2012第三章泊松过程

随机过程第三章：泊松过程
第三章：泊松过程
3.1 泊松过程定义
3.2 泊松过程的数字特征
3.3 时间间隔分布、等待时间分布、
到达时间的条件分布
3.4 非齐次泊松过程
3.5 复合泊松过程
例如：
•
电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；•
火车站某段时间内购买车票的旅客数；•
机器在一段时间内发生故障的次数；•……
泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程。

3.1 泊松过程定义
定义3.3：
称计数过程{X(t),t≥0} 为具有参数λ>0 的泊松过程，若它满足下列条件：
（1）X(0) = 0；
（2）X(t) 是独立、平稳增量过程；
（3）X(t) 满足下列两式：
{()()1}(){()()2}()
P X t h X t h o h P X t h X t o h λ+−==++−≥=在充分小的时间内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。

证明定义3.2和定义3.3是等价的
3.3 时间间隔分布、等待时间分布、
到达时间的条件分布
用泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数，则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队的等待事件等分布问题都需要进行研究。

下面讨论三个时间分布问题： 时间间隔分布；
等待时间分布；
到达时间的条件分布。

{X(t), t≥0} 是泊松过程，令X(t)表示t时刻事件
定理3.2：
设{X(t),t≥0} 为具有参数λ的泊松过程，{T n ,n≥1}是对应的时间间隔序列，则随机变量T n 是独立同分布的均值为1/λ的指数分布。

即: 对于任意n=1,2, …事件A 相继到达的时间间隔Tn 的分布为:1,0(){}0,
0n t T n e t F t P T t t λ−⎧−≥=≤=⎨<⎩其概率密度为:⎩⎨⎧<≥=−0
,00,)(t t e t f t T n λλ
所以，T2也服从均值为1/λ的指数分布。

{}{}
{}
{}{}
112211121121()11|,...,1(...)(...)01()(0)01n T n n n n n n n t
F t P T t P T t P T t T s T s T s P X t s s s X s s s P X t X e λ−−−−=≤=−>=−>====−++++−+++==−−==−－因此，对于任意的n=1,2,…, 事件相继到达的时间间隔T n 也服从均值为1/λ的指数分布。

对于任意的n=1,2,…, 和，有121,,...0n s s s −≥
等待时间W n是指第n次事件A出现的时刻(或第n次事件A的等待时间)：
是n个相互独立的指数分布随机变量之和。

解：
定理3.4：
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<W n的联合概率密度函数。

证明：
这与n个[ 0，t ]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。

例题3-1
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
解：
例题3-2
设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k(k<n)次事件A发生的时间W k的条件概率密度函数。

解:
例题3-3
设{X 1(t),t ≥0} 和{X 2(t),t ≥0} 是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为λ1和λ2，记为过程X 1(t) 的第k次事件到达时间，为过程X 2(t)的第1次事件到达时间，求
，即第一个泊松过程的k次事件发生比第二个泊松过程的第1次事件发生早的
概率。

)1(k W )2(1W }{)2(1)1(W W P k <
解：
(2)
W
1
y
y
W1(2)合
y
3.4 非齐次泊松过程
定义3.4：称计数过程{X(t),t≥0} 为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：
（1）X(0)=0；
（2）X(t)是独立增量过程；
（3）{()()1}()()
{()()2}()
P X t h X t t h o h P X t h X t o h λ+−==++−≥=非齐次泊松过程的均值函数为：
0()()t
X m t s d s
λ=∫（允许速率或强度λ是t的函数）
例题3-5：
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。

假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。

求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。

解：
该商店在(0,t]时间段内的营业额
又例如：
到达体育场的公共汽车数是一泊松过程，而每辆公共汽车内所载的乘客数是一个随机变量。

若各辆车内的乘客数Y n 服从相同分布，且又彼此统计独立，各辆车的乘客数和车辆数N(t)又是统计独立的，则到达体育馆的总人数X(t)是一个复合泊松过程.()
1(),0N t n
n X t Y t ==≥∑
定理3.6
设是复合泊松过程，则
（1）{ X(t),t≥0 } 是独立增量过程；
（2）X(t)的特征函数，其中
是随机变量Y 1 的特征函数；λ是事件的到达率；
（3）若E(Y 12)<∞，则：
()1
(),0N t k k X t Y t ==≥∑2
11[()][],[()][]E X t t E Y D X t t E Y λλ==()()exp{[()1]}X t Y g u t g u λ=−()Y g u
例题3-6：
设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周内有2户定居，但每户的人口数是随机变量，一户4人概率为1/6，一户3人概率为1/3，一户2人概率为1/3，一户1人概率为1/6，求5周内移民到该地区的人口的数学期望与方差。

解：
∑
i=
1
1
例题3-7：
设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为λ的泊松过程。

求:
（1）两分钟内接到3次呼叫的概率。

（2）第二分钟内接到第3次呼叫的概率。

作业习题3：
3.1, 3.3, 3.5, 3.9，3.11。