高中数学必修一第九章直线平面简单几何体(B)(第课)直线与平面垂直公开课教案课件课时训练练习教案课件

课 题：9．4直线和平面垂直 (一)教学目的： 1理解直线与平面垂直的定义； 2掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程； 3应用直线与平面垂直的判定定理解决问题教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理主要是理解定理的本质和直接应用不要进行大量的解题训练的教学这样就可减少课时，以加强空间向量的教学直线与平面垂直的定义是一个严格但不实用的定义，因而必须给出一个判定“直线与平面垂直”的判定定理而直线与平面是否垂直根据判定定理的要求，必须具备条件“a ⊥b ，a ⊥c ，b ∩c ＝B ，b ⊂α，c ⊂α”才能得到结论“a ⊥α”，至于为什么在上述条件下一定能得到“a ⊥α”这一结论便是本节课的一个主要内容教学过程：一、复习引入： 1观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α=，//a αaαaα线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂=⇒二、讲解新课： 1 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足③ a ⊥α等价于对任意的直线m ⊂α，都有a ⊥m利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面即 若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α已知：m 、n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n求证：l ⊥α分析：在α内平移m ，n ，使它们都通过点B ，这时m ，n 仍保持和l 垂直过点B 作任一条不与m ，n 重合的直线g ，如果我们能根据l ⊥m 且l ⊥n 推出l ⊥g ，那么就证明了直线l 和过点B 的所有直线都垂直，即l 垂直α为此，我们在l 上自点B 起于平面α的两侧分别截取BA=BA ′，于是m ，n βαm l都是线段AA ′的垂直平分线，它们上面的点到A 、A ′的距离相等 如果我们能证明g 上的点到A 、A ′的距离也相等，那么g 也是AA ′的垂直平分线，于是g 就垂直于l 在g 上任取一点E ，过点E 在α内作不通过点B 的直线，分别与m ，n 相交于点C 、D ，容易证明△ACD ≌A ′CD ，进而又可证明△ACE ≌△A ′CE于是EA=EA ′，g ⊥l一般地：证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知：,m n ''是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且,l m l n ''⊥⊥，求证：l α⊥证明：过点B 作//,//m m n n ''∵,l m l n ''⊥⊥ ∴,l m l n ⊥⊥，过B 任作直线a ，在l 上于α平面两侧分别截取BA BA '=，∴,m n 都是AA '的垂直平分线，∴,AD A D AC A C ''==，在a 上任取点E ，过E 在平面α内作不通过B 的直线分别与,m n 相交于点,C D ，∴ACD A CD '∆≅∆，∴ACD A CD '∠=∠，又AC A C '=，∴ACE A CE '∆≅∆，∴AE A E '=∴a l ⊥，∴l α⊥．三、讲解范例：例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：a ∥b,a ⊥α 求证：b ⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线 αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a // 本题的作用：要证b ⊥α，没有办法？而已知a ∥b ，只需证a ⊥α即可，在证题时起转移作用，但具体要证a ⊥α还需其他方法例2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面α和一点P求证：过点P 与α垂直的直线只有一条mb a α证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A （或P ）若另一直线PB α⊥，设,PA PBa αβ= ∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β所以过点P 与α垂直的直线只有一条例 3 有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在ABC ∆和ABD ∆中，∵8,6,10AB m BC BD m AC AD m =====∴2222226810AB BC AC +=+== 2222226810AB BD AD +=+==∴90ABC ABD ∠=∠=即,AB BC AB BD ⊥⊥又∵,,B C D 不共线 ∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；例4 已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP ⊥求证：AP 在α内证明：设AP 与l 确定的平面为β如果AP 不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵l ⊥α，∴l ⊥AM又AP ⊥l ，于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l ，这是不可能的所以AP 一定在α内例5 求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知:P ∉α求证:过点P 有且只有一个平面β∥αEB A 证明:过平面α外一点P 作直线⊥l α,再过点P 作平面β,使⊥l β,则α∥β.因为过点P 且与α平行的平面必与α的垂线l 也垂直,而过点P 与l 垂直的平面是唯一的,所以过点P 且与α平行的平面只有一个.指出:由例2可得α∥β,α∥γ⇒β∥γ.例6 已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，求证：BC AD ⊥证明：取BC 中点E ，连结,AE DE ，∵,AB AC DB DC ==，∴,AE BC DE BC ⊥⊥， ∴BC ⊥平面AED ， 又∵AD ⊂平面AED ， ∴BC AD ⊥．四、课堂练习：1．选择题（1）“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 （ ）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是（ ）（A ）l ⊂α （B ）l ⊥α （C ）l ∥α （D ）l ⊂α或l ∥α答案：（1）B (2)D2．填空题（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？答案：（能，而且有无数条） （不能） 拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线. 一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内. 6答案：是.假若有两个平面,αβ过点A 都于l 垂直，过这条公共垂线l 作一个不经过两平面,αβ的交线的平面γ，γ与,αβ分别相交于直线,,a b ab l A =且,l a l b ⊥⊥，,,l a b α⊂，从而有a b ，此与a b A =矛盾. 如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面答案：是 8求证：一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等 通过一条线段中点并且与这条线段垂直的平面，叫做这条线段的垂直平分面五、小结 ：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l 垂直于平面α，那么l 就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！” 主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。

”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。