全国08年1月高数历年真题
2008年高考数学(江苏卷)(含加试题)(word版+答案,中学数学信息网整理)全解析
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式: 样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ .【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒= 【答案】102．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】1123．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=【答案】14．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 ▲ 个元素【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37x x -<+得2560x x --<,(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z = ，共有6个元素．【答案】65．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b == ，则|5|a b -= ▲ ． 【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7【答案】76．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=【答案】6.428．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲ 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。
2008年高考文科数学试题及参考答案(上海卷)
2008年高考文科数学试题及参考答案（上海卷)一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|1|1x -<的解集是 ．2．若集合{|2}A x x =≤、{|}a B x x =≥满足2A B = ，则实数a = ．3．若复数z 满足(2)z i z =-（i 是虚数单位），则z = ．4．若函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则()f x = ．5．若向量a 、b 满足||1a =，||2b = ，且a 与b 的夹角为3π，则||a b +=．6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且||2z =，则p = ．8．在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0)A 、(2,0)B 、(1,1)C 、(0,2)D 、(2,2)E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析()f x = ．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ． 11．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)．如果(,)P x y 是ABC∆围成的区域（含边界）上的点，那么当wxy =取得最大值时，点P 的坐标是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．1013．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．5415．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点(,)P x y 、点(,)P x y '''满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB B ． BCC ． CD D ． DA 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1BC 的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处．小区里有两条笔直的小路AD 、DC ，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数()sin 2f x x =，()cos(2)6g x x π=-，直线x t =（t R ∈）与函数()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 两点．（1）当4tπ=时，求||MN 的值； （2）求||MN 在[0,]2t π∈时的最大值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||1()22x x f x =-．（1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线C ：2212x y -=． （1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）已知点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P关于原点的对称点．记MP MQ λ=⋅．求λ的取值范围；（3）已知点D 、E 、M 的坐标分别为(2,1)--、(2,1)-、(0,1)，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM ∆截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记 112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1213264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r>，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1．(0,2) 2． 2 3．1i +4．2x （x R ∈）56．－17． 48．459．224x -+10．10.5a =，10.5b =11． 5(,5)2二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题）16．解：过E 作EFBC ⊥，交BC 于F ，连接DF ．∵EF ⊥平面ABCD∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角． …… 4分由题意，得1112EF CC ==．∵112CF CB ==，∴DF =． …… 8分∵EFDF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠== ……10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是． …… 12分17．解法一：设该扇形的半径为r 米．由题意，得500CD =（米），300DA =（米），60CDO ∠=．…… 4分在CDO ∆中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅= ，…… 6分即2221500(300)500(3020)2r r r ⨯⨯-⨯-=+-， …… 9分解得490044511r=≈（米）． 答：该扇形的半径OA 的长约为445米．…… 13分解法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H． …… 2分由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=．…… 4分在ACD ∆中，2222cos120AC CD AD AD CD =+-⋅⋅ 222150030500300207002=⨯⨯=+⨯+ ∴700AC =（米），…… 6分222c 12s 114o AC AD CD CAD AC CD +-∠==⋅．…… 9分在直角HAO ∆中，350AH =（米），1os 114c HAO ∠=， ∴4900445cos 11HAO AH OA =∠=≈（米）．答：该扇形的半径OA 的长约为445米．…… 13分18．解：（1）)cos(2)|4|||si 26n(4MN πππ⨯-⨯+=． …… 2分23|1cos |32π=-=． ……5分（2）32cos(2)||sin 22|62|||sin t t t MNt π=-+=．……8分|s i n (2)|6t π=-． ……11分∵[0,]2t π∈，26[,]66t ππππ∈---， ……13分∴||MN……15分19．解： （1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22x xf x =-． ……2分由条件可知1222xx -=，即222210x x -⋅-=，解得21x= ……6分∵20x>，∴2log (1x =．……8分（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)202tt tt tm -+≥-， ……10分即42(21())21t tm ≥---，∵220t>，∴2(21)t m ≥-+．……13分∵[1,2]t ∈，∴2(12)[17,5]t-+∈--，故m 的取值范围是[)5,-+∞． ……16分20．解：（1）所求渐近线方程为0y x =，0y x =． ……3分（2）设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --． ……4分22200000003(,1)(,)122MP MQ x y x y x y x λ=⋅=-⋅--=--+=-+ ．……7分∵0||x ，∴λ的取值范围是(,1]-∞-． ……9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率(0,2k ∈． ……11分由计算可得，当1(0,]2k ∈时，()s k =当1(,)22k ∈时，()s k = ……15分∴s 表示为直线l 的斜率k的函数是1,2122()k s k k ≤<<<=．……16分21．解：（1）12312a a a a ++++1234(2)56(4)78r r r r r =+++++++++++++++484r =+．……2分∵48464r +=，∴4r =．……4分（2）用数学归纳法证明：当n Z +∈时，124n T n =-．①当1n=时，1213579114T a a a a a a =-+-+-=-，等式成立． ……6分②假设nk =时等式成立，即124k T k =-，那么当1n k =+时，12(1)121211231251271291211k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-……8分4(81)(8)(84)(85)(84)(88)k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+ 444(1)k k =--=-+，等式也成立．根据①和②可以断定：当当n Z +∈时，124n T n =-．……10分（3）124mT m =-（1m ≥）． 当121n m =+，122m +时，41n T m =+；当123n m =+，124m +时，41n T m r =-+-； 当125n m =+，126m +时，45n T m r =+-；当127n m =+，128m +时，4n T m r =--； 当129n m =+，1210m +时，44n T m =+； 当1211nm =+，1212m +时，44n T m =--．∵41m +是奇数，41m r -+-，4m r --，44m --均为负数， ∴这些项均不可能取得100． ……15分 ∴4544100m rm +-=+=，解得24m =，1r =，此时293294297298,,,T T T T 为100． ……18分。
2008考研数一真题答案及详细解析
nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时 ， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时 ， 几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开 ， 得 矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解 若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此
08级高等数学1试题及答案
华东交通大学2008—2009学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科08级) 课程类别：必 闭卷（√） 考试时间：2009.1.10题号 一 二三四 五 总分12 3 4 5 6 7 1 2 分值 10 15 7 7777779 98阅卷人(全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)_____ 00 0 2)( 1==⎩⎨⎧≥+<+=a x x x a x e x f x 则处连续，在，，设、_________)21()1( 3)1( 2lim=--='→xx f f f x 则，设、________]3 0[29)( 33=+-=ξ上满足罗尔定理的，在函数、x x x f ______)]([ ]1 1[)( 411 =+-⎰-dx x f x x x f 则上为偶函数，，在设、 ___________________cos 5的通解为微分方程、x y =''二、选择题(每题 3分，共15分)1D. 2 C. 3 B. 4 A.) C ()2sin 2sin(1lim=+∞→xxx x x 、)A (4 sin 1cos cos 22=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x 得分 评阅人得分 评阅人3633221cos C x C x y ++-=Cx C x C x C x dx x x +-++-+=⎰22222cos 21D. cos 21 C. cos B. cos A.)D (sin 3不定积分、 32D. 31 C. 2 B. 5 A.)B (1 4ππ积为轴旋转一周所得立体体轴围成图形绕及直线、由曲线、y y y y x ==2 D. 1 C. 0 B. 1 A.)C ( 502lim--=⎰-→xdtext x 极限、三、解答题(每题 7分，共49分). 6)12( 12limb a b ax x xx x 、求，设、=---+∞→解)12(2limb ax x x x x ---+∞→1)1()2(2lim-+-++-=∞→x bx b a x a x6=⎩⎨⎧=-+=-61 02b a a3 2-==b a ，].)1ln(11[2lim+-→x x x 求极限、解)1ln()1ln(lim+-+=→x x x x x 原式1)1ln(111lim+++-+=→x xx x x22)1(111)1(1lim++++-=→x x x x1得分 评阅人得分评阅人. )(cos 3sin dy x y x求，设、= 解 两边取对数得x x y cos ln sin ln =x xxx x y ycos sin sin cos ln cos 1-+=' )tan sin cos ln (cos )(cos sin x x x x x y x -=' dx y dy '=dx x x x x x x)tan sin cos ln (cos )(cos sin -=.442dx x x ⎰-求不定积分、解 tdt t dx t x tan sec 2 sec 2==则，令tdt t t ttan sec 2sec 2tan 2⎰=原式dtt ⎰=2tan 2dtt )1(sec 22-=⎰C t t +-=)(tan 2Cx x +--=2arccos 242得分 评阅人得分 评阅人.ln 5 12dx x x e⎰求定积分、 解31 ln 31dx x e ⎰=原式⎰-=e e xd x x x 1 313ln 31)ln (31dxx e e ⎰-= 1 233131e x e 1339131-=9123+=e.]2 1[ln 214 62上的长度，在区间求曲线、x x y -= 解x x y 212-='dxy s ⎰'+=2121dx x x )1(2121+=⎰212)ln 21(21x x +=2ln 2143+= 得分 评阅人得分 评阅人.ln 721的特解满足求微分方程、e y xyx y y x =='=解x yu =令dxx du u u 1)1(ln 1 =-则 dxx du u u ⎰⎰=-1)1(ln 1 C x u ln ln )1ln(ln +=-1+=Cx xe y 通解121===C e yx 得由1 +=x xe y 特解四、综合题(每题 9分，共18分).)( 12拐点的极值及该函数图形的求函数、xxe x f -= 解 xxxeex f 222)(---='210)(=='x x f 得令0)( 21 0)( 21<'>>'<x f x x f x 时，当，时，当121)21( )(21-==e f x f x 极小值为取极小值，时当x x xe e x f 2244)(--+-='' 1 0)(==''x x f 得令 0)( 1 0)( 1>''><''<x f x x f x 时，当，时，当) 1(2-e ，拐点为得分 评阅人得分 评阅人.)1(86 24的通解求微分方程、x e x y y y -=+'-''解 086 2=+-r r 特征方程为4 2 21==⇒r r ，x x e C e C Y y y y 4221086+==+'-''的通解的单根为08642=+-=r r λ x e b ax x y 4)(*+=可设1224 *-=++x b a ax y 代入原方程得把 ⎩⎨⎧-=+=122 14b a a43 41-==b a ， xex x y 4)4341(*-=xx x eC e C e x x y 42214)4341(++-=通解五、证明题(8分)dxx f dx x f x f ⎰⎰=22)(cos )(sin ]1 0[)( 1ππ证明：上连续，，在设、证dtdx t x -=-=则，令 2π证211limx x x -+→))((cos )(sin 0 22dt t f dx x f ⎰⎰--=ππ112lim++=→x xdxx f ⎰=20 )(cos π1= 得分 评阅人得分 评阅人.211 0 2等价与时，证明当、xx x -+→等价与故211 xx -+。
2008年高考理科数学试题及参考答案(北京卷)
2008年高考北京数学理科试卷含详细解答一、选择题（本大题共8小题，共0分）1．（2008北京理1）已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(A B C U ⋂等于（ ） A.{}|24x x -<≤B.{}|34x x x 或≤≥ C.{}|21x x -<-≤ D.{}|13x x -≤≤【答案】D【解题关键点】 C U B=[-1, 4]，)(A B C U ⋂＝{}|13x x -≤≤ 【结束】2．（2008北京理2）若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A.a b c >> B.b a c >>C.c a b >>D.b c a >>【答案】A【解题关键点】利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间，c 小于0. 【结束】3．（2008北京理3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解题关键点】函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
【结束】4．（2008北京理4）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】 D【解题关键点】把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义 【结束】5．（2008北京理5）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ ）A.0B.1D.9【答案】 B【解题关键点】 解出可行域的顶点，带入验证。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10平面向量)
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全一、选择题： 1. （2008安徽文）A . （1,1） (10平面向量)T T T若 AB =(2,4) , AC =(1,3),则 BC 二(B B . (- 1, - 1) C . (3, 7) D . (-3,-7) 2. （2008安徽理）在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 （B ）A . （- 2,- 4）B . （- 3,- 5）C . （3, 5） )二(2,4) , 7C 二(1,3),则 BD = D . (2, 4)3. （2008广东文）已知平面向量 a =(1,2),b =(-2,m)，且 a // b ，则 2a 3b = (C ) A . (-2 , -4 ) B. (-3 , -6 ) C. (-4 , -8 ) D. (-5 , -10 )4. （2008广东理）在平行四边形 ABCD 中, AC 与BD 交于点 于点 F.若 AC =a , BD =b ,则 AF =( B ) A 1 1 2 1 1 1 A . a b B. a b C. a b D. 4 2 3 3 2 4 ---- 1 1 l 1 14.解法 1: AO a , AD = AO OD a b , 2 2 2一 11 1 1 - 1 - 1 r 1 r AE (AO AD)aba a b , 2 2 12 22 丿 24 由A E 、F 三点共线,知AF 二怎AE,， 1 而满足此条件的选择支只有 B ,故选B. EF JEG 」AE , 所以AF = —AE , 由解法1 知, 3 3 3 ■ 4 - 4 (1 • 1「2 -1 -AF =AE a + b i = a 十 b , 故选B.3 3 、4丿 3 34.解法2:如图，分别过点 D 、O 作直线AOAD 的平行 线，两平行线相交于 G 点，显然F 是厶DOG 勺重心， O, E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交 5、（2008海南、宁夏文）已知平面向量 ■ a - b 与a 垂直，则■是（A A. - 1 B. 1 C. — 2a = (1，一 3),b = (4,- 2), ) D. 2 6. (2008湖北文、 A.(-15,12) 理)设 a=(1,-2), b=(-3,4), c=(3,2),则(a+2b) • c= (C ) B.0 C.-3 D.-11 7. （2008 湖南理）设D 、E 、F 分别是△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且 DC = 2BD, CE = 2EA, AF =2FB,则 AD BE CF 与 BC （ A.） A.反向平行 B.同向平行 C 互相垂直 AC 亠2AB 1 【解析】由定比分点的向量式得 ：AD 二 =》AC AB, .1+2 3 3 匸 =1 B C 2BA , CF = ^CA 2CB,以上三式相加得 一 一 3 3 =_1訝所以选A. 3 ， D.既不平行也不垂直 AD - BE CF& （2008辽宁文）已知四边形ABCD 的三个顶点A （0,2） , B （-1, -2） , C （3,，且= 2AD ，则顶 点D 的坐标为（A ）(2008 海南、宁夏理)已知向量 a=(0,—1,1), b = (4,1,0), |ha + b|=J39 且九 >0，则九=___32又 AB AD ^1 2 cos 1=(AF),. D 对3•••真命题的代号是代B,Df 7 ) D (1A . i 2,—B. 2, —— I 2丿 I 2c . (3,2)D . (1,3)9. （2008辽宁理）已知O, A, B 是平面上的三个点， 直线AB 上有一点 （A ）C ,满足 2AC • CB=O ，则 OC =A . 2OA-OBB . -OA 2OB10 . (2008全国I 卷文、2. 1 A . b c理)在△ ABC 中，AB 5 2uB . — c b3 3T I T T=c , AC = b .若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD = ( A )2 1 C . 一 b —-c3 3 11. (2008 四川文)设平面向量 a =：i 3,5,b - -2,1，则 a -2b =( A )(A)7,3(B) 7,7(C)1,7(D)1,312 .（ 2008浙江理）C）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 C ） c 满足(a - c) (b - c) = 0 ,(A) 1(B) 2(C )V2 (D)2、填空题： （2008北京文）已知向量a 与b 的夹角为120°,且丨 a | =|b|=4,那么-b 的值为 -8（2008北京理）已知向量a 与b 的夹角为 120，且 a =b=4，那么 bl(2a b )的值为_ 0（2008江西文）如图,，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题:AC AF [2BC ） AD 二 2AB 2AFAC fAD 『AD AB| _t (AD AF)EF =AD(AF EF)A 、B 、D (写出所有真命题的代号)D .其中真命题的代号是T T T T T TAC AF 二 AC Cp 二 AD 「2匹,二A 对4. 取AD 的中点O 则AD 二2AO =2AB AF , . B 对T T 厂 JI T T=1,则 AC AD = .3 2 cos 3,而 AD AF =2 1 6设AB 31cos 1 C 错35. （2008江苏）a , b的夹角为120 ,5 •【解析】本小题考查向量的线性运算.（2008天津理）如图，在平行四边形则AD AC 二 3 .13 .解析：令AB = a , AD = b，则ABCD 中，AC 二1,2 ,BD - -3,2 ,D辰]a；b j(1,2)二 a=(2,0), b=(_1,2) -a b =(-3,2)1 4=1 , b =3 则5a -b= 71 J呻片2 彳i2斗2”弓2 5a-b =(5a-b)=25a -10a Lb+b二7—►__ ——►—&(2008 湖南文)已知向量a = (1^3) , b = (―2,0)，则a +b= ______ 2（2008江西理）直角坐标平面内三点A 1,2、B 3,-2、C 9,7 ,若E、F为线段BC的三等分点, 则AE • AF = 22 •（2008全国n卷文、理）设向量a = （1,2）, b=（2,3），若向量则，- 2 •a - b与向量c = (-4, -7)共线,9.（2008陕西文、理）关于平面向量a, b, c .有下列三个命题：①若a b= a c，贝U b=c .②若a -（1, k）, b -（—2,6）, a //③非零向量a和b满足|a |=| b |=| a -b|，则a与a b的夹角为其中真命题的序号为②•（写出所有真命题的序号）b，贝U k = -3 •60 •10 •（2008上海文、理）若向量a , b满足a =1, b =2且a与b的夹角为二，则a+b311 .（2008浙江文）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足-b）=0，则|b |的取值范围是[0,1] 。
北京大学2008高等代数
北京大学2008年硕士研究生入学考试试题考试科目：数学基础考试2（高代、几何） 考试时间：2008年1月20日下午 招生专业：数学学院各专业 研究方向：数学学院各方向说明：答题一律写在答题纸上（含填空题、选择题等客观题），写在此页上无效。
注：本试题中()r A 表示A 的秩，A 表示矩阵A 的行列式，'A 表示矩阵A 的转置矩阵。
1.（14分）设A 为一s n ⨯矩阵，（1）若非齐次线性方程组AX β=有解且()r A r =，则AX β=的解向量中线性无关的最多有多少个？并找出一组个数最多的线性无关的解向量。
（2）若线性方程组AX β=对任意非零s 维列向量β都有解，求()r A 。
2.（12分）（1）设A 为一s n ⨯矩阵，B 为一n m ⨯矩阵且满足()()r AB r B =，则对任一m l ⨯矩阵C ，是否一定有()()r ABC r BC =？并说明理由。
（2）设A 为一n 阶实矩阵且A 的每一元素的代数余子式等于此元素，求()r A 。
3.（20分）（1）设,A C 分别为n 阶和m 阶实对称矩阵，B 为一n m ⨯实矩阵，若'A B B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，证明：'A B A C B C ≤⋅且等号成立当且仅当B O =。
（2）设()ij n n A a ⨯=为一n 阶实矩阵且它的每一元素的绝对值1ij a ≤，证明：2n A n ≤。
4.（12分）设()f x 为一整系数多项式且n 不整除(0),(1),...,(1)f f f n -，证明：()f x 无整数根。
5.（12分）设A 为数域K 上一n 阶矩阵，证明：若A 的特征多项式的复数根都属于K ，则A 与上三角矩阵相似。
6.（15分）设V 是数域K 的线性空间，,A B 都是V 上的线性变换。
设A 与B 的最小多项式互素，求满足AC CB =的所有线性变换C 。
7.（15分）设A 是n 维欧氏空间V 上的一正交变换，证明：A 是第一类的当且仅当存在V 上的正交变换B 使得2A B =。
全国2008年1月高等教育自学考试
））））））））））全国 2008 年 1 月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类 )试题课程代码： 04183一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 2 分，共 20 分）在每题列出的四个备选项中只有一个是切合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多项选择或未选均无分。
1.设事件 A 与 B 互相独立 ,且 P(A)>0,P(B)>0, 则以下等式建立的是（）A.AB=B.P(A B )=P(A)P( B )C.P(B)=1-P(A)D.P(B | A )=02.设 A 、 B 、C 为三事件，则事件 A BC（）A.ABCB.A B CC.( A B)CD.( A B )C3.设随机变量 X 的取值范围是 (-1,1),以下函数可作为X 的概率密度的是（）x, 1 x1;B.f(x)=x2 ,1x1;A. f(x) =其余 .0 ,其余 .0,1 , 1 x1;D.f(x)=2, 1 x1;C.f(x) = 2其余 .0,其余 .0,4.设随机变量 X~N(1 ， 4)， (1)0.8413,(0) 0.5 ，则事件 {1X 3 }的概率为（）5.设随机变量（ X ， Y ）的结合概率密度为Ae x e2y, x0, y0;）f(x,y) =0,则 A=（其余 .A.1B.13D.2 2C.26.设二维随机变量（X 、 Y ）的结合散布为（）Y05X011 46211 34则 P{XY=0}=（）A.1B.5412））））））））））3D.1C.47.设 X~B （ 10， 1），则 E （ X ） =（）3A.1B.1310D. 10C.38.设 X~N （ 1， 32 ），则以下选项中，不建立 的是（）．．．A.E （ X ）=1B.D （ X ）=3C.P （ X=1 ）=0D.P （X<1 ）=0.50,事件 不发生100009.设 X iA(i 1,2,10000), 且 P(A)=0.8, X 1 , X 2 ,, X 10000 互相独立 ,令 Y= X i , 则由中心极限制理知1, 事件 A 发生i 1Y 近似听从的散布是（ ）A.N(0,1)B.N(8000,40)C.N(1600,8000)D.N(8000,1600)2)的样本 ,记 S21 nx)2 ,则以下选项中正确的选项是（10.设 X 1, ,X n 为正态整体 N(,n (x i）1i 1 (n 1)S 2 21)B. ( n 1)S 2 2A.2~( n2~(n)1)S 2~ 2(nD.S22(nC. ( n1)2~1)二、填空题（本大题共 15 小题，每题 2 分，共 30 分）请在每题的空格中填上正确答案。
08年1月线性代数(经管类)试题答案
全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．-108B ．-12C ．12D ．1082．如果方程组⎪⎩⎪⎨=+=-04043232321kx x x x 有非零解，则k =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ） A ．2B ．4C ．8D ．1212A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-s 21的秩不为（）的充分必要条件是（ C ） A ．s ααα,,,21 全是非零向量 B ．s ααα,,,21 全是零向量C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D ．s ααα,,,21 中至少有一个零向量7．设A 为m n ⨯矩阵，方程AX =0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的行向量组线性无关 B ．A 的行向量组线性相关 C ．A 的列向量组线性无关D ．A 的列向量组线性相关．．A ．||||B A =B ．秩(A )=秩(B)C ．存在可逆阵P ，使B AP P =-1D ．BE A E -=-λλ9．与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ A ）A ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001B ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011C ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001D ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤10002010110．设有二次型321321),,(x x x x x x f +-=，则),,(321x x x f （ C ） A ．正定 B ．负定 C ．不定 D ．半正定11．若0211=k ，则k =21． 12．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623．13．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1．)= __1__15．已知A 有一个特征值2-，则E A B 2+=必有一个特征值__6__．16．方程组0321=-+x x x 的通解是k k )1,0,1()0,1,1(21+-．123__2__18．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是T T T k k k )1,0,0()0,1,0()0,0,1(++不全为零）（,,k k k ．__-16__20．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是3121232221321243),,(x x x x x x x x x x f +++-=． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式1002210002100021的值． 解：151500021000210002118021********2110402100021000211002210002100021-=-==-=．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011，B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ．解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1，E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 24．求向量组)4,2,1,1(1-=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)6,5,1,2(4=α，)0,2,1,1(5-=α 的一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021165121470321304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4002130213021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4004000000021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0004000000021304211， 421,,ααα是一个极大线性无关组．25．求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12133452362210231123711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------236281023622102362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0006000000002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0000000006002362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362010711011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00000000010023620101651001， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--=++-=5544354254106223516x x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1006501021000231621k k ．26．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----020212022，求P 使AP P 1-为对角矩阵．解：λλλλλλλλλ4)2(4)2)(1(2021222||-----=--=-A E 86323+--=λλλ )2(3)42)(2()2(3)8(23+-+-+=+-+=λλλλλλλλ)4)(1)(2()45)(2(2--+=+-+=λλλλλλ，特征值21-=λ，12=λ，43=λ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-220220012220232012220232024A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000220012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0001102/101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===33323121x x x x xx ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/11α； 对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-120120021120101021120202021A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000120021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000120101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/110101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=33323121x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12/112α；对于43=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210022420210022420232022A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000210201，⎪⎩⎪⎨⎧=-==33323122xx x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1223α． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11122/11212/1P ，则P 是可逆矩阵，使=-AP P 1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-400010002． 四、证明题（本大题6分）27．设321,,ααα是齐次方程组Ax =0的基础解系，证明1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系．证： （1）Ax =0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．（2）321,,ααα是Ax =0的解向量，则1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的解向量． （3）设0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，则0)()(332321321=+++++αααk k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，系数行列式01100110111≠=，只有零解0321===k k k ，所以1α,21αα+,321ααα++线性无关．由（1）（2）（3）可知，1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系．。
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注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号 二
分数
得分 评分人
15
16
17
二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。
（9）已知(a-i)2=2i,其中 I 是虚数单位，那么实数 a=
在点 P1(x1,y1)处，其中 x1=1,y1=1,当 k≥2 时，
x1=xx-1+1-5［T（
yk=yk+1+T（
k 1
5
k 1
5
）-T（
）-T（
K 2
5
K 2
5
）
T（a）表示非负实数 a 的整数部分，例如 T(2,6)=2,T(0,2)=0. 按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 得 分 评分人
19
20
。
总分
,其展开式中的常数项为
得 分 评分人 （16）（本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AC； （Ⅱ）求二面角 B-AP-C 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 APB 的距离.
得 分 评分人 （17）（本小题共 13 分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岁位服务，每上岗位至少 有一名志愿者. （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 ξ 的分布列.
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全国2008年1月高等教育自学考试
高等数学（一）试题
课程代码：00020
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未
选均无分。
1.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ ）
A.(-1，51) B.(-51,5)
C.(0,51) D.(51,+)
2.设函数g (x)在x = a连续而f (x) = (x-a)g(x),则'f(a) =（ ）
A.０ B.g(a)
C.f (a) D.g (a)
3.设函数f (x)定义在开区间Ｉ上，0xI,且点(x0, f (x0) )是曲线y= f (x)的拐点,则必有（ ）
A.在点(x0,f (x0))两侧,曲线y=f (x)均为凹弧或均为凸弧.
B.当x
C.x
D.x
A.0.25 B.-0.25
C.100 D.-100
5.无穷限积分0xe-xdx =（ ）
A.-1 B.1
C.-21 D.21
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.函数y =x1x1的定义域是___________.
7.极限0limhh3x)hx(33=___________.
8.极限0xlim2xx2cos1=___________.
9.已知某商品的成本函数为C(q )=20 -10q+q2(万元),则q =15 时的边际成本为___________.
10.抛物线y = x2上点(2,4)处的切线方程是___________.
11.不定积分)x1(xdx___________.
12.定积分331xxdx=___________.
13.微分方程2 xydx+2x1dy = 0的通解是___________.
14.设z = arctan (xy),则xz=___________.
15.dx10122xxxydy=___________.
三、计算题(一)（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.设y = xarctanx-ln2x1，求y(1)
17.求极限xxxcos1120)1(lim
18.求不定积分dxxxln
19.计算定积分I=20( sinx-sin3x)dx
20.设z = z (x,y)是由方程x2-z2+lnzy=0确定的函数,求dz
四、计算题(二)（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21.设y = x2x,求y
22.计算定积分I=dxx21x21210
23.计算二重积分I =D22dyx,其中D是由直线x = 2,y = x和双曲线xy = 1围城的区域 .
五、应用题（本大题共9分）
24.求内接于半径为R的半圆而周长最大的矩形的各边边长.
六、证明题（本大题共5分）
25．证明：当函数y = f (x)在点 x0 可微，则f ( x )一定在点x0可导.