【江海名师零距离】高三数学二轮总复习专题13 解决直线与圆及其应用问题
备战2023年新高考数学二轮专题复习直线和圆
专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六 解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12， 所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确． 答案：BD。
高考数学专题复习--直线与圆(多角度)课件
解析：方法一：设 的方程为 ,则 解得 所以 的方程为 .
返回导航
√
返回导航
解析：因为直线 始终平分圆 的面积，所以直线 始终过圆的圆心 ，又圆 与直线 相切，则圆的半径 ,所以圆 的方程为 .故选D.
返回导航
求圆的方程的2种方法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
A. B. C. D.
解析：选A.通解（常规求解法）：设圆 的圆心坐标为 ，连接 ， （图略）.因为 ， ， ，所以 ,所以平行四边形 为菱形，所以 且 .
√
返回导航
可得 解得 或 （舍去），则圆心 的坐标为 .因为圆 的半径为 ，所以圆 的方程为 .故选A.优解（特值验证法）：由题意可知，平行四边形 为菱形，则 ，即圆 的半径为 ，排除B，D；将点 代入选项A，C，显然选项A符合.故选A.
A. B. C. D.
解析：根据题意直线 与 轴的交点为 .因为圆与直线 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 ,则圆的方程为 ,故选A.
√
返回导航
（2）已知直线 与圆 相切，且直线 始终平分圆 的面积，则圆 的方程为( )
A. B. C. D.
高三数学第二轮专题直线与圆
高三数学第二轮专题 直线与圆江苏省木渎高级中学 沈雪明一、复习要点1、熟练掌握探求直线和圆的方程，掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断和性质的运用；2、掌握与直线和圆有关的探索性问题、存在型问题、定点定值的解题策略。
二、典型例题例1 在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小. （1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程；若不存在，给出理由. 【分析】（1）一般来说，求圆的方程有两类办法：①几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．本小题关键是找到直线l 经过定点M （4,3），这样符合条件的圆O ，就是以OM 为直径的圆； （2）对条件2||||||PO PA PB =⋅的化简，要有整体思想这样可以使运算量大大减少； （3）充分利用直线与圆几何性质. 【解答】（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3） ,由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上， 所以圆O 的方程为2225x y +=.（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +<……①(5,)PA x y =---，(5,)PB x y =--，由||,||,||P A P O P B 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，0425[,0)2PA PB ∴⋅∈-）tan ||||cos QM QN MQN QM QN MQN ⋅⨯∠=⋅∠|sin 2MQNMQN S ∠= .的一个交点为M （4，4-，3），直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQN S 有最大值32.即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为64，此时直线l 的方程为250x y --=.【反思】 研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线、圆心距与圆的半径的大小关系这一关键点．在讨论有关直线与圆相交问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．例 2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 【分析】（1）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况，然后再进行求解；（2）的第①小题其实质是求轨迹问题，即以圆C 的半径相等作为等量关系来证明结论；（2）的第②小题的求解要学会与第①小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论. 【解答】（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=4=．化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，即22(4)- 化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以定点的坐标为(1，(1．【反思】1、第（2）题的第①小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑 2、定点问题 解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。
2016年高考第二轮复习理科数学课件 第13讲 直线与圆
第4页
第13讲
与名师对话· 系列丛书
二轮数学·理
2．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0， |C1－C2| l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝ 2 . A ＋B2 (2) 点 (x0 ， y0) 到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离公式 d ＝ |Ax0＋By0＋C| . 2 2 A ＋B
第14页
第13讲
与名师对话· 系列丛书
二轮数学·理
[解析] 因为直线 l1：x＋2y－1＝0 与直线 l2：mx－y＋1＝0 m －1 1 1 平行，所以 1 ＝ 2 ≠0，解得 m＝－2，所以 l2：－2x－y＋1＝0， |－1－－2| 5 即 x＋2y－2＝0，所以 l1 与 l2 之间的距离为 ＝ 5 ，故 5 选 A.
与名师对话· 系列丛书
二轮数学·理
第 13 讲
直线与圆(选择、填空题型)
第1页
第13讲
与名师对话· 系列丛书
二轮数学·理
———————————名师指南—————————— [核心考点] 直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的 位置关系． [高考解密] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问 题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属 于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解 答题，多考查其几何图形的性质或方程知识.
[答案] A
第15页
第13讲
与名师对话· 系列丛书
二轮数学·理
3． (2015· 广州检测)一条光线沿直线 2x－y＋2＝0 入射到直线 x＋y－5＝0 后反射，则反射光线所在的直线方程为________．
[解析] 取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)， 设点 A(0,2)关于
(江苏专用)高考数学二轮复习 专题三 解析几何 第二讲 大题考法直线与圆课件
(2)因为 Rt△ABC 斜边中点为 M(2，0)，所以 M 为 Rt△ABC 外接 圆的圆心．
又 AM＝2 2，从而 Rt△ABC 外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. 设 P(a，b)，因为动圆 P 过点 N，所以该圆的半径 r＝ （a＋2）2＋b2， 圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线 m 的方程为(4－2a)x－2by ＋a2＋b2－r2＋4＝0. 因为公共弦长为 4，⊙M 半径为 2 2，所以 M(2，0)到 m 的距离 d ＝2，即|2（4－2 2（a）2－＋aa）2＋2＋b2－b2r2＋4|＝2， 化简得 b2＝3a2－4a，所以 r＝ （a＋2）2＋b2＝ 4a2＋4. 当 a＝0 时，r 最小值为 2，此时 b＝0，圆的方程为 x2＋y2＝4.
[方法技巧]
解决有关直线与圆位置关系的问题的方法 (1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方 程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用 方程． (2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本 量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况． (3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时 几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组．
(2)若动圆 P 过点 N(－2，0)，且与 Rt△ABC 的外接圆相
交所得公共弦长为 4，求动圆 P 中半径最小的圆方程．
[解] (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x－3y－6＝0，AC 与 AB 垂直，所以直线 AC 的斜率为－3.
故 AC 边所在直线的方程为 y－1＝－3(x＋1)， 即 3x＋y＋2＝0.设 C 为(x0，－3x0－2)，因为 M 为 BC 中 点，所以 B(4－x0，3x0＋2)． 点 B 代入 x－3y－6＝0，解得 x0＝－45， 所以 C－45，25. 所以 BC 所在直线方程为 x＋7y－2＝0.
高三数学第二轮专题直线与圆
高三数学第二轮专题 直线与圆江苏省木渎高级中学 沈雪明一、复习要点1、熟练掌握探求直线和圆的方程，掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断和性质的运用；2、掌握与直线和圆有关的探索性问题、存在型问题、定点定值的解题策略。
二、典型例题例1 在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小. （1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程；若不存在，给出理由. 【分析】（1）一般来说，求圆的方程有两类办法：①几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．本小题关键是找到直线l 经过定点M （4,3），这样符合条件的圆O ，就是以OM 为直径的圆； （2）对条件2||||||PO PA PB =⋅的化简，要有整体思想这样可以使运算量大大减少； （3）充分利用直线与圆几何性质. 【解答】（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3） ,由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上， 所以圆O 的方程为2225x y +=.（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +<……①(5,)PA x y =---，(5,)PB x y =--，由||,||,||P A P O P B 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，0425[,0)2PA PB ∴⋅∈-）tan ||||cos QM QN MQN QM QN MQN ⋅⨯∠=⋅∠|sin 2MQNMQN S ∠= .的一个交点为M （4，4-，3），直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQN S 有最大值32.即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为64，此时直线l 的方程为250x y --=.【反思】 研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线、圆心距与圆的半径的大小关系这一关键点．在讨论有关直线与圆相交问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．例 2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 【分析】（1）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况，然后再进行求解；（2）的第①小题其实质是求轨迹问题，即以圆C 的半径相等作为等量关系来证明结论；（2）的第②小题的求解要学会与第①小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论. 【解答】（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=4=．化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，即22(4)- 化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以定点的坐标为(1，(1．【反思】1、第（2）题的第①小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑 2、定点问题 解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。
高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
高考数学二轮复习直线与圆专题训练(含解析)
高考数学二轮复习直线与圆专题训练（含分析）A级——基础稳固组一、选择题1．已知点P(3,2)与点 Q(1,4)对于直线 l对称，则直线l 的方程为()A．x－y＋ 1＝ 0B．x－y＝ 0C．x＋y＋ 1＝ 0D．x＋y＝ 0分析由题意知直线 l 与直线 PQ垂直，所以 k l＝－11＝ 1.＝－k PQ4－ 21－ 3又直线 l 经过 PQ的中点(2,3)，所以直线 l 的方程为 y－3＝ x－2，即 x－ y ＋1＝0.答案 A2．(2014 ·四川成都二模)已知圆1：(x ＋ 1)2＋(y－ 1)2＝ 1，圆 2 与 1 对于直线x－－1＝0C C C y对称，则圆C2的方程为()A． ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝1B． ( x－ 2) 2＋ ( y＋ 2) 2＝1C． ( x＋ 2) 2＋ ( y＋ 2) 2＝ 1D． ( x－ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝1分析C1：( x＋1)2＋( y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它对于直线 x－y－1＝0对称的点为(2，－2) ，对称后半径不变，所以圆C2的方程为( x－2)2＋( y＋2)2＝1.答案B3．(2014 ·山东潍坊一模) 若圆C经过 (1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为() A． ( x－ 2) 2＋ ( y±2) 2＝3B． ( x－ 2) 2＋ ( y±3) 2＝ 3C． ( x－ 2) 2＋ ( y±2) 2＝4D． ( x－ 2) 2＋ ( y± 3) 2＝ 4分析因为圆 C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与 y 轴相切，所以半径r ＝ 2，设圆心坐标为 (2 ， ) ，则 (2 － 1) 2＋b2＝4，2＝ 3，＝±3，选 D.b b b答案D4．(2014 ·山东青岛一模) 过点(1 ，3) 作圆：2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为A和，P O x B则弦长 | AB| ＝()A.3B． 2C.2D． 4分析如下图，∵ PA， PB分别为圆 O： x2＋ y2＝1的切线，∴OA⊥ AP.∵P(1，3)， O(0,0)，∴| |＝1＋ 3＝2.OP1又∵ | OA| ＝1，在 Rt △APO中， cos ∠AOP＝2，∴∠＝60°，AOP∴ | AB| ＝ 2| AO|sin ∠AOP＝ 3. 应选 A.答案A5．(2014 ·北京旭日一模 ) 直线y ＝x＋与圆x2＋y2＝ 16 交于不一样的两点，，且|→|≥ 3|→m M N MN OM→m的取值范围是()＋ ON|，此中 O是坐标原点，则实数A．( －2 2，－ 2) ∪ [ 2，2 2)B．( －4 2，－ 2 2) ∪[22，4 2)C． [ － 2,2]D．[ －22，2 2]→→→→→→ 21→2→分析设 MN的中点为 D，则 OM＋ ON＝2OD，|MN|≥23| OD|，由 | OD|＋2|MN|＝16，得16＝ | OD 21 →2→21→2→→| m|| ＋4| MN|≥|OD|＋4(23| OD|)，进而得| OD|≤2，由点到直线的距离公式可得| OD|＝2≤2，解得－ 2 2≤m≤2 2.答案 D6．(2014·江西卷 ) 在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB为直径的圆C 与直线 2＋－ 4＝ 0 相切，则圆C面积的最小值为 () x yA. 4π B. 3π 545C ．(6 － 2 5) πD. 4π分析∵∠ AOB ＝90°，∴点 O 在圆 C 上．设直线 2 x ＋ －4＝0 与圆 C 相切于点 ，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2 ＋ －4＝0 的yDx y距离，∴点 C 在以 O 为焦点，以直线 2x ＋ y － 4＝ 0 为准线的抛物线上，∴当且仅当， ， 共线时，圆的直径最小为 ||.O C DOD又| | ＝|2×0＋ 0－4| ＝ 4 ，OD 5 5∴圆 C 的最小半径为2，5∴圆 C 面积的最小值为 π2245＝ π.5答案 A二、填空题7．(2014 ·山东卷 ) 圆心在直线 x － 2y ＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 ________．分析∵圆心在直线 x － 2y ＝ 0 上，∴可设圆心为 (2 a ， a ) ．∵圆 C 与 y 轴正半轴相切，∴ a >0，半径 r ＝ 2a .又∵圆 C 截 x 轴的弦长为 2 3，∴ a 2＋ ( 3) 2＝ (2 a ) 2，解得 a ＝ 1( a ＝－ 1 舍去 ) ．∴圆 C 的圆心为 (2,1)，半径 r ＝ 2.∴圆的方程为 ( x － 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 4.答案 ( x －2) 2＋ ( y －1) 2＝ 48．(2014 ·重庆卷 ) 已知直线 x －y ＋ a ＝ 0 与圆心为 C 的圆 x 2＋y 2＋ 2x － 4y － 4＝ 0 订交于 A ，B 两点，且 AC ⊥ BC ，则实数 a 的值为 ________．分析 由题意，得圆心 C 的坐标为 ( － 1,2) ，半径 r ＝ 3. 因为 AC ⊥ BC ，所以圆心 C 到直线 x － y＋ ＝0 的距离| － 1－2＋ a |2 ＝3 2＝ 0 或＝ 6.＝＝2r，即 | －3＋ | ＝3，所以a a ad22a答案 0或69．直线2ax ＋ by ＝ 1( a ， b 是实数 ) 与圆 x 2＋ y 2＝1 订交于 A ， B 两点，且△ AOB 是直角三角形( O是坐标原点 ) ，则点P( a，b) 与点 (0,1)之间的距离的最大值为________．222分析易知△ AOB为等腰直角三角形，且点 O到直线距离为2，可得 2a＋b＝ 2?－ 2≤b≤2，222－b22a ＋ b－1＝2＋ b－1≤ 2＋1.答案2＋ 1三、解答题10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心 P 的轨迹方程；2(2)若点 P到直线 y＝ x 的距离为2，求圆 P 的方程．解 (1) 设P( x，y) ，圆P的半径为r .则 y2＋2＝ r 2，x2＋3＝ r 2.∴y2＋2＝ x2＋3，即 y2－ x2＝1.∴P 点的轨迹方程为 y2－ x2＝1.(2) 设P的坐标为 ( x0，y0) ，| x0－y0|200＝ 1.则2＝2，即 | x－y |∴ y0－ x0＝±1，即 y0＝ x0±1.①当 y0＝ x0＋122＝ 1，得 ( x0＋1)22＝ 1.时，由 y0－ x0－ x0x ＝0，∴r 2＝3.∴y ＝1，∴圆 P 的方程为 x2＋( y－1)2＝ 3.②当 y0＝ x0－122＝ 1，得 ( x0－1)22＝ 1.时，由 y0－ x0－ x0x ＝0，∴∴ r 2＝3. y ＝－1，∴圆 P 的方程为 x2＋( y＋1)2＝ 3.综上所述，圆P 的方程为 x2＋( y±1)2＝3.11．(2014 ·课标全国卷Ⅰ) 已知点P(2,2)，圆 C： x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB的中点为 M，O为坐标原点．(1)求 M的轨迹方程；(2)当 | OP| ＝ | OM|时，求l的方程及△POM的面积．解(1) 圆C的方程可化为22＝ 16，所以圆心为→x ＋( y－4)C(0,4)，半径为 4.设 M( x，y)，则 CM＝→( x ， y － 4) ，MP ＝ (2 － x, 2－ y ) ．→ →由题设知 CM · MP ＝0，故 x (2 － x ) ＋ ( y － 4)(2 － y ) ＝ 0，即 ( x － 1) 2＋ ( y － 3) 2＝ 2.因为点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是 ( x － 1) 2 ＋( y － 3) 2＝ 2.(2) 由 (1) 可知 M 的轨迹是以点 N (1,3) 为圆心， 2为半径的圆．由 |OP | ＝ | OM |，故 O 在线段 PM 的垂直均分线上，又 P 在圆 N 上，进而 ON ⊥ PM .1因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－ 3，18故 l 的方程为 y ＝－ 3x ＋ 3.又|OM |＝| OP |＝2410 2， O 到 l 的距离为5 ，4 10，|PM |＝516所以△ POM 的面积为 5 .B 级——能力提升组1．(2014 ·河南南阳联考 ) 动圆C 经过点 (1,0) ，而且与直线 x ＝－ 1 相切，若动圆 C 与直线yF＝ x ＋ 2 2＋ 1 总有公共点，则圆 C 的面积 ()A ．有最大值 8πB ．有最小值 2πC ．有最小值 3πD ．有最小值 4π分析设圆心为( ， )，半径为 r ， r ＝ || ＝ | a ＋1| ，即 (－1)2＋ b 2＝ ( ＋ 1) 2，即 ＝ 1 2 ，C a bCFaaa 4bb 2－ b ＋ 2 2＋ 1 21 b 2， b ，＝12＋4b∴圆心为 r，圆心到直线y ＝ ＋ 2 2＋ 1的距离为 ＝2≤ ＋ ，44b1xd4 11∴ b ≤－ 2(2 2＋ 3) 或 b ≥2，当 b ＝ 2 时， r min ＝ 4×4＋ 1＝ 2，∴ S min ＝π r 2＝4π.答案 D2．过圆 x 2＋ y 2＝ 1 上一点作圆的切线与x 轴、 y 轴的正半轴交于 A ，B 两点，则 | AB | 的最小值为________．分析假定直线 l ABxy22222 2≤ a 2＋ b 2：＋＝ 1. 因为圆心0,0) 到 l 的距离为 1，可得 a b ＝ a ＋ 又 a b2，所以 a2＋ b2≥4.又因为| AB|＝a2＋b2≥2，当且仅当a＝ b＝2时等号成立．答案23．(2014 ·江苏卷 ) 如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时建立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸 AB垂直；保护区的界限为圆心M在线段 OA上并与 BC相切的圆，且古桥两端 O和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于80 m．经丈量，点 A 位于点 O正北方向60 m 处，点C4位于点 O正东方向170 m处( OC为河岸)，tan∠ BCO＝3.(1)求新桥 BC的长；(2)当 OM多长时，圆形保护区的面积最大？解(1) 如图，以为坐标原点，所在直线为x 轴，成立平面直角坐标系.O OC xOy由条件知A(0,60)， C(170,0)，4直线 BC的斜率 k BC＝－tan∠ BCO＝－3.3又因为 AB⊥ BC，所以直线AB的斜率 k AB＝4.设点 B 的坐标为( a，b)，则 k BC ＝b －＝－ 4， k AB ＝ b － 60＝ 3 .a － 170 3a － 0 4 解得 a ＝ 80，b ＝ 120.所以 BC ＝ 170－ 802＋ 0－ 1202＝ 150.所以新桥的长是 150 m.BC(2) 设保护区的界限圆 M 的半径为 r m ， OM ＝ d m(0≤ d ≤60) ．4由条件知，直线BC 的方程为 y ＝－ 3( x － 170) ，即 4x ＋ 3y － 680＝ 0.因为圆 M 与直线 BC 相切，故点 M (0 ，d ) 到直线 BC 的距离是r ，|3 d － 680|680－ 3d即 r ＝22＝5 .4 ＋ 3因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于 80 m ，r － d ≥80， 所以r － 60－ d ≥80，680－ 3d－ ≥80，5d解得 10≤ d ≤35.即d － 60－ d680－3≥80.5680－ 3d故当 d ＝ 10 时， r ＝5 最大，即圆面积最大．所以当 OM ＝ 10 m 时，圆形保护区的面积最大．。
2020高考数学二轮微专题微专题直线与圆的基本问题考点考向考题点拨(52张)
第8页
考情分析 典型例题 课后作业
微专题十 直线与圆的基本问题
2. 若抛物线 y＝x2－2x－3 与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方 程为________． (x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析：抛物线 y＝x2－2x－3 关于直线 x＝1 对称，与坐标轴 的交点为 A(－1,0)，B(3,0)，C(0，－3)，设圆心为 M(1，b)，半径为 r，则 MA2＝ MC2＝r2，即 4＋b2＝1＋(b＋3)2＝r2，解得 b＝－1，r＝ 5，所以由交点确定的圆 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
微专题十 直线与圆的基本问题
核心模块四 解析几何 微专题十 直线与圆的基本问题
第1页
考情分析 典型例题 课后作业
微专题十 直线与圆的基本问题
考课 情时 分作 析业
在近三年的高考题中，直线与圆的基本问题考察都比较简单，直线与圆的方程求 解以及位置关系的研究，属于容易题，常见于填空题和解答题第一小问．
例 1 (1) 经过两条直线 3x＋4y－5＝0 和 3x－4y－13＝0 的交点，且斜率为 2 的直
线方程是________．
(2) 圆心在直线 2x－y－7＝0 上的圆 C 与 y 轴交于 A(0，－4)，B(0，－2)两点，则
圆 C 的方程为__________．
(3) 在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈
第6页
考情分析 典型例题 课后作业
微专题十 直线与圆的基本问题
(3) (x－1)2＋y2＝2 解析：由题意得：半径等于 |mm＋2＋1|1＝ ≤ 2，所以所求圆为(x－1)2＋y2＝2.
mm2＋＋112＝
1＋m22＋m 1
高三数学(理)二轮专题复习第1讲 直线与圆---精校解析Word版
第1讲 直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A .[2，6]B .[4，8]C .[2，32]D .[22，32]解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6. 答案 A2.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.解析 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，所以k OA ＝1，k AB ＝1－01－2＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，所以OA ⊥AB .所以OB 为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.答案 x 2＋y 2－2x ＝03.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2.所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.答案 4π4.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD→＝0，则点A 的横坐标为________.解析 因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎨⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案 3考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2 k 1＝k 2，l 1⊥l 2 k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r＝D2＋E2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r 相交；d＝r 相切；d>r 相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离.热点一直线的方程【例1】(1)(2018·惠州三模)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积最小时，直线l的方程为()A.2x＋y－4＝0B.x＋2y－5＝0C.x＋y－3＝0D.2x＋3y－8＝0解析(1)由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，得m＝－1或m＝－7.但m＝－1时，直线l1与l2重合.当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件.(2)设l的方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1.∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥22ab.则1≥22 ab，∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即a＝2，b＝4时，取“＝”).∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小.此时l 的方程为x 2＋y 4＝1，即2x ＋y －4＝0.答案 (1)B (2)A探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0 m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大.∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2. ∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0热点二 圆的方程【例2】 (1)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.(2)(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为________.解析 (1)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a . 由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ).又F (1，0)，所以AC→＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ). 由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.答案 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝4 (2)(x ＋1)2＋(y －3)2＝1探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.(2)(2018·日照质检)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.解析 (1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254， 所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.(2)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 (2)(x －2)2＋y 2＝9 热点三 直线(圆)与圆的位置关系考法1 圆的切线问题【例3－1】 (1)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2018·湖南六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( )A .(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－433，433 解析 (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0.依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切.∴|－a |12＋[－（a ＋3）]2＝1，解得a ＝－53. (2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2，即kx －y －2＝0.由d ＝|0－0－2|1＋k 2＝1，得k ＝±3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2. 故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞. 答案 (1)－53 (2)B考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.(1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ② 又x 22＋mx 2－2＝0， ③ 由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3， 即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l 2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2018·石家庄调研)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .相离(2)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________________.解析 (1)圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a 2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2. 所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交.(2)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1. 故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案 (1)B (2)x ＋y －3＝01.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与x 轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，弦长公式|AB|＝2r2－d2(弦心距d).一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－43B.－34 C. 3 D.2解析圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4).由题意，得d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.答案 A2.(2018·昆明诊断)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y ＝0互相垂直”，则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要解析“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0 m＝±1.∴命题p是命题q的充分不必要条件.答案 A3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2x＋y－5＝0B.2x＋y－7＝0C .x －2y －5＝0D .x －2y －7＝0解析 依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y－1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.答案 B4.(2018·衡水中学模拟)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A .1031B .921C .1023D .911解析 易知P 在圆C 内部，最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223，故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C5.(2018·湖南师大附中联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B .[0，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 解析 设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，∴x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋(2a －3)2≤9，解之得0≤a ≤125.答案 A二、填空题6.过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.解析 易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12. ∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.答案 x ＋2y －3＝07.(2018·济南调研)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，若l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________. 解析 由y ＝ax 2，得x 2＝y a ，∴准线l 的方程为y ＝－14a .又l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交的弦长为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，则a ＝12. 答案 12 8.某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆C 的方程为________. 解析 由题意，1002 500＝a 1 000＝b 600，∴a ＝40，b ＝24，∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|25＋9＝334， ∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，∴r ＝634， ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817.答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817三、解答题9.已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解 解方程组⎩⎨⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即l 1与l 2的交点P (1，2). ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1， 即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标. 解 圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.由|PM |＝|PO |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2.整理，得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程.解 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6， y 0).因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22， 所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题十三 解决直线与圆及其应用问题
【典题导引】
例1. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为5，且与直线43170xy相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设点3(1,)2P，过点P作直线l与圆C交于,AB两点，若8AB，求直线l的方程；
（3）设P是直线60xy上的点，过P点作圆C的切线,PAPB，切点为,AB．
求证：经过,,APC三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
解：（1）设圆C的方程为：22()25(0)xaya，
圆C与直线43170xy相切， 4175,5a0,2aa，
所求的圆C的方程是22(2)25xy；
（2）8AB，圆心C与直线l的距离25163d，
直线l过点3(1,)2P，:1lx满足题设，
直线l斜率存在时，设直线l的方程为：3(1)2ykx，即3()02kxyk，
2
3
3231kk
，34k，
直线l的方程为39044xy，即3490xy，
综上，所求的直线l的方程为1x或3490xy；
（3）设点(,6)Ptt，
则由题设，经过,,APC三点的圆是以PC为直径的圆，
经过,,APC三点的圆方程为：(2)()(6)0xxtyyt，
整理得：22(26)(2)0xyxytxy，
由2220,260,xyxyxy得2,0,xy或2,4,xy，
经过,,APC三点的圆必过定点(2,0)和(2,4)．
例2. 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，一条准线:2lx．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以
OM
为直径的圆D交于,PQ两点．
①若6PQ，求圆D的方程；
②若M是l上的动点，求证:点P在定圆上，并求该定圆的方程．
（1）解：由题设可知22,22,caac2,1,ac2221bac，
椭圆C的方程为：2212xy；
（2）①解：由（1）知：(1,0)F，设(2,)Mt，
则圆D的方程为：222(1)()124ttxy，
直线PQ的方程为：220xty，
6PQ
，22222222(1)()644ttt，
Q O x M y
P
F
例2图
2
4t
，2t.
圆D的方程为：22(1)(1)2xy或22(1)(1)2xy;
②证明：证法一
设00(,)Pxy，由①知：2220000(1)()1,24220,ttxyxty
即2200000020,220,xyxtyxty消去t得22002xy.
点P在定圆222xy上．
证法二：设00(,)Pxy，则直线FP的斜率为001FPykx，
FPOM，直线OM
的斜率为001OMxky，
直线OM的方程为：001xyxy，
点M的坐标为002(1)(2,)xMy．
MPOP
，0OPMP,
0
0000
2(1)(2)[]0xxxyyy
,
22
00
2xy,点P在定圆222xy
上．
例3.（2013新课标）已知圆22:(1)1Mxy，圆22:(1)9Nxy，动圆P与圆M外
切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于,AB两点，当圆P的半径
最长时，求AB.
解：由已知得圆M的圆心为(1,0)M,半径11r,圆N的圆心为(1,0)N,半径23r.
设动圆P的圆心为(,)Pxy,半径为R.
(1)圆P与圆M外切且与圆N内切,1212||||()()4PMPNRrrRrr,
由椭圆的定义可知,曲线C是以,MN为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶
点除外),其方程为22143xy(2)x；
(2)对于曲线C上任意一点(,)Pxy,由于222PMPNR,2R,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,2R.
当圆P的半径最长时,其方程为22(2)4xy,
当l的倾斜角为90时,则l与y轴重合,可得23AB.
当l的倾斜角不为90时,由1rR知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则1QPRQMr,可求得
(4,0)Q,设:(4)lykx
,由l与圆M相切得2311kk,解得24k.
当24k时,将224yx代入22143xy(2)x并整理得27880xx,解得
1,2
4627x
,2121817ABkxx.
当24k时,由图形的对称性可知187AB,
综上，187AB或23AB.
例4.（2013江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,点(0,3)A,直线:24lyx,设圆C的半
径为1,圆心在l上.
（1）若圆心C也在直线1yx上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
（2）若圆C上存在点M,使2MAMO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
解：（1）由241yxyx得到圆心坐标3,2C，
x
y
A
l
O
圆方程为22321xy.
切线斜率不存在时，不合题意;
设切线方程为3ykx,232311kk,
解得0k或34k.
切线方程为3y或334yx.
（2）设,24Caa,则圆方程为22241xaya,
设00(,)Mxy,由题意得2200241xaya,
2MAMO
,22220000344xyxy,即220014xy,
M
存在,圆22241xaya与圆2214xy有交点,
即两圆相交或相切. 2222121d, 即221024(1)9aa,
12
05a
.
【归类总结】
1．判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二
是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，
求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误．
2．求圆的方程一般有两类方法：
（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量
和方程；
（2）代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．其一般步骤是：
①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．此外，根据条件，要
尽量减少参数设方程，这样可减少运算量．
3．（1）在解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关
图形的几何特征，尽可能地简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用0、
0、0，而用圆心到直线的距离dr、dr、dr
，分别确定相交、相切、
相离的位置关系．
（2）弦长222Lrd，其中r为圆的半径，d为圆心到弦所在直线的距离．