专题 圆锥曲线全国卷高考真题解答题
专题 圆锥曲线全国卷高考真题解答题
一、解答题
1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
曲线C ：y =22
x ，D 为直线y =12-上动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .
（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112
y x =
．又因为21
2y x =，所以y'x =.
则切线DA 的斜率为1x ，故1111
()2
y x x t +
=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程
2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，
所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=， 当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2
. （2）由（1）得直线AB 的方程为12
y tx =+
. 由2
122y tx x y ?
=+????=??
，可得2210x tx --=， 于是2
121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+
212|||2(1)AB x x t =-==+.
设12,d d 分别为点,D E 到直线AB
的距离，则12d d ==
.
因此，四边形ADBE 的面积()(
2121
||32
S AB d d t =
+=+设M 为线段AB 的中点，则2
1,2M t t ??+
???
，
试卷第2页，总21页
由于EM AB ⊥，而(
)2
,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以(
)
2
20t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±
时S =因此，四边形ADBE 的面积为3
或.
2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．
（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |． 【详解】
（1）设直线l 方程为：3
2
y x m =
+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++
= 1252
x x ∴+= 联立232
3y x m y x
?
=+???=?得：()229121240x m x m +-+= 则()2
212121440m m ?=-->，12
m ∴<，1212125
92m x x -∴+=-
=， 解得：78
m =-
，∴直线l 的方程为：37
28y x =-，即：12870x y --=
（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：2
3
x y t =
+ 联立223
3x y t y x ?
=+???=?
得：2230y y t --=，则4120t ?=+> 13t ∴>- 122y y ∴+=，123y y t =-
3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y =
123y y ∴=-
，则
AB ===
3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）
已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)
F 是椭圆E 的右焦
点，直线AF 的斜率为3
，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.
【解析】（1）设(),0F c ，因为直线AF
，()0,2A -
所以
2c =
c =
又2
22c b a c a ==-，解得2,1a b ==，
所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=.
（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，
联立2
21{42,
x y y kx +==-，消去y 得()22
1416120k x kx +-+=，
当(
)
2
16430k ?=->，所以2
34k >
，即2k <-
或k > 1212
22
1612
,1414k x x x x k k +=
=++. 所以
PQ =
=
2
14k
=+，点O 到直线l
的距离d =
所以12OPQ
S d PQ ?==
0t =>，则2243k t =+，
2
44144OPQ t S t t t ?=
=≤=++，当且仅当2t
=2=，
解得2
k =±
时取等号，满足2
34k >
所以OPQ ?的面积最大时直线
l 的方程为：2y x =
-或22y x =--. 4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）
已知椭圆2
2
2
:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边
试卷第4页，总21页
形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．
【解析】解：
(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． ∴由222
9y kx b x y m
=+??+=?得2222
(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kb
x k +=
=-+，299
M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9
M OM M y k x k
=
=-，即9OM k k ?=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(
,)3
m
m ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9
y x k
=-
．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,
{9,
y x k x y m =-
+=得
，即
将点(
,)3
m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)
3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = ∴
239
k =+2(3)
23(9)
mk k k -?
+．解得147k =-，247k =+．
∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时， 四边形OAPB 为平行四边形．
考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点
是弦的中点，（1）
知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设
,
，代入椭圆方程
，两式相减，化简为
，两边同时除以得
，而,,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.
5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）
在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2
4
x
与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，
（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【详解】（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .
∵12y x '=，故24
x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程
为2)y a a x a -=
-0ax y a --=.
故24x y =在x =-2a 处的导数值为a ，C 在(2,)a a -处的切线方程为
(y a a x a -=+0ax y a ++=.
0ax y a --=0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=
+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()
k a b a
+.
当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，
试卷第6页，总21页
故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线
分别交于
两点，交
的准线于
两点．
（Ⅰ）若在线段上，是
的中点，证明；
（Ⅱ）若
的面积是
的面积的两倍，求
中点的轨迹方程.
【解析】 由题设
，设
，则，且
．
记过
两点的直线为，则的方程为
（1）由于在线段上，故，
记
的斜率为
的斜率为，则
，所以
（2）设与轴的交点为，
则，
由题设可得，所以
（舍去），
．
设满足条件的的中点为
． 当与轴不垂直时，由
可得．
而，所以
．
当
与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为
7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直
线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22
143
x y +=，
()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为
4
π
.因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22
143
x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以
112
7
y =
.因此AMN 的面积AMN
S 11212144
227749
=???=
. （Ⅱ）由题意3t >，0k >，()
,0A t -.
将直线AM 的方程()y k x t =+代入22
13
x y t +=得
()
2
2
2
2
2
3230tk x ttk x t k t +++-=.由()
221233t k t
x t tk -?-=+得()
21233t tk x tk
-=+，故(
)2
21611t k AM x t
k +=++=
.
由题设，直线AN 的方程为()
1y x t k =-+，故同理可得()261k t k AN +==，
由2AM AN =得22
233k tk k t
=++，即()
()3
2321k t k k -=-. 当3
2k =
时上式不成立，
因此()33212
k k t k -=
-.3t >等价于()()
23233
2122022
k k k k k k k -+-+-=<--， 即32
02
k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<.
因此k 的取值范围是
(
)
3
2,2.
8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆
的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A
于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明
为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，
试卷第8页，总21页
再求最值。（Ⅰ）因为，，故
，
所以，故
.
又圆
的标准方程为
，从而
，所以
.
由题设得，
，
，由椭圆定义可得点
的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为
.
当与轴垂直时，其方程为，
，
，四边形
面积为12.
综上，四边形
面积的取值范围为
.
9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，
点P 满足2NP NM =
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
【答案】（1）22
2x y +=；（2）见解析.
【详解】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),NM 0,x y y =-=（）
由NP 2NM =
得0002
x y y ==，.因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +
=. 因此点P 的轨迹为2
2
2x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则
()()OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---?=+-，，，，， ()OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）.
由OP PQ 1?=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0. 所以OQ PF 0?=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文
已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为
()()10M m m >，． （1）证明：1
2
k <-
； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：
FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．
【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明．
（2）解出m,进而求出点P 的坐标，得到FP ,再由两点间距离公式表示出,FA FB ，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
详解：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=.
两式相减，并由
12
12y y k x x -=-得1212043
x x y y k +++?=. 由题设知
12121,22x x y y m ++==，于是34k m =-.①由题设得302m <<，故12
k <-. （2）由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则
()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.
由（1）及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<.
试卷第10页，总21页
又点P 在C 上，所以34m =
，从而31,2P ?
?- ??
?，32FP =.
于是(1
242x FA x ===-??. 同理222x FB =-
.所以()121
432
FA FB x x +=-+=.
故2FP FA FB =+，即,,FA FP FB 成等差数列.
设该数列的公差为d ，则1212||2d FB FA x x =-=
-=.②
将34m =
代入①得1k
=-.所以l 的方程为7
4
y x =-+
，代入C 的方程，并整理得21714
04x x -+
=.故121212,28x x x x +==
，代入②解得28
d =. 所以该数列的公差为
28
或
28-. 11．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）
已知椭圆
C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3
（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
【解析】试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由
2222
1113
4a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.
因此22211131
4b a
b ?
=????+=??，解得2241a b ?=?=?.故C 的方程为2
214x y +=.
（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2
，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，
），（t ，.
则1222
122k k t t +=-=-，得2t =，不符合题设.
从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2
214
x y +=得
()2
22418440k
x kmx m +++-=，由题设可知()
22=16410k m ?-+>.
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=22
44
41
m k -+. 而12121211y y k k x x --+=
+121211kx m kx m x x +-+-=+()()121212
21kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.
即()()22
244821104141
m km
k m k k --+?+-?=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0?>，欲使l ：12m y x m +=-+，即()1
122
m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）
12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）
设抛物线2
4C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两
点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【解】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由()2
14y k x y x ?=-?=?
得()2222
240k x k x k -++=． 2
16160k ?=+=，故2122
24k x x k
++=． 所以()()2122
44
11k AB AF BF x x k
+=+=+++=． 由题设知22
44
8k k
+=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为
()23y x -=--，即5y x =-+．
试卷第12页，总21页
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
()()002
2
00051116.2y x y x x =-+?
??-++=
+??
，解得0032x y =??=?，或00116.x y =??=-?， 因此所求圆的方程为()()2
2
3216x y -+-=或()()2
2
116144x y -++=． 点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法
①若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于
,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于
D 、
E 、
F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．
13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为
(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =.
由已知可得，点A
的坐标为1,2? ??
或1,2?-
?
?. 所以AM
的方程为2y x =-
+
2
y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，
则12x x <<直线MA 、MB 的斜率之和为121222
MA MB y y
k k x x +=
+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()
12121223422MA MB kx x k x x k
k k x x -+++=
--.
将()1y k x =-代入2212
x y +=得()
2222
214220k x k x k +-+-=.
所以，2212122
2
422
,2121
k k x x x x k k -+==++. 则()33312122
441284234021
k k k k k
kx x k x x k k --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.
14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）
设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠． 【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112
y x =+或1
12y x =--；
（2）设l 的方程为2x ty =
+，()11,M x y 、()22,N x y ，
由2
22x ty y x
=+??
=?，得2
240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为
()()()()()()()()
2
1122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y y
k k x x x x x x +++++++=
+==++++++()()()()()()
1212121224244202222ty y y y t t
x x x x ++?-+?===++++，
所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. 综上，ABM ABN ∠=∠. 15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题
已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为
(1,)(0)M m m >．
（1）证明：1
2
k <-
； （2）F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且
试卷第14页，总21页
0FP FA FB ++=．证：2FP FA FB =+．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【详解】
分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．
（2）先求出点P 的坐标，解出m ，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
详解：（1）设()11A x y ，，()22B x y ，，则22
11143x y +=，22
22143
x y +=．
两式相减，并由
12
12=y y k x x --得1212043
x x y y k +++?=． 由题设知
1212
x x +=，1
22y y m +=，于是3
4k m =-． 由题设得2
11,043
m m +<>∴302m <<，故12k <-．
（2）由题意得F （1，0）．设()33P x y ，，则
()()()()33112211100x y x y x y -+-+-=，
，，，． 由（1）及题设得()31231x x x =-+=，()31220y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以3
4m =
，从而312P ??- ??
?，
，3||=2FP ． 于是(1
||242x FA x ===-??
． 同理2||=22x FB -
．所以()121
|43|||2
FA FB x x +=-+=．故2||=||+||FP FA FB ． 16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）
设A 、B 为曲线C ：2
4
x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
（1）求直线AB 的斜率；
（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．
【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2
224
x y =，124x x +=，
于是直线AB 的斜率1212
1214
y y x x k x x -+=
==-；
（2）由2
4
x y =，得'2x y =.
设()33,M x y ，由题设知
3
12
x =，解得32x =，于是()2,1M . 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为()2,2N m +，1MN m =+.
将y x m =+代入24
x
y =得2440x x m --=.
当()1610m ?=+>，即1m >-时，1,22x =±
从而12AB x =
-=
由题设知2AB MN =，即()21m =+，解得7m =. 所以直线AB 的方程为7y x =+.
17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 2
2:12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，
点P 满足2NP NM =
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
【详解】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),NM 0,x y y =-=（）
由NP 2NM =得000x y y ==，.因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +
=. 因此点P 的轨迹为2
2
2x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则
()()OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---?=+-，，，，， ()OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）.
由OP PQ 1?=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.
试卷第16页，总21页
所以OQ PF 0?=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）
在直角坐标系xOy 中，曲线2
2y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：
设1,0A x （）,2 ,0B x （）,则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-.
又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为12111
2
x x --=-，所以不
能出现AC ⊥BC 的情况.
（2）BC 的中点坐标为（
2122x ，），可得BC 的中垂线方程为22x 1
22
y x x -=-（）. 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2
m
x =-.
联立22
2122m x x y x x ?=-????-=-??，，又2
2220x mx +-=，可得212m x y ?=-????=-??，，
所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122
m ，
--），半径r =
故圆在y 轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.
19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：2
2(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .
（Ⅰ）求
OH ON
；
（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（1）2；（2）没有.
【详解】（Ⅰ）由已知得2
(0,),(,)2t M t N t p
.又N 为M 关于点P 的对称点， 故2
2(,),t N t ON p 的方程为p y x t
=，代入22y px =整理得2220px t x -=， 解得2
1220,t x x p ==，因此22(
,2)t H t p
，所以N 为OH 的中点，即||2||OH ON =. （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点. 理由如下： 直线MH 的方程为2p
y t x t
-=
，即2()t x y t p =-，
代入22y px =，得22
440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个
公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.
20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，点在C 上
（1）求C 的方程
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.
【解析】解：（Ⅰ
2242,1,2a b
=+= 解得22
8,4a b ==,所以椭
圆C 的方程为22
22184
x y +=.
（Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把
y kx b =+代入2222
184
x y +=得()222
214280.k x kbx b +++-= 故12222,,22121
M M M x x kb b
x y kx b k k +-=
==+=++ 于是直线OM 的斜率1
,2M OM M y k x k =
=- 即12
OM k k ?=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
试卷第18页，总21页
21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
曲线2:,2
x C y D =，
为直线1
2
y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ??
???
为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.
【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =
．又因为21
2
y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111
()2
y x x t +
=-，整理得112210tx y -+=.设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为
2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直
线AB 恒过定点1(0,)2
.
(2)由(1)得直线AB 方程为2210tx y -+=，和抛物线方程联立得：
2
221012tx y y x -+=??
?=??
化简得2210x tx --=.于是122x x t +=,21212()121y y t x x t +=++=+设M 为线段AB 的中点，则21(,)2
M t t +
由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-,AB 与向量(1,)t 平行，所以2
(2)0t t t +-=， 解得0t =或1t =±.
当0t =时，(0,2)EM =-，2EM =所求圆的方程为2
2
5()42
x y +-=; 当1t =±时，(1,1)EM =-或(1,1)EM =--，2EM =
225()22x y +-=. 所以圆的方程为225()42x y +-=或225
()22
x y +-=.
22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）
设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点
且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为
3
4
，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .
【解析】试题分析：（1）根据点M 在椭圆上，并且2
MF 与x 轴垂直，得到点M 的坐标，
,再结合椭圆基本关系式，转化为关于a,c 的齐次方程，两边同
时除以，即可求得离心率；（2）根据中位线的几何关系，可得，又
根据条件,可求得点N 的坐标，而点N 在椭圆上，代入椭圆方程，再结合
椭圆基本关系式
，即可求得椭圆方程.
试题解析：（1）记2
2
c a b =-，则()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,
b M
c a ??
???
， 则12
23
2324
MN F M b a k k b ac c ===?=，
()2213,22c c
a c ac e e a a
∴-=?====-或舍去；
（2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则2
244b MF a =?=①， 11135,2,12c MN F N DF F N N ??
=∴=?-- ???
，
将N 的坐标代入椭圆方程得22291
14c a b
+=②
由①②及2
2
2
c a b =-得22
49,28a b ==，故所求椭圆C 的方程为
22
14928
x y +=． 23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆
:
，过点
的动直线与圆
交于
两点，线
段的中点为
，为坐标原点.
(1)求的轨迹方程；
(2)当
时，求的方程及
的面积
试卷第20页，总21页
【解析】 （1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--，
由题设知?0CM MP =，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即2
2
(1)(3)2x y -+-=. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是2
2
(1)(3)2x y -+-=. （2）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N
为半径的圆.
由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥. 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为1
3-，故l 的方程为1833
y x =-+.
又OP OM ==O 到l
，PM = 所以POM ?的面积为
16
5
. 24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）
已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若OM ON ?＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，
设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．
1=
，解得：124433k k ==．
k <<
，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．
（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程()()2
2
231x y -+-=，可得(
)()2
2
14170k x
k x +-++=，
∴()12122
2
417
,11k x x x x k k
++=
=
++ ∴()()()22
121212122
1241
1111k k y y kx kx k x x k x x k
++=++=+++=+，
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,
历年圆锥曲线高考题附答案
数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
2012_2018全国卷圆锥曲线(理科)
2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科) 1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点． （Ⅰ）若90BFD ∠=?，ABD ?的面积为，求p 的值及圆F 的方程． （Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值． 2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆 22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求C 的方程； (Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ． 3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22 221(0) x y a b a b +=>> 的离心率为 2 ，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程； （Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程． 4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2 :4 x C y =与直线 (0)y kx a a =+>交于,M N 两点． (Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； (Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．
(完整版)高考圆锥曲线经典真题
高考圆锥曲线经典真题 知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线 分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究： 考点一：直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l
的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点； 当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在.
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全之欧阳数创编
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 时间：2021.03.02 创作：欧阳数 2.如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直 线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C 于E、F两点；另外平面上的点G、H满足： 求点G的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率 ，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆的一条准线方程是 其左、右顶点分别 是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0. A D M B N l2 l1
（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证： 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为 a. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tan; （2）若2 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容，这部分容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C.5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0， 4 π ），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值围为（ ） A.（0， 2 1 ） B.（ 22 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 2 15 B.y ＝± x 2 15 浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B , 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2 2０１4(新课标全国卷1) 4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 ??B. 2 6 C ． 25 ?? D. 1 10.已知抛物线C:x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点,x F A 045=，则= x 0（ ） Ａ. 1 Ｂ. 2 C. 4 D. 8 20．已知点)2,2(P ，圆C :082 2=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程； （2）当OM OP =时,求l 的方程及POM ?的面积 2０14（新课标全国卷2) （１０）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = (A) （B)6 （C ）12 （D ）（１2）设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 （A)[]1,1- (B ）1122??-????， (C)?? (D) 22?-??? ， 2０.设F 1 ,F ２分别是椭圆C:122 22=+b y a x (a>b>0）的左,右焦点,Ｍ是C 上一点且MF ２ 与x 轴垂直,直线MF 1与Ｃ的另一个交点为N 。 （Ｉ）若直线MN 的斜率为4 3,求C 的离心率; （II)若直线ＭＮ在y 轴上的截距为2且|M Ｎ｜=5|F 1N|，求a,b 。 2013(新课标全国卷1) 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -（a>0，b＞0) C的渐近线方程为( ）． A.y＝ 1 4 x ± Ｂ.y= 1 3 x ± C.y= 1 2 x ± Ｄ.y=±x 8.O为坐标原点,F为抛物线C:y２ ＝的焦点，P为C上一点,若|ＰF| ＝，则△POF 的面积为( ). A．２ B ．Ｃ . D．4 21.已知圆M：(x＋1）2+ｙ２=1,圆Ｎ：(x-1）２＋ｙ2＝9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C． (１）求C的方程； (2）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线Ｃ交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AＢ｜. 1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 （1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （2） 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点，求PAB ?面积的取值范围。 解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足：2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足：2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根，所以 12 02 y y y +=，故PM 垂直于y 轴。 （2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此，3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ? 面积的取值范围是 1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > （1）证明：1 2 k <- ； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。 解析：（1）由中点弦公式22OM b k k a ?=-，解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内，故302m << ，故1 2 k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k = =-，即3||2 FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有 4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 2 6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 20.已知点)2,2(P ，圆C :082 2=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程； （2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积 （10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 （A ）[]1,1- （B ）1122??-????， （C ）?? （D ） ???? 20.设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：122 22=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 （I ）若直线MN 的斜率为4 3，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0) 的离心率为 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 8.O为坐标原点，F为抛物线C：y2 ＝的焦点，P为C上一点，若|PF| ＝，则△POF 的面积为( )． A．2 B ． ．．4 21．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. （1）求M 的方程 （2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MN 的斜率为34 ，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由. 4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； （2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C ：y 2 =2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为 ()()10M m m >，． （1）证明：1 2 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成 等差数列，并求该数列的公差． 圆锥曲线高考真题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 （1）求M 的方程 （2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MN 的斜率为34 ，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行若能，求此时的斜率，若不能，说明理由. 4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； （2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段 AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为 ()()10M m m >，． （1）证明：1 2 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ， FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> ，且经过点(0,1)，圆 22221:C x y a b +=+。 （1）求椭圆C 的方程； （2）直线:(0)l y km m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问是否存在这样的直线l ，使得AM MB =若存在，求出l 的方程，若不存在，请说明理由。 8.已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点 F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。 （1）当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程； （2）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点，交2C 于M,N 两点。当 36 7 PQ =时，求MN 的值。 9.如图，椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点． （1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （2）设过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 222 OA OB AB +<，求a 的取值范围． 10.设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，)0(>k kx 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． 2015（新课标全国卷2） （11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为 （A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2 （15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为x y 2 1 ±=，则该双曲线的标准方程为 。 20. （本小题满分12分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> , 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 20．（本小题满分12分）理科 已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。 （1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点(,)3 m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。 2015（新课标全国卷1） （5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （5）（理）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ： 2 212 x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u u r ?2MF u u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（- 3，3） （B ）（-6，6 ） （B ）（C ）（3- ，3） （D ）（3-，3 ） （16）已知F 是双曲线C ：x 2 -8 2 y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）. 当△APF 周长最小是，该三角形的面积为 （14）一个圆经过椭圆14162 2=+ y x 错误!未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆 的标准 方程为 。 （20）（本小题满分12分）理科 在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2 4 x 与直线y=ks+a(a>0)交与M,N 两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当K 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由。 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ? 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线 （2008-2018）试题 1、9．（5分）（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A （0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线 OE的方程为，请你完成直线OF的方程：． 2、12．（5分）（2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为． 3、13．（5分）（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆 的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为． 4、6．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ． 5、8．（5分）（2010江苏）函数y=x 2（x ＞0）的图象在点（a k ，a k 2 ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= ． 6、9．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2 =4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ． 7、14．（5分）（2011江苏）设集合 222{(,)| (2),,},{(,)|221,,} 2 m A x y x y m x y B x y m x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A B ≠? 则实数m 的取值范围是______________． 8、8．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 的离心率为 ，则m 的值为 ． 9、12．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2 ﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ． 10、3．（5分）（2013江苏）双曲线 的两条渐近线方程为 ． 11、12．（5分）（2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为（a ＞b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2= ，则椭圆C 的离心率为 ． 12、9．（5分）（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y ﹣3=0被圆（x ﹣2）2 +（y+1）2 =4截得的弦长为 ． 13、10．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 14、12．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2 =1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 15、3．（5分）（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 ﹣ =1的焦距是 ． 16、10．（5分）（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ． 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ? 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 A. 2: B B. 1: 2 C. 1： D. 1: 3 园锥曲线单元检测卷 迭様题(共10小陋) 1. 椭圆ax2+by2=l 与直线y=l-x 交于A 、B 两点，过原点与銭段AB 中点的直线的斜率为车，则?的值为< ) 2 b A.更 B.生 C.距 D.生 2 3 2 27 2. 点F 为椭圆W-J=l (a>b>0)的一个焦点，若棉圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么棉圆的离心率为( ) A.亭 B.学 C.早 0. JJ-1 1 2 3. 已知P 是以F|, F2为焦点的棉圖(?>b>0)上的一点，若PFilPFj, tanZPF,F 24,则此神圖的码心率为( ) a l 戸 2 A. - B. - C. - D.亞 2 3 3 3 4. 设F2是戏曲线力>°)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(乔十折)?和=。(0为坐 a 1 标原点)，且1戶尸11 = 51”2|，则双曲线的离心率为( ) A.罕 B.「+l C.擊 D.网 5. 如圍所示，A, B, C 是双曲线打土=1 <*>0, b>0>上的三个点，AB 经过原点0, AC 经过右焦点F,若 \ [ / BF 丄AC 目|BF| = |CF|,则该双曲线的高心率是< ) \ m A.罗 B. J10 C. I D. 3 6. 已知点F“ F2分别是双曲线W~4=l(a>0, d>0)的左、右焦点，ilFifi 垂直于x 轴的宜线与双曲线交于A, B 两点，若 a 2 b 2 F2是锐角三角形，则该戏曲线高心率的取值范围是( ) A. (1, JI) 7.设双曲线日-4=1仏>0, 6>0) 的右焦点为F (c, 0),方程?x 2-bx-c=0的两支根分别为x“ x 2,则P (x o x 2 A 2 b 2 A.必在Sx 2-y 2=2内 C.必在Sx 2-y 2=Z± 8.已知点A (2, 0),抛物线C: x 2=4y 的焦点为F,射銭FA 与抛物銭C 相交于点II,与其准线相交于点N,则|FM|: |MN| 9. 已知点A (-1, 0) , B (1, 0)及抛物线円2x,若抛物銭上点P 淆足iPAdlPBl,则m 的最大値为( ) A. 3 B. 2 C. D. J2 B.(卩，2j) D. (1，1+41) B.必在圖x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能圆锥曲线高考题汇编[带详细解析]
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