空间直线的一般方程求方向向量
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
空间过两点的直线方程求法
空间过两点的直线方程求法【绪论】在数学中，直线是我们经常会遇到的一个图形。
而对于空间中的直线，由于我们的视角受限，它的求解与平面直线有所不同，本文将介绍如何求解空间过两点的直线方程。
【公式推导】考虑空间中的一条直线，它可以用一点和它的方向向量来表示，设直线过点 $A(x_1,y_1,z_1)$ 和 $B(x_2,y_2,z_2)$，其方向向量 $ \vec{AB}= (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$。
给定其中一点，我们知道在线上的任意一点 $P$ 满足 $\vec{AP} = t\vec{AB}$，其中 $t$ 为实数。
则 $P$ 的坐标可以表示为 $P(x,y,z) = A(x_1,y_1,z_1) + t(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$进一步整理可得直线的对称式方程$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$这是空间直线的一般式方程。
对其进行简化，可得参数式方程$$\begin{cases}x = x_1 + t(x_2-x_1) \\y = y_1 + t(y_2-y_1) \\z = z_1 + t(z_2-z_1)\end{cases}$$这个方程是描述直线上任意一点 $(x,y,z)$ 坐标的参数式方程，其中$t$ 是参数，取遍实数。
如果给出参数，就能确定直线上的一点，反之，给出一点，就能确定对应的参数。
【实例说明】例如，过点 $A(1,2,3)$，$B(4,-1,2)$ 的直线方程可以表示为：$$\begin{cases}x = 1 + t (4 - 1) \\y = 2 + t (-1 - 2) \\z = 3 + t (2 - 3)\end{cases}$$整理后可得：$$\begin{cases}x = 3t - 2 \\y = -t + 2 \\z = -t + 3\end{cases}$$这就是过点 $A(1,2,3)$，$B(4,-1,2)$ 的直线的参数式方程。
直线的向量方程-高中数学知识点讲解
直线的向量方程
1．直线的向量方程
【知识点的知识】
直线的方向向量与直线的向量方程：
→→→
（1）给定一个定点A 和一个向量푎，再任给一个实数t，以A 为起点作向量퐴푃=t푎①，这时点P 的位置被t 的值
→
完全确定．当t 在实数集R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是通过点A 且平行于向量푎的一条直线l，反之，在l 上
→→
任取一点P，一定存在一个实数t，使向量퐴푃=t，则向量方程①通常称作直线l 以t
为参数的参数方程．푎称为该
直线的方向向量．
→（2）对空间任一确定的点O，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式푂푃=
→
푂퐴
+푡푎②．如果在
→
l 上取퐴퐵=→→→→
푎，则②式可化为푂푃=(1―푡)푂퐴+푡푂퐵
③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与
平面的直线向量参数方程相同．
【解题方法点拨】
1、向量法证明平行：
（1）证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．
（2）用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．
（3）利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．
1/ 2
2、利用向量求异面直线所成角的步骤为：
（1）确定空间两条直线的方向向量；
（2）求两个向量夹角的余弦值；
（3）确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
2/ 2。
高等数学7.3直线及其方程
4
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
平面束
例 12 求过点 (1,2,4) 且与平面 2x 3 y z 4 0 垂直的直线方程. 解 x1 y2 z4 .
2 3 1
例 13 求过点 (3,2,5) 且与平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1平行的
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
— 两直线的夹角公式
s1
s2
8
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
即 1 2(2 2 ) 1 0 , 解得 2 ,
由此得到所求平面方程为
3x 2y z 6 0 .
18
平面束
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
例19
求直线
L:
x
x
y y
z z
1 1
0 0
在平面
x 2 y z 0 的平面方程.
解 设平面方程为 x+2 y-z 6 ( x 2 y+z) 0 ,
即 (1 )x 2(1 ) y ( 1)z 6 0 ,
由于所求平面与平面 x 2 y z 0 垂直，所以
{1 , 2 2, 1} {1, 2, 1} 0 ,
空间直线方程转化为对称式
空间直线方程转化为对称式空间直线方程转化为对称式在解决三维空间中的几何问题时，我们常常需要将空间直线方程转化为对称式来简化问题的求解。
本文将介绍如何将空间直线方程转化为对称式。
一、空间直线方程的一般形式空间直线的一般形式可以表示为P(x,y,z) = A + tB，其中A和B分别是直线上的一点和方向向量，t为实数。
这个方程包含三个未知数x, y和z，难以直观地表示空间直线在三维空间中的位置和形态。
二、空间直线对称式的定义对称式是一种更加简单且直观的方式来表示空间直线的位置和形态。
空间直线的对称式可以表示为{(x-x0)/l = (y-y0)/m = (z-z0)/n}，其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，l, m和n是直线的方向比。
这个方程只包含了两个未知数l和n，更加方便求解问题。
三、空间直线方程转换成对称式的步骤1. 求出直线的方向向量B和一点A的坐标。
2. 将空间直线方程中的(x,y,z)表示为(x0 + lt, y0 + mt, z0 + nt)的形式。
3. 代入对称式中的{x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt}。
4. 化简得到直线的对称式。
四、实例演示以直线P(x,y,z) = (1,-3,3) + t(2,1,-1)为例，演示如何将其转化为对称式。
1. 直线的方向向量为B = (2,1,-1)，一点A的坐标为(1,-3,3)。
2. 将直线方程表示为(x0 + lt, y0 + mt, z0 + nt)的形式，得到x=1+2t, y=-3+t, z=3-t。
3. 代入对称式中的{x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt}，得到{(x-1)/2 = (y+3)/1 = (z-3)/-1}。
4. 化简得到直线的对称式为{(x-1)/2 = (y+3)/1 = (z-3)/-1}。
五、总结转换成对称式的空间直线方程相对于一般形式更加简单，易于处理。
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
空间直线一般方程
空间直线一般方程在三维空间中，直线是一种基本的几何图形，它是由无数个点构成的无限延伸的线段。
空间直线一般方程是描述直线位置的数学表达式，它是解决空间几何问题的重要工具之一。
一、空间直线的定义空间直线是三维空间中的一条无限延伸的线段，它由无数个点构成，其中任意相邻两点之间的距离相等。
空间直线的方向是它的无穷远处的方向，它可以用一个向量来表示。
在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序三元组(a,b,c)，其中a、b、c分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
二、空间直线的方程空间直线可以用不同的方式来表示，其中一种常见的方式是使用一般方程。
空间直线的一般方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中，(x0,y0,z0)是直线上的一个已知点，a、b、c是直线的方向向量，t是一个参数，表示直线上的任意一点。
这个方程可以看作是一个三元一次方程组，它可以解出直线上的任意一点。
三、空间直线的参数式方程除了一般方程之外，空间直线还可以用参数式方程来表示。
空间直线的参数式方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中，(x0,y0,z0)是直线上的一个已知点，a、b、c是直线的方向向量，t是一个参数，表示直线上的任意一点。
这个方程可以看作是一个三元一次方程组，它可以解出直线上的任意一点。
四、空间直线的点向式方程空间直线还可以用点向式方程来表示。
空间直线的点向式方程可以表示为：r = r0 + t*v其中，r0是直线上的一个已知点，v是直线的方向向量，t是一个参数，表示直线上的任意一点。
这个方程可以看作是一个向量方程，它可以解出直线上的任意一点。
五、空间直线的相关性质空间直线有许多重要的性质，其中一些常用的性质如下：1、空间直线的方向向量与其平行的所有向量的方向向量相等。
2、空间直线上的任意两个点之间的距离可以用它们的坐标差的模长来表示。
空间直线与平面的方程
空间直线与平面的方程一、空间直线的方程空间直线是三维空间中的一条直线，可以通过两点或者一点和方向向量来确定。
下面分别介绍这两种情况下的空间直线方程。
1. 两点确定空间直线的方程假设空间直线上有两个不同的点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们可以通过这两个点来确定一条直线L。
那么直线L上任意一点P(x, y, z)都可以表示为：P = A + t(B - A)其中t为实数，表示P点在直线L上的位置。
根据上述表达式，我们可以得到空间直线的参数方程：x = x1 + t(x2 - x1)y = y1 + t(y2 - y1)z = z1 + t(z2 - z1)2. 一点和方向向量确定空间直线的方程如果我们知道空间直线上一点A(x1, y1, z1)和一条方向向量d(a, b, c)，我们可以通过这两个量来确定直线L。
直线L上的任意一点P(x, y, z)满足以下条件：AP与d平行，即 (x - x1)/a = (y - y1)/b = (z - z1)/c(x - x1)/a = (y - y1)/b = (z - z1)/c这就是一点和方向向量确定的空间直线方程。
二、空间平面的方程空间平面可以通过一个点和法向量来确定。
下面介绍这两种情况下的空间平面方程。
1. 一个点和法向量确定空间平面的方程假设空间平面上有一点P(x0, y0, z0)，并且法向量为n(a, b, c)。
空间平面上任意一点Q(x, y, z)都满足以下条件：PQ与n垂直，即 (x - x0)*a + (y - y0)*b + (z - z0)*c = 0根据上述条件，我们可以得到空间平面的一般方程：ax + by + cz + d = 0其中d为常数，满足 d = -ax0 - by0 - cz0。
2. 三个点确定空间平面的方程假设空间平面上有三个不共线的点A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)。
空间直线三种方程的转换
空间直线三种方程的转换空间直线有多种表达方式，其中比较常见的有参数式、对称式和一般式等。
在解题和计算过程中，我们需要根据实际情况选择合适的表达方式，进行转换和运算。
1. 参数式方程空间直线的参数式方程是最为常见的表达方式，它是由直线上的任意一点P和一个方向向量v所确定的。
设P(x1,y1,z1)为直线上的点，v(a,b,c)为直线的方向向量，则参数式方程为：x=x1+aty=y1+btz=z1+ct其中t为参数，表示直线上的任意一点。
参数式方程的优点是简单易懂，容易求出直线上的任意一点坐标，进而求出任意两点距离、直线的斜率等。
2. 对称式方程空间直线的对称式方程是由直线上的一点P和直线的对称轴所确定的。
设P(x1,y1,z1)为直线上的点，直线的对称轴为平面Ax+By+Cz+D=0，则对称式方程为：(x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c =(Ax+By+Cz+D)/(a^2+b^2+c^2)其中a,b,c是直线的方向向量。
对称式方程的优点是可以直观地表达出直线的对称性质，便于解决对称问题。
3. 一般式方程空间直线的一般式方程是由直线的方向向量和直线上的一点P 所确定的。
设直线的方向向量为v(a,b,c)，直线上的一点为P(x1,y1,z1)，则一般式方程为：ax+by+cz+d=0其中a,b,c是方向向量v的分量，d=-ax1-by1-cz1。
一般式方程的优点是可以方便地将直线与其他的曲面（如平面、球面等）进行联立求解，进而得到直线与曲面的交点等重要信息。
在实际应用中，空间直线的三种方程形式是相互关联、相互转换的，我们需要结合实际问题，选择恰当的表达方式，进行数学分析和计算。
方向向量和法向量
B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做 平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
2、一个平面α的法向量也是所有与 平面α平行的平面的法向量。
2、法向量的求法
待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n (u, v, w)
z
D1
C1
A1
B1
D E C B
y
A
x
练习2:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是BB1的中点, 求下列平面的一个法向量：
z
(1)平面BDE （1，-1，0）
(2)平面ACE （1，1，-2） (3)平面DC1E（1，-2，2）
A1
D1
C1
B1
E
D A B
(4)平面A1EC（-1，1，2）
(2)(列):根据 n a 0, n b 0 ，列出方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量 (4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好), 则得到平面法向量 n 的坐标。
n
b
a
α
例1、已知点A(1,1,2),B(3,3,3), C(5,6,5), 求平面ABC的单位法向量。
x x
y
C
2、方向向量的求法 可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
d AB ( x2 x1 , y2 y1 , z 2 z1 )
z
l
A(x1,y1,z1)
AB, ( R, 0)