第三章 泊松过程
第三章泊松(Poisson)过程.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
泊松过程
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程: 独立增量计数过程: 对于t 对于 1<t2<…<tn，N(t2)-N(t1), N(t3)-N(t2), … …, N(tn)-N(tn-1)独立 独立 • 平稳增量计数过程: 平稳增量计数过程: 在(t,t+s]内(s>0)，事件 发生的次数 内 ，事件A发生的次数 N(t+s)-N(t)仅与时间间隔 有关， 仅与时间间隔s有关 仅与时间间隔 有关， 而与初始时刻t无关 而与初始时刻 无关
j=0
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + ∑ Pn − j ( t ) Pj ( h)
j=2
n
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + o( h) = (1 − λ h) Pn ( t ) + λ hPn−1 ( t ) + o( h)
14
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
P0 ( t + h) − P0 ( t ) o( h ) , 故 = − λ P0 ( t ) + h h P0′( t ) 当h → 0时有 P0′( t ) = − λ P0 ( t )或 = −λ P0 ( t ) 由于 P0 (0) = P{N（0） 0} = 1 = 于是有 P0 ( t ) = e − λt
j =0
16
Pn ( t + h) = P{N ( t + h) = n}
(2)对n≥1，建立递推公式 对 ≥ ，
n
j =0
n
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第三章 泊松过程 2
增量，接下来只需验证 M(t) 服从均值为
pt 的泊松分布.
即对任意 t >0 ,
m
( pt ) pt P{M (t ) m} e . m!
下边将用到全概率公式，二项分布的背 景、公式，以及泰勒展式 x n x e n 0 n!
23
P{M (t ) m} P{M (t ) m | N (t ) m n}P{N (t ) m n}
P{ X k}
k e
k!
, k 0,1, 2,,
其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松 分布，记为X～p（λ）
E( X )
D( X )
泊松定理 :
设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设，则 对于任一固定的非负整数k，有
lim n k
n
k n k p (1 p ) n n
11
Poisson过程
Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生 时间来定义的。 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予 一个随机的事件数，使得在一个时间区间内的 事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间 的事件数，这两个随机变量是独立的。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量 ，遵循泊松分布。
[理学]随机过程第三章_OK
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h1
(t2 t1 h1 )
1
(tn tn1 hn1 )
hn n
h h h e n 12
(tn hn ) n
18
fW
t1 , t2 ,, tn
nFW t1,,tn
t1 ,, tn
lim
hi 0
PWi
ti
,ti hi ,i
h1 hn
1,2,,
n
en tn
0 t1 t2 tn
19
20
w1 s
0
t
PW1
s
/
X
t
1
PW1 s, X t PX t 1
1
PX
s
1, X t X PX t 1
s
0
PX
s
1 PX t PX t 1
X
s
0
se e s ts tet
s t
即分布函数为：
0,
F (s) W1 / X (t )1
s
t
,
1,
s0 0st st
条件分布密度为：
即：FT1
t
PT1
t
1
PT1
t
1 0
et ,
，t t
0 0
11
所以T1是服从均值为
1
的指数分布。
利用泊松过程的平稳独立增量性质， 有
PT2 t /T1 s
P在s, s t内没事件发生/T1 s
P在s, s t内无事件发生
PX t s X s 0 et
FT2
t
PT2
t 1
fU1，,U n
(u1,u2 ,,un
)
1 t n
,
随机过程3-泊松分布
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt
《随机过程》第3章-泊松过程
中南民族大学经济学院
43
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
44
.随机过程》第3章-泊松过程
随机过程
第三章 泊松过程
1 齐次Poisson过程 2 非齐次Poisson过程 3 复合Poisson过程 4 年龄与剩余寿命 5 更新过程
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37
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
38
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
2 非齐次Poisson过程
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40
.随机过程》第3章-泊松过程
22
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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23
.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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11
.随机过程》第3章-泊松过程
a第7讲-第8讲第3章 泊松过程
一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求:( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 .( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 .二．设电话总机在]X是具有强度,0(t内接到电话呼叫数)(tλ的泊松过程，求（每分钟）2=（1）两分钟内接到2次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。
维纳过程如果它满足给定实随机过程,}0),({≥t t W ;)2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2>−−≥>σσ且～增量对任意的s t N s W t W s t .0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.3. 维纳过程的特征).,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==;0),,0()( 2>σσ且～t N t W ).,min()]()()(()([(2a t a s a W s W a W s W E −−=−−σ,,0+∞<<≤∀t s a （１）（２）)]()())(()([(a W t W a W s W E −−,t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E −+−−=))]()())(()([(s W t W a W s W E −−=))]()())(()([(a W s W a W s W E −−+).(2a s −=σ五.平稳过程定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L ))(,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机))(,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程).与常数若对为随机过程设τ∀∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.,}),({是严平稳过程若T t t X ∈,时间无关则它的一维概率分布与它的二维概率分布, 21的时间间隔有关只与 t .与时间起点无关{}.,),(,,,);()]()([),(,,)2( );()]([)(,)1( ,),( 简称为平稳过程平稳过程广义或弱为宽则称的取值无关而与的大小有关即其相关函数仅与对关的常数无与对如果是二阶矩过程设X t s s t s t R t X s X E t s R T t s t const m t X E t m T t T t t X X X X X X −−==∈∀===∈∀∈=.}),({,为平稳序列则称平稳过程为离散集若T t t X T ∈13.2定义试讨论它的平稳性相位周期过程为随机称定义变量上均匀分布的随机是服从区间的连续函数是一个周期为设随机相位周期过程例.)(),,(),()(.],0[,)()( t X t t s t X T T t s +∞−∞∈Φ+=Φ解φφφΦΦd )()()]([)]([)(∫∞∞−+=+==p t s t s E t X E t m X u u s T u u s T t s T T T t t T ∫∫∫==+=+00d )(1d )(1d )(1φφ,)(无关的常数是一个与t t m X[])()(),(ττ+=+t X t X E t t R X [])()(Φ++Φ+=τt s t s E φφφτd p t s t s )()()(Φ∞∞∫++Φ+=φφτφ∫+++=T t s t s T 0d )()(1u u s u s T T t t∫++=d )()(1τu u s u s T T ∫+=0d )()(1τ,有关其值仅与τ.是一平稳过程因而随机相位周期过程tc c 且对任意的给出由不同的电流符号信号是在电报信号传输中随机电报信号例,,,)( −⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X {}的平稳性试讨论过程为为是强度内的变号次数在设的时间是随机的电流变换符号任意的持续时间而电流的发送又有一个0),(,)(],0[)(,,≥t t X Poisson t N t t X λ:解0,0)(2121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X:解)]()([),(ττ+=+t X t X E t t R X {}{}2222)()()()()(c t X t X P c c t X t X P c −=+−+=+=ττ{}{}为奇数为偶数)()()(22ττN P c N P c −+=0,0)(2121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=e k c e k c k k k k 0122022)!12()()!2()(,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X ,e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X 关于平稳过程更详细的讨论在第六章τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=ek c e k c k k k k 0122022)!12()()!2()(,e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X第三章泊松过程§3.1 泊松过程的的定义和例子1.问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现.(1) 自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2) 机器零件发生故障;(3) 要求服务的顾客到达服务站.2. 问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流..,],0(0,)(出现的质点数时间轴上内表示在时间间隔 用t t t N ≥.,}0),({称为 续的随机过程、时间连是一个状态取非负整数 ≥t t N 计数过程计数过程的一个典型样本函数定义 3.1 称随机过程{}0),(≥t t N 为计数过程；若)(t N 表示到时刻t 为止已发生的A 事件"的总数，且)(t N 满足下列条件：（1）()0≥t N（2）()t N 取正整数（3）若则,t s <)()(t N s N ≤；（4）当t s <时，)()(s N t N −等于区间],(t s 中""A 事件发生的次数。
第3章 泊松过程
一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求:( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 .( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 .二．设电话总机在]X是具有强度,0(t内接到电话呼叫数)(tλ的泊松过程，求（每分钟）2=（1）两分钟内接到2次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。
12维纳过程如果它满足给定实随机过程,}0),({≥t t W ;)2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2>−−≥>σσ且～增量对任意的s t N s W t W s t .0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.33. 维纳过程的特征).,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==;0),,0()( 2>σσ且～t N t W ).,min()]()()(()([(2a t a s a W s W a W s W E −−=−−σ,,0+∞<<≤∀t s a （１）（２）)]()())(()([(a W t W a W s W E −−,t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E −+−−=))]()())(()([(s W t W a W s W E −−=))]()())(()([(a W s W a W s W E −−+).(2a s −=σ4五.平稳过程定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L ))(,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机))(,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程).与常数若对为随机过程设τ∀∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.5,}),({是严平稳过程若T t t X ∈,时间无关则它的一维概率分布与它的二维概率分布, 21的时间间隔有关只与 t .与时间起点无关6{}.,),(,,,);()]()([),(,,)2( );()]([)(,)1( ,),( 简称为平稳过程平稳过程广义或弱为宽则称的取值无关而与的大小有关即其相关函数仅与对关的常数无与对如果是二阶矩过程设X t s s t s t R t X s X E t s R T t s t const m t X E t m T t T t t X X X X X X −−==∈∀===∈∀∈=.}),({,为平稳序列则称平稳过程为离散集若T t t X T ∈13.2定义7试讨论它的平稳性相位周期过程为随机称定义变量上均匀分布的随机是服从区间的连续函数是一个周期为设随机相位周期过程例.)(),,(),()(.],0[,)()( t X t t s t X T T t s +∞−∞∈Φ+=Φ解φφφΦΦd )()()]([)]([)(∫∞∞−+=+==p t s t s E t X E t m X u u s T u u s T t s T T T t t T ∫∫∫==+=+00d )(1d )(1d )(1φφ,)(无关的常数是一个与t t m X8[])()(),(ττ+=+t X t X E t t R X [])()(Φ++Φ+=τt s t s E φφφτd p t s t s )()()(Φ∞∞∫++Φ+=φφτφ∫+++=T t s t s T 0d )()(1u u s u s T T t t∫++=d )()(1τu u s u s T T ∫+=0d )()(1τ,有关其值仅与τ.是一平稳过程因而随机相位周期过程9tc c 且对任意的给出由不同的电流符号信号是在电报信号传输中随机电报信号例,,,)( −⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X {}的平稳性试讨论过程为为是强度内的变号次数在设的时间是随机的电流变换符号任意的持续时间而电流的发送又有一个0),(,)(],0[)(,,≥t t X Poisson t N t t X λ:解0,0)(2121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X10:解)]()([),(ττ+=+t X t X E t t R X {}{}2222)()()()()(c t X t X P c c t X t X P c −=+−+=+=ττ{}{}为奇数为偶数)()()(22ττN P c N P c −+=0,0)(2121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=e k c e k c k k k k 0122022)!12()()!2()(,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X ,e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X11,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X 关于平稳过程更详细的讨论在第六章τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=ek c e k c k k k k 0122022)!12()()!2()(,e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X第三章泊松过程§3.1 泊松过程的的定义和例子1.问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现.(1) 自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2) 机器零件发生故障;(3) 要求服务的顾客到达服务站.12132. 问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流..,],0(0,)(出现的质点数时间轴上内表示在时间间隔 用t t t N ≥.,}0),({称为 续的随机过程、时间连是一个状态取非负整数 ≥t t N 计数过程计数过程的一个典型样本函数1415定义 3.1 称随机过程{}0),(≥t t N 为计数过程；若)(t N 表示到时刻t 为止已发生的A 事件"的总数，且)(t N 满足下列条件：（1）()0≥t N（2）()t N 取正整数（3）若则,t s <)()(t N s N ≤；（4）当t s <时，)()(s N t N −等于区间],(t s 中""A 事件发生的次数。
第5讲 第三章泊松过程(3) 习题课
P{S s2 } e dt e
t
s2t
所以
P{S s1 s2 S s2} P{S s1}
s2
（这一性质称为泊松过程时间间隔的无记忆性，即指数分 布的无记忆性）
例3 P47 3.6 {X t , t 0}是具有参数为 的泊松过程，
i 1
i 1
证法二： 利用 Wn 的密度
E (Wn ) te
0 t
(t )n1 dt (n 1)!
t
t ( t ) n 1 , t 0, e fWn (t ) (n 1)! 0, t 0,
1 n! n n t ( t ) e d t 0 (n 1)! (n 1)!
P{S s1 s2 S s1} P{S s2}
的指数分布。 证明：由泊松过程的性质知S 服从参数为 P{S s1 s2 , S s1} P{S s1 s2 } P{S s1 s2 S s1} P{S s1} P{S s1} t s1 s2 t e dt e s1 s2 s2t e s1t t e e dt
利用全概率公式：
2t
1
2
例6* (见教材习题3.11） 解：
P Wi ti，ti ti ,1 i n | X (t ) n
P Wi ti，ti ti ,1 i n, X (t ) n P N (t ) n
证明：1) 显然：X(0)=0 对于 0 ≤ t1 <t2< t3，
t1 t2 t3