圆锥曲线与方程测试题(教师)
高二数学北师大版选修2-1章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程 Word版含答案
章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．抛物线＝的准线方程是－＝，则的值是( )．－．．－【解析】抛物线＝的标准方程为＝，所以－＝，即＝－.【答案】.如图，已知圆的方程为＋＝，点(－)，为圆上任意一点，的垂直平分线交于点，则点的轨迹是( )图．圆．抛物线．椭圆．两条直线【解析】∵为垂直平分线上的点．∴＝.又∵＋＝，∴＋＝.故点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆．【答案】．设是椭圆的长轴，点在椭圆上，且∠＝.若＝，＝，则椭圆的焦距为( )．．【解析】如图，设椭圆的标准方程为＋＝(＞＞)，由题意可知，＝，＝.因为∠＝，＝，所以(－，)．因为点在椭圆上，所以＋＝，所以＝.由公式＝＋得＝，所以焦距为.【答案】．双曲线－＝的焦点坐标为( )．(±，) ．(，±)．(，±) ．(±，)【解析】依题意＝，＝，∴＝，又－＝焦点在轴上，∴焦点坐标为(±，)．【答案】．已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，△为等腰三角形，且顶角为°，则的离心率为( )．．【解析】结合图形，用表示出点的坐标，代入双曲线方程得出，的关系，进而求出离心率．不妨取点在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝(>，>)，则＝＝，∠＝°－°＝°，∴点的坐标为())).∵点在双曲线上，∴－＝，＝，∴＝，＝＝.故选.【答案】．已知双曲线：－。
圆锥曲线与方程测试题4
圆锥曲线与方程测试题4一、选择题1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是（ ）. A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D.椭圆或线段或不存在2、抛物线21y x m =的焦点坐标为（ ） .A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,41m B ． 10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． ,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．0,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ）.A ．14-B ．4-C ．4D ．144、AB 为过椭圆22a x +22by =1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（ ） A.b 2 B.ab C.ac D.bc5、设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（ ）.A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既非充分也非必要6、过原点的直线l 与双曲线42x －32y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－23，23) B.(－∞,－23)∪(23,+∞) C.［－23,23］ D.(－∞,－23］∪［23,+∞) 7、过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（ ）.A. 1B.2C.3D.48、设直线=1:2l y x ，直线2l 经过点(2,1)，抛物线C:=24y x ，已知1l 、2l 与C 共有三个交点，则满足条件的直线2l 的条数为（ ）.A. 1B.2C.3D.49、以过椭圆+=>>22221(0)x y a b a b的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是 （ ）.A. 相交B.相切C. 相离D.不能确定10、点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为 A.131213 B.131613 C.132413 D.132813二、填空题 11、已知双曲线的渐近线方程为y=±34x ，则此双曲线的离心率为________. 12、长度为a 的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线)20(22p a p px y >>=且上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是 .13、12F , F 是椭圆22221x y a b+=的两个焦点，点P 是椭圆上任意一点，从1F 引∠12F PF 的外角平分线的垂线，交2F P 的延长线于M ，则点M 的轨迹是 .14、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.15．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ．三、解答题16.椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为3，求此椭圆的标准方程。
上海市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ）A ．BC ．13-D ．132．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞3．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（ ）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 5．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A ．4B ．15C ．14D ．47．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2D8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB 的面积为3，则p =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．39．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．91610．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C 2D 312．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 3M 在C 上，且12MF MF ⊥，M 3C 的方程为（ ）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，当a 取最大值时，双曲线C 的方程为________.17．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________．18．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．19．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.20．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点P ，Q ，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为______.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.22．已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为2e =，点1)-在椭圆D 上.（1）求椭圆D 的标准方程；（2）设点(2,0)M -，(2,0)N ，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，设直线MA ，NB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，求证：12k k 为定值. 23．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 24．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率255e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点 （1）求椭圆的标准方程 （2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点. ①若k 2=12,且S △AOB 2m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.26．已知：椭圆221164x y +=，求：（1）以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C 解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-， 故选C.2．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论 【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3yx，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点， 所以>0∆，且3是方程的根， 所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意， 综上，a 的取值范围为[)1,1-， 故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题3．A【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=，F bcb c== ， 因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =， 故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a =2k . 5．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得15b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以15b a =所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k ta b a b-=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+， 所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率2213c b e a a==+= 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．8．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB p 的值． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a =A ，B 两点的纵坐标分别是=y又AOB=，得2p =， 故选：C ． 【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=， 所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，3==ce a， 故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．C解析：C【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a ==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】 抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小， 将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时， 即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可． 【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =，可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-， 即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：222e =． 故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．16．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，则(0312x ⨯=-， 解得023x =，则200143x y ==，所以，点M 的坐标为3133⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =， 由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=， 即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =， 所以101042c e a ===. 故答案为：102【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-， 渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.19．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】由几何关系得出为正三角形结合椭圆的定义得出轴利用椭圆方程得出结合直角三角形的边角关系得出再解方程即可得出答案【详解】为正三角形则由椭圆的定义可知则即轴设点由解得即在中即解得故答案为：【点睛】【分析】由几何关系得出1PFQ 为正三角形，结合椭圆的定义，得出PQ x ⊥轴，利用椭圆方程得出22b PF a=，结合直角三角形的边角关系得出22332a c ac -=，再解方程23230e e +-=，即可得出答案.【详解】1160,||F PQ PF PQ ︒∠==1PFQ 为正三角形，则11||PFPQ FQ == 由椭圆的定义可知，2112||2,2PF PF a QF QF a +=+= 则1212PF PF PF QF +=+，即22PF QF =PQ x ∴⊥轴设点()00,,0P c y y >，由220222221y c a ba b c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得20b y a =，即22b PF a = 在12F PF ∆中，222211tan 23F F F PF c PF ab∠==⋅= 即232b ac =，22332a c ac -=23230e e ∴+-=，解得33e =故答案为：33【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，考查数形结合思想及运算能力，属于中档题.三、解答题21．(1) 32; (2) 2214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中，有BF a ==，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以2e ====(2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0. 设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my nx y b =+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-=所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t=m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题.22．（1）22142x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得到关于,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）设直线l的方程为x my =理化简12k k 即得解. 【详解】（1）椭圆D的离心率e ==a ∴=，又点1)-在椭圆D 上，22211a b∴+=，得2a =，b = ∴椭圆D 的标准方程22142x y +=.（2）由题意得，直线l的方程为x my =由22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()22220m y ++-=， 设())()1122,,,A x y B x y ，则1222y y m+=-+，12222y y m =-+， ()()1212121212222()4(2(4x x x x x x my my my my ++=+++=++++221212(2()2)m y y m y y =+++2222(222)m m m ⎛⎛⎫=-++= ⎪ +⎝⎭⎝⎭()()()2112122121222212121212222223222422x k y x y y x y y y y k x y x y x x x x ----∴=⋅=⋅=⋅==-+++-++定值). 【点睛】方法点睛：定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明；（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.23．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k =,则122y y k +=，122m y y k =， 又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=， 即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =，所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.24．（1）2215x y +=（2）9【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率5c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =， 所以椭圆的标准方程为2215x y +=.（2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-， 联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==209==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =25．（1）2212x y +=；（2）①1m =±；②直线l 恒过定点(2,0).【分析】（1）根据题意，可求得1c =，1b =，进而求得a ，由此得到椭圆方程；（2）①联立方程，得到k 与m 的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，120k k +=，由此可得到k 与m 的等量关系，进而求得定点． 【详解】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为(1,0)，则1c =， 当点M为椭圆的短轴端点时，12MF F 面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，则1b =，∴a =2212x y +=；（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x kmx m +++-=，∆222222164(21)(22)8(21)0k m k m k m =-+-=-+>，得2212(*)k m +>，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ①0m ≠且212k =，代入(*)得，202m <<，12|||AB x x -，设点O 到直线AB 的距离为d，则d ==∴12||||)23AOBm SAB d ==， 21(0,2)m ∴=∈，则1m =±；②1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意，120k k +=， ∴1212011kx m kx m x x +++=--，即12122()()20kx x m k x x m +-+-=， ∴2222242()()201212m km k m k m k k -+---=++，解得2m k =-，∴直线l 的方程为(2)y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为(2,0)．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f xy f x y ===，从而求得该定点.26．（1）240x y --=；（2）18y x x ⎛=-<< ⎝⎭. 【分析】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=，22221164x y +=，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点坐标及中点(),M x y ，与椭圆方程联立化为：2217164160x mx m ++-=，由0>，化为：268m <，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出.【详解】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=， 22221164x y +=，相减可得：12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=，把1222x x +=，1212y y +=-， 1212y y k x x -=-代入可得： 12k =．∴以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程为：()1122y x +=-，化为： 240x y --=． （2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点()11,A x y ， ()22,B x y ，中点(),M x y ．联立2221164y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为 2217164160x mx m ++-=，()22256684160m m =-->，化为： 268m <，∴1216227m x x x +=-=，化为： 882171717m m m x y m ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭，．得x <<，∴18y x x ⎛=-<< ⎝⎭【点睛】 关键点点睛：（1）涉及直线与圆锥曲线相交中点弦问题时，利用点差法； （2）由直线与椭圆的位置关系得出m 的范围.。
第三章 圆锥曲线的方程同步课堂单元测试(解答题基础版)(解析版)
第三章圆锥曲线的方程同步课堂单元测试【解答题基础版】一、解答题1．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点()的双曲线方程.【答案】221128x y -=【分析】设所求双曲线方程为22221x y a b-=，根据题中条件，求出c =，221841a b -=，求解即可得出结果.【详解】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意易求得c =，又双曲线过点()，所以221841a b-=；因为(222a b +=，所以212a=，28b =.故所求双曲线的方程为221128x y -=.2．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3-，和9(5)4，，求双曲线的标准方程.【答案】221169y x -=【分析】直接设双曲线的方程为22221y x a b-=(00a b >>，)，代入点的坐标解得22,a b ，即得．【详解】设22221y x a b -=(00a b >>，)，则222232912581116a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得22169a b ⎧=⎨=⎩，∴方程为221169y x -=.3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上；（2）4a =，c =，焦点在y 轴上；【答案】（1）22116x y +=.（2）22116y x +=【分析】（1）直接写出标准方程即可；（2）根据222b a c =-得到21b =，再根据焦点位置，直接写出标准方程.【详解】（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22116x y +=.（2）由4a =，c =2221b a c =-=，焦点在y 轴上，∴其标准方程为22116y x +=.【点睛】本题考查了由,,a b c 的值，求椭圆的标准方程，属于基础题.4．已知椭圆C 的长轴长为10，两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆C 上一点，2PF x ⊥轴，求12F PF ∆的面积．【答案】（1）2212516x y +=（2）485【分析】（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得,a c .由椭圆中满足222a b c =+,即可求得2b ,进而得椭圆的标准方程.（2）根据2PF x ⊥,可得P 点坐标,即可求得12F PF ∆的面积．【详解】（1）椭圆C 的长轴长为10,两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0则210,3a c ==,且222a b c =+解得25,16a b ==所以椭圆的标准方程为2212516x y +=（2）P 为椭圆C 上一点,2PF x ⊥轴所以点P 的横坐标为3x =,代入椭圆方程可求得点P 的纵坐标为165y =±不妨设点P 在x 轴上方,则163,5P ⎛⎫⎪⎝⎭所以121212F PF P S F F y ∆=⨯⨯161485562=⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，且经过()0,3和()2,0两个点；（2）焦点在x 轴上，椭圆内最长弦的弦长为8，并且短半轴长、长半轴长、焦距成等比数列.【答案】（1）22194y x +=；（2）221168x y +=.【分析】（1）根据题设条件可直接得到,a b 的值，从而得到所求的标准方程.（2）根据椭圆内最长弦的弦长为8可得4a =，再根据短半轴长、长半轴长、焦距成等比数列以及222a b c =+可求出b ，从而得到椭圆的方程.【详解】解：（1）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>.因为椭圆经过点()0,3和()2,0，所以32a b =⎧⎨=⎩，故所求椭圆的方程为22194y x +=.（2）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>.因为椭圆内最长弦的弦长为8，所以28a =，即4a =.因为短半轴长、长半轴长、焦距成等比数列，所以22a b c =⨯.由222242a a b c a b c =⎧⎪=⨯⎨⎪=+⎩，得4a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故所求椭圆的方程为221168x y +=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，一般地，求圆锥曲线标准方程，一般有定义法和待定系数法，前者可根据定义求出基本量的大小，后者可根据条件得到关于基本量的方程组，解这个方程组可得基本量，本题属于容易题.6．已知双曲线22116x y n -=的焦点在x 轴上，焦距为10.（1）求n 的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.【答案】（1）9；（2）顶点坐标()3,0±；渐近线方程43y x =±【分析】（1）根据焦距可得c ，由222a c b =-可知216n c =-，求得n ；（2）由（1）知双曲线方程，可得顶点坐标为(),0a ±，渐近线为by x a=±.【详解】（1）焦距为105c ∴=21625169n c ∴=-=-=（2）由（1）知，双曲线方程为：221916x y -=，即3a =，4b =∴双曲线顶点坐标为()3,0±，渐近线方程为：43b y x x a =±=±【点睛】本题考查双曲线方程、渐近线方程的求解等知识，考查双曲线部分的基础定义和几何性质，属于基础题.7．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）经过点()30A -,,()0,2B -；（2）长轴长等于20,焦距等于12.【答案】（1）22194x y +=；（2）22110064x y +=或22110064y x +=【分析】（1）设椭圆方程,根据椭圆经过点()30A -,,()0,2B -,得出32a b =⎧⎨=⎩,代入方程即可.（2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12,得220212a c =⎧⎨=⎩,则可得1068a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.【详解】解:（1）设椭圆方程为:22221x y a b +=,因为椭圆经过点()30A -,,()0,2B -,()30A -,,()0,2B -分别为左顶点和下顶点,所以得32a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆标准方程为22194x y +=.（2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12依题意:220212a c =⎧⎨=⎩,所以1068a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆标准方程为:22110064x y +=或22110064y x +=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,需要注意焦点所在的轴的情况,是基础题.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142-=y x有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.【答案】（1）2212y x -=；（2）实轴长2【分析】（1）先求出双曲线22142-=y x的渐近线方程y =，从而由题意可得b a =，所以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的方程可化为222212x y a a-=，再把M 坐标代入方程中求出a 的值，从而可得双曲线C 的方程；（2）由双曲线方程可得1a =，b =，c =点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离【详解】（1）解：在双曲线22142-=y x 中，2a '=，b '=，则渐近线方程为a y x b''=±=，∵双曲线2222:1x y C a b-=与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，ba∴=∴方程可化为222212x y a a-=，又双曲线C经过点M ，代入方程，222212a a ∴-=，解得1a =，b =∴双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）解；由（1）知双曲线22:12y C x -=中，1a =，b =c =∴实轴长22a =，离心率为==ce a，设双曲线C的一个焦点为(，一条渐近线方程为y =，d ∴==，.【点睛】此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题9．已知ABC的周长为8且点A ,B的坐标分别是()-,(),动点C 的轨迹为曲线Q .（1）求曲线Q 的方程;（2）直线l 过点()1,1P ,交曲线Q 于M ,N 两点,且P 为MN 的中点,求直线l 的方程.【答案】（1）()2210164x y y +=≠；（2）450x y +-=【分析】（1）依题意知AB =8BC AC +=.结合8>得出点C 到两个定点的距离之和等于定值,则点C 的轨迹是椭圆,设椭圆方程方,再结合椭圆的性质得4a =,c =24b =,所以的椭圆的方程是()2210164x y y +=≠.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,根据两点在椭圆上,联立方程组,2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减整理可得122x x +=,122y y +=,可得斜率14-,由点斜式可得直线l 的方程.【详解】解:（1）∵ABC的周长为8,点()A -,()B ,∴AB =8BC AC +=.∵8>∴点C 到两个定点的距离之和等于定值,∴点C 的轨迹是椭圆,设它的方程为()222210x y a b a b+=>>.∴4a =,c =,24b =,∴椭圆的方程是()2210164x y y +=≠.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,两点在椭圆上,所以2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减可得()()()()121212120164x x x x y y y y +-+-+=,∵122x x +=,122y y +=,代入可得121214y y x x -=--,∴直线l 的方程是()1114y x -=--,即450x y +-=.【点睛】本题考查了利用椭圆的定义求椭圆的方程,以及直线与椭圆的位置关系,考查化简运算能力以及转化能力.10．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）直线:1l y x =-交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB .【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.【分析】（Ⅰ）依已知得12p=，所以2p =；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2610x x -+=,再利用韦达定理求弦长AB .【详解】（Ⅰ）依已知得12p=，所以2p =；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2610x x -+=，则126x x +=，121x x =，所以AB===8=.【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.11．设点M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一动点，椭圆的长轴长为.(1)求椭圆C 的方程；（2）求点M 到直线1:50l x y +-=距离的最大值.【答案】（1）22:1124x y C +=；（2）max2d =【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率3，长轴长为(2)设点(),2sin M θθ，利用点到直线的距离公式即可求出.【详解】（1）由已知得2222a c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，得2221248a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆22:1124x y C +=（2）设(),2sin M θθ，则d ==当sin 13πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，max d =.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性求的最大值，属于基础题.12．已知双曲线C 的标准方程为22166x y -=．（1）写出双曲线C 的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点1F 、2F 的坐标；（2）若点()3,M m 在双曲线C 上，求证：12MF MF ⊥．【答案】详见解析【分析】(1)根据双曲线的标准方程，求得a 和b 的值，即可求得答案；(2)根据直线斜率求得121MF MF k k ⨯=-，从而可得12MF MF ⊥.【详解】(1)由22166x y -=，可得：2a =，2b =，所以离心率为e =()1F -,()2F ；(2)因为1MF k =2MF k =29166m -=,所以121MF MF k k ⨯=-，所以12MF MF ⊥【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与直线垂直的判定，属于基础题型.13．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0），上的点M （1，m ）到其焦点F 的距离为2，求C 的方程；并求其准线方程.【答案】y 2=4x,x 1=-【详解】试题分析：由题意求得抛物线的准线方程，根据定义可得p=2，从而可得抛物线的方程和准线方程．试题解析：抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可知|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ；准线方程为1x =-．14．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围．【答案】22k -<<【分析】直线方程与双曲线方程联立，利用判别式的符号列不等式求解即可.【详解】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.15．已知椭圆C 的两焦点分别为()()12F F -、，长轴长为6．⑴求椭圆C 的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度．【答案】（1）22191x y +=；（2【分析】(1)由焦点坐标可求c 值，a 值，然后可求出b 的值．进而求出椭圆C 的标准方程．（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．【详解】解：⑴由()()12F F -、，长轴长为6得：3c a ==所以1b =∴椭圆方程为22191x y +=⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①,∵直线AB 的方程为2y x =+②把②代入①得化简并整理得21036270x x ++=所以12121827,510x x x x +=-=又5AB =【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元测试（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-2）3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为A. 5B.211 C.29 D. 104. 方程2sin y 3sin 2x 22-θ++θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线5. 设P 为椭圆1by a x 2222=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°，∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为A. 22B. 23C. 32D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116y 9x 22=-的渐近线相切的圆的方程为A. 09x 10y x 22=+-+B. 09x 10y x 22=--+C. 09x 10y x 22=-++D. 09x 10y x 22=+++7. 椭圆11a 4y a 5x 222=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,51C. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1by a x 2222=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、b 变化时，21e e +的最小值是A. 4B. 24C.2 D. 229. 设椭圆12y 6x 22=+和双曲线1y 3x 22=-的公共焦点分别为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则cos ∠21PF F 的值为A.41 B.31 C.32 D. 31-10. 过抛物线x 4y 2=的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标1x 与N 的横坐标2x 之积为A. 64B. 32C. 16D. 411. 抛物线x y 2=和圆()1y 3x 22=+-上最近的两点之间的距离是A. 1B. 2C.1210- D.1211- 12. 已知圆的方程为4y x 22=+，若抛物线过点A （-1，0）、B （1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F 的轨迹方程是A. 14y 3x 22=+（0y ≠） B. 13y 4x 22=+（0y ≠） C. 14y 3x 22=+（0x ≠） D.13y 4x 22=+（0x ≠）二、填空题（每小题4分，共16分）13. （2004·湖南）1F 、2F 是椭圆C ：14y 8x 22=+的焦点，在C 上满足1PF ⊥2PF 的点P的个数为__________。
(完整word版)圆锥曲线与方程测试题(带答案)
圆锥曲线与方程 单元测试时间：90分钟 分数：120分一、选择题（每小题5分，共60分）1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．315(-，)1-4．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2）D ．（5，2）（文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ）A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ）A ．1351222=-y xB ．1312522=-y xC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（ ） A ．28 B ．24 C ．22 D ．8． 9．（理）已知椭圆22221a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A ．2230<<a B ．2230<<a 或282>a C ．223<a 或 282>a D ．282223<<a（文）抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．23C ．2D ．3 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点,MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C) 12522=-y x (D) 15222=-y x 11.将抛物线342+-=x x y 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（ ）（A ）x y -=+2)1(2（B ）2)1(2-=+x y （C ）x y -=-2)1(2（D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ） A ．至多一个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 二、填空题（每小题4分，共16分）13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________．14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx )0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法： ①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________． 三、解答题（共44分） 17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．（本小题10分）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.19.（本小题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y . （1）求证：M 点的坐标为)0,1(； （2）求证：OB OA ⊥；（3）求AOB ∆的面积的最小值.20．（本小题12分）已知椭圆方程为1822=+y x ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）． （1）求证直线AB 的斜率为定值；yx（2）求△AMB 面积的最大值．圆锥曲线单元检测答案1. A2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13．24或69 14．3415．42l 16．①③④17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （0,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x . 1322=+y x ………………………………………………4分. （2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m ①………………6分13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②…………………………8分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是（2,21）……………………………………10分 18．设M )(0,0y x 是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MN MF =2，由双曲线定义可知e MF MF eMNMF =∴=211……5分由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………7分而a ee e a ax ≥-+∴≥20)1( 即 0122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但 1211+≤<∴>e e ……………………………………10分19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM ,于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1.20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ． 分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2284222-++=k k k x B ． ∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）． （2）设直线AB 方程为m x y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mx x 24162+ 0)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =． 设AMB ∆的面积为S ．∴ 2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ． 当22±=m 时，得2max =S ．圆锥曲线课堂小测时间：45分钟 分数：60分 命题人：郑玉亮一、选择题（每小题4分共24分）1．0≠c 是方程 c y ax =+22表示椭圆或双曲线的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 （ ） A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x3．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）A ．))((2R n R m ++B ．))((R n R m ++C ．mnD ．2mn4．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是 （ ） A ．4B ．2C ．1D ．215．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x6．已知双曲线12222=-by a x 的离心率2[∈e ，]2．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（ ）． A ．6π[，]2π B ．3π[，]2π C ．2π[，]32π D ．32π[，π] 二、填空题（每小题4分共16分）7．若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________． 8．过抛物线x y 42=的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点，那么线段PQ 中点的轨迹方 程是 .9．连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S的最大值是________．10．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 . 三、解答题（20分）11．（本小题满分10分）已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.12．（10分）已知椭圆2222by a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程．（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．参考答案1 B2 A3 A4 C5 D6 C 7．（0，7±）8．222-=x y 9．2110.①②11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k ……………………3分 而012≠-k ，于是122--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k ak ak T --……5分点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴ka k a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k 时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x …………………………10分 12．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ． （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x kk x x ， ②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立．7k，使得以CD为直径的圆过点E．综上可知，存在6。
天津市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．32C ．12D ．12．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．33．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1BC ．2D ．4+4．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，下述四个结论：①CF DF②直线AB 的倾斜角为π4或3π4 ③F 是AG 的中点④AFC △为等边三角形其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④5．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B 1CD 6．已知椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2a x c=和AB 于点P 和M ，若3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．32B ．223C ．6D ．227．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．28．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．21B ．221C ．421D ．219．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A ．15-+B ．13-+C ．12D ．3- 10．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4311．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x =的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 23C 43D ．212．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点2,6，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC ．3D 二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12f k f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ． 14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.15．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.17．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P 的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.18．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________． 19．已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23MN MF →→=时，NOF 的面积是______ 20．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________． 三、解答题21．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）． （1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 22．已知()1,0F c -是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点，离心率5e =，2c a b =+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点()1,1A 且被A 点平分的弦所在直线的方程.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为32，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.24．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)-，(2,0)，直线AQ ，BQ 相交于点Q ，且它们的斜率之积是34-. （1）求点Q 的轨迹C 的方程； （2）过点(4,0)P -的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，且4PAM PON S S =△△. ①求直线l 的方程；②求直线l 被轨迹C 截得的弦长.25．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线1y x =+交于A 、B 两点，若||8AB =，求抛物线的方程．26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】 解：由3c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题． 2．D解析：D【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF +取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D.3．A解析：A【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =， 不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．D解析：D【分析】由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．【详解】解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =，则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠， 则2AFC BFD CFO DFO CFD π∠+∠=∠+∠=∠=，CF DF ∴⊥，故①正确；设AB 所在直线方程为()2p y k x =-， 联立2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22222(2)04k p k x k p p x -++=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则2124p x x =，又3AF FB =，∴123()22p p x x +=+，即123x x p=+， 联立2121243p x x x x p ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12p x =-（舍)或132x p =， 则13y p =，即3(,3)2A p p ， 则3322FA P k p p ==-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确 由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为23π，故②错误． 由3(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．5．B解析：B【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ，由题 可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出.【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PF F F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-.故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B【分析】联立直线AB 与椭圆方程，表示出弦长AB ，求出中点M 的横坐标，即可表示出PM 的长，利用已知等量关系即可求出离心率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，易得直线AB 的方程为y x c =-，联立直线与椭圆方程22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222222220a b x a cx ac b +-+-=，则212222a c x x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+， ()222222222222224114a c b a c ab AB a b a b a b -⎛⎫∴=+-⋅= ⎪+++⎝⎭， 212222M x x a c x a b+==+，直线PM 的斜率为1-， ()()2222222211P M a b PM x x c a b ∴=+--=+， 3||4||AB PM =，即()222222242234ab a b a b c a b ⨯=⨯++，解得22c e a ==. 故选：B.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.7．B解析：B【分析】 首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率.【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是b y x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程b y x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----， 化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =.故选：B【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.8．C解析：C【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -=两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn =利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即163273PD ⨯=⨯ 解得421PD =故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan 2F PF S b θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan 2F PF b S θ=解析：A 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率． 【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a =，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得e =． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．10．B解析：B 【分析】由2POF 2=.c 把(P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出． 【详解】解：2POF2= 解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：2b = 故选B ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可 【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a = 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..12．A解析：A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，将点代入即可得ba=得离心率. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =过第一象限，所以点在渐近线b y x a =b a =，所以ba=所以2c e a ==． 故选：A 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 得()()1212ln ,ln 22k k fk f k ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得2122k k =显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切解析：43【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==，所以圆的半径为2243tan 2AF B r MT TF ∠===. 故答案为：43.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.16．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故 解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】 如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=， 因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+， 由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =， 故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=， 即()242240a ++=，整理得2280a a +-=， 解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆 解析：3332-【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(12121232S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.18．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =， 由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=， 即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =，所以c e a ===【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.19．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程因为可得在之间设垂直于准线交于由抛物线的性质可得可得求出直线的方程代入抛物线的方程求出的横坐标进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：所以焦点准线 解析：433【分析】由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得3tan FMN '∠=，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．【详解】由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-， 设NN '垂直于准线交于N '，如图，由抛物线的性质可得NN NF '=，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，所以22MN NF NN '==，所以1sin 2NN FMN MN ''∠==， 所以3tan FMN '∠=， 即直线MF 的斜率为33，所以直线MF 的方程为323y x =+，将直线MF 的方程代入抛物线的方程可得：283160x --=，解得3x =或43x（舍）， 所以114343||||222NOF N S OF x ∆=⋅=⨯ 43【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．20．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.三、解答题21．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y，根据条件得出0m <<，分别求出P Q ，的纵坐标，由条件可得12PF yFQ y =可得答案. （2）由()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++，可得答案. 【详解】解：（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩ ()225430250m y my ⇒-++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505430425540m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，05m ⇒<<由点P 在x 轴上方，则()()22123020130201,m m m m y y --+-++==()()2222302013212332230201321PF m m m m m FQ m m m m --+++==-⇒=⇒==--++--+ ∴直线l 方程为23226204x y x y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y 则()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---， 所以154AP PBk k k ==,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值由（1）可知1223054my y m -+-=，1222554y y m =- ()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++ ()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值． 【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，属于中档题. 22．（1）22194x y +=；（2）49130.x y +-=【分析】（1）由已知建立关于,,a b c 的方程，解之可求得椭圆C 的方程；（2）设弦的端点为112212(,),(,)()P x y Q x y x x ≠，运用点差法求得直线的斜率，由直线的点斜式方程可求得所求的直线方程. 【详解】（1）因为222c a b a b =+=-，所以1a b -=，又3c e a ==，所以2259c a =，所以23b a =，解得3,2a b ==， 所以椭圆C 的方程为：22194x y +=；（2）设弦的端点为112212(,),(,)()P x y Q x y x x ≠，中点(1,1)A ，则12122,2,x y x y +=+=，由于点P 、Q 在椭圆上，所以221122221?941?94x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得211221214()49()9y y x x x x y y -+=-=--+，即49PQ k =-， 因此所求的直线方程为4()911y x --=-，即49130.x y +-= 【点睛】方法点睛：在解决直线与椭圆相交时的中点弦的问题时，常运用点差法求得直线的斜率，得以求出中点弦的直线方程.23．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=，所以⎧=⎪⎪=2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令0x =，得0022M y y x =--， 从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.24．（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①4)y x =+；②8. 【分析】（1）表示出直线AQ ，BQ 的斜率，然后计算即可.（2）①根据4PAM PON S S =△△可得12M N y y =，假设点,M N 坐标，然后代入椭圆方程，可得点,M N 坐标，进一步得到斜率，最后可得方程. ② 根据①利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设(,)(2)Q x y x ≠±，由题意，34AQ BQ k k ⋅=-所以3224y y x x ⋅=-+-，化简得22143x y +=， 所以点Q 的轨迹C 的方程是221(2)43x y x +=≠±.（2）①因为2OP AP =，且4PAM PON S S =△△，所以12M N y y =， 所以点M 为PN 的中点，设00(,)M x y ，则00(42,2)N x y +所以22002200143(24)(2)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，所以0074x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1(274M N ⎛ ⎝⎭-或1(,,274M N ⎛ ⎝⎭- 所以直线l的斜率为6k =±，所以直线l的方程为4)y x =+②002N M MN x x x =-=+-=【点睛】思路点睛：第（1）问在于计算出直线的斜率，然后直接计算；第（2）问关键在于得到12M N y y =，同时熟记弦长公式. 25．28y x =或24y x =-． 【分析】设出抛物线方程为22y ax ，交点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式列方程求得a 后可得抛物线方程． 【详解】 设抛物线方程为22y ax ，1122(,),(,)A x y B x y ，由221y axy x⎧=⎨=+⎩，得2(22)10x a x+-+=，2(22)40a∆=-->，解得2a>或0a<．1222x x a+=-，121 =x x，128AB x x=-==，解得4a=或2a=-．所以抛物线方程为28y x=或24y x=-．【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线标准方程，解题方法是设交点坐标为1122(,),(,)x y x y，设抛物线方程为22y ax，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得弦长．26．（1）2212xy+=；（2）存在；1)y x=-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d+=.（2）设P，Q两点的坐标依次为()11,x y，()22,x y，以线段PQ为直径的圆过原点得，0OP OQ⋅=，即12120x x y y+=，先假设存在直线l满足题设，设直线l的方程为(1)y k x=-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM中，由余弦定理得：22121242cos2d d d dθ=+-.又212cos1d dθ=，整理得，12d d+=所以点M的轨迹E是以(1,0)A-和(1,0)B为焦点，长轴长为个端点）又当点M为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d dθ=.所以点M的轨迹E的方程是2212xy+=.（2）假设存在直线l满足题设，设直线l的方程为(1)y k x=-，由22(1)12y k xxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k+-+-=设P，Q两点的坐标依次为()11,x y，()22,x y，由韦达定理得，2122412kx xk+=+，21222212kx xk-=+.由题意以线段PQ为直径的圆过原点得，0OP OQ⋅=，即12120x x y y+=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x=--=-++⎡⎤⎣⎦，整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++.代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k =当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时P ⎛ ⎝⎭、1,Q ⎛ ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意.综上所述，所求直线l 存在，其方程为1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段PQ 为直径的圆过原点，得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.。
圆锥曲线单元测试题
圆 锥 曲 线 单 元 测 试 题四川省邻水中学(国家级示范高中) 特级教师 杨才荣 638500一、选择题 (每小题3分，共36分) .1、双曲线x a 22-y b22=1的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率是 ( ) (A)2 (B)2 (C)22 (D)32、方程mx 2＋ny 2＋mn=0 (m<n<0) 所表示的曲线的焦点坐标是 ( ) (A) (0，±-m n ) (B) (0，±-n m) (C) (±-m n ，0) (D) (±-n m，0) 3、椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)(12222+∈=-R n m ny m x 、有公共焦点，P 是椭圆与双曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为 ( )(A) a 2＋m 2 (B) b 2－n 2 (C) a 2－m 2 或b 2＋n 2 (D) a 2＋m 2 或b 2－n 24、设x 2－y 2=4，则xy x -21的取值范围是 ( ) (A)（－∞，0）∪（0，＋∞） (B)（－1，1）(C)（－8，45） (D)（－∞，－2）∪[2，＋∞] 5、设双曲线的左、右焦点是F 1、F 2，左、右顶点为M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上,则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置 ( )(A)不能确定 (B)在线段MN 的内部(C)在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部 (D)是点M 或点N6、方程11662222=--+-+k k y k k x 表示双曲线的必要但非充分条件是 ( )(A)21＜k ＜2 (B)－3＜k ＜－31 (C) 21＜k ＜2 或－3＜k ＜－31 (D)－3＜k ＜2 7、直线x －y －1=0与实轴在y 轴上的双曲线x 2－y 2=m 的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么m 的取值范围是 ( )(A) 0＜m ＜1 (B) m ＞－1 (C) m ＜0 (D) －1＜m ＜08、过点P(－3，－4)的直线与双曲线116922=-y x 有一个公共点，则直线l 的方程为 ( ) (A) 4x －3y=0 (B) 4x ＋3y ＋24=0(C) x ＋3=0 (D) x ＋3=0或4x ＋3y ＋24=09、双曲线1251622=-y x 的两条渐近线所夹的锐角是 ( ) (A) 45arctg (B) 45arctg -π (C) 245arctg (D) 452arctg -π 10、过点A(1,1)作双曲线1222=-y x 的弦MN ，使A 为MN 的中点，则直线MN 的方程是 ( ) (A) 2x －y －1=0 (B )x －2y ＋1=0(C) 2x ＋y －3=0 (D) 不存在11、焦点在x 轴上，实轴长为8，一条渐近线方程是3x －2y=0的双曲线的标准方程是 ( ) (A) 191622=-y x (B) 11441622=-y x (C) 1361622=-y x (D) 1163622=-y x 12、以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线方程为 ( ) (A) 12222=-by a x (B) 122222=--b y b a x(C) 122222=--b a y a x (D) 12222=-ay b x 二、填空题(每小题4分，共24分).13、双曲线离心率为2，则渐近线夹角为________。
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《第三章圆锥曲线的方程》单元测试卷带答案
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《第三章圆锥曲线的方程》单元测试卷带答案考试时间：90分钟；满分：150分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020·湖南·高二期末）双曲线x2−my2=1(m∈R)的右焦点坐标为(2,0)，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±13x B．y=±3x C．y=±√3x D．y=±√33x2．（5分）（四川成都·高三开学考试（文））我们把离心率为√22的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（）．A．x22+y2=1B．x24+y22=1C．x26+y23=1D．x28+y24=13．（5分）（河北·高三阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F(3,0)，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦AB中点坐标为(2,−1)，则椭圆的面积为（）A．36√2πB．18√2πC．9√2πD．6√2π4．（5分）（陕西·高三阶段练习（文））已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y215=1(a>√15)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°．|PF1|=5|PF2|则C的方程为（）A．x221+y215=1B．x218+y215=1C．x236+y215=1D．x242+y215=15．（5分）（全国·高二专题练习）设F1,F2是椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)的公共焦点，曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90∘，若椭圆的离心率e1∈[√63,1)，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．(1,√2]B．(1,√3]C．[√3,+∞)D．[√2,+∞)6．（5分）（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线C：y2=8x的准线为l，l与x轴交于点P，直线x=1与抛物线C交于A，B两点，则△PAB的面积为（）A．4√2B．6√2C．8√2D．12√27．（5分）（陕西·研究室一模（文））已知过抛物线C:y 2=4x 的焦点F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，Q 为AB 的中点，P 为C 上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ） A ．83B ．53C ．8D ．58．（5分）（四川省高二期末（理））已知双曲线C:x 2−y 2b 2=1(b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2 圆(x −1)2+y 2=34与C 的渐近线相切.P 为C 右支上的动点 过P 作两渐近线的垂线 垂足分别为A,B .给出以下结论： ①C 的离心率e =2； ②两渐近线夹角为30∘； ③|PA |⋅|PB |为定值34； ④|AB |的最小值为√32. 则所有正确结论为（ ） A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④二．多选题（共4小题 满分20分 每小题5分） 9．（5分）（江苏省高二阶段练习）已知方程x 24−t+y 2t−1=1表示的曲线为C 则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当1<t <4时 曲线C 是椭圆B ．当t >4或t <1时 曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆 则1<t <52 D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 则t >410．（5分）（全国·高二课时练习）已知直线l ：√3x −y −√3=0过抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 且与抛物线C 交于A B 两点 过A B 两点分别作抛物线准线的垂线 垂线分别为M N 则下列说法错误的是（ ）A ．抛物线的方程为y 2=4xB ．线段AB 的长度为183C ．∠MFN =90°D ．线段AB 的中点到y 轴的距离为8311．（5分）（全国·高二课时练习）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左 右两个顶点分别是A 1,A 2 左 右两个焦点分别是F 1,F 2 P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点 给出下列结论 其中正确的是（ ） A ．||PA 1|−|PA 2||=2aB ．直线PA 1 PA 2的斜率之积等于定值b 2a 2C ．使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若PA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =b 2 则PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =012．（5分）（浙江·高二期末）已知F 1 F 2同时为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1（a 1>b 1>0）与双曲线C 2:x 2a 22−y 2b 22=1（a 1>0 b 2>0）的左右焦点 设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M 椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1 e 2 O 为坐标原点 则下列结论正确的是（ ）A．a12−b12=a22−b22B．若∠F1MF2=π3则b12=3b22C．若|F1F2|=2|MO|则1e12+1e22=2D．若|F1F2|=3|MF2|则e1e2的取值范围是(35,3)三．填空题（共4小题满分20分每小题5分）13．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x且其右焦点为(5,0)则双曲线C的标准方程为.14．（5分）（重庆高二阶段练习）根据抛物线的光学性质可知从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示从A(5,m1)沿直线y=m1发出的光线经抛物线y2=4x两次反射后回到光源接收器D(5,m2)则该光线经过的路程为.15．（5分）（全国·高二专题练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2斜率为12的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点且△ABF2的内切圆的周长是2π 若椭圆的离心率为e∈[12,34]则线段AB的长度的取值范围是.16．（5分）（安徽·高二阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2且椭圆C与双曲线C'：2x 2a2−y2=1共焦点若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足|MF1|⋅|MF2|=2则△MF1F2的面积是.四．解答题（共6小题满分70分）17．（10分）（甘肃·高二阶段练习（文））设命题p：方程x21−2m +y2m+2=1表示双曲线；命题q：“方程C1:x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”.(1)若命题q为真命题求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真命题p∧q为假命题求实数m的取值范围.18．（12分）（江苏省高二阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上焦距为10 且它的一条渐近线方程为y=43x.(1)求C的标准方程；(2)过C的右顶点斜率为2的直线l交C于A B两点求|AB|.19．（12分）（江苏·高二阶段练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上离心率√22焦距为2√3.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与椭圆在第一象限交于A B两点与x y轴分别交于M N两点且MA=NB,MN=2√3求直线l的方程.20．（12分）（重庆高三阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22；上顶点为A右顶点为B直线AB与圆O:x2+y2=1相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设与圆O相切的直线l与椭圆相交于M,N两点Q为弦MN的中点O为坐标原点.求|OQ|⋅|MN|的取值范围.21．（12分）（重庆高二阶段练习）已知拋物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F且过F的弦长的最小值为4.(1)求p的值；(2)如图经过点P（三象限）且不过原点的直线l与拋物线Γ相交于S,T两点且直线FS,FT的斜率分别为k1,k2.问：是否存在定点P使得k1⋅k2为定值2若存在请求出点P的坐标.22．（12分）（上海·高三阶段练习）如图F是抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点过F的直线交抛物线Γ于A B两点点A在第一象限点C在抛物线上使得△ABC的重心G在x轴上直线AC交x轴于点Q且Q在点F 的右侧．记△AFG△CQG的面积分别为S1S2．已知点(1,2)在抛物线Γ上．(1)求抛物线Γ的方程；(2)设A点纵坐标为2t试用t表示点G的横坐标；(3)在（2）的条件下求S1S2的最小值及此时点G的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题满分40分每小题5分）1．（5分）（2020·湖南·高二期末）双曲线x2−my2=1(m∈R)的右焦点坐标为(2,0)则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±13x B．y=±3x C．y=±√3x D．y=±√33x【解题思路】首先将双曲线方程化为标准式再根据c=2求出m即可得到双曲线方程从而求出渐近线方程；【解答过程】解：双曲线x2−my2=1(m∈R)即x2−y21m=1的右焦点坐标为(2,0)所以1+1m =22解得m=13所以双曲线方程为x2−y23=1则双曲线的渐近线为y=±√3x；故选：C.2．（5分）（四川成都·高三开学考试（文））我们把离心率为√22的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆” 且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4 则椭圆C的方程为（）．A．x22+y2=1B．x24+y22=1C．x26+y23=1D．x28+y24=1【解题思路】先由e=√22得到c=√22a与b=√22a再由S△PF1F2的最大值得bc=4进而求得a2=8b2=4故可得到椭圆C的方程.【解答过程】解：由已知e=ca =√22得c=√22a故b=√a2−c2=√22a∵S△PF1F2=12|F1F2||y P|=12 ×2c|y P|≤bc即(S△PF1F2)max=bc=4∴√22a×√22a=4得a2=8故b2=12a2=4所以椭圆C的方程为x 28+y24=1.故选：D．3．（5分）（河北·高三阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家物理学家他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F(3,0)过F作直线l交椭圆于A B两点若弦AB中点坐标为(2,−1)则椭圆的面积为（）A．36√2πB．18√2πC．9√2πD．6√2π【解题思路】利用作差法构建斜率中点坐标相关方程y1−y2x1−x2=−x1+x2y1+y2×b2a2再结合c=√a2−b2即可求解出a b 进而求出面积.【解答过程】设A(x1,y1)B(x2,y2)则有{x12a2+y12b2=1x22 a2+y22b2=1两式作差得：x12−x22a2=−y12−y22b2即k=y1−y2x1−x2=−x1+x2y1+y2×b2a2弦AB中点坐标为(2,−1)则k=−x1+x2y1+y2×b2a2=−2−1×b2a2又∵k=0−(−1)3−2=1∴1=−2−1×b2a2∴a2=2b2又∵c=√a2−b2=3∴可解得a=3√2b=3故椭圆的面积为abπ=9√2π.故选：C.4．（5分）（陕西·高三阶段练习（文））已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y215=1(a>√15)的两个焦点P为C上一点且∠F 1PF 2=60°．|PF 1|=5|PF 2| 则C 的方程为（ ） A ．x 221+y 215=1 B ．x 218+y 215=1C ．x 236+y 215=1D ．x 242+y 215=1【解题思路】利用椭圆定义结合余弦定理得到c 2a 2=2136 再结合b 2=15 求出椭圆方程.【解答过程】在椭圆C:x 2a 2+y 215=1(a >√15)中 由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a 因为|PF 1|=5|PF 2| 所以|PF 2|=a3,|PF 1|=5a 3 在△PF 1F 2中 |F 1F 2|=2c 由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2 即4c 2=25a 29+a 29−5a 29=21a 29所以c 2a 2=2136 又b 2=15．所以a 2=36 所以椭圆C 的方程为x 236+y 215=1．故选：C ．5．（5分）（全国·高二专题练习）设F 1,F 2是椭圆C 1:x 2a12+y 2b12=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点 曲线C 1,C 2在第一象限内交于点M,∠F 1MF 2=90∘ 若椭圆的离心率e 1∈[√63,1) 则双曲线的离心率e 2的范围是（ ） A ．(1,√2]B ．(1,√3]C ．[√3,+∞)D ．[√2,+∞)【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义求出|MF 1|,|MF 2| 由勾股定理即可得到e 1,e 2的关系 从而解出． 【解答过程】由题意可得 |MF 1|+|MF 2|=2a 1 |MF 1|−|MF 2|=2a 2 解得：|MF 1|=a 1+a 2 |MF 2|=a 1−a 2 因为∠F 1MF 2=90∘ 所以|MF 1|2+|MF 2|2=4c 2 即a 12+a 22=2c 2 亦即(1e 1)2+(1e 2)2=2 所以e 2=√2−(1e 1)2∈(1,√2]．故选：A ．6．（5分）（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线C ：y 2=8x 的准线为l l 与x 轴交于点P 直线x =1与抛物线C 交于A B 两点 则△PAB 的面积为（ ） A ．4√2B ．6√2C ．8√2D ．12√2【解题思路】联立直线与抛物线的方程 即可得到A,B 纵坐标 然后结合三角形面积公式 即可得到结果.【解答过程】由题意知l ：x =−2 点P (−2,0) 由{y 2=8x x =1得y =±2√2 所以△PAB 的面积为12×3×4√2=6√2.故选:B.7．（5分）（陕西·研究室一模（文））已知过抛物线C:y 2=4x 的焦点F 且倾斜角为60°的直线交C 于A B 两点 Q 为AB 的中点 P 为C 上一点 则|PF|+|PQ|的最小值为（ ） A ．83B ．53C ．8D ．5【解题思路】根据给定条件 求出点Q 的横坐标 再借助抛物线的定义求解作答.【解答过程】抛物线C:y 2=4x 的焦点F(1,0) 准线x =−1 直线AB ：y =√3(x −1) 由{y =√3(x −1)y 2=4x 消去y 并整理得：3x 2−10x +3=0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 则x 1+x 2=103线段AB 的中点Q 的横坐标x Q =x 1+x 22=53过点Q 作准线x =−1的垂线 垂足为D 交抛物线C 于点P 连PF 如图于是|PF|+|PQ|=|PD|+|PQ|=|QD|=83 在抛物线C 上任取点P ′ 过P ′作准线x =−1的垂线 垂足为D ′ 连P ′F,P ′Q,D ′Q则有|P ′F|+|P ′Q|=|P ′D ′|+|P ′Q|≥|D ′Q|≥|QD| 当且仅当点P ′与点P 重合时取等号 所以|PF|+|PQ|的最小值为83. 故选：A.8．（5分）（四川省高二期末（理））已知双曲线C:x 2−y 2b 2=1(b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2 圆(x −1)2+y 2=34与C 的渐近线相切.P 为C 右支上的动点 过P 作两渐近线的垂线 垂足分别为A,B .给出以下结论： ①C 的离心率e =2； ②两渐近线夹角为30∘； ③|PA |⋅|PB |为定值34； ④|AB |的最小值为√32. 则所有正确结论为（ ） A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④【解题思路】根据圆与渐近线相切可求出b =√3 c =2 根据离心率公式求出离心率可判断①正确； 根据渐近线方程可得倾斜角 从而可得两渐近线的夹角 可判断②不正确；设P(x 0,y 0)(x 0≥1) 根据点到直线距离公式求出|PA| ⋅|PB|为定值 可判断③正确；设P(x 0,y 0)(x 0≥1) 联立直线方程解得A,B 的坐标 再根据两点间的距离公式求出|AB|可判断④正确. 【解答过程】因为圆(x −1)2+y 2=34与C 的渐近线相切 所以圆心(1,0)到渐近线bx −y =0的距离等于圆的半径√32即√b 2+1=√32解得b =√3所以c =√a 2+b 2=√1+3=2 离心率e =ca =2 故①正确；因为C 的渐近线为y =±√3x 所以两渐近线的倾斜角为60∘和120∘ 所以两渐近线夹角为60∘ 故②不正确；设P(x 0,y 0)(x 0≥1) 则x 02−y 023=1 |PA|⋅|PB|=√3x 00√3+1√3x 00√3+1 =|3x 02−y 02|2×2=34为定值 故③正确；依题意设PA:y −y 0=−√33(x −x 0) 联立{y −y 0=−√33(x −x 0)√3x −y =0得{x =√34y 0+14x 0y =34y 0+√34x 0则A(√34y 0+14x 0,34y 0+√34x 0) 联立{y −y 0=√33(x −x 0)√3x +y =0 {x =−√34y 0+14x 0y =34y 0−√34x 0 则B(−√34y 0+14x 0,34y 0−√34x 0)所以|AB|=(√340140√340140(340√340340√340=√34y 02+34x 02 =√3x 02−94因为x 0≥1 所以|AB|=√3x 02−94≥√3−94=√32当且仅当x 0=1 即P 为双曲线的右顶点时 等号成立.故④正确. 故选：D.二．多选题（共4小题 满分20分 每小题5分）9．（5分）（江苏省高二阶段练习）已知方程x 24−t +y 2t−1=1表示的曲线为C 则下列四个结论中正确的是（ ） A ．当1<t <4时 曲线C 是椭圆 B ．当t >4或t <1时 曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆 则1<t <52 D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 则t >4 【解题思路】根据x 24−t+y 2t−1=1表示椭圆可求得1<t <52或52<t <4 判断A; x 24−t+y 2t−1=1表示双曲线可求得t >4或t <1 判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组 求得参数范围 判断C,D. 【解答过程】当曲线C 是椭圆时 {4−t >0t −1>04−t ≠t −1 解得1<t <52或52<t <4 故A 错误；当曲线C 是双曲线时 (4−t )(t −1)<0 解得t >4或t <1 故B 正确； 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆 则{4−t >0t −1>04−t >t −1解得1<t <52 故C 正确；若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 则{4−t >0t −1>04−t <t −1 解得52<t <4 故D 错误．故选:BC ．10．（5分）（全国·高二课时练习）已知直线l ：√3x −y −√3=0过抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 且与抛物线C 交于A B 两点 过A B 两点分别作抛物线准线的垂线 垂线分别为M N 则下列说法错误的是（ ）A ．抛物线的方程为y 2=4xB ．线段AB 的长度为183C ．∠MFN =90°D ．线段AB 的中点到y 轴的距离为83【解题思路】求出抛物线的焦点坐标 可得p =2 即可判断A;联立方程求出A,B 坐标 可得|AB | 判断B ；确定M,N 坐标 可计算k NF ⋅k MF 判断C;求出线段AB 的中点坐标 即可判断D. 【解答过程】由题意不妨设点A 在点B 上方 直线l ：√3x −y −√3=0与x 轴交点(1,0) 又l 经过y 2=2px 的焦点 故F (1,0) 可得p =2 即抛物线方程为C ：y 2=4x A 正确．由{√3x −y −√3=0y 2=4x可得3x 2−10x +3=0 解得x =3或13可得A(3,2√3)B (13,−2√33) 所以|AB |=√(3−13)2+(2√3+2√33)2=163B 错误．由以上分析可知 M(−1,2√3) N (−1,−2√33) F (1,0)可得k NF ⋅k MF =2√332×2√3−2=−1则MF ⊥NF 即∠MFN =90∘ C 正确． 因为A(3,2√3) B (13,−2√33) 故线段AB 的中点为(53,2√33) 则线段AB 的中点到y 轴的距离为53 D 错误 故选：BD ．11．（5分）（全国·高二课时练习）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左 右两个顶点分别是A 1,A 2 左 右两个焦点分别是F 1,F 2 P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点 给出下列结论 其中正确的是（ ） A ．||PA 1|−|PA 2||=2aB ．直线PA 1 PA 2的斜率之积等于定值b 2a 2C ．使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若PA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =b 2 则PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0【解题思路】由双曲线的定义 可判定A 错误；由k PA 1⋅k PA 2=y 0x 0+a⋅y 0x 0−a=y 02x 02−a 2 结合双曲线的方程 得到k PA 1⋅k PA 2=b 2a 2 所以B 正确；结合双曲线的几何性质 可判定C 错误；结合x 02+y 02=c 2 得到PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 02+y 02−c 2 可判定D 正确．【解答过程】由题意 点P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点 设P(x 0,y 0) 对于A 中 由双曲线的定义知 ||PA 1|−|PA 2||≠2a 所以A 错误； 对于B 中 由A 1(−a,0) A 2(a,0) 可得k PA 1⋅k PA 2=y 0x 0+a⋅y 0x 0−a =y 02x 02−a 2又由x 02a 2−y 02b 2=1所以y 02=b 2a2(x 02−a 2) 可得k PA 1⋅k PA 2=b 2a 2所以B 正确；对于C 中 若P 在第一象限 则当|PF 1|=2c 时 |PF 2|=2c −2a △PF 1F 2为等腰三角形；当|PF 2|=2c 时 |PF 1|=2c +2a △PF 1F 2也为等腰三角形 故点P 在第一象限且使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有两个．同理可得 在第二 三 四象限且使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 也各有两个 因此使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 共有八个 所以C 错误．对于D 中 由PA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 02+y 02−a 2=b 2 得x 02+y 02=c 2 从而PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 02+y 02−c 2=0 所以D 正确．故选：BD ．12．（5分）（浙江·高二期末）已知F 1 F 2同时为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1（a 1>b 1>0）与双曲线C 2:x 2a 22−y 2b 22=1（a 1>0 b 2>0）的左右焦点 设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M 椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1 e 2 O 为坐标原点 则下列结论正确的是（ ）A ．a 12−b 12=a 22−b 22B ．若∠F 1MF 2=π3 则b 12=3b 22C ．若|F 1F 2|=2|MO | 则1e 12+1e 22=2D ．若|F 1F 2|=3|MF 2| 则e 1e 2的取值范围是(35,3)【解题思路】设|F 1F 2|=2c 所以c 2=a 12−b 12 c 2=a 22+b 22.对于A ：计算出a 12−b 12=a 22+b 22 即可判断；对于B ：由椭圆的定义和双曲线的定义解得：|MF 1|=a 1+a 2 |MF 2|=a 1−a 2.利用余弦定理得到4c 2=a 12+3a 22结合c 2=a 12−b 12=a 22+b 22 即可求得b 12=3b 22；对于C ：先判断出△F 1MF 2为直角三角形.利用勾股定理得到4c 2=2a 12+2a 22.即可求出1e 12+1e 22=1(c a 1)2+1(ca 2)2=a 12+a22c2=2；对于D ：先求出e 1e 2=94(a 1a 2+a2a 1−2).令t =a 1a 2则e 1e 2=94(t +1t −2).利用定义判断出t =a 1a 2∈(53,3) 结合对勾函数的单调性可以求出e 1e 2∈(35,3).【解答过程】因为F1F2同时为椭圆C1：x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）与双曲线C2:x2a22−y2b22=1（a1>0b2>0）的左右焦点可设|F1F2|=2c所以c2=a12−b12c2=a22+b22.对于A：因为c2=a12−b12c2=a22+b22所以a12−b12=a22+b22.故A错误；对于B：由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF2|=2a1；由双曲线的定义可知：|MF1|−|MF2|=2a2.联立解得：|MF1|=a1+a2|MF2|=a1−a2.由余弦定理可得：|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2−2|MF1|⋅|MF2|cosπ3.因为∠F1MF2=π3所以4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)⋅(a1−a2)×12整理化简得：4c2=a12+3a22.因为c2=a12−b12所以4(a12−b12)=a12+3a22即4b12=3(a12−a22).因为c2=a12−b12=a22+b22所以a12−a22=b12+b22.代入4b12=3(a12−a22)可得：4b12=3(b12+b22)整理得：b12=3b22.故B正确；对于C：因为|F1F2|=2|MO|所以|MO|=|OF1|=|OF2|.由等腰三角形的性质可得：∠F2MO=∠OF2M∠F1MO=∠OF1M.因为∠OF2M+∠F1MO+∠OMF2+∠OF1M=∠OF2M+∠F1MF2+∠OF1M=π所以∠F1MF2=π2即△F1MF2为直角三角形.所以|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2即4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2整理得：4c2=2a12+2a22.所以1e12+1e22=1(ca1)2+1(ca2)2=a12+a22c2=2.故C正确；对于D：因为|F1F2|=3|MF2|所以2c=3(a1−a2).e1e2=ca1⋅ca2=c2a1a2=94(a12−2a1a2+a22)a2a1=94(a1a2+a2a1−2).令t=a1a2则e1e2=94(t+1t−2).因为a1>a2所以t=a1a2>1.又|MF1|+|MF2|=2a1>|F1F2|=2c=3(a1−a2)解得：a1<3a2；由|MF1|−|MF2|=2a2<|F1F2|=2c=3(a1−a2)解得：3a1>5a2.所以t=a1a2∈(53,3).由对勾函数的性质可得：y=t+1t 在t∈(53,3)上单调递增所以y=t+1t∈(3415,103)所以e1e2=94(t+1t−2)∈(35,3).故D正确.故选：BCD.三．填空题（共4小题满分20分每小题5分）13．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x且其右焦点为(5,0)则双曲线C的标准方程为x 216−y29=1.【解题思路】依题意可得ba =34c=5即可求出a b的值从而得解.【解答过程】解：双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x可得ba =34其右焦点为(5,0)可得c=5又c2=a2+b2解得a=4b=3则双曲线C的方程为：x 216−y29=1．故答案为：x 216−y29=1．14．（5分）（重庆高二阶段练习）根据抛物线的光学性质可知从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示从A(5,m1)沿直线y=m1发出的光线经抛物线y2=4x两次反射后回到光源接收器D(5,m2)则该光线经过的路程为12 .【解题思路】求出p2利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.【解答过程】由y2=4x得p2=1设B(x1,m1)C(x2,m2)由抛物线性质BC与x轴的交点即为抛物线的焦点|AB|=5−x1|BC|=x1+x2+2|CD|=5−x2所以|AB|+|BC|+|CD|=5−x1+x1+x2+2+5−x2=12所以该光线经过的路程为12.故答案为：12.15．（5分）（全国·高二专题练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2斜率为12的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点且△ABF2的内切圆的周长是2π 若椭圆的离心率为e∈[12,34]则线段AB的长度的取值范围是[8√53,4√5].【解题思路】设A(x1,y1),B(x2,y2),利用三角形内切圆面积计算可得12×4a×r=12×2c×|y1−y2|化简得|y1−y2|=2ac =2e由离心率范围求得|y1−y2|∈[83，4]再利用弦长公式即可求得答案.【解答过程】如图示由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,则△ABF2的周长为4a,设A(x1,y1),B(x2,y2)设△ABF2内切圆半径为r△ABF2的内切圆的周长是2π故2π=2πr,∴r=1由题意得12×4a×r=12×2c×|y1−y2|得|y1−y2|=2ac =2e由于e∈[12,34]故|y1−y2|∈[83,4]所以由|AB|=√1+1k2|y1−y2|,k=12可得|AB|=√5|y1−y2|∈[8√53,4√5]故答案为：[8√53,4√5].16．（5分）（安徽·高二阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2且椭圆C与双曲线C'：2x 2a2−y2=1共焦点若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足|MF1|⋅|MF2|=2则△MF1F2的面积是 1 .【解题思路】由椭圆和双曲线的定义可得{|MF1|+|MF2|=2a|MF1|−|MF2|=√2a解得{|MF1|=2+√22a|MF2|=2−√22a再代入|MF1|⋅|MF2|=2解得a的值从而得|MF1|､|MF2|和|F1F2|的长由勾股定理可知ΔMF1F2是直角三角形结合面积公式即可求解.【解答过程】由题意将双曲线C'：C′:2x2a2−y2=1化成标准形式为x2a22−y2=1不妨设点M在双曲线的右支上则由椭圆和双曲线的定义可得{|MF1|+|MF2|=2a|MF1|−|MF2|=2⋅√22a=√2a解得{|MF1|=2+√22a|MF2|=2−√22a因为|MF1|⋅|MF2|=2代入可得2+√22a⋅2−√22a=2解得a=2或a=−2(舍负)所以|MF1|=2+√2，|MF2|=2−√2双曲线的焦距|F1F2|=2√a22+1=2√3显然有|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2所以ΔMF1F2是直角三角形所以ΔMF1F2的面积为：S△MF1F2=12⋅|MF1|⋅|MF2|=12×(2+√2)×(2−√2)=1.故答案为：1.四．解答题（共6小题 满分70分）17．（10分）（甘肃·高二阶段练习（文））设命题p ：方程x 21−2m +y 2m+2=1表示双曲线；命题q ：“方程C 1:x 2m 2+y 22m+8=1表示焦点在x 轴上的椭圆”.(1)若命题q 为真命题 求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题 p ∧q 为假命题 求实数m 的取值范围.【解题思路】（1）由题意可得{m 2>2m +82m +8>0解不等式即可求解；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围 由题意可得p,q 一真一假 再分别讨论p 真q 假 p 假q 真时m 的取值范围即可. 【解答过程】(1)若q 为真 则{m 2>2m +82m +8>0解得：−4<m <−2或m >4. (2)若p 为真命题 则(1−2m )(m +2)<0 可得m >12或m <−2因为p ∨q 为真命题 p ∧q 为假命题 所以p,q 一真一假若p 真q 假 则：{m <−2或m >12m ≤−4或−2≤m ≤4 解得：m ≤−4或12<m ≤4 若p 假q 真 则：{−2≤m ≤12−4<m <−2或m >4此时无解 综上所述 实数m 的取值范围为：m ≤−4或12<m ≤4.18．（12分）（江苏省高二阶段练习）已知双曲线C 的焦点在x 轴上 焦距为10 且它的一条渐近线方程为y =43x.(1)求C 的标准方程；(2)过C 的右顶点 斜率为2的直线l 交C 于A B 两点 求|AB|.【解题思路】(1)由条件设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 根据条件列方程求a,b,c 即可；(2)联立方程组 求出交点坐标 利用两点距离公式求|AB|. 【解答过程】（1）因为焦点在x 轴上 故设C 的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0). ∵双曲线的焦距为10 ∴c =5 ∵C 的一条渐近线为y =43x ∴ba =43 又a 2+b 2=52 联立上式解得a =3 b =4 故所求方程为x 29−y 216=1.（2）由(1)C 的右顶点为(3,0) 又直线l 的斜率为2 所以直线l 的方程为y =2x −6. 联立{x 29−y 216=1,y =2x −6消去变量y 可得 5x 2−54x +117=0解得x =3或x =395.则A B 两点的坐标分别为(3,0) 故|AB|=√(395−3)2+(485)2=24√55.19．（12分）（江苏·高二阶段练习）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点在x 轴上 离心率√22 焦距为2√3.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与椭圆在第一象限交于A B 两点 与x y 轴分别交于M N 两点 且MA =NB,MN =2√3 求直线l 的方程.【解题思路】（1）依题意 求出a,c 再求出b 即可算出椭圆方程； （2）运用椭圆的中点弦公式和点差法即可求解. 【解答过程】（1） 由题意 e =√22,2c =2√3,∴c a=√3a=√22,a =√6 b 2=a 2−c 2=3椭圆方程为：x 26+y 23=1 ；（2）令AB 的中点为E 因为|MA|=|NB| 所以|ME|=|NE| 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 则x 126+y 123=1,x 226+y 223=1所以x 126−x 226+y 123−y 223=0 即(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0所以(y 1+y 2)(y 1−y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−12 即k OE ⋅k AB =−12设直线AB:y =k AB x +m,k AB <0,m >0 令x =0得y =m 令y =0得x =−m k AB即M (−mkAB,0),N(0,m) 所以E (−m2kAB,m2)即k AB ×m 2−m 2k AB=−12解得k AB =−√22或k AB =√22（舍去）又|MN|=2√3 即|MN|=√m 2+(√2m)2=2√3 解得m =2或m =−2（舍去） 所以直线AB:y =−√22x +2 即x +√2y −2√2=0；综上 椭圆的方程为：x 26+y 23=1 直线l 的方程为：x +√2y −2√2=0.20．（12分）（重庆高三阶段练习）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22；上顶点为A 右顶点为B 直线AB 与圆O:x 2+y 2=1相切. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设与圆O 相切的直线l 与椭圆相交于M,N 两点 Q 为弦MN 的中点 O 为坐标原点.求|OQ|⋅|MN|的取值范围.【解题思路】（1）由离心率得出a,b,c 关系 再由原点O 到直线AB 的距离等圆半径求得a,b 得椭圆方程； （2）先确定直线MN 斜率为0或斜率不存在时的结论 然后在斜率存在且不为0时 设方程为x =my +t （m ≠0） 代入椭圆方程应用韦达定理y 1+y 2 y 1y 2 求得中点Q 坐标 再由椭圆中弦长公式得弦长|MN | 计算|OQ ||MN | 变形后求得其范围 综合后可得结论． 【解答过程】（1） 由e =ca =√22知a =√2b =√2c原点O 到直线AB 的距离为d =√a 2+b2=√2b 2√3b=√2√3=1 故b =√32,a =√3故椭圆C 的标准方程为x 23+y 232=1.（2）k MN =0时：Q (0,1),M (−1,1),N (1,1) 或Q(0,−1),M(−1,−1),N(1,−1) 故|OQ |⋅|MN |=2；直线MN 斜率不存在时 Q(1,0),M(1,1),N(1,−1) 或Q(−1,0),M(−1,1),N(−1,−1)．故|OQ |⋅|MN |=2； 直线MN 斜率存在且不为0时：设直线l 的方程为x =my +t （m ≠0） 由直线l 与圆x 2+y 2=1相切 所以d =√m 2+1=1 即t 2=m 2+1联立{x 23+y 232=1x =my +t,得(m 2+2)y 2+2mty +t 2−3=0 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)由韦达定理：{y 1+y 2=−2mtm 2+2y 1y 2=t 2−3m 2+2y Q =y 1+y 22=−mt m 2+2 x Q =my Q +t =2t m 2+2所以MN 中点Q 的坐标为(2tm 2+2,−mtm 2+2)故|OQ |=√(2tm 2+2)2+(−mt m 2+2)2=√t 2(m 2+4)m 2+2=√(m 2+1)(m 2+4)m 2+2|MN |=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√(−2mt m 2+2)2−4⋅t 2−3m 2+2=2√1+m 2√6+3m 2−2t 2m 2+2=2√(m 2+1)(m 2+4)m 2+2故|OQ|⋅|MN|=2⋅(m 2+1)(m 2+4)(m 2+2)2=2(1+m 2m 4+4m 2+4) =2(1+1m 2+4m2+4)m 2+4m 2+4≥2√m 2⋅4m 2+4=8 当且仅当m 2=4m 2 m =±√2时等号成立2<2(1+1m 2+4m2+4)≤94 综上：|OQ |⋅|MN |的取值范围是[2,94].21．（12分）（重庆高二阶段练习）已知拋物线Γ:y 2=2px(p >0)的焦点为F 且过F 的弦长的最小值为4.(1)求p 的值；(2)如图 经过点P （三象限）且不过原点的直线l 与拋物线Γ相交于S,T 两点 且直线FS,FT 的斜率分别为k 1,k 2.问：是否存在定点P 使得k 1⋅k 2为定值2若存在 请求出点P 的坐标.【解题思路】（1）设出过点F 的直线方程 与抛物线联立 表示出弦长即可根据最小值求出； （2）设出直线l 的方程 与抛物线联立 利用韦达定理表示k 1⋅k 2 根据其为定值即可求出. 【解答过程】(1)设过点F 的直线方程为x =ty +p2 设交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)将直线代入抛物线可得y 2−2pty −p 2=0 则y 1+y 2=2pt y 1y 2=−p 2 所以|AB|=x 1+x 2+p =t (y 1+y 2)+2p =2pt 2+2p 当t =0时 |AB |取得最小值为2p =4 所以p =2； (2)假设存在定点P (x 0,y 0) 设直线l 的方程为x =my +n S (x 3,y 3),T (x 4,y 4) 将直线方程代入抛物线得y 2−4my −4n =0 则y 3+y 4=4m,y 3y 4=−4n所以k 1⋅k 2=y 3x 3−1⋅y 4x 4−1=y 3y 324−1⋅y4y 424−1 =16y 3y 4(y 3y 4)2−4[(y 3+y 4)2−2y 3y 4]+16=−4n n 2−2n+1−4m 2因为点P (x 0,y 0)为定点 所以y 0≠0 x 0=my 0+n 即m =x 0−n y 0因为直线l 不过原点 所以n ≠0 所以k 1⋅k 2=−4nn 2−2n+1−4×x 02−2nx 0+n 2y 02=−4y 02n (y 02−4)n 2+(8x0−2y 02)n+y 02−4x 02=−4y 02(y 02−4)n+y 02−4x 02n+(8x 0−2y 02)因为k 1⋅k 2为定值 所以{y 02−4=0y 02−4x 02=08x 0−2y 02≠0解得x 0=−1,y 0=±2因为P 在第三象限 所以存在定点P 其坐标为(−1,−2).22．（12分）（上海·高三阶段练习）如图 F 是抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的焦点 过F 的直线交抛物线Γ于A B 两点 点A 在第一象限 点C 在抛物线上 使得△ABC 的重心G 在x 轴上 直线AC 交x 轴于点Q 且Q 在点F 的右侧．记△AFG △CQG 的面积分别为S 1 S 2．已知点(1,2)在抛物线Γ上．(1)求抛物线Γ的方程；(2)设A 点纵坐标为2t 试用t 表示点G 的横坐标； (3)在（2）的条件下 求S1S 2的最小值及此时点G 的坐标．【解题思路】（1）将点(1,2)的坐标代入y 2=2px (p >0)可求出p 从而可得抛物线的方程（2）先求出直线AB 的方程为y =2tt 2−1(x −1) 代入抛物线方程 化简利用根与系数的关系可求出点B 的坐标 再由重心G 在x 轴上结合重心坐标公式可求出点C 的坐标 从而可求出点G 的横坐标 （3）求出直线AC 的方程 可求出Q (t 2−1,0) 从而S 1S 2=12|FG ||y A |12|QG ||y C | =2t 4−t 2t 4−1=2−t 2−2t 4−1 令m =t 2−2 代入化简后利用基本不等式可求出其最小值和点G 的坐标 【解答过程】(1)因为点(1,2)在抛物线Γ：y 2=2px (p >0)上 所以4=2p 得p =2 所以抛物线Γ的方程为y 2=4x(2)由A点纵坐标为2t得A点横坐标为t2设B(x B,y B),C(x C,y C)重心G(x G,y G)因为直线AB过F(1,0)所以k AB=2tt2−1所以直线AB的方程为y=2tt2−1(x−1)即x=t2−12ty+1代入y2=4x得y2−2(t2−1)ty−4=0所以2ty B=−4得y B=−2t 所以B(1t2,−2t)因为x G=13(x A+x B+x C)y G=13(y A+y B+y C)重心在x轴上所以2t−2t +y C=0得y C=2t−2t所以x C=(1t −t)2所以C((1t−t)2,2t−2t)所以x G=13(t2+1t2+1t2−2+t2)=2t4−2t2+23t2即点G的横坐标为2t 4−2t2+23t2；(3)由（2）得A(t2,2t)C((1t −t)2,2t−2t)所以k AC=2t−2t−2t1t2−2+t2−t2=2t所以直线AC的方程为y−2t=2t(x−t2)令y=0得x=t2−1即Q(t2−1,0)因为Q(t2−1,0)在点F的右侧所以t2>2所以S1S2=12|FG||y A|12|QG||y C|=|2t4−5t2+23t2||2t||t2−1−2t4−2t2+23t2||2t−2t|=2t4−t2t4−1=2−t2−2t4−1令m=t2−2则m>0S1 S2=2−mm2+4m+3 =2−1m+3m+4≥2−2√m⋅3m+4=2−12√3+4=1+√32当且仅当m=3m即m=√3取等号所以当m=√3时S1S2取得最小值为1+√32此时t2=√3+2则√3+2)2√3+2)+23(√3+2)=2所以G(2,0).第21页共21页。
上海大同中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2B ．32C ．54D ．532．双曲线222:19x y C b-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．89B ．83C ．149D ．1433．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线于点M .若2BM =，3AF =，则AB =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．74．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．25．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B 1C D 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1112⎫⎪⎣⎭ D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭7．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（ ）A． B．)+∞C．⎛ ⎝ D．8．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（ ） A．2B1 C1D．2+9．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=10．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥（ ）A．⎛ ⎝⎦B．2]C．1⎤⎥⎝⎦D．1]11．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（ ）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点.12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D二、填空题13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______. 14．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是______；15．椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 的连线相互垂直，则12PF F △的面积为______．16．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中点M 在直线20x y -=上，则椭圆的离心率为_______.17．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为______.18．已知直线:10l x y -+=与椭圆221169x y+=交于,A B 两点,若椭圆上存在一点P 使得PAB ∆面积最大,则点P 的坐标为________.19．若椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，双曲线222211615x y -=的一条渐近线与椭圆E 在第一象限交于点P ，线段2PF 中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率为________．20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）． （1）若3PF FQ =，求直线l 的方程； （2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 22．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为8（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．23．如图，已知抛物线22(0)y px p =>上一点(4,)(0)M a a >到抛物线焦点F 的距离为5．（1）求抛物线的方程及实数a 的值；（2）过点M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，若MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k +=，求证：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．24．已知双曲线C 过点()4,3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.25．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由. 26．求下列曲线的标准方程.（1）求焦点在x 轴上，焦距为2，过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的椭圆的标准方程；（2）求与双曲线2212x y -=有公共焦点，且过点的双曲线标准方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】 解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-； 在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=， 在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦， 化简得223850c ac a -+=， 即()()350c a c a --=， 解得c a =或35c a =； 又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．C解析：C 【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求． 【详解】如图，由22219x y b-=，得229c b =+，29c b =+．设1||PF m =，2||PF n =， 由题意，6m n -=， 若2229n c b ==+26629m n b =+=++则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅； 若2229m c b ==+26296n m b =-=+．则2269622m n c b ++=+=，解得21159b =．∴222115196999c a b =+=+=，143c =． 1414339c e a ∴===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．3．A解析：A 【分析】设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，通过三角形相似，求|BF |，再求出||AB 即可． 【详解】解：设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点， 线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点M ，准线与x 轴的交点为H ， ||2BM =，||3AF =，∴由BNM AMC ∽，可得||23||5BF BF =+， ||1BF ∴=，||||||4AB AF FB ∴=+=，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，转化化归的思想方法，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2222c a b =+. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±，∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =， ∴222242224c a b a a=+=+≥当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题 可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据r >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ． 因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C7．A解析：A 【分析】求出||AB ，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得2330e --<，再结合1e >可解得结果. 【详解】因为1(,0)F c -，由22221x c x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2b y a =±，所以22||b AB a =，因为260AF B ∠<，所以212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<，所以2323b ac <，所以22323c a ac -<，所以21323e e -<，即232330e e --<， 解得333e -<<，又1e >，所以13e <<. 故选：A 【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得所要的不等式.8．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-， 则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+， 则12PF F △与12QF F 的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.9．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.10．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由113QF PF ≥1mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解 属于中档题11．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案；【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c ，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误； 综上可知：其中真命题的序号为 ③． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率． 【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=， 由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠， 从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==． 故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上 解析：222【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可． 【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =， 可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-， 即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：22e =． 故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．14．【分析】根据双曲线的对称性可知等腰三角形的腰应该为与或与不妨设等腰三角形的腰为与故可得到的值再根据等腰三角形的内角为求出的值利用双曲线的定义可得双曲线的离心率【详解】解：根据双曲线的对称性可知等腰三 31+ 【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为23π，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ， 不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限， 故22PF c =， 等腰12PF F ∆有一内角为23π， 即2123PF F π∠=， 由余弦定理可得，()()cos2212PF 2c 2c 22c 2c 23c 3π=+-•••=， 由双曲线的定义可得，||12PF PF 23c 2c 2a -=-=，即(31)c a =，解得：e = 【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.15．24【分析】设由结合椭圆定义可求得从而易得三角形面积【详解】椭圆中设由则又∴∴故答案为：24【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题考查椭圆的定义属于基础题解析：24 【分析】设12,PF m PF n ==，由12PFPF ⊥结合椭圆定义可求得mn ，从而易得三角形面积． 【详解】椭圆2214924x y +=中7a =，b =5c =，设12,PF m PF n ==，由12PFPF ⊥，则()2222100m n c +==，又214m n a +==， 2224100214m n c m n a ⎧+==⎨+==⎩，∴2222()()141004822m n m n mn +-+-===， ∴121242PF F S mn ==△． 故答案为：24． 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题，考查椭圆的定义，属于基础题．16．【分析】设联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求得线段的中点M 的坐标根据点M 在直线上求解【详解】设由得由韦达定理得所以线段的中点M 又M 在直线上所以即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置解析：2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段AB 的中点M 的坐标，根据点M 在直线20x y -=上求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222220a b x a x a a b +-+-=，由韦达定理得22221221222222,,10a b x x y y a b a ba b∆，所以线段AB 的中点M222222,a b a ba b ，又M 在直线20x y -=上， 所以22222220a b a b a b ，即2222222a b a c ==-， 所以222a c =，解得e =【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．8【分析】双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4可得的值由条件以为圆心2为半径的圆与双曲线仅有1个交点由双曲线和该圆都是关于轴对称的所以这个点只能是双曲线的右顶点即根据可求得答案【详解】由题意可得双曲线解析：8 【分析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4,可得b 的值，由条件以2F 为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于x 轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.即2c a -=，根据2222++16c a b a ==可求得答案. 【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 由焦点2F 到渐近线的距离为44=，即4b =.双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个,即以2F 为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于x 轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点. 所以2c a -=，又2222++16c a b a ==即2216c a -=，即()()16c a c a -+=，所以8c a +=. 所以双曲线的右顶点到左焦点1F 的距离为8c a +=. 所以这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为8. 故答案为：8 【点睛】本题考查双曲线的性质，属于中档题.18．【分析】先设与直线平行的直线求出直线与圆锥曲线相切时的直线方程再求两平行线的最大距离即可根据面积公式求出面积最大值【详解】解:由题意可得弦长为定值要使面积最大则只要点到直线的距离最大当平行于直线的直解析：169,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先设与直线:10l x y -+=平行的直线:0l x y m '-+=,求出直线与圆锥曲线相切时的直线方程,再求两平行线的最大距离,即可根据面积公式求出PAB ∆面积最大值. 【详解】解:由题意可得弦长AB 为定值,要使PAB ∆面积最大, 则只要点P 到直线:10l x y -+=的距离最大, 当平行于直线l 的直线与椭圆相切时, 对应的切点到直线l 的距离最大或最小. 设直线:0l x y m '-+=直线与椭圆联立得22:01169l x y m x y -+='⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得222532161440x mx m ++-=,则()22(32)425161440m m ∆=-⨯-=,解得5m =±.当5m =时,直线l '与直线l的距离为d == 当5m =-时,直线l '与直线l的距离为d ==∴当5m =-时, 2251602560x x -+=,解得165x =, 代入直线:50l x y '--=,解得95y =- 即点P 的为坐标169,55⎛⎫-⎪⎝⎭.故答案为: 169,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查了直线与椭圆交点坐标,是中档型的综合题.19．【分析】求出椭圆的焦点坐标利用已知条件求解点坐标再代入双曲线的渐近线方程转化求解椭圆的离心率即得【详解】由题可得点由线段中点的纵坐标为0得点的纵坐标为又点在椭圆上且在第一象限则有解得点的横坐标为由双解析：35【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解P 点坐标，再代入双曲线222211615x y -=的渐近线方程，转化求解椭圆的离心率即得. 【详解】由题可得点2(0,)F c -，由线段2PF 中点的纵坐标为0，得点P 的纵坐标为c ，又点P 在椭圆上且在第一象限，则有22221c x a b +=，解得点P 的横坐标为2b a ，由双曲线222211615x y -=，得渐近线1516y x =与椭圆交于点2(,)P b c a ，则有21516b c a =，整理得2215()160a c ac --=，即215(1)160e e --=，由01e <<，得35e =.故答案为：35e = 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中档题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．（1）22620x y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，根据条件得出05m <<，分别求出P Q ，的纵坐标，由条件可得12PF yFQ y =可得答案. （2）由()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++，可得答案. 【详解】解：（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩()225430250m y my ⇒-++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505430425540m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，205m ⇒<<由点P 在x 轴上方，则()()2212223020130201,254254m m m m y y m m --+-++==-- ()()222230201321123342230201321PF m m m m m FQ m m m m --+++==-⇒=⇒==--++--+ ∴直线l 方程为23226204x y x y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y 则()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---， 所以154AP PBk k k ==,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值由（1）可知1223054my y m -+-=，1222554y y m =- ()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值． 【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PB k k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，属于中档题. 22．（1）2214x y +=；（2）存在圆心在原点的圆2245x y +=满足条件．【分析】（1）先利用椭圆定义得到48a =，结合离心率求得参数a ，c ，再解得b ，即得到方程；（2）先假设圆存在，设方程)(22201x y r r +=<<，讨论直线PQ 斜率存在时与椭圆有两个交点满足题意，结合直线PQ 是圆的切线，解得半径，再验证斜率不存在该圆也满足题意，即得结果. 【详解】解：（1）结合椭圆的定义可知，1AF B △的周长为4a，故48a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为)(22201x y r r +=<<，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得)(222148440k x ktx t +++-=． 设)(11,P x y ，)(22,Q x y ， 则())()(2228414440kt kt∆=-+->，即2214<+t k ，122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+．① ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=．又11y kx t =+，22y kx t =+．∴)()(12120x x kx t kx t +++=，即)()(22121210k x x kt x x t ++++=．②将①代入②得)()(2222222144801414k t k t t kk +--+=++，即)(2224115t k k =+<+． ∵直线PQ 与圆222x y r +=相切，∴圆心()0,0到直线y kx t =+的距离d 等于半径r ，即)(0,15r d ====， ∴存在圆2245x y +=满足条件． 当直线PQ 的斜率不存在时，圆2245x y +=也满足条件． 综上所述，存在圆心在原点的圆2245x y +=使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥． 【点睛】 思路点睛：圆锥曲线中求与直线相关的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.23．（1）24y x =；4a =；（2）证明见解析；定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由抛物线的定义可得求出2p =，再代入4x =可求出a ； （2）将()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线可得1212124y y k x x y y -==-+，由123k k +=可得()121281633y y y y =-+-，即可得出定点. 【详解】（1）由题意，452pMF =+=，故2p =，24y x =； 令4x =，可得4y =±，故4a =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 斜率为k ，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得22121244y y x x -=-，即1212124y y k x x y y -==-+， 故直线AB 方程为()21111244y y y k x x x y y ⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =-++；1144MA k k y ==+，2244MB k k y ==+， ∴121244344MA MB k k k k y y +=+=+=++，即()121281633y y y y =-+-； 因此，直线AB 为12121212444833y y y x x y y y y y y ⎛⎫=-=++ ⎪+++⎝⎭经过定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查抛物线中直线过定点问题，解题的关键是得出直线斜率124k y y =+，由123k k +=得出()121281633y y y y =-+-. 24．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=， 解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．25．（1）2212x y +=；（2）存在；1)y x =-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d +=.（2）设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，先假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k 的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM 中，由余弦定理得：22121242cos2d d d d θ=+-.又212cos1d d θ=，整理得，12d d +=所以点M 的轨迹E 是以(1,0)A -和(1,0)B 为焦点，长轴长为个端点）又当点M 为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d d θ=.所以点M 的轨迹E 的方程是2212x y +=.（2）假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222124220k x k x k +-+-= 设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理得，2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+. 由题意以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦， 整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++.代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k = 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时P ⎛ ⎝⎭、1,Q ⎛ ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意.综上所述，所求直线l存在，其方程为1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段PQ 为直径的圆过原点，得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.26．（1）22143x y +=；（2）2212y x -=. 【分析】（1）由题意知1c =，根据椭圆的定义求出2a =，根据222b a c =-得到23b =，从而可得椭圆的标准方程；（2）根据2212x y -=求出焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为22221(,0)x y m n m n -=>，代入点并利用223m n +=可求得1m =，n =而可得结果. 【详解】（1）由题意知1c =，焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，根据椭圆定义可得12||||2PF PF a +=2a =，所以24a =，2a =，所以222413b a c =-=-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由2212x y -=得222,1a b ==，所以222213c a b =+=+=，所以c =所以双曲线2212x y -=双曲线的焦点为(，设双曲线的方程为22221(,0)x y m n m n-=>，可得223m n +=，将点代入双曲线方程可得，22221m n -=，解得1m =，n =即有所求双曲线的方程为：2212y x -=.【点睛】关键点点睛：第一问利用椭圆的定义求出a 是解题关键；第二问根据两个双曲线的半焦距相等求解是解题关键.。
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1 圆锥曲线与方程（教师） 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶
点，则椭圆E的标准方程为（ ）
A．22122xy B．2212xy
C．22142xy D．22142yx 2．已知双曲线221259xy上有一点M到右焦点1F的距离为18，则点M到左焦点2F的距离是（ ） A．8 B．28 C．12 D．8或28 3．已知双曲线C：22221(0xyaab，0)b的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与
双曲线C的右支交于点A，若2BAAF，且||4BF，则双曲线C的方程为（ ） A．22165xy B．221812xy
C．22184xy D．22146xy 4．已知椭圆221(0)1xymm的两个焦点是1F，2F，E是直线2yx与椭圆的一个公共点，
当12EFEF取得最小值时椭圆的离心率为（ ） A．23 B．33 C．23 D．63 5．已知双曲线22221(0xyaab，0)b的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线
20)2(ypxp
的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若AOB△的面积为3，则抛物线的准线方程为（ ） A．2x B．2x C．1x D．1x 6．已知F为抛物线C：24yx的焦点，过F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A、
B
两点，直线2l与C交于D、E两点，则||||ABDE的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10
7．设1F和2F是双曲线2214xy的两个焦点，点P在双曲线上，且满足1290FPF，则△
12
FPF
的面积为（ ） 2
A．1 B．52 C．2 D．5 8．已知直线0(0)xykk与圆224xy交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有
3||||3OAOBAB，则k的取值范围是（ ）
A．(3,) B．[2,22) C．[2,) D．[3,22)
9．已知F是抛物线214yx的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（ ） A．212xy B．21216xy C．221xy D．222xy 10．已知过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且3AFFB，抛物
线的准线l与x轴交于点C，1AAl于点1A，若四边形1AACF的面积为123，则准线l的方程为（ ） A．2x B．22x C．2x D．1x
11．已知双曲线22221xyab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F作圆222xya的切线分别交双曲
线的左、右两支于点B，C，且2||||BCCF，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．3yx B．22yx C．(31)yx D．(31)yx
12．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：22221(0)yxabab的下顶点，M，N在椭圆
上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若ππ(,]64，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ） A．6(0,]3 B．3(0,]2
C．63[,]32 D．622[,]33
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．21,FF分别为椭圆1273622yx的左、右焦点，A为椭圆上一点，且11()2OBOAOF，
21()2OCOAOF，则||||OBOC ． 3
14．设1F、2F分别是椭圆1162522yx的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则1||||PMPF的最大值为_______． 15．如图，1F，2F是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过1F的直线l与双曲线的左、
右两支分别交于点B，A．若△2ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
16．已知抛物线22ypx的准线方程为1x，焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，
||FA，||FB，||FC成等差数列，且点B在x轴下方，若0FAFBFC，则直线AC的方程为
________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知1F、2F分别是双曲线22136xy的左右焦点，过右焦点2F作倾斜角为30的直线
交双曲线于A、B两点． （1）求线段AB的长； （2）求1AFB△的周长． 4
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点0,3、0,3的距离之和等于4．设点P的轨迹为C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线1ykx与C交于AB、两点，若OAOB，求k的值．
19．（12分）如图，已知圆E：22(1)4xy经过椭圆C：2222+1(0)xyabab的左右焦点1F，
2F，与椭圆C在第一象限的交点为A，且1F，E，A三点共线．
（1）求椭圆C的方程； （2）设与直线OA（O为原点）平行的直线交椭圆C于M，N两点，当△AMN的面积取最大值时，求直线l的方程． 5
20．（12分）已知椭圆C：2222=1xyab(0)ab，四点1(1,1)P，2(0,1)P，33–12()P，，
4
3(1)2P，
中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）设直线l不经过2P点且与C相交于A，B两点．若直线2PA与直线2PB的斜率的和为–1，证明：l过定点．
21．（12分）已知过(0,2)A的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径． （1）求C点轨迹E的方程； （2）当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证：PQC△恒为直角三角形． 6
22．（12分）已知点(1,0)F，直线l：1x，直线l垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l于点
Q．
（1）求点Q的轨迹C的方程； （2）已知点(1,2)H，过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点． 1
答 案 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】C
【解析】由条件可知2bc，2a，所以椭圆方程为22142xy，故选C． 2．【答案】D 【解析】根据双曲线的定义可知点M到两焦点的距离的差的绝对值为2a， 即12||||210||MFMFa， 又1|18|MF，则2||8MF或28．故选D． 3．【答案】D
【解析】设,()Axy，∵右焦点为0(),Fc，点()0,Bb，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且2BAAF，∴23cx，3by，
代入双曲线方程，得2241199ca，且222cab＋，∴62ba． ∵||4BF，∴2216cb＋，∴2a，6b， ∴双曲线C的方程为22146xy． 4．【答案】D 【解析】联立直线与椭圆的方程整理可得2(2)4(1)3(1)0mxmxm， 满足题意时：216(1)12(2)(1)02Δmmmm或1m， 2
∵0m，∴2m，当2m时，12||||EFEF取得最小值， 此时椭圆的离心率为63． 5．【答案】D 【解析】因为2cea，所以2ca，3ba， 双曲线的渐近线方程为3yx， 又抛物线的准线方程为2px，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得3(,)22ppA，3(,)22ppB， 在△AOB中||3ABp，点O到AB的距离为2p，所以13=322pp， 所以2p，所以抛物线的准线方程为1x，故选D． 6．【答案】A 【解析】设11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，44(,)Dxy，44(,)Exy，
直线1l方程为1(1)ykx，联立方程214(1)yxykx， 得2222111240kxkxxk， ∴22111222112424kkxxkk，
同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kxxk， 3
由抛物线定义可知2212123422
12
2424||||24kkABDExxxxpkk
22221212
441682816kkkk，
当且仅当121kk（或1）时，取得等号． 7．【答案】A
【解析】由题设知122212||||4,||||20,PFPFPFPF①②②-①2得12||||2PFPF．
∴12FPF△的面积121||||12SPFPF． 8．【答案】B 【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即||22k，由0k， 得022k，①如图，
又由3||||3OAOBAB，得3||||3π6OMBMMBO，