导数的应用问题
应用导数求解实际问题的例子
应用导数求解实际问题的例子篇一：应用导数求解实际问题的例子导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述函数在某一点的变化率。
应用导数可以帮助我们解决许多实际问题，下面是一个例子：假设我们要设计一个汽车的制动系统，我们希望汽车在制动时可以停下来，并且停下来的时间尽可能短。
为了达到这个目标，我们需要确定合适的制动力大小和时间点。
首先，我们需要建立一个数学模型来描述汽车运动的规律。
假设汽车在t时刻的速度为v(t)，我们可以通过导数来描述速度的变化率。
根据牛顿第二定律，汽车的加速度a(t)与施加在汽车上的制动力F(t)之间存在关系：F(t) = m * a(t)，其中m是汽车的质量。
我们知道加速度是速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
将这个等式代入F(t) = m * a(t)中，我们可以得到制动力F(t)与速度v(t)之间的关系。
现在，我们的问题变成了如何确定制动力F(t)使得汽车在尽可能短的时间内停下来。
我们可以通过求解关于时间t的导数来找到答案。
我们需要求解速度v(t)等于0时的时间点t0，即v(t0) = 0。
我们可以通过将v(t)等于0代入导数dv(t)/dt中，得到速度v(t)为0时的时间t0。
通过求解这个方程，我们可以确定汽车停下来的时间点t0。
然后，我们可以根据t0来确定制动力F(t)的大小，使得汽车在这个时间点停下来。
在实际应用中，我们可以通过测量汽车的速度来获取速度随时间的变化情况。
然后，我们可以通过应用导数的方法来确定制动力的大小和时间点，以使得车辆尽快停下来。
这个例子展示了如何应用导数来解决实际问题。
通过建立数学模型，并利用导数的性质，我们可以更好地理解和优化真实世界中的各种现象和过程。
篇二：应用导数是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决许多实际问题。
下面是一个例子，说明如何使用导数来解决实际问题：假设我们需要确定一个物体在某一时刻的速度。
我们可以通过给定的位置函数来计算。
导数在日常生活中的应用实例
导数在日常生活中的应用实例
导数是对函数变化率的量化，它不仅仅在数学中被广泛使用，在日常生活中也有广泛的应用。
比如计算速度、位移、加速度等问题。
本文将介绍导数在日常生活中的应用实例。
首先，当我们求出物体在某一时刻的速度时，就是在使用导数。
例如当一辆小汽车行驶1h，总共走了100公里时，就可以计算出它这1h的平均速度，也就是求函数s（t）=100/(1h)的导数，即小汽车的速度。
其次，导数在交通运输中也被广泛使用。
例如，飞机飞行时，它的速度可能会随着时间的推移而发生变化，这时我们就可以用导数的概念来分析飞机的位移变化，以及在不同时刻的加速度、减速度等。
另外，对于一段距离，我们可以利用导数的思想来解决“最短时间”的问题，也就是求出最优的速度。
第三，导数还可以应用在理财方面，例如，如果我们需要计算投资和贷款收益，就可以使用导数来计算复利收益率。
这也是经济学中非常重要的概念之一，通过它，我们可以快速准确地计算出投资和贷款利息的收益率。
最后，导数还可以用来解决热力学中的问题，例如，求出蒸发物体时的温度变化曲线，我们就可以使用导数的思想来确定温度的变化速率。
此外，当我们想推断某种物质在蒸发过程中吸收多少热量时，也可以使用导数来求解。
从上面的例子可以看出，导数在日常生活中广泛地使用，它不仅
仅可以用来解决科学、数学方面的问题，也可以用于经济、交通、热力学等领域。
因此，可以说，在现代社会中，学会运用导数具有重要的意义，从而更好地利用数学知识来处理日常生活中的实际问题。
导数的应用切线与极值问题
导数的应用切线与极值问题导数的应用：切线与极值问题导数是微积分中的重要概念，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。
其中，切线与极值问题是导数应用的两个常见问题。
本文将探讨如何使用导数解决切线和极值问题，并通过实例解释其应用。
一、切线问题切线是曲线上某一点处与该点相切的直线。
通过导数，我们可以确定曲线上某点的切线方程。
设曲线方程为y=f(x)，点P(x,y)处的切线斜率k即为函数f(x)在该点的导数，即k=f'(x)。
例子1：求曲线y=x^2+2x+1在点P(1,4)处的切线方程。
解：首先求导数：f'(x)=(x^2+2x+1)'=2x+2。
然后求点P(1,4)处的斜率：k=f'(1)=2(1)+2=4。
由切线斜率和点可确定切线方程，即y-4=4(x-1)。
将其化简，得到切线方程为y=4x。
二、极值问题在求解极值问题时，我们可以利用导数为0的点来确定函数的最大值或最小值。
设函数f(x)在[a,b]区间上连续且在区间内可导，若f'(c)=0且c∈(a,b)，则c称为f(x)在[a,b]上的临界点。
临界点和区间端点都有可能是函数的极值点。
例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2的极小值。
解：首先求导数：f'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x。
然后求导函数的临界点：3x^2-6x=0。
化简得到x(x-2)=0，解得x=0或x=2。
接下来，我们通过判断临界点和区间端点的函数值来确定极小值。
计算f(0)=-0、f(2)=-4，因此f(x)=x^3-3x^2的极小值为-4，在x=2处取得。
综上，我们通过求解导数和判断临界点来确定函数的极值。
三、切线和极值问题的应用切线问题和极值问题在实际应用中有着广泛的运用。
例子3：一辆汽车在某段时间内行驶的路程和时间的关系如图所示。
求该段时间内汽车的平均速度，以及汽车行驶的最快和最慢速度。
图表：时间（小时） 0 2 4 6 8 10路程（公里）***********解：我们可以通过导数来求解这个问题。
导数在实际生活中的应用举例
导数在实际生活中的应用举例
1. 工程设计中：当设计一个桥梁时，需要考虑桥梁的结构，桥梁的载重量，以及桥梁的弯曲变形，而对于桥梁的弯曲变形，需要使用导数求解，以此来确定桥梁的设计参数。
2. 地质勘探中：当地质勘探时，需要知道地质结构的变化，以及地质变化的趋势，而这些变化的趋势，都可以使用导数来求解。
3. 气象预报中：当气象预报时，需要知道气象要素的变化趋势，以及气象要素的变化速度，这些变化的速度，都可以使用导数来求解。
4.2导数在实际问题中的应用 课件(北师大版选修1-1)
一、物体的比热
设有单位质量的物体从 0oC 加热到 ToC 所吸收的 热量 Q 是温度 T 的函数：Q=Q(T).给温度 T 以增 量 T，则可求得物体在 T 这段温度内的平均比 热为
c Q Q (T T )Q (T ) , T T Q Q(T ) T 0 T
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ，
间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
25 Q(t ) 20sin t 现设通过截面的电量 ，则通 2 （C）
过该截面的电流为
25 25 25 I (t ) 20sin t 20 cos t 2 2
25 cos t 2 ． 500
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位．
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
例 4.5.4
设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求 （1）该产品的总利润函数 L(q ) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
高考热点问题-导数应用论文
浅谈高考热点问题:导数的应用高中数学自引入导数之后，面对新知识背景与格局，函数的单调性,函数的极值,最值，以及在某种条件下恒成立的不等式和生活中的实际应用题等向题之间相互依存，相互贯通，又相互转化的辩证关系成为导数的主打题型，也成为高考命题的主要热点之一，下来，我就对导数的应用作以探索。
应用一：利用导数求切线斜率。
例1，已知曲线的方程为y=x2+1，求此曲线在点p（1，2）处的切线斜率，切线方程。
解：由导数公式表及求导法则可得y′=2 x∴曲线在点p(1、2)处切线斜率k=2×1=2切线方程为y-2=2(x-1)即y=2 x点评：在某一点处切线的斜率就是该点对应的导数。
应用二：利用导数求函数的单调区间。
例2：确定函数f(x)=x2-4 x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：由导数公式表及求导法则可得f′(x)=2 x-4令 f′(x)＞0 解得x>2因此，函数f(x)在区间(2,+∞)内递增。
令 f′(x)<0解得x<2因此，函数f(x)在区间(-∞.2)内递减。
点评：确定函数的单调区间，也就是函数在定义域内确定其导数为正值与负值的区间。
应用三：利用导数求函数的极值与最值。
例3、求函数f(x)=x3-2x2+5在区间［-2 2］上的最值与最小值。
解：由导数公式表及求导法则可得f′(x)=3x2-4x解:f′(x)=0得:x1=0 x2=根据x，x2可列下表由上表可知：极大值点为x=0,此点的极大值为f(0)=5极小值点为x2=，此点的极小值为f()=由上述分析可知：函数f(x)=在区间［-2，2］上最大值是5，最小值是-11。
点评：若函数y=f(x)在区间［a、b］上有极值时，即方程f′(x)=0有解时，求函数y=f(x)在［a、b］上的最大值与最小值可分两步进行。
（1）求函数y=f(x)在［a、b］内的极值。
（2）将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）,f（b）比较，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
导数在生活中的应用
导数在生活中的应用
导数是微积分中的重要概念，它在生活中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，例如在科学、工程、经济学和医学等领域。
本文将介绍导数在生活中的应用，并探讨其重要性。
首先，导数在物理学中有着重要的应用。
在运动学中，导数可以帮助我们计算速度、加速度和位置等物理量随时间的变化率。
例如，当我们知道一个物体的位移随时间的函数时，可以通过对这个函数求导来得到物体的速度和加速度。
这对于设计运动系统、预测运动轨迹和解决工程问题都是至关重要的。
其次，导数在经济学和金融学中也有着重要的应用。
在经济学中，导数可以帮助我们分析市场供求关系、成本和收益等经济变量的变化率，从而帮助决策者做出合理的经济决策。
在金融学中，导数可以帮助我们对金融产品的风险和收益进行评估，从而帮助投资者和金融机构做出投资和风险管理的决策。
另外，导数在医学和生物学中也有着重要的应用。
在医学中，导数可以帮助我们分析生物体内各种生理变量的变化率，例如血压、心率和药物浓度等。
这对于诊断疾病、设计药物剂量和治疗方案都是至关重要的。
在生物学中，导数可以帮助我们研究生物体内各种生物过程的变化规律，例如细胞生长、代谢和遗传变异等。
总之，导数在生活中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
无论是在科学、工程、经济学还是医学等领域，导数都扮演着重要的角色。
因此，我们应该加强对导数的学习和理解，以更好地应用它解决现实生活中的问题。
《导数的应用——切线问题》教教学设计
《导数的应用——切线问题》教案【教学目标】：1、知识与技能 :理解导数的几何意义；会用导数解决与切线相关的问题。
2、过程与方法：经历用导数几何意义求切线学习过程，体会导数的几何意义在求曲线切线问题方面的应用。
3、情感态度与价值观： 体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。
【教学重点】：利用导数的几何意义解决切线问题； 【教学难点】：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率及曲线的切线。
【教学过程】 知识回顾：一、求切线1、求过曲线上某个定点处的切线例1（2009全国卷Ⅱ理）曲线y ＝x 2x －1在点(1，1)处的切线方程。
（学生自己完成）解 点（1，1）在曲线上．因为y ′＝－1(2x －1)2，在点（1，1）处的切线斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －2＝0总结：求过曲线上某个定点处的切线的步骤： i ）求导函数)('x f ii ）算斜率)(0'x f k ='00()()f x x x f x =函数在处的导数就是:00'0(),())(),y f x P x f x k f x P ==曲线在点（处的切线PT 的斜率。
即在点处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-iii ）由点斜式写出直线方程 2、曲线的切线经过某个定点例2 已知函数f (x )＝x 3－3x (x ∈R ）的图像为曲线C ，曲线C 的切线l 经过点A (2，2)，求切线l 的方程．解 设切点为(t ，t 3－3t )，切线l 的斜率为k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )． 因为l 过点A (2， 2)，所以2－(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )， 即t 3－3t 2＋4＝0，解得t ＝2或t ＝－1． ①当t ＝2时，l ：9x －y －16＝0； ②当t ＝－1时，l ：y ＝2．综上，切线l 的方程为y ＝2或9x －y －16＝0 总结：求过某个定点的切线的步骤： i ）设切点))(,(00x f xii ）求导函数)('x f ，写出直线方程 iii ）把已知点带入切线方程，解出切点坐标。
高中数学一轮复习重难点 导数的综合应用
当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则g(x)min=g(2)=4e2-28,
则4a≤4e2-28,即a≤e2-7,
故a的取值范围为(-∞,e2-7].
二、利用导数证明不等式 利用导数证明不等式的常用方法 1.作差构造函数法:证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),直接构 造函数h(x)=f(x)-g(x),只需证明h(x)min>0(或h(x)max<0). 2.先放缩后构造法:首先根据已知条件(或常用结论,如:ex≥x+1)适当放缩;然后构造函数,转化为求 函数最值问题;有时也会利用上一问的结论进行放缩. 3.先变形后构造法:首先对原不等式等价变形,然后根据变形后的不等式构造函数,转化为求函数 最值问题,或者是将不等式进行分拆,构造引入中间函数,即要证f(x)≥g(x),可证f(x)≥h(x)且h(x)≥ g(x).
例2 (2023河北张家口期末,21)已知函数f(x)=-xeax. (1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:ln x+ax-1≥ f 1(x) .
解析 (1)f '(x)=-eax-axeax=-eax(1+ax).
①当a=0时, f(x)=-x,在R上单调递减;
②当a>0时,令f '(x)=0,得x=- 1a ,
(1)求a;
(2)证明:ln x>e-x- e2x ;
(3)已知m是正整数,证明:
1
1 2m(m
1)
m1
1
一元函数的导数及其应用(利用导数研究双变量问题)(全题型压轴题)(解析版)-高考数学高分必刷必过题
【详解】（1） f (x) 在区间 (0, 2) 上为减函数.任取 0 x1 x2 2 ，
f
x1
f
x2
x12 x1 2
x22 x2 2
x12 x2 2 x22 x1 2 x1 2 x2 2
x1x2 x1 x22
x1x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 2 x2 2
【详解】由题意，
当
x
0,
1 2
时，
f
x
1 3
x
1 6
0,
1 6
，
当
x
1 2
,1
时，f
x
2x3 ，f x
21
6x2 x 1 2x3 x 12
4x3 6x2
x 1 2
2x2 2x 3 x 1 2
0 ，恒成立，
所以
f
x
在
x
1 2
,1
上单调递增，所以
f
x
1 6
,1
，
所以函数 f x 在0,1上的值域为 A 0,1，
f
x 有极大值，也为最大值且
f
x
max
f
1 ln11 1.
（2）
设 f x x 1, 2 的值域为 A, g x x 1, 2 的值域为 B ,
由题意“对于任意的 x1 1, 2 ，总存在 x2 1, 2 使得 f x1 g x2 0 ”，
等价于 A B ，
由（1）知
f
x
2
,
令 t cos x ， y t2 t 1 a (t 1 )2 5 a ， t 1, 0 ，
24
函数
y
(t
1)2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
284
§4 Mathematica解导数的应用问题
大家知道，导数应用指的是：用导数的性态来研究函数的性态，本章主要研
究了函数的单调性凹向极值与最值的求法以及一元函数图形的描绘。由于对函数
单调性凹向等问题的研究，不但需要求导运算，而且还需要进行解方程及条件判
断等工作。因此，本节在用Mathematica作导数应用题的过程中，结合具体内容
介绍Mathematica系统中的Solve，Which，Print，Plot四个函数的意义与用法。
例4.1 设函数xbxxaxf2ln在2,121xx处都取得极值，试确定
ba,
的值，并问这时xf在21,xx处是取得极大值还是极小值？
解: xxbxLogaxfIn2^*][:_][:]1[
}],{,0]2[,0]1[[{Solve:]2[baffIn＇ ＇
(*解方程求驻点*)
%;]"3[cIn
（*将方程组的解赋给变量c*）
]];1,1[[./:]4[caaIn（*等价于)3/2(./(aaa
*）
]];2,1[[./:]5[cbbIn (*等价于)6/1(./(aaa
*)
];1[1:]6[＂feIn
]2[2:]7[＂feIn
;
]]]"1[int["Pr,01],int[Pr,01[Which:]8[极小值失效feeIn
；（*判断f″
[1]的符号，从而确定f[1]是极大值还是极小值*）
[9]:[20,Print[],20,Print["[2]"],InWhicheef===>失效极小值
20,Print["[2]"]]ef<极大值
；
（*判断]2["f的符号，从而确定]2[f是
极大值还是极小值*）
)}}6/1(),3/2({{]2[baOut
]1[]8[fOut
极小值
]2[]9[fOut
极大值
在本题求解过程中，先后使用了Solve，Which，Print三个函数，下面分别
285
介绍其功能：
⑴ 是解方程或方程组的函数，其形式为
svar,eqnsSolve
，其中可以是单个方程，也可以是方程组单个方程用
expr0==
的形式（其中为关于未知元的表达式）；方程组写成用大括号括起来的
中间用逗号分割的若干个单个方程的集合，如由两个方程构成的方程组应写成
{expr10,expr0}====；vars为未知元表，其形式为},,2,1{xnxx
。如：
],012^[Solve:]10[xxIn
(*解方程012x*)
}}1{},1{{]10[xxOut
(*方程012x的两个解*)
}],{},3,42[{Solve:]11[yxyxyxIn (*解方程组42yx
3yx
*)
}}2,1{{]11[yxOut (*输出方程组42yx 3yx
的两个解*)
值得注意的是，Solve语句把所求方程的根先赋给未知元后再连同未知元及
赋值号用花括号括起来作为表的一个元素防在表中，如
}}1{},1{{]10[xxOut
。若想在运算过程中直接引用Solve的输出结果，
可按变量替换形式)./][(axxf把所需要的根赋给某一个元，如：
%:]12[jIn (*把}}2,1{{]11[yxOut
的输出结果赋给j*)
}}2,1{{]12[yxOut
]]1,1[[./1:]13[jxxIn (*这里]]1,1[[j
等价于1x*)
1]13[Out
（*变量1x的值*）
]]2,1[[./2:]14[jyxIn (*这里]]2,1[[j
等价于2x*)
2]14[Out
（*变量1x的值*）
⑵ Which
Which语句的一般形式为：
Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，……，条件n，表达式n]
286
Which语句的执行过程：从计算条件1开始，依次计算条件),,1(nii直至到
第一个为真的条件时为止，并将该条件对应的表达式的值作为Which语句的值输
出。用该函数可以方便地定义分段函数。
⑶ Print
Print为输出命令，其形式为：
Print[表达式1，表达式2，…]
执行Print语句，依次输出表达式1，表达式2，…，两表达式之间不留空格，
输出完成后换行。通常Print语句先计算出表达式的值，再将表达式的值输出。
若想原样输出某个表达式或字母，需要对其加引号。
例4.2：求函数593)(23xxxxf的极值、拐点，描绘该函数的图像。
解: 5*92^*33^:_][:]1[xxxxffIn
],0][[Solve:]2[xxffmIn＇
；
In[3]:=x1=x/.m[[1]]；
]]2[[./2:]4[mxxIn
；
]1[1:]5[＂ffpIn
；
]3[2:]6[＂ffpIn
；
[7]:[10,Print[],10,Print["[1]"],InWhichppf===>-失效极小值
10,Print["[1]"]]pf<-极大值
[8]:[20,Print[],20,Print["[3]"],InWhichppf===>失效极小值
20,p<
Print["[3]"]]f极大值
],0][[Solve:]9[xxffIn＂
；
]2.1["*]9.0[":]10[ffffqIn
；
]][print,0],,)""],1[,",",1,("int["Pr,0[Which:]11[无拐点拐点qffqIn
}]5,5,{],[[Plot:]12[xxffIn
287
]1[]7[fOut
极大值
]3[]8[fOut
极小值
)6,1(]11[Out
拐点
这里省略了Plot语句的输出结果。Plot语句的使用格式为：
max}]min,,{,[xxxfPlot
max}]min,,{,[xxxfPlot给出函数在区间max]min,[xx
上的图象。
另外，Mathematica系统还提供了用逐步搜索法求函数极值的函数FindMinimum。
练习4.7
1. 求下列函数的极值：
(1) (1)xyxe-=+； (2) 1233(1)yxx=-。
2. 设函数xbxxaxf2ln)(在2,121xx处都取得极值，试求出ba,的值，
并问这时)(xf在21,xx处是取得极大值还是极小值？
3. 求下列函数在给定区间的最大值和最小值：
(1) ()2,[1,5]xfxx=?； (2) ()54,[1,1]fxxx=-?。
4. 求下列函数的凸凹区间和拐点：
(1) 53yxx=+； (2) 21yx=+。