黑体辐射定律
黑体辐射与普朗克定律的关联
黑体辐射与普朗克定律的关联辐射是物体与外界交换能量的过程，而黑体辐射则是指一个完全吸收并完全辐射的物体。
黑体辐射现象一直以来都是物理学研究的重点之一，而普朗克定律则是对黑体辐射进行描述的基本方程。
在本文中，我们将探讨黑体辐射与普朗克定律的关联。
首先，我们了解一下什么是黑体辐射。
黑体是一个理想化的物体，具有完全吸收并完全辐射的能力。
它可以消化各种频率的辐射能量，并以相同的能量释放出来。
因此，黑体在热平衡状态下会发出一定的辐射能，这种辐射被称为黑体辐射。
黑体辐射的特点是其辐射强度与波长有关。
早期科学家对黑体辐射进行了大量的研究，试图找到一种能够描述黑体辐射的方程。
然而，在经典物理学的框架下，他们无法解释黑体辐射的实验结果。
这就导致了"紫外灾难"的问题，即经典电磁理论无法解释高频辐射的问题。
为了解决"紫外灾难"问题，Max Planck提出了一种根本不同于经典物理学的理论，即量子理论。
他假设辐射能量是由一系列离散的能量元素组成的，而不是连续的。
这些离散的能量被称为量子。
根据这个假设，他推导出了一个能够描述黑体辐射的方程，即普朗克定律。
普朗克定律的表达式如下：B(ν, T) = (2hν³/c²) * (1/(e^(hν/kT) - 1))其中，B(ν, T)表示单位频率范围内的辐射强度，h是普朗克常数，ν是辐射频率，c是光速，k是玻尔兹曼常数，T是黑体的绝对温度。
普朗克定律的意义在于，它告诉我们黑体辐射的辐射强度不同于频率。
根据该定律，我们可以得出以下几个结论：首先，根据普朗克定律可以看出，黑体辐射的强度与频率的三次方成正比。
这意味着在相同温度下，高频率的辐射强度要大于低频率的辐射强度。
这与经典物理学的预期不同，但与实验结果相符合。
其次，普朗克定律还告诉我们，黑体辐射的强度与温度的四次方成正比。
这意味着在相同频率下，随着温度的升高，黑体辐射的强度会迅速增加。
黑体辐射的原理和应用
黑体辐射的原理和应用1. 黑体辐射的基本概念黑体是指具有完美吸收和辐射性能的物体，它能够吸收所有入射到其表面的辐射能量，而且能够以最高效率将能量辐射出去。
黑体辐射是指黑体表面上的电磁波辐射，它是由于黑体内部原子或分子的热运动而产生的，具有各种波长的辐射光谱。
黑体辐射的特点是它的辐射能量与波长之间的关系是确定的。
2. 黑体辐射的原理黑体辐射的原理可以用普朗克辐射定律来描述，该定律是由德国物理学家马克斯·普朗克在20世纪初提出的。
普朗克辐射定律表明，黑体辐射的能量密度与波长的关系符合普朗克分布函数。
该函数在不同波长范围内的峰值位置和强度有所不同，但都是由辐射体的温度所决定的。
当温度较低时，黑体辐射的能量主要集中在长波段；当温度较高时，能量则主要分布在短波段。
普朗克辐射定律的数学表达式如下：$$B(\\lambda,T)=\\frac{2hc^2}{\\lambda^5}\\frac{1}{e^{hc/\\lambda kT}-1}$$其中，$B(\\lambda,T)$表示波长为$\\lambda$的辐射能量密度，ℎ为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。
3. 黑体辐射的应用黑体辐射在许多领域都有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用领域：3.1 热辐射和能量转换黑体辐射是热辐射的基础，它在能量转换和传递过程中起着重要的作用。
例如，太阳光是由黑体辐射引起的，地球上的太阳能利用就是通过能源转换将太阳辐射的能量转换为电能或其他形式的能量。
3.2 红外线技术黑体辐射的波长范围覆盖了红外线区域，红外线技术利用了黑体辐射的特性。
红外线技术在军事、医学、安防等领域有广泛的应用，如红外线热成像、红外线测温、红外线通信等。
3.3 热辐射测量和光谱分析利用黑体辐射的特点，可以进行热辐射测量和光谱分析。
例如，利用红外光谱技术可以对物质的成分进行分析和检测，而红外辐射测温技术可以测量物体的温度。
黑体辐射波长与温度的关系
黑体辐射波长与温度的关系
根据黑体辐射定律，黑体辐射的波长分布与其温度有关系，即温度越高，辐射的波长越短。
具体来说，黑体辐射的波长分布可以由普朗克公式描述，公式为：
B(λ, T) = (2hc²/λ^5) * 1/(e^(hc/λkT) - 1)
其中，B(λ, T)表示波长为λ时温度为T的黑体辐射的辐射能率，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。
该公式表明，随着温度的升高，波长越短的辐射能率增加得越快，而波长越长的辐射能率增加得越慢。
因此，高温黑体辐射的光谱主要集中在紫外和可见光区域，低温黑体辐射的光谱则主要集中在红外区域。
03-黑体辐射定律-PPT
黑体辐射研究历史牛顿1672诺利1830基尔霍夫
基尔霍夫
1859
普法战争
1870
斯忒藩-玻尔兹曼
1879
1884
牛顿研究 太阳分光
基于热电效应 基尔霍夫定律 发展钢铁 的热辐射计 绝对黑体(1862) 需要测温
2
通过实验和理论证明 斯忒藩-玻尔兹曼定律
斯忒藩-玻尔兹曼定律
斯忒藩-玻尔兹曼定律(Stefan-Boltzmann Law)：
黑体的辐射力与热力学温度T的四次方成正比，又称四次方定律。 相关推论：
• 黑体热辐射随着温度上升快速增强。 • 通过测量黑体热辐射可计算温度。
黑体辐射力 Eb T4
热力学温度
斯忒藩-玻尔兹曼常数 =5.67 10-8W / m2 K 4
3
黑体辐射研究历史
兰利
1881
维恩
基尔霍夫
瑞利-金斯
1893
8
Eb T4
6
兰贝特定律
兰贝特定律(Lambert’s Law)： 漫发射体 漫发射+漫反射=漫射体
黑体的辐射强度与方向无关，半球空间各方向上的辐射强度都相等。
又称为余弦定律。
L L 常数
E L()cos En cos
E E()d L cossinddL
2
2
辐射力
辐射强度
7
Thank You！
黑体的
波长
光谱辐射力
C 5
Eb
eC2
1
(T )
1
热力学温度
C1= 3.742×10-16Wm2
C2 = 1.439×10-2 mK
5
黑体辐射定律的关系
维恩公式
黑体辐射通俗理解
黑体辐射通俗理解黑体辐射是物体在热平衡状态下发出的电磁辐射，也被称为热辐射。
它是由于物体内部的分子和原子的热运动引起的。
所有物体在绝对零度时，其分子和原子将停止运动，不再发出辐射。
但是在室温下，物体的分子和原子会以不同的速度运动，从而产生不同频率和能量的辐射。
这种辐射的特点是无需媒介传播，可以在真空中传播，因此也被称为真空辐射。
黑体辐射的能谱分布可以通过普朗克辐射定律来描述。
根据普朗克辐射定律，黑体辐射的能量与频率呈正比，即能量越高，频率越大。
同时，根据斯特凡-玻尔兹曼定律，黑体辐射的总辐射功率与物体的温度的四次方成正比。
这意味着温度越高，黑体辐射的功率越大。
根据普朗克辐射定律和斯特凡-玻尔兹曼定律，可以推导出黑体辐射的能谱分布公式，即普朗克公式。
普朗克公式可以用来计算不同温度下的黑体辐射能谱分布。
根据普朗克公式，黑体辐射的能谱分布呈现出一个峰值，峰值对应的频率称为峰值频率。
峰值频率与物体的温度成正比，即温度越高，峰值频率越大。
根据普朗克公式，可以得出黑体辐射的另一个重要性质——斯特凡-玻尔兹曼定律。
根据斯特凡-玻尔兹曼定律，黑体辐射的总功率与温度的四次方成正比。
这意味着温度越高，黑体辐射的总功率越大。
斯特凡-玻尔兹曼定律为理解黑体辐射的能量转换提供了重要依据。
除了能谱分布和总功率，黑体辐射还具有其他一些特性。
首先，黑体辐射是各向同性的，即无论从哪个方向观察，其辐射强度都是相同的。
其次，黑体辐射的强度与观察者的位置无关，只与物体的温度有关。
再次，黑体辐射的强度与观察者所处的环境无关，即无论在真空中还是在介质中观察，其强度都是相同的。
黑体辐射在许多领域都有重要应用。
在天文学中，黑体辐射被用来研究星体的性质和组成。
在工程领域中，黑体辐射被用来设计和优化照明设备和太阳能电池等能源设备。
在医学领域中，黑体辐射被用来研究人体组织的热传导和热损伤等问题。
总之，黑体辐射是由物体内部分子和原子的热运动引起的电磁辐射。
黑体辐射随波长变化的规律
黑体辐射随波长变化的规律
黑体辐射随波长变化的规律可以用普朗克定律和维恩位移定律来描述。
普朗克定律指出，黑体辐射的能量密度与波长的关系为:
u(\lambda,T)=\frac{8\pi
hc}{\lambda^5}\frac{1}{\exp\left(\frac{hc}{\lambda k_BT}\right)-1}
其中，u(\lambda,T)为波长为\lambda时温度为T的黑体辐射的能量密度；h 为普朗克常数；c为光速；k_B为玻尔兹曼常数。
维恩位移定律则描述了黑体辐射能量密度峰值波长\lambda_{\max}与温度T的关系，即：
\lambda_{\max}=\frac{b}{T}
其中，b为维恩位移常数。
这两个定律揭示了黑体辐射随波长变化的规律：随着波长的增加，黑体辐射的能量密度减小；随着温度的增加，黑体辐射的峰值波长向短波方向移动。
黑体辐射原理(一)
黑体辐射原理(一)黑体辐射什么是黑体辐射？黑体辐射是物体根据其温度所发射的电磁辐射。
它是一种理想化的模型，可以用来研究和描述物体的辐射特性。
无论是日常生活中的物体还是恒星，都可以被视为发射黑体辐射。
黑体辐射的原理黑体辐射的原理可以通过以下几点来解释：•原子的能态：原子具有许多可能的能态，每个能态对应一定的能量。
这些能态之间的转变可以产生电磁辐射。
•热激发：当物体的温度升高时，原子的平均能量也增加，更多的原子能够跃迁到高能态，从而增强了电磁辐射的强度。
•电磁波谱：黑体辐射涵盖了整个电磁谱，从长波到短波，包括无线电波、可见光、紫外线、X射线和γ射线等。
黑体辐射的特性•频谱特性：根据普朗克公式，黑体辐射的频谱强度与波长呈反比关系。
随着波长的减小，辐射的强度逐渐增加。
•斯特藩-玻尔兹曼定律：根据该定律，黑体辐射的总辐射功率与温度的四次方成正比，即黑体的辐射强度随温度的升高而迅速增加。
•经典的紫外灾难：经典理论无法解释低频处的黑体辐射，即所谓的紫外灾难。
这引发了量子力学的发展。
应用黑体辐射在许多领域具有重要应用，其中一些应用包括：•宇宙学：黑体辐射是研究宇宙起源和演化的重要依据，例如宇宙背景辐射的研究。
•物体温度测量：根据黑体辐射的特性，可以通过物体发射的辐射能量来测量其温度。
•光谱学：通过研究黑体辐射的频谱特性，可以揭示物质的化学成分和结构。
•激光技术：黑体辐射研究为激光技术的发展提供了理论基础。
结语从原理到应用，黑体辐射在物理学和相关学科中具有重要地位。
通过研究和理解黑体辐射的特性，我们可以更好地认识和利用电磁辐射现象，在科学研究和实际应用中取得更进一步的发展和应用。
黑体辐射的发现和研究历程黑体辐射的研究可以追溯到19世纪末。
德国物理学家麦克斯·普朗克在1900年提出了普朗克公式，这一公式成功地解释了黑体辐射中的频谱特性。
普朗克假设辐射能量是分散的，只能取离散的能量值。
根据这个假设，他推导出了黑体辐射的频谱密度函数，即普朗克曲线。
(完整word版)普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射:由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射.辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态. 实验发现:热平衡时,空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到:1。
Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：ννννρνd T C C d )/ex p(231-=Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式ννπνρνd kT Cd Jeans Rayleigh 238=-公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符,并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan —Bolzmann 公式,σ叫做Stefan —Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型,Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样,以给定的频率 v 振荡；（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量,而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律h 为普朗克常数,h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ,为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度,记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ， 则（0，v ）范围内的总自由度数G （v ）与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0.借助几何方法求出()3338νπνc V G =，取微分得()ννπννd cV d g 238= 令E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，()ννd T u ,代表单位体积,频率间隔在()νννd +,内的能量，于是()ννεννd g d T u V E⎰⎰∞∞==0~0)(,，的振子的平均能量代表频率为νε,()()ννπνννd c g V d g 23~81=≡代表单位体积内频率间隔在()νννd +,内的振动自由度数。
黑体辐射公式的推导
黑体辐射公式的推导黑体辐射公式是描述黑体辐射能谱的公式。
在19世纪末，许多科学家通过实验和理论推导，发现了黑体辐射的规律，并试图找到一个能够描述这种规律的公式。
其中最著名的是德国物理学家马克斯·波恩斯坦在1901年提出的黑体辐射公式，也称为普朗克公式。
下面我们将对黑体辐射公式进行详细的推导。
首先，我们假设黑体是一个能够完全吸收所有入射辐射的理想物体。
根据热力学的基本原理，我们知道一个处于热平衡的物体，其辐射能谱必须是连续的，即在一个特定的频率范围内的辐射能量密度是连续变化的。
为了推导黑体辐射公式，我们可以考虑在一个封闭的均匀立方体空腔内的辐射。
这个空腔内充满了电磁波，电磁波的频率和波长范围是非常广泛的。
我们设空腔内辐射能量的密度为u(ν)，其中ν为频率。
由热力学的基本原理可知，黑体辐射能谱与温度有关。
我们设空腔的温度为T。
为了推导辐射能谱，波尔兹曼首先假设在频率范围ν到ν+Δν内，吸收或发射能量的电磁场模式数为g(ν)。
这里g(ν)即为单位频率范围内模式的数目。
根据经典电动力学理论，一个频率为ν的电磁波模式的能量为hν，其中h为普朗克常量。
因此，在一个频率范围ν到ν+Δν内，单位体积内的辐射能量为u(ν)g(ν)hν。
我们知道，电磁波的能量等于单位体积内辐射能量的密度乘以体积，即能量密度等于单位体积内辐射能量密度与单位体积的乘积。
因此，单位体积内的辐射能量可以写为u(ν)g(ν)hνV，其中V为空腔的体积。
下一步，我们考虑对g(ν)在ν到ν+Δν范围内进行积分，即对频率范围内的所有模式进行求和。
这样，我们可以得到单位体积内所有频率的辐射能量之和。
为了推导辐射能谱，我们将这个求和作为对频率的积分。
经过数学变换和近似处理，我们得到：U(ν) = u(ν)hν = \(\fra c{8πh}{c^3}\)\(\frac{ν^3}{e^{\(\frac{hν}{kT}\)} - 1}\)其中c为光速，k为玻尔兹曼常量。
普朗克黑体辐射定律
普朗克黑体辐射定律德国物理学家普朗克在解释黑体辐射曲线而得出普朗克定律，从此物理学进入了量子时代，因此普朗克也被公认为“量子理论之父”，尽管他本人在当时仍然是经典的拥护者。
作为20世纪最伟大的物理学家之一，普朗克拥有杰出的学术成就，不仅是奠定了量子论的基础，更是热力学领域大师，对“熵”等概念的理解超越所处时代。
但同样作为一个爱国者，他的一生是复杂的，在纳粹当政时，他坚定地支持了爱因斯坦，资助受迫害的犹太科学家；但也曾在一战时期签下德国为侵占比利时辩护的《文明宣言》。
而在漫长的一生中，普朗克更是遭遇过诸多不幸。
对于一位人类文明史上的重要人物，普朗克的研究及其本人需要学习和解读。
《普朗克传：身份危机与道德困境》正是这样一本著作，本文仅节选于普朗克职业生涯的一个短暂的节点，只是众所周知现代物理学发展的里程碑。
更多的内容参见原书。
本文经授权节选自《普朗克传：身份危机与道德困境》（新星出版社）第十章，内容有删减，标题与文内小标为编辑所加。
撰文丨布兰登·R.布朗（Brandon R. Brown，旧金山大学物理学教授）翻译丨尹晓冬张烁1944年7月——庆典普朗克手术康复后，盟军于6月5日攻占罗马，6月6日在诺曼底海滩登陆。
虽然纳粹宣传还在继续，但大多数德国人都能看到战争一步步走向尾声。
7月初，马克斯·普朗克再次穿上他曾经常穿的燕尾服，前往柏林参加一个科学庆典。
普鲁士科学院决定在一个暂时摆脱周遭黑暗的夜晚，举行一次周年庆祝活动。
帝国顶级物理学家、原子弹研究项目的负责人海森堡组织了这次活动。
海森堡前往马克斯·普朗克下榻的酒店，打算载普朗克等人前往宴会厅，但是眼前破败的景象不复从前，他们两人竟然都无法辨认出柏林的街道。
在几次问路求助后，一行人才找到正确的地点，但是他们却以为自己再次迷路了。
海森堡回忆道：“我们最后把车停在一堆瓦砾前，混凝土块上横七竖八地插着弯弯曲曲的钢筋。
”又一番深入打探后，他们在尘土飞扬、残砖碎瓦里看到了一条之字形小径，在帝国的废墟中他们攀上爬下，才终于到了一扇敞开的大门前。
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基尔霍夫热辐射定律基尔霍夫热辐射定律（Kirchhoff 热辐射定律），德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫于 1859 年提出的传热学定律，它用于描述物体的发射率与吸收比之间的关系。
简介一般研究辐射时采用的黑体模型由于其吸收比等于1（α=1），而实际物体的吸收比则小于1（1>α>0）。
基尔霍夫热辐射定律则给出了实际物体的辐射出射度与吸收比之间的关系。
M 为实际物体的辐射出射度，M b为相同温度下黑体的辐射出射度。
而发射率ε的定义即为所以有ε=α。
所以，在热平衡条件下，物体对热辐射的吸收比恒等于同温度下的发射率。
而对于漫灰体，无论是否处在热平衡下，物体对热辐射的吸收比都恒等于同温度下的发射率。
不同层次的表达式对于定向的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于半球空间的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于全波段的半球空间，其基尔霍夫热辐射定律表达式为θ为纬度角，φ为经度角，λ为光谱的波长， T 为温度。
参考文献杨世铭，陶文铨。
《传热学》。
北京：高等教育出版社， 2006 年：356-379。
王以铭。
《量和单位规范用法辞典》。
上海：上海辞书出版社普朗克黑体辐射定律普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱物理学中，普朗克黑体辐射定律（也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）（英文：Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度T 下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。
这里辐射率是频率的函数[1]：这个函数在 hv=2.82kT 时达到峰值[2]。
如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为[3]注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。
因而和并不等价。
它们之间存在有如下关系：通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换：电磁波波长和频率的关系为[4]普朗克定律有时写做能量密度频谱的形式[5]：这是指单位频率在单位体积内的能量，单位是焦耳／（立方米·赫兹）。
对全频域积分可得到与频率无关的能量密度。
一个黑体的辐射场可以被看作是光子气体，此时的能量密度可由气体的热力学参数决定。
能量密度频谱也可写成波长的函数普朗克定律（绿）、维恩近似（蓝）和瑞利-金斯定律（红）在频域下的比较，可见维恩近似在高频区域和普朗克定律相符，瑞利-金斯定律在低频区域和普朗克定律相符。
马克斯·普朗克于 1900 年建立了黑体辐射定律的公式，并于 1901 年发表[6]。
其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利 -金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。
由此可见瑞利 -金斯公式所导致的―紫外灾难‖并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机，参见后文叙述）。
维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利 -金斯公式则正好相反。
普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。
在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。
得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。
这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。
然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。
普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。
不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。
推导[5] ），需要用到电动力学、量子力学和下面的推导并非普朗克的原始推导（来源统计力学的有关概念。
考虑一个充满了电磁辐射的边长为L 的立方体：根据经典电动力学，在立方体壁表面的边界条件为电场的平行分量和磁场的垂直分量都为零。
类似于处于束缚态的粒子的波函数，立方体内部的电磁场也是满足边界条件的周期性本征函数的线性叠加，在垂直于立方体壁表面的三个方向上各个本征函数的波长分别为λ1，λ2和λ3这里是非负整数。
对于每一组值都有两个线性无关的解（两种不同的模）。
根据量子力学中的谐振子理论，任意模式下的系统能级为这里量子数可看作是立方体中的光子数，而两种不同模式对应的是光子的两种偏振态。
注意到当光子数为零时能级不为零，这种电磁场的真空能量是一种量子效应，是产生卡西米尔效应的原因。
下面我们计算在温度下光子数为零时系统处于真空状态下的内能。
根据统计力学，在特定模式下不同能级的概率分布由下式给出这里分母是系统在特定模式下的配分函数，它能够使概率分布归一化。
对正则系综有这里我们定义单个光子的能量为系统的平均能量和配分函数的关系为这个公式是玻色 -爱因斯坦统计的一个特例。
由于光子是玻色子，任一能级对光子的数量没有限制，系统的化学势为零。
系统的总能量是平均能量对所有可能的单光子态求和。
考虑在热力学极限下，立方体边长 L 趋于无穷大，这时单光子能量近似成为连续值，我们将平均能量对单光子的连续能量积分就可以得到系统的总能量，这就需要我们首先确定在任意给定的能量范围内具有多少个光子态。
假设处于能级和的单光子态总数为（这里是所谓光子的能态密度，其具体表达式还需另行计算），则系统的总能量为为计算光子能态密度的表达式，我们将（1）式重写成这里是矢量的模每一个矢量都对应有两个光子态，换句话说，在给定的一个由矢量构成的希尔伯特空间中的光子态总数是这个空间体积的 2 倍。
一个微小的能量区间对应着这个希尔伯特空间中一个薄球壳的厚度。
由于矢量的分量不能为负值，能量区间实际上只能对应整个薄球壳总体积的1/8（这是因为矢量有三个分量，每一个分量都为正数时的概率为 1/8）。
因而在能量区间上光子态总数为将这个表达式代入（ 2）式，得到注意到的三次方是立方体体积，因此可直接得到能量密度的表达式，将它写成频率的频谱函数其中这里即是黑体辐射的能量频谱密度，其意义为单位频率在单位体积内的能量。
如果写成波长的函数，其中这是黑体辐射的能量密度频谱的另一种形式，其意义为单位波长在单位体积内的能量。
在玻色或费米气体情形下对这一函数积分需要用到多对数函数展开。
但这里可以用初等函数的办法得到一个近似形式，数学上做代换积分变量从而可写成如下形式其中的表达式为这一积分结果将后文附录中做说明。
因而得到立方体中电磁场的总能量为其中是立方体体积（注意：这个表达式不是斯特藩-玻尔兹曼定律，它的含义并不是理想黑体在单位时间内从单位表面积辐射出的总能量，参见斯特藩-玻尔兹曼定律条目）。
由于辐射各向同性，并且以光速传播，能量的辐射率（单位时间单位表面积单位立体角单位频率下辐射的能量）为从而得到普朗克黑体辐射定律历史参见：光子、能量均分定理及紫外灾难很多有关量子理论的大众科普读物，甚至某些物理学课本，在讨论普朗克黑体辐射定律的历史时都犯了严重的错误。
尽管这些错误概念在四十多年前就已经被物理学史的研究者们指出，事实证明它们依然难以被消除。
部分原因可能在于，普朗克最初量子化能量的动机并不是能用三言两语就能够道清的，这里面的原因在现代人看来相当复杂，因而不易被外人所理解[7]。
丹麦物理学家 Helge Kragh曾发表过一篇文章清晰地阐述了这种错误是如何发生的[8]。
―紫外灾难‖：在经典统计理论中，能量均分定理预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背首先是尽管普朗克给出了量子化的电磁波能量表达式，普朗克并没有将电磁波量子化，这在他 1901 年的论文以及这篇论文对他早先文献的引用中就可以看到[6] 。
他还在他的著作《热辐射理论》（ Theory of Heat Radiation）中平淡无奇地解释说量子化公式中的普朗克常数（现代量子力学中的基本常数）只是一个适用于赫兹振荡器的普通常数。
真正从理论上提出光量子的第一人是于 1905 年成功解释光电效应的爱因斯坦，他假设电磁波本身就带有量子化的能量，携带这些量子化的能量的最小单位叫光量子。
1924 年萨特延德拉·纳特·玻色发展了光子的统计力学，从而在理论上推导了普朗克定律的表达式。
另一错误概念是，普朗克发展这一定律的动机并不是试图解决―紫外灾难‖。
―紫外灾难‖这一名称是保罗·埃伦费斯特于 1911 年提出的，从时间上看这比普朗克定律的提出要晚十年之久。
紫外灾难是指将经典统计力学的能量均分定理应用于一个空腔中的黑体辐射（又叫做空室辐射或具空腔辐射）时，系统的总能量在紫外区域将变得发散并趋于无穷大，这显然与实际不符。
普朗克本人从未认为能量均分定理永远成立，从而他根本没有觉察到在黑体辐射中有任何―灾难‖存在——不过仅仅过了五年之后，这一问题随着爱因斯坦、瑞利勋爵和金斯爵士的发现而就变得尖锐起来。
附录参见：黎曼ζ函数及Γ函数有一个简便方法计算下面的积分我们可以首先用替换式中的，计算一般形式下的积分由于分母总是小于1，我们可以将它按展开写成收敛的几何级数这就是几何级数的求和公式。
等号左边的表达式正是右边的求和结果，右边的几何级数公比为.从而得到表达式乘以后相当于将变成，因而我们将求和符号中的序号加1，并消去原先的:通过变量替换，我们得到以及，积分式进一步写成即形如上式的积分是收敛的，我们将求和的部分移到积分之外：前面的求和系数正是黎曼ζ函数，而后面的积分正是Γ函数。
从而我们得到一个一般的关系式：或等价为对于我们所需要的积分，积分式的分子为，因此代入上面等式中得到这里我们用到了和。
（参见黎曼ζ函数和Γ函数的有关性质）。
斯特藩 -玻尔兹曼定律斯特藩 -玻尔兹曼定律（ Stefan-Boltzmann law），又称斯特藩定律，是热力学中的一个著名定律，其内容为：一个黑体表面单位面积在单位时间内辐射出的总能量（称为物体的辐射度或能量通量密度） j* 与黑体本身的热力学温度 T （又称绝对温度）的四次方成正比，即 :其中辐射度 j *具有功率密度的量纲（能量 /(时间·距离2)），国际单位制标准单位T 的标准单位是开尔文，为黑为焦耳 /(秒·平方米 )，即瓦特 /平方米。
绝对温度体的辐射系数；若为绝对黑体，则.比例系数σ称为斯特藩 -玻尔兹曼常数或斯特藩常量。
它可由自然界其他已知的基本物理常数算得，因此它不是一个基本物理常数。