()()1f n f n <+,故当()*m n m n N <∈、所以()()()()11,f m f m f n f n <+<…<−<即()()f m f n <.所以当x n <时,则存在正整数m 使得1剟m x m n −<,则()()()()1剟f m f x f m f n −< 所以当x n <时,()()f x f n <,同理可证得当x n >时,()()f x f n >.所以当1x >时,必然存在正整数n ,使得2x n x <<,所以()()()2f x f n f x <<; 当1x =时,()()21f f >显然成立; 所以综上所述:当1…x 时,()()2f x f x >.。
2021-2022学年上海虹口高级中学高一数学理上学期期末试题含解析
2021-2022学年上海虹口高级中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9参考答案：B【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差中项的性质，利用已知条件，能求出m，n，由此能求出m和n的等差中项．【解答】解：∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选：B．2. 函数f（x）=log3（4x﹣1）的定义域为（）A．（﹣∞，] B．[）C．（] D．（）参考答案：D【考点】对数函数的图像与性质．【专题】整体思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】由对数有意义可得4x﹣1＞0，解不等式可得函数的定义域．【解答】解：由对数有意义可得4x﹣1＞0，解不等式可得x＞，∴函数的定义域为（，+∞）故选：D【点评】本题考查对数函数的定义域，属基础题．3. 三个数大小的顺序是（）A． B.C． D.参考答案：A略4. 若，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据可得到，进而求出，从而可求出的值，从而得出与的夹角．【解答】解：；∴===0；∴；∴；又；∴的夹角为．故选B．5. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A BC D参考答案：D略6. 函数的图象是下列图象中的( )参考答案：C7. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5，6}，则?U A等于( ) A．{1，3，5} B．{2，4，6} C．{2，4} D．{1，3，5，6}参考答案：C【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据补集的定义，求出A在全集U中的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5，6}，∴?U A={2，4}．故选：C．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．8. 设集合，则（）A．B．C．D．参考答案：B9. 下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是( )A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x+1|C．D．参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】常规题型．【分析】本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．【解答】解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错；∵f（x）=﹣|x+1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；∵a＞1时，y=a x在[﹣1，1]上单调递增，y=a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）=（a x﹣a﹣x）在[﹣1，1]上单调递增，故C错；故选 D【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，是函数这一部分的常见好题．10. 设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 当时，函数的最大值为，则实数。
2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学质量检测试卷(含解析)
2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学质量检测试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，，则下列不等式成立的是（）a b >0c <A. B. C. D. 22ac bc>a b c c>a c b c +<+a b c>-2. 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的{|(2)0}A x x x =+<{|||1}B x x =£集合是（）A. B. (2,1)-[1,0)[1,2)-⋃C. D. (2,1)[0,1]-- [0,1]3. 方程在区间和各有一个根的充要条件是（）220x ax a +-=()0,1()1,2A.B.(),1a ∞∈--4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C .D.4,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2,1a ∈--4. 已知a ，b ，，若关于x 不等式的解集为R c ∈01a cx b x x ≤++≤-，则（）[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>A. 不存在有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=B. 存在唯一有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=C .有且只有两组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=D. 存在无穷多组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=二、填空题：本题共10小题，共42分．5.已知集合，，则______R U ={}211A x x =-<A =6. 已知集合，，且，则的值为________.{1,}A m =-{}21,B m =A B =m 7. 若，则实数______．{}241,,24a a a ∈---a =8. 命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为,a b R ∈110a b -+-=1a b ==__________．9. 若集合的子集只有两个，则实数______．{}2310A x ax x =-+=a =10. 设命题p ：集合，命题q ：集合，若{}20A x x =-≤≤{}211B x a x a =+≤≤-，则实数a 的取值范围是______p q ⇒11. 设是方程的两个实数根，则=_____________12x x 、230x x +-=2122020x x -+12. 设关于x 的方程解集为M ，关于x 的不等式|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈的解集为N ，若集合，则________.(2)(23)0x x --≥M N =⋅=a b 13. 集合任取这三{}12,,,n A a a a =⋯，1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．n 14. 设，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，则R,Z a m ∈∈21122x m x a-<<+a 的取值范围是______.三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知集合，集合．{}2A x x a =-<2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭（1）若，求；2a =A B （2）若，求实数a 的取值范围．A B A = 16. ⑴当时，求证：；1x >2211x x x x +>+⑵已知，．试证明至少有一个不小于．R x ∈221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-,,a b c 117. 已知关于x 的不等式的解集为M ．()()()2245110R kk x k x k --+++>∈（1）若，求x 的取值范围；1k =（2）若，求实数k 的取值范围；R M =（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有；对于任意负整数m ，都有n M ∈”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．m M ∉18. 记存在正整数n ，且．若集合121211...,...kktk t kt t aa a a a a a a ===+++=´´´å∏2n ≥满足，则称集合A 为“谐调集”．{}12,,,n A a a a = 11nnttt t a a===å∏（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；{1,2}E ={1,0,1}F =-（2）已知实数x 、y ，若集合为“谐调集”，是否存在实数z 满足，并且使得{,}x y 2z xy =为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；{,,}x y z （3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．M2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学质量检测试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，，则下列不等式成立的是（）a b >0c <A. B.C. D. 22ac bc>a b c c >a c b c +<+a b c>-【正确答案】A【分析】根据不等式的性质求解【详解】对于A. ，，则，成立20c >a b >22ac bc >对于B. ，，；10c <a b >a b c c <对于C. ，；a b >a c b c +>+对于D. 若，则不成立1,0,2a b c ===-故选A.2. 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的{|(2)0}A x x x =+<{|||1}B x x =£集合是（）A. B. (2,1)-[1,0)[1,2)-⋃C. D. (2,1)[0,1]-- [0,1]【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，阴影部分表示A B 的集合为，根据交集、并集、补集的定义计算可得；()A B A B ⋃ ð【详解】解：由，解得，所以，(2)0x x +<20x -<<}{|(2)0{|20}A x x x x x <-=<<+=又，所以，，{|||1}{|11}B x x x x =-≤≤=≤(2,1]A B =- [1,0)A B =- 所以阴影部分表示的集合为，()(2,1)[0,1]A B A B ⋃=-- ð故选：C.3. 方程在区间和各有一个根的充要条件是（）220x ax a +-=()0,1()1,2A.B.(),1a ∞∈--4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C.D.4,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2,1a ∈--【正确答案】B【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不()22f x x ax a=+-a 等式，即得参数的取值范围.【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根，220x ax a +-=()0,1()1,2令，则由题意可得，即，解得()22f x x ax a =+-()()()0011202440f a f a a f a a ⎧=->⎪=+-<⎨⎪=+->⎩0143a a a ⎧⎪<⎪<-⎨⎪⎪>-⎩，413m -<<-则方程在区间和各有一个根的充要条件是.220x ax a +-=()0,1()1,24,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭故选：B.4. 已知a ，b ，，若关于x 不等式的解集为R c ∈01a cx b x x ≤++≤-，则（）[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>A. 不存在有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=B. 存在唯一有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=C. 有且只有两组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=D. 存在无穷多组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=【正确答案】D【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式1>0x 解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式的解集为，20x bx a c x ≤++≤-[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>即的解集是，220x bx a x bx a c x⎧++≥⎨++≤-⎩[]{}123,x x x ⋃则不等式的解是或，不等式的解集是20x bx a ++≥{|x 2x x ≤3x x ≥}2x bx a c x ++≤-，13{|}x x x x ≤≤设，，，1x m =21x m =+3x n =(1)m n +<所以，，0c n -=n c =和是方程的两根，1m +n 20x bx a ++=则，，11b m n m c -=++=++(1)a m n mc c =+=+又，22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-所以是的一根，m 2x bx a c x ++=-所以存在无数对，使得．(,,)a b c 211x x -=故选：D ．关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．二、填空题：本题共10小题，共42分．5. 已知集合，，则______R U ={}211A x x =-<A =【正确答案】(][),01,-∞+∞ 【分析】先解不等式，对集合A 进行化简，再求出集合A 的补集.【详解】即解得，211x -<1211x -<-<01x <<故，{}01A x x =<<又，R U =所以.(][),01,=-∞+∞ A 故(][),01,-∞+∞ 6. 已知集合，，且，则的值为________.{1,}A m =-{}21,B m =A B =m 【正确答案】0【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.m 【详解】解：因为，，，{1,}A m =-{}21,B m =A B =所以，解得，2211m m m m ⎧-=⎪-≠⎨⎪≠⎩0m =故0本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.7. 若，则实数______．{}241,,24a a a ∈---a =【正确答案】2-【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证．【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去.4a =2244a a --=当时，解得或4，2244a a --=2a =-当时，不符合题意，4a =当时，集合为，符合题意,2a =-{1,2,4}--所以．2a =-故．2-8. 命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为,a b R ∈110a b -+-=1a b ==__________．【正确答案】.1,1a b ≠≠或【详解】分析： 利用的否定为不都等于，从而可得结果.1a b ==,a b 1详解：考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为1a b ==,a b 1,a b 1或.1a ≠1b ≠点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9. 若集合的子集只有两个，则实数______．{}2310A x ax x =-+=a =【正确答案】0或94【分析】根据题意知道A 有一个元素，然后讨论a 是否为0，然后得出a 的值即可．【详解】的子集只有两个，有一个元素，A A ∴①时，，满足题意；0a =13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭②时，，解得，0a ≠940a ∆=-=94a =或．0a ∴=94故0或．9410. 设命题p ：集合，命题q ：集合，若{}20A x x =-≤≤{}211B x a x a =+≤≤-，则实数a 的取值范围是______p q ⇒【正确答案】32a ≤-【分析】根据题意，由条件可得命题p 是命题q 的充分条件，列出不等式，即可得到结果.【详解】因为，则命题p 是命题q 的充分条件，则，解得，即p q ⇒21210a a +≤-⎧⎨-≥⎩32a ≤-实数a 的取值范围是.32a ≤-故答案为：32a ≤-11. 设是方程的两个实数根，则=_____________12x x 、230x x +-=2122020x x -+【正确答案】2024【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出，再将转化后求12x x +2122020x x -+出．【详解】，是方程的两个根，1x 2x 230x x +-=，，121x x ∴+=-123x x =-又，21130x x +-=，2113x x ∴=-21212122020320202023()2024x x x x x x ∴-+=--+=-+= 故 202412. 设关于x 的方程解集为M ，关于x 的不等式|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈的解集为N ，若集合，则________.(2)(23)0x x --≥M N =⋅=a b 【正确答案】15-【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】由或，所以或，(2)(23)02x x x --≥⇒≥ 1.5≤x {2M N x x ==≥}1.5x ≤当时，由，可得，2x ≥|2||23|||x x ax b -+-=+||22335ax b x x x +=-+-=-当时，由，可得，1.5≤x |2||23|||x x ax b -+-=+||22335ax b x x x +=-+-+=-+因此有，|35|||x ax b -=+当时，；3,5a b ==-3(5)15a b ⋅=⨯-=-当时，，3,5a b =-=3515a b ⋅=-⨯=-故15-13. 集合任取这三{}12,,,n A a a a =⋯，1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．n 【正确答案】7【分析】假设且集合有4个正项，结合已知条件得到矛盾，12n a a a >>⋯>A 1234{,,,}a a a a即可确定集合中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定的最大值.A n 【详解】不妨假设若集合中的正数个数大于等于，故为12,n a a a >>⋯>A 41234,,,a a a a 正项，则和均大于于是有从而矛盾！23a a +24a a +2,a 23241,a a a a a +=+=34,a a =所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，取A A 3满足题意，{}3,2,1,0,1,2,3A =---，所以的最大值为．n 7故714. 设，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，则R,Z a m ∈∈21122x m x a -<<+a 的取值范围是______.【正确答案】(1,1-【分析】根据给定条件，确定m 的最小值，再由函数不等式有解得当时不等式组有解，0m =当时不等式组无解，求出a 的范围作答.1m =【详解】依题意，，由不等式有解知，，而，2111222x -≥-21122x m -<12m >-m ∈Z 因此，N m ∈因存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，21122x m x a -<<+则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组0m =211022x x a -<<+1m =无解，211122x x a -<<+由有解得有解，于是得，解得，211022x x a -<<+11x x a -<<⎧⎨>-⎩<1a -1>-a由无解得无解，于是得211122x x a -<<+1x x a ⎧<<⎪⎨>-⎪⎩1a -≥1a ≤因此，11a -<≤-所以a 的取值范围是.(1,1--故(1,1--结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则()y f x =D x D ∃∈()m f x <；若，使得成立，则.max ()m f x <x D ∃∈()m f x >min ()m f x >三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知集合，集合．{}2A x x a =-<2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭（1）若，求；2a =A B （2）若，求实数a 的取值范围．A B A = 【正确答案】（1） {}24x x -<<（2）(],1-∞【分析】（1）当时，化简集合A ，集合B ，再根据集合的并集运算可得解；2a =（2）即，抓住集合A 是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.A B A = A B ⊆【小问1详解】若，由，解得，则，2a =22x -<04x <<{}04A x x =<<又，即等价于，解得，2112x x -<+302x x -<+()()023x x +-<23x -<<则，{}23B x x =-<<.{}24A B x x ∴⋃=-<<【小问2详解】由等价于，A B A = A B ⊆当时，集合，符合；0a ≤A =∅A B ⊆当时，由，解得，0a >2x a -<22a x a -<<+即，又，{}22A x a x a =-<<+{}23B x x =-<<，解得，2223a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩01a <≤综上，实数的取值范围是.a (],1-∞16. ⑴当时，求证：； 1x >2211x x x x +>+⑵已知，．试证明至少有一个不小于．R x ∈221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-,,a b c 1【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】试题分析：⑴由，2222211(1)(1)(x x x x x x x x -+++-+=当时，可得，即可证明结论；1x >222(1)0,0,10x x x x ->>++>⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，,,a b c 11,1,1a b c <<<3a b c ++<进而，即可得到矛盾，即可作出证明．22(1)33a b c x ++=-+≥试题解析：⑴()()222221111x x x x x x x x -++⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭∵ ∴x >1()22210,0,10x x x x ->>++>∴2211x x x x+>+⑵假设都小于，即a,b,c 11,1,1a b c <<<则有 ①3a b c ++<而 ②()222452133a b c x x x ++=-+=-+≥①与②矛盾故至少有一个不小于．a,b,c 117. 已知关于x 的不等式的解集为M ．()()()2245110R k k x k x k --+++>∈（1）若，求x 的取值范围；1k =（2）若，求实数k 的取值范围；R M =（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有；对于任意负整数m ，都有n M ∈”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．m M ∉【正确答案】（1） 1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）(](),17,-∞-+∞ （3）存在，5k =【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果.（2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范2230k k --=R k 围．（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足M 245k k --条件即可．【小问1详解】当时，不等式为，即，解得，1k =22810x x -+>+()()41210x x +-<1142x -<<即x 的取值范围为.1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【小问2详解】当时，解得，或，2450k k --=5k =1k =-①当时，不等式化为，时，解集为；1k =-10>1k ∴=-R ②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立；5k =610x +>x③当时，可得，()()22245014450k k k k k ⎧-->⎪⎨∆=+---<⎪⎩()()()(),15,,17,k k ∞∞∞∞⎧∈--⋃+⎪⎨∈--⋃+⎪⎩则k 的取值范围为；()(),17,k ∈-∞-+∞ 综上所述，实数k 的取值范围为.(](),17,-∞-+∞ 【小问3详解】根据题意，得出解集，，(,)M t =+∞[)1,1t ∈-当时，解得，或，2450k k --=5k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件，5k =1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭时，恒成立，不满足条件，1k =-10>当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条2450k k -->(,)t ∞+件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条2450k k --<(,)t ∞+件，综上，存在满足条件的值为5．k 18. 记存在正整数n ，且．若集合121211...,...k k t k t k t t a a a a a a a a ===+++=´´´å∏2n ≥满足，则称集合A 为“谐调集”．{}12,,,n A a a a = 11n n tt t t a a ===å∏（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；{1,2}E ={1,0,1}F =-（2）已知实数x 、y ，若集合为“谐调集”，是否存在实数z 满足，并且使得{,}x y 2z xy =为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；{,,}x y z （3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．M 【正确答案】（1）E 不是，F 是（2）不存在，理由见解析（3）{1,2,3}【分析】（1）根据新定义计算即可判断；（2）若存在符合题意的实数z ，根据题意可得的关系式，求解后，检验，即可,,x y z z ,x y 判断；（3）不妨设A 中所有元素满足，从而可得，12n a a a <<<1212n n a a a a a a ⋅=+++ 进而可得，再分三种情况求解即可．121n a a a n -⋅< 234n n n ==≥、、【小问1详解】∵，1212⨯≠+∴E 不是“谐调集”，∵，(1)01(1)01-⨯⨯=-++∴F 是“谐调集”.【小问2详解】若存在符合题意的实数z ，则，2z xy x y xy x y z xyz ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩∴，即，解得或或23z z z +=()210z z z --=0z =z =z=当时，则，不符合题意.0z =0,0x y ==当，z=x y xy +==由此，x 、y 是方程的实数解．20t =但，方程无实数解，所以不符合题意.2Δ40=-=<同理，当z =综上，不存在符合题意的实数.z【小问3详解】不妨设A 中所有元素满足，12n a a a <<<则，1212n n a a a a a a ⨯⨯⨯=+++ 于是，，1121211111n n n n n a a a a a a n a a a --⨯⨯⨯=++++<+++= 即，112n a a n a -⨯⨯⨯< 当时，则，2n =12a <∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，11a =2211a a ⋅=+当时，则，3n =123a a <∴12331,2,1212a a a a ==´´=++∴，33a =当时，4n ≥∵均为正整数，12,,,n a a a ∴，121,2,,n a a a n ³³³ ∴，12112(1)(2)(1)n a a a n n n -⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯-≥-- 又∵，121n n a a a ->⨯⨯⨯ ∴即，(2)(1)n n n >--2420n n -+<但当时，，矛盾．4n ≥242(4)20n n n n -+=-+>所以不存在符合题意的“谐调集”综上，符合题意的“谐调集”为．{1,2,3}方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
2022-2023学年上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校高一上数学期末复习检测试题含解析
故选：A.
3、A
【解析】 ,所以 ，故选A.
考点：集合 运算.
4、B
【解析】直接利用函数图像变化原则：“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式
故答案为：
14、 ##
【解析】由题可得 ，然后利用圆锥的体积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，
∴ ，
∴该圆锥的体积为 .
故答案为： .
15、1
【解析】根据指数函数的图象过定点 ，即可求出
【详解】函数 其中 且 的图象过定点 ，
， ，
则 ，
故答案为1
【点睛】本题考查了指数函数 图象恒过定点 的应用，属于基础题.
16、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数 为“倍缩函数”，即满足存在 ，使 在 上的值域是 ，
由复合函数单调性可知函数 在 上是增函数
所以 ，则 ，即
所以方程 有两个不等 实根，且两根都大于0.
得16k+2≤x≤16k+10，
即函数的单调递增区间为[16k+2，16k+10]，k∈Z
当k＝﹣1时，为[﹣14，﹣6]，
当k＝0时，为[2，10]，
∵x∈（﹣2π，2π），
∴函数在（﹣2π，2π）上的递增区间为（﹣2π，﹣6）和[2，2π）
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质
上海市复兴高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题
=
1 3
，
故答案为：
1 3
3． 2 + i 【分析】根据复数的四则运算法则，直接计算即可.
【详解】
1 + 3i 1+ i
=
=
(1+ 3i)(1- i) (1- i)(1+ i)
=
4 + 2i 2
=
2+i
故答案为： 2 + i 4．二 【分析】化简复数，求得对应的点的坐标，判断其所属象限；
【详解】 z = i(1+ 2i) = -2 + i ，对应的点为 (-2,1) ，在第二象限；
c = -m - 2i① × c = 2 + mi②
，由①得，
b
=
-2
，
a
+
c
=
-m
，由②得，
ac
=
2
，
bc
=
m
；
故， a + c
=
-bc
=
2c ，整理得， a
=
c
=
-
m 2
，
ac
=
m2 4
=
2 ，解得 m2
=8，
解得 m = 2 2 或 m = -2 2
故答案为： m = 2 2 或 m = -2 2 7．2 【分析】由向量模的公式计算即把模平方转化为数量积的运算．
r a
和
r b
是平行向量，也是共线向量，但
r a
与
r b
所在直线不一
定重合. 故选：①③ 9．5 【分析】根据数量积的坐标运算，结合向量的夹角公式求解即可
r
【详解】 c = (3 + t, 4) ， cos
上海市奉城高级中学2022-2023学年高一数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析
4 5 32 5 2 5 . 5 5 5 5 25
故选：B 8、C 【解析】写出全称命题的否定即可.
【详解】“ x 0, x3 x 0 ”的否定是： x 0, x3 x 0 .
故选：C. 9、C
【解析】由对数函数的性质以及根式的性质列不等式组，即可求解.
【详解】由题意可得
解得
，
所以原函数的定义域为 ， 故选：C 10、C
A.{-1，0，1} C.{-1，0，1，2}
B.{1，2} D.{0，1，2}
7．若 ， 均为锐角， sin 2 5 ， cos 4 ，则 cos （）
5
5
A. 2 5 25
B. 2 5 25
.C. 5 5
D. 2 5 5
8．命题：“ x 0, x3 x 0 ”的否定是（）
【详解】解：由 2cosx 1 0 得： cosx 1 2
当 x, 时， 2 x 2
3
3
因为 y cosx 的周期为 2
所以不等式的解集为 x
2k
2 3
x 2k
2 3
, k Z
故选：A.
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13、 1 4
故选：B 7、B
【解析】由 cos cos[( ) ] 结合平方关系可解.
【详解】因为 为锐角， sin 2 5 ，所以 cos 1 sin2 1 ( 2 5 )2 5 ，
5
5
5
又 ， 均为锐角，所以 (0, ) ，所以 sin( ) 3 ，
5
所以 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( )sin
【解析】首先由 AD1 / / BC1, 可得 D1AC 是异面直线 AC 和 BC1 所成角，再由 ACD1 为正三角形即可求解. 【详解】连接 AD1, CD1
2022-2023学年上海市高一上册期末数学专项提升模拟试题(含解析)
2022-2023学年上海市高一上册期末数学专项提升模拟试题（含解析）一、填空题1．函数f (x )=2x -的定义域为___________.【答案】{1x x ≥且}2x ≠【解析】由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.【详解】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得12x x ≥≠且，所以定义域为{1x x ≥且}2x ≠.故答案为：{1x x ≥且}2x ≠【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．2．不等式11x>的解集为________．【答案】(0,1)【分析】由题设可得10x x-<，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】由题设，1110x x x--=<，∴(1)0x x -<，解得01x <<，∴解集为(0,1).故答案为：(0,1)3．已知偶函数()()R y f x x =∈，当0x >时()1f x x =-，则()1f -=__________.【答案】0【分析】由条件可得()()11f f -=，然后可得答案.【详解】因为()y f x =是偶函数，当0x >时()1f x x =-，所以()()110f f -==，故答案为：0.4．函数2cos sin y x x =-的最小值为______【答案】【分析】直接利用辅助角公式即可求得最小值.【详解】()2cos sin y x x x ϕ=-=+，其中1πtan ,0,22ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，∴函数2cos sin y x x =-的最小值为当π2π,Z x k k ϕ+=+∈，即π2π,Z x k k ϕ=-+∈时取到最小值故答案为：5．已知全集U =R ，集合{}2,R x A yy x ==∈∣，则A =__________.【答案】{}0yy ≤∣【分析】求出集合中元素范围，再直接求补集即可.【详解】集合{}{}2,R 0x A yy x y y ==∈=>∣∣，全集U =R 则{}0A yy =≤∣故答案为：{}0yy ≤∣6．已知tan 2θ=-，则sin cos =θθ__________.【答案】25-##-0.4【分析】将sin cos θθ分母看成“1”，利用22sin cos 1θθ+=替换，然后把所求的式子转化为tan θ表达式，进而得出结果.【详解】因为tan 2θ=-，则222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθ-====-+++，故答案为：25-7．已知54x >，则1445x x +-的取值范围是__________.【答案】[)7,+∞【分析】1144554545x x x x +=-++--，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为54x >，所以450x ->，114455574545x x x x +=-++≥=--，当且仅当14545x x -=-即32x =时等号成立.故答案为：[)7,+∞.8．已知0πβ<<，若将角β的终边顺时针旋转2π3，所得的角的终边与角3β的终边重合.则角β=__________.【答案】2π3【分析】角β的终边顺时针旋转2π3得到2π3β-，根据终边相同的角的关系列出方程，根据0πβ<<求得β的值.【详解】角β的终边顺时针旋转2π3得到2π3β-，它与3β边重合，所以2π2π,Z 33k k ββ-+∈=，所以ππ,Z 3k k β-+∈=，又0πβ<<，所以只能令1k =，2π3β=.故答案为：2π39．已知幂函数()223Z n n y x n --=∈的图象与两坐标轴均无公共点，且其图象关于y 轴对称，则n 的值为__________.【答案】1±或3【分析】根据幂函数图象与y 轴无公共点可知2230n n --≤，然后再根据函数为偶函数可得答案.【详解】因为函数图象与y 轴无公共点，所以2230n n --≤，所以13n -≤≤，又因为Z n ∈，所以n 的值为1,0,1,2,3-，又因为函数图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，即函数223nn y x --=为偶函数，当0n =或2n =时，3y x -=为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不满足题意；当1n =-或3n =时，有0y x =，满足题意，当1n =时，4y x -=，满足题意，∴1n =±或3．故答案为：1±或310．已知π3πtan 2,tan 3,0,,π,22αβαβ⎛⎫⎛⎫==∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则αβ+=__________.【答案】7π4【分析】先求出αβ+的范围，然后利用两角和正切公式求出tan()αβ+的值，从而可求出αβ+.【详解】因为π3π0,,π,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π,2παβ+∈，因为tan 2,tan 3αβ==，所以tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，所以7π4αβ+=，故答案为：7π411．已知A 为锐角，()1lg 1cos ,lg 1cos A m n A ⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，则lgsin A 可用,m n 表示为__________.【答案】11lgsin 22A m n =-【分析】()2211lgsin lgsin lg 1cos 22A A A ==-，然后利用对数的运算法则可得答案.【详解】因为A 为锐角，sin 0A >，()()()221111lgsin lgsin lg 1cos lg 1cos lg 1cos 2222A A A A A ==-=++-()11111lg 1cos lg 221cos 22A m n A ⎛⎫=+-=- ⎪-⎝⎭，故答案为：11lgsin 22A m n =-.12．已知R a ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++->⎪=⎨-++≤⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是__________.【答案】2,33⎧-⎨⎩【分析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,∞+、(),0∞-上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+<≤⎨⎪⎪-++≤⎩，所以，函数()f x 在(],0∞-上单调递减，且()112f x a ≥+，当0x >时，()min 1212f x a a =+>+，所以()min 1122f x a a =+=，解得23a =，②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+<<-⎪⎪-++≤⎪⎩，当0x ≤时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x >时，()2f x a ≥+.22a a +> ，所以21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±；③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x aa x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+<<⎪⎪-++≤⎪⎩，当0x ≤时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x >时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-Q，解得3a =--3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为2,33⎧-⎨⎩.故答案为：2,33⎧-⎨⎩.二、单选题13．如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤C ．31(02)2y x x =--≤≤D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ；当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝3232-|x －1|(0≤x≤2)故答案为B【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．14．条件甲：sin sin x y =是条件乙：x y =的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】直接根据必要非充分条件的概念结合三角函数的运算即可得结果.【详解】若sin sin x y =，则2π,Z x y k k =+∈或π2π,Z x y k k =-+∈；若x y =，则sin sin x y =显然成立，综上可得：条件甲：sin sin x y =是条件乙：x y =的必要非充分条件，故选：B.15．已知0x 是函数()12(0)xf x x x=->的零点，则（）A ．()02,3x ∈B ．()01,2x ∈C ．()00,1x ∈D ．()03,4x ∈【答案】C【分析】根据零点存在性定理可得答案.【详解】因为()12xf x x=-在()0,∞+是增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，()120,121102f f ⎛⎫=<=-=> ⎪⎝⎭，所以()00,1x ∈.故选：C16．角α是第四象限角，其终边与单位圆交点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，把角α顺时针旋转2π得角β，则角β终边与单位圆焦点P '的坐标为（）A ．34,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由三角函数的定义得到34sin ,cos ,552πααβα=-==-，再利用诱导公式求解.【详解】解：由题意知：34sin ,cos ,552πααβα=-==-，则4sin sin sin cos 225ππβααα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3cos cos cos sin 225ππβααα⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以角β终边与单位圆焦点P '的坐标为34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：B三、解答题17．已知函数()233log 2log 2f x x a x =--.(1)当12a =-时，求不等式()0f x ≤的解集；(2)当()1,27x ∈时，()3f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)(,1]-∞.【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可；（2）利用换元法，结合常变量分离法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）当12a =-时，()233log log 2f x x x =+-，由()()()233333log log 20log 2log 102l 0og 1x x x x x x f +-≤⇒+-≤⇒-≤⇒≤≤213339x x -⇒≤≤⇒≤≤，所以不等式()0f x ≤的解集为1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）令3log x t =，因为()1,27x ∈，所以(0,3)t ∈，()22322312f x t at t at ≥-⇒--≥-⇒+≥，因为(0,3)t ∈，所以由21122t at a t t+≥⇒≤+，因为(0,3)t ∈，所以12t t +≥=，当且仅当1t t =时取等号，即1t =时，取等号，因此当()1,27x ∈时，()3f x ≥-恒成立，只需221a a ≤⇒≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞.18．记函数()f x =A ，()g x =定义域为B .(1)求A ，B ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】(1){1A x x =<-或}2x ≥；当1a >-，()1,2B a a =-；当1a <-，()2,1B a a =-；(2)()[)1,11,3,2⎛⎤-∞---+∞ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）求解两个函数有意义的条件，根据不等式的解集得到定义域A ，B ；（2）若B A ⊆，由两个集合的范围分类讨论，列不等式求实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x =4201x x +-≥+，解得1x <-或2x ≥，所以函数()f x 的定义域{1A x x =<-或}2x ≥.函数()g x =()()120x a a x -+->，得()()120x a x a ⎡⎤---<⎣⎦，当1a >-，有12a a -<，不等式解得12a x a -<<；当1a <-，有12a a ->，不等式解得21a x a <<-；当1a =-，有122a a -==-，不等式无解.所以当1a >-，函数()g x 的定义域()1,2B a a =-；当1a <-，函数()g x 的定义域()2,1B a a =-；（2）若B A ⊆，当1a >-时，有21a ≤-或12a -≥，解得112a -<≤-或3a ≥；当1a <-时，有11a -≤-或22a ≥，解得1a <-.所以实数a 的取值范围为()[)1,11,3,2⎛⎤-∞---+∞ ⎥⎝⎦ 19．设sin cos P a b c θθ=++.(1)若2,1P a b c ====，求出满足条件的角θ的解集；(2)当1a b ==时，若存在[]2,2P ∈-使关于θ的方程sin cos P a b c θθ=++在02πθ⎡⎤∈⎢⎣⎦，时均有解，求实数c 的取值范围.【答案】(1){|24x k πθπ+=或2,Z 42k k ππθπ⎫+=+∈⎬⎭(2)5,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由2,1P a b c ====，得sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由1a b ==得到cos 2sin 6t c c πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，求得t 的值域A ，根据题意，由[]2,2A ⊆-求解.【详解】（1）解：由2,1P a b c ====，得sin cos 1θθ+=，即sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2,Z 44k k ππθπ+=+∈或32,Z 44k k ππθπ+=+∈，则2,Z k k θπ=∈或2,Z 2k k πθπ=+∈，所以满足条件的角θ的解集是{|24x k πθπ+=或2,Z 42k k ππθπ⎫+=+∈⎬⎭；（2）当1a b ==时，cos 2sin 6t c c πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,162πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1,12t c c ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，因为存在[]2,2P ∈-使关于θ的方程sin cos P a b c θθ=++在02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时均有解，所以12212c c ⎧+≥-⎪⎨⎪+≤⎩，解得512c -≤≤，所以实数c 的取值范围是5,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.【答案】（1）0.110,(00.1)1,(0.1)16t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）0.6【分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的0.25y <可求得结果【详解】（1）由图可知直线的斜率为1100.1k ==，所以图像中线段的方程为10(00.1)y t t =≤≤，因为点(0.1,1)在曲线116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭上，所以0.11116a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为0.110,(00.1)1,(0.1)16t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，即0.110.2516t -⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得0.6t >，所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室21．已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()f x =()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；(3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.【答案】(1)[；(2)4；(3)()12f x x=.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得()12241log 214t t t m f t t--++=-=+++-，()12241log 214t t t n f t t+-==++++，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，则有()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，再根据其单调性和已知条件可得()111()x f x f x x +=+，从而可求出()f x 的解析式.【详解】（1）由22010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为y =和y =[1,1]-上均为增函数，所以()f x =[1,1]-上为增函数，所以min ()(1)f x f =-=，max ()(1)2f x f ===，所以()f x的值域为[；（2）因为()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，且()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()12241log 214t t t m f t t--++=-=+++-，()12241log 214t t t n f t t +-==++++，所以()()m n f t f t +=-+112224241log 1log 214214t t t t t t t t-++-+-=++++++-++1222442log 212144t t t t t t t ++-⎛⎫=+++⋅ ⎪++-+⎝⎭22(21)2log 211t t +=+++224=+=；（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，所以111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()()111()()1()f x f f x f f f x f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以11()1()f f x x x f x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭+，所以()111()x f x f x x+=+，所以()()()()()()211f x f x xf x f x xf x f x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()210xf x f x x --=，解得()12f x x ±=，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()f x =。
上海市上海中学2025届高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
16．用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时，第一次经计算
，可得其中一个零点 x0∈(0，1)，那
么经过下一次计算可得 x0∈___________(填区间). 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 f x 3 sin 2x 2cos2 x 2
6 ②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位
6
18．某校食堂需定期购买大米 .已知该食堂每天需用大米 0.6 吨，每吨大米的价格为 6000 元，大米的保管费用 z( 单位：
元 ) 与购买天数 x( 单位：天 ) 的关系为 z 9x x 1 x N* ，每次购买大米需支付其他固定费用 900 元
因为 x1 x2 ，所以 x1 x2 (或 x1 x2 )
由函数 y f x 在区间 I 上单调知： f (x1) f x2 ，(或 f (x1) f x2 )，这与 f x1 f x2 矛盾．因此在 I 中有
唯一的 x 值与之对应．由反函数的定义知：
函数 y f x 在区间 I 上存在反函数 反之“函数 y f x 在 I 上有反函数”则不一定有“函数 y f x 在区间 I 上单调”，例如：函数
f
x
x2 1, (0
x2
,
(1
x
x 1) 0)
，就存在反函数：
f
1
x
x 1, (1 x x, (0 x 1)
0)
易知函数 y f x 在区间1,1 上并不单调
综上，“函数 y f x 在区间 I 上严格单调”是“函数 y f x 在 I 上有反函数”的充分不必要条件.
y ， cos x2 y2
2022-2023学年上海市虹口区复兴高级中学高一10月月考数学试卷含详解
2022-2023学年上海市虹口区复兴高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分）1．（4分）集合A＝{1，2，3}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}，则A∪B＝．2．（4分）已知方程x2+x﹣3＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝．3．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{x|4﹣x＞2x+1}，则＝．4．（4分）已知x、y∈R，则“|x|＞|y|”是“x＞y”的．5．（4分）能够说明“∀a，b，c∈R，若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．6．（4分）设集合A＝{（x，y）|y＝1﹣3x}，B＝{（x，y）|y＝（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是．7．（5分）不等式≥1的解集是．8．（5分）不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，2}，则满足A∩C＝B∪C的集合C有个．10．（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{x|x＝5n+k，n∈Z}，k＝0，1，2，3，4．给出下列四个结论：①2022∈[2]；②﹣3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中正确结论的个数是．11．（5分）设a∈R，若x＞0时，均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则实数a的取值集合为．12．（5分）已知集合A＝[t，t+1]∪[t+4，t+9]，0∉A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有，则t的值是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设A＝{x|x为合数}，B＝{x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E＝N，则这样的集合E（）A．只有一个B．只有两个C．至多3个D．有无数个14．（5分）给出三个条件：①ac2＞bc2；②；③a＞|b|；④a＞b﹣1；其中能分别成为a＞b的充分条件的个数为（）A．0B．1C．2D．315．（5分）若“不积跬步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（）A．积跬步一定可以至千里B．不积跬步也可能至千里C．要想至千里一定要积跬步D．不想至千里就不用积跬步16．（5分）记关于x的三个方程分别为：①x2+a1x+1＝0；②x2+a2x+2＝0；③x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数，且满足a22＝a1a3．则下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根三.解答题（本大题共5题，14+14+14+16+18共76分）17．（14分）设a，b，c是任意实数，若x＝a2﹣2b+1，y＝b2﹣2c+1，z＝c2﹣2a+1，试用反证法证明：x，y，z中至少有一个不小于0．18．（14分）设关于x的不等式≥1+的解集为A．（1）求A；（2）若2∈A，求实数k的取值范围．19．（14分）已知a∈R，设集合A＝{x|x2﹣（6a+1）x+9a2+3a﹣2＜0}，B＝{x|1﹣|x+a|≥0}．（1）当a＝1时，求集合B；（2）问：a≥是A∩B＝⌀的什么条件．（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件）并证明你的结论．20．（16分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？21．（18分）已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝1，且；（3）当n＝5时，若a2＝2，求集合A．2022-2023学年上海市虹口区复兴高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试卷解析一.填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分）1．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，B＝{x||x|＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2，3}．故答案为：{﹣1，0，1，2，3}．2．【解答】解：∵方程x2+x﹣3＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，则|x1﹣x2|＝＝＝，故答案为：．3．【解答】解：A＝（﹣∞，1），又全集U＝R∴＝[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．4．【解答】解：当|x|＞|y|时，x＞y不一定成立，当x＞y时，|x|＞|y|不一定成立．故“|x|＞|y|”是“x＞y”既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要条件．5．【解答】解：“设∀a，b，c∈R，若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则它的否定“∀a，b，c∈R，若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，两个大的数加起来小于小的数，所以a，b，c应该是负数，用拼凑法找出特例即可．比如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3．故答案为：﹣1，﹣2，﹣3．6．【解答】解：集合A＝{（x，y）|y＝1﹣3x}，B＝{（x，y）|y＝（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，A∩B＝∅，∴直线y＝1﹣3x与直线y＝（1﹣2m2）x+5平行，∴1﹣2m2＝﹣3，解得m＝±，故答案为：±7．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，整理可得≥0，等价于，解得x＜﹣3或x≥4，∴不等式≥1的解集为{x|x＜﹣3或x≥4}故答案为：{x|x＜﹣3或x≥4}8．【解答】解：∵不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，∴当a＝2时，﹣4＜0对任意实数x都成立；当a≠2时，，解得：﹣2＜a＜2；综上所述，﹣2＜a≤2．故答案为：﹣2＜a≤2．9．【解答】解：∵A∩C＝B∪C，∴C⊆（B∪C）＝A∩C，∵（A∩C）⊆C，∴A∩C＝C，∴C⊆A，∵B⊆（B∪C）＝（A∩C）⊆C，即B⊆C，∴B⊆C⊆A，∴符合条件的集合C的个数即为集合{3，4，5，6}的子集的个数，共24＝16个，故答案为：16．10．【解答】解：因为2022＝404×5+2，所以2022∈[2]，故①正确；﹣3＝5×（﹣1）+2，所以﹣3∈[2]，故②错误；因为一个整数除以5，所得余数只能是0或1或2或3或4，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；如果“整数a，b属于同一‘类’”，则有a＝5n1+k，b＝5n2+k，n1，n2∈Z，则有a﹣b＝5n，n∈Z，所以a﹣b∈[0]，故充分性满足；当a﹣b∈[0]时，则有a﹣b＝5n，n∈Z，所以a＝b+5n，n∈Z，设b∈[k]，则有b＝5m+k，m∈Z，则a＝5m+k+5n＝5（m+n）+k＝5n+k，n∈Z，必要性也满足，故④正确．故答案为：3．11．【解答】解：（1）a＝1时，不等式为﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+≤，不满足题意，（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：（）2﹣﹣1＝0，解之得：a＝，或a＝0（舍去）．故答案为：{}．12．【解答】解：当t＞0时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t+4，t+9]，当a∈[t+4，t+9]时，则∈[t，t+1]，即当a＝t时，；当a＝t+9时，≥t，即λ＝t（t+9）；当a＝t+1时，≥t+4，当a＝t+4时，≤t+1，即λ＝（t+1）（t+4），∴t（t+9）＝（t+1）（t+4），解得t＝1．当t+1＜0＜t+4时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t，t+1]．当a∈[t+4，t+9]，则∈[t+4，t+9]，即当a＝t时，≤t+1，当a＝t+1时，≥t，即λ＝t（t+1），即当a＝t+4时，≤t+9，当a＝t+9时，≥t+4，即λ＝（t+4）（t+9），∴t（t+1）＝（t+4）（t+9），解得t＝﹣3．当t+9＜0时，同理可得无解．综上，t的值为1或﹣3．故答案为：1或﹣3．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．【解答】解：∵设A＝{x|x为合数}，B＝{x|x为质数}，N表示自然数集，∴A∪B中只比N中少两个元素：0和1，∵E满足A∪B∪E＝N，∴E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，∴这样的集合E有无数个．故选：D．14．【解答】解：①由ac2＞bc2可得a＞b，②，当c＜0时，a＜b，当c＞0时，可得a＞b；③由a＞|b|一定可得a＞b；④a＞b﹣1时，a＞b不一定成立，能成为a＞b的充分条件的有①③．故选：C．15．【解答】解：原命题的逆否命题为：若至千里，则积跬步，故C正确，故选：C．16．【解答】解：对于A：方程①有实根，且②有实根，则a12﹣4≥0，a22﹣8≥0，即a12≥4，a22≥8，又a22＝a1a3，则a32＝（）2＝，要使方程③无实根，则a32﹣16＜0，显然不成立，故A错误；对于B：方程①有实根，且②无实根，则a12﹣4≥0，a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，又a22＝a1a3，则a32＝（）2＝＜16，即a32﹣16＜0，此时方程③满足Δ＝a32﹣16＜0，故B正确；对于C：方程①无实根，且②有实根，则a12﹣4＜0，a22﹣8≥0，即a12＜4，a22≥8，又a22＝a1a3，则a32＝（）2＝，要使方程③无实根，则a32﹣16＜0，显然不成立，故C错误；对于D：方程①无实根，且②无实根，则a12﹣4＜0，a22﹣8＜0，即a12＜4，a22＜8，又a22＝a1a3，则a32＝（）2＝，要使方程③无实根，则a32﹣16＜0，显然不成立，故D错误；故选：B．三.解答题（本大题共5题，14+14+14+16+18共76分）17．【解答】证明：假设x，y，z均小于0，则x+y+z＝a2﹣2b+1+b2﹣2c+1+c2﹣2a+1＝（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2＜0，与（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2≥0矛盾，故假设不成立，所以x，y，z中至少有一个不小于0．18．【解答】解：（1）原不等式可化为k（x+1）≥k2+2x﹣4，即（k﹣2）x≥k2﹣k﹣4，①当k＝2时，不等式的解集为R；②当k＞2时，不等式的解集为；③当k＜2且k≠0时，不等式的解集为；（2）若2∈A，显然k＝2时符号；当k＞2时，则需，解得2＜k＜3；当k＜2且k≠0时，则需，解得0＜k＜2；综上，实数k的取值范围为（0，3）．19．【解答】解（1）由1﹣|x+1|≥0，得|x+1|≤1，即﹣1≤x+1≤1，﹣2≤x≤0，所以B＝[﹣2，0]．（2）充分不必要条件，证明如下，由题意A＝（3a﹣1，3a+2），B＝[﹣a﹣1，﹣a+1]，若A∩B＝⌀，则3a+2≤﹣a﹣1或3a﹣1≥﹣a+1，解得a≤﹣或a≥．∴a≥是A∩B＝⌀的充分不必要条件．20．【解答】解：①当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此种条件下取A，B能够稳操胜券．②当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此种条件下取D，C能够稳操胜券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有1种，就是取A，D．21．【解答】解：（1）由于3×4，与或均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，∴该数集具有性质P．（2）证明：∵A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1＝∈A，a1＝1．∵1＝a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k＝2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k＝2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k＝2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，＝1，＝a2，…，＝a n﹣1，从而++…++＝a1+a2+…+a n，∴；（3）由（2）知，当n＝5时，有＝a2，＝a3，即a5＝a2•a4＝a32，∵1＝a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4＝a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4＝a32，得＝∈A，且1＜＝a2，∴＝＝a2，∴＝＝＝＝a2即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列，即有集合A＝{1，2，4，8，16}．。
2022-2023学年上海市高一上册12月质量抽测数学模拟试题(含解析)
2022-2023学年上海市高一上册12月质量抽测数学模拟试题（含解析）一、填空题1．不等式301x x +≤-的解集为______.【答案】[3,1)-【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于()()31010x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得31x -≤<,故答案为：[)3,1-.2．函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃3．函数()4log (1)a f x x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点_________【答案】()2,4【分析】令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；【详解】解：因为函数()4log (1)a f x x =+-(0a >且1a ≠)，令11x -=，解得2x =，所以()24log 14a f =+=，即函数()f x 恒过点()2,4；故答案为：()2,44．已知函数2()2,[0,3]f x x x x =-∈，则函数()f x 的值域为_______【答案】[1,3]-【分析】分析二次函数2()2f x x x =-在区间[0,3]上的单调性即可作答.【详解】二次函数2()2f x x x =-图象的对称轴为1x =，于是得()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，从而有min ()(1)1f x f ==-，而(0)0,(3)3f f ==，即max ()3f x =，所以函数()f x 的值域为[1,3]-.故答案为：[1,3]-5．若函数()211f x x +=-，则()2f =________.【答案】0【分析】令x=1代入即可求出结果.【详解】令1x =，则()()211110f f =+=-=.【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.6．函数12y x =-的单调减区间为______.【答案】(,2)-∞、(2,)+∞【解析】先求出函数12y x =-的定义域，再画出函数图像，结合图像即可求出函数12y x =-的单调递减区间.【详解】解：由12y x =-知2x ≠，即12y x =-的定义域为()(),22,-∞+∞ ，作出12y x =-的图像如图所示：由图可知：12y x =-的单调递减区间为(,2)-∞和(2,)+∞.故答案为：(,2)-∞、(2,)+∞.7．若0x >，0y >，且1x y +=，则11x y+的最小值为________．【答案】4【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.【详解】由题设，知：()()22241111y x x y x x x y y y +=++=++≥+当且仅当12x y ==时等号成立.故答案为：4.8．已知函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，则实数m 的取值范围是______.【答案】1m ≤-【分析】根据函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限得到()00f ≥，解不等式求得m 的取值范围.【详解】由于函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，所以()00f ≥，即()22log 0log 1m -≥=，所以1,1m m -≥≤-.故填：1m ≤-.【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查对数不等式的解法，属于基础题.9．已知函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则实数b =_____.【答案】2【分析】因为函数()f x （[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.【详解】因为函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=又因为该二次函数的对称轴为22a x +=-，所以2a =-，故2b =.故答案为：2【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，32()21f x x x =+-，则当0x <时，()f x =________．【答案】3221x x -+【分析】根据函数是奇函数和0x >时的解析式求解答案.【详解】当0x <时，0x ->，则32()21f x x x -=-+-，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以32()21f x x x -=-+-，则32()21f x x x =-+.故答案为：3221x x -+11．已知函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】[4,8)【分析】根据函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则每一段都是增函数且1x =左侧的函数值不大于右侧的函数值.【详解】函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，函数14024122a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<.故答案为：[4,8)【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.12．设函数ln ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<<=⎨-<<⎩，方程()f x m =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则22222341x x x x +++的取值范围为________．【答案】4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先求出分段函数的解析式，然后作出函数图象，确认零点所在区间以及零点之间的关系，然后将转化为22222341x x x x +++关于2x 的函数，求出函数的值域即可.【详解】因为24x <<，则042x <-<，()()()4ln 4f x f x x =-=-作出函数图象，如图：不妨设1234x x x x <<<，由图象知()f x 关于直线2x =对称，所以14234x x x x +=+=，12ln ln x x -=，所以121=x x ，所以14322211,4,4x x x x x x ==-=-，所以()22222242222212321144x x x x x x x x ⎛⎫=++-+-+ ⎝+⎪⎭+22222112828x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()21,2x ∈，所以22152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭令2215,2,2t x t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以原式化为()252828,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，因为()h t 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()41202h t <<，即22222341x x x x +++的取值范围为4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.二、单选题13．若函数()y f x =的定义域为{22}M xx =-≤≤∣，值域为{02}N y y =≤≤∣，则函数()y f x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据函数的定义可以排除C 选项，根据定义域与值域的概念排除A ，D 选项.【详解】对于A 选项，当2(]0,x ∈时，没有对应的图像，不符合题意；对于B 选项，根据函数的定义本选项符合题意；对于C 选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D 选项，值域当中有的元素在集合M 中没有对应的实数，不符合题意.故选：B ．14．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．||a b>-D >【答案】B【解析】对于A ，C ，D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a b ab ab <<，即11a b >，所以A 成立；对于B ，若2a =-，1b =-，则11a b=--，112a =-，此时11a a b >-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，所以||||a b b >=-，所以C 成立；对于D ，因为0a b <<，所以0a b ->->>D 成立，故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.15．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.16．函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，则m 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B 【分析】函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，即221mx x -+可取遍所有(0,)+∞的值，分0,0,0m m m =><三类讨论，结合图像即得解.【详解】函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，即221mx x -+可取遍所有(0,)+∞的值；（1）当0m =时：21y x =-+满足条件；（2）当0m >时：440110m m m ∆=-≥∴≤∴≥>；（3）当0m <时：不成立.综上：10m ≥≥.故选：B【点睛】本题考查了复合函数的值域问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{3A x x =≤-或}1x ≥-，{}21|B x m x m =<<-，且A B A ⋃=，求m 的取值范围．【答案】2m ≤-或1m ≥-【分析】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，分别讨论B φ=和B φ≠两种情况然后求并集.【详解】解：因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B φ=时，21m m ≥-，解得：1m ≥-；当B φ≠时，2113m m m <-⎧⎨-≤-⎩或2121m m m <-⎧⎨≥-⎩解得：2m ≤-或m φ∈所以2m ≤-或1m ≥-.18．利用定义法证明：函数2()1x f x x =-在(,1)-∞上是减函数.【答案】证明见解析【分析】根据单调性的定义证明即可.【详解】证明：设121x x <<则()()()()()21121212122221111x x x x f x f x x x x x --=-=----，121x x << ，210x x ∴->，110x -<，210x -<，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，所以函数2()1x f x x =-在(,1)-∞上是减函数.19．已知幂函数()()23633m f x m m x -=--是偶函数.(1)求()f x 的解析式；(2)求满足()()13f a f a ->+的a 的取值范围.【答案】(1)()6f x x=(2)(),1-∞-【分析】（1）根据幂函数得定义以及奇偶性求参数m ，即可得()f x 的解析式；（2）根据（1）中解析式列不等式求解即可.【详解】（1）解：由幂函数得2331m m --=，即2340m m --=，解得1m =-或4m =.当1m =-时，()9f x x -=，()(),00,x ∈-∞⋃+∞，所以()()()99f x x x f x ---=-=-≠，不是偶函数，舍去，当4m =时，()6f x x =，x ∈R ，所以()()()66f x x x f x -=-==是偶函数，满足题意，所以()6f x x =.（2）解：因为()6f x x =，x ∈R 由()()13f a f a ->+，可得()()6613a a ->+所以()()2213a a ->+，即222169a a a a -+>++，解得88a <-，即1a <-所以满足()()13f a f a ->+的a 的取值范围为(),1-∞-.20．“十三五”以来，福清充分挖掘城市生态空间，建成并开放各类公园，打造“城在园中嵌，人在景中居”的融城风情，深受市民欢迎．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润y （单位：万元）与运转时间x （单位：年）的函数解析式为2129(11y x x x =-+-≤，且*N )x ∈．(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？【答案】(1)当这批机器运转第6年时，获得的利润最大，最大利润为27万元(2)3年【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果；（2）设这批机器的年平均利润为L （x ），则()2129912(11,x x L x x x x x-+-==--+≤且*N )x ∈，然后利用基本不等式可得其最大值.【详解】（1）依题意，2129(11y x x x =-+-≤且*N )x ∈．所以()2627y x =--+当6x =时，取到最大值，最大值为27故当这批机器运转第6年时，获得的利润最大，最大利润为27万元（2）设这批机器的年平均利润为L （x ），则()2129912(11,x x L x x x x x-+-==--≤且*N )x ∈所以()912126L x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当9x x=，即3x =时等号成立当这批机器运转3年时，年平均利润最大，为6万元/年21．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，则称x 为()f x 的“稳定点”．若函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．(1)求证：A B ⊆；(2)若R b ∀∈，函数()21f x x bx c =+++总存在不动点，求实数c 的取值范围；(3)若()21f x ax =-，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2){}1c c ≤-(3)13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分A =∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论即可；（2）问题转化成()2110x b x c +-++=有解，利用判别式即可而得到答案；（3）由A ≠∅可得21ax x -=有实根，14a ∴≥-，又A B ⊆，所以()2211a ax x --=，即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=.再由题中条件，即可得出结果【详解】（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立，若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦，即t B ∈，从而A B ⊆，故A B ⊆成立；（2）原问题转化为R b ∀∈，()f x x =有解，∴21x bx c x +++=即()2110x b x c +-++=，则()()21410b c ∆=--+≥即()()2411c b +≤-恒成立，∴()()2min 4110c b +≤-=，∴1c ≤-，所以实数c 的取值范围为{}1c c ≤-；（3）A 中的元素是方程()f x x =即210ax x --=的实根，由A ≠∅，知0a =或0Δ140a a ≠⎧⎨=+≥⎩,解得14a ≥-，B 中元素是方程()2211a ax x --=即3422210a x a x x a --+-=的实根，由A B ⊆知方程含有一个因式21ax x --，即方程可化为：()()222110ax x a x ax a --+-+=，若A B =，则方程2210a x ax a +-+=①要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=②的根，若①没有实根，当0a =时，方程为10=，不成立，故此时没有实数根；当0a ≠时，()22410a a a ∆=--<，解得34a <，此时34a <且0a ≠；若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有22a x ax a =+，代入①有210ax +=，由此解得12x a =-，再代入②得111042a a +-=，解得34a =，综上，a 的取值范围为13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
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解： ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，不等式 解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时， ，
所以不等式的解集为 .
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 .
【详解】在直线上取点 ，点 关于 的对称点为
过 与原直线平行的直线方程为 ，即为对称后的直线
故答案为：
12、1
【解析】首先确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解 的值即可.
【详解】令 可得 ，此时 ，
据此可知点A的坐标为 ，
点 在函数 的图像上，故 ，解得： ，
函数的解析式为 ，则 .
【点睛】本题主要考查函数恒过定点问题，指数运算法则，对数运算法则等知识，意在考学生的转化能力和计算求解能力.
8、B
【解析】根据三角函数的定义进行求解即可.
【详解】因为角α的终边过点 ，
所以 ，
，பைடு நூலகம்
，
故选：B
9、C
【解析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】 是 上的增函数，
又 ，
函数 的零点 所在区间为 ，
又 ，
.
故选：C.
10、A
【解析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.
A.1B.2
C.3D.4
10．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数 的解析式可判断其在区间 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？
18．一只口袋装有形状大小都相同的 只小球，其中 只白球， 只红球， 只黄球，从中随机摸出 只球，试求
（1） 只球都是红球的概率
（2） 只球同色 概率
（3）“恰有一只是白球”是“ 只球都是白球”的概率的几倍？
∴当 时， ，
综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.
18、（1） （2） （3）8
【解析】记两只白球分别为 ， ；两只红球分别为 ， ；两只黄球分别为 ，
用列举法得出从中随机取2只的所有结果；
（1）列举 只球都是红球的种数，利用古典概型概率公式，可得结论；
（2）列举 只球同色的种数，利用古典概型概率公式，可得结论；
4、B
【解析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，将函数 的图像向左、向下各平移1个单位长度，
可得 .
故选：B.
5、D
【解析】根据函数的定义域求函数值即可.
【详解】因为函数 ，则 ，
又 ，所以
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数根据定义域求值域的问题，属于基础题.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数 的定义域为
A B.
C. D.
2．函数 的图像的一条对称轴是（）
A. B.
C. D.
3．已知函数 的图象的对称轴为直线 ，则（）
A. B.
C. D.
4．将函数 的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到 的函数图像，则 （）
1、C
【解析】要使得 有意义，要满足真数大于0，且分母不能为0，即可求出定义域.
【详解】要使得 有意义，则要满足 ，解得 .答案为C.
【点睛】常见的定义域求解要满足：（1）分式：分母 0；
（2）偶次根式：被开方数 0；
（3）0次幂：底数 0；
（4）对数式：真数 ，底数 且 ；
（5） ： ；
2、C
【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把 代入后得到 ,因而对称轴为 ，选 .
11．直线 关于定点 对称的直线方程是_________
12．已知函数 的图像恒过定点 ，若点 也在函数 的图像上，则 __________
13．若 ，则 的最大值为________
14．若函数 满足 ，则 ______
15．已知空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），则|AB|＝_____
13、
【解析】化简 ，根据题意结合基本不等式，取得 ，即可求解.
【详解】由题意，实数 ，且 ，
又由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为 .
故答案为： .
14、
【解析】根据题意，令 ，结合指数幂的运算，即可求解.
【详解】由题意，函数 满足 ，令 ，可得 .
故答案为： .
15、
【解析】直接代入空间中两点间的距离公式即可得解.
【详解】由题意，集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D
【点睛】与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集
（2）看这些元素满足什么限制条件
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性
17、（1） ；
（2）年产量为30万台，利润最大.
【解析】（1）根据题设给定的函数模型及已知条件，求函数解析式.
（2）利用二次函数、分式型函数的性质求分段函数各区间的最大值，并确定对应的自变量值，即可得解.
小问1详解】
，
∴ .
【小问2详解】
当 时， ，故在 上单调递增，
∴ 时， 取最大值 ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
19．已知集合 ，
（1）分别求 ， ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值集合
20．已知二次函数 .
（1）当对称轴为 时，
（i）求实数a的值；
（ii）求f（x）在区间 上的值域.
（2）解不等式 .
21．化简求值：
（1） ；
（2）已知 ，求 的值
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
21、（1） ；（2） .
【解析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可；
(2)根据诱导公式，转化为其次问题进行求解即可.
【详解】(1)原式
.
(2)原式
.
A. B.
C. D.
5．已知函数 ，则 的值为（）
A.1B.2
C.4D.5
6．已知关于 的方程 （ ）的根为负数，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知集合 ，则集合 中元素的个数为（）
A.1B.2
C.3D.4
8．已知角α的终边过点 ，则 的值是（）
A. B.
C.0D. 或
9．函数 的零点为 ， ，则 的值为（）
试题解析：（1） ，
（2）由 可得
考点：集合运算及集合的子集关系
20、（1）（i） ；（ii） .
（2）答案见解析.
【解析】（1）（i）解方程 即得解；（ii）利用二次函数的图象和性质求解；
（2）对 分类讨论解不等式.
【小问1详解】
解：（i）由题得 ；
（ii） ，对称轴为 ，
所以当 时， .
.
所以f（x）在区间 上的值域为 .
6、D
【解析】分类参数，将问题转化为求函数 在 的值域，再利用指数函数的性质进行求解.
【详解】将 化为 ，
因为关于 的方程 （ ）的根为负数，
所以 的取值范围是 在 的值域，
当 时， ，则 ，
即 的取值范围是 .
故选：D.
7、D
【解析】由题意，集合 是由点作为元素构成的一个点集，根据 ，即可得到集合 的元素.
【详解】当 时，令 ，得 或 ，
且 时， ； 时， ，故排除选项B.
因为 为偶函数， 为奇函数，所以 为奇函数，故排除选项C；
因为 时，函数 无意义，故排除选项D；
故选：A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行
【详解】∵空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），
∴|AB| 4
故答案为:4
【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式,属于基础题.
16、
【解析】根据对数运算法则得到 ，再根据对数运算法则及三角函数弦化切进行计算.
【详解】∵ ，∴ ，
又 ， .
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（3）求出恰有一只是白球的概率， 只球都是白球的概率，可得结论
【详解】解：记两只白球分别 ， ；两只红球分别为 ， ；两只黄球分别为 ，
从中随机取2只的所有结果为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， 共15种
（1） 只球都是红球为 共1种，概率
（2） 只球同色的有： ， ， ，共3种，概率
16．已知 ，则 ____________.（可用对数符号作答）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备 万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入 （单位：万元）与年产量 （单位：万台）的函数关系式近似满足：