行列式试题及答案
线性代数试题及答案3
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（D）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（B）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（B）A.–6B.6C.2D.–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（D）A.A=0B.B≠C时A=0C.A≠0时B=CD.|A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（C）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（D）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（C）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（A）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（B）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（A）A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（B）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（D）A.A 与B 相似B.A 与B 不等价C.A 与B 有相同的特征值D.A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（C ）A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数考试题库及答案(九)
线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.当( D )成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是( B ).A.ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( D ).A. (AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=A T B TD.4.下列矩阵不是初等矩阵的是( B ).A.B.C. D.5.设是4维向量组，则(D ).A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为m×n矩阵，且m<n，则齐次线性方程组Ax = o必( C ).A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是(D ).A. B.C.D.8.如果矩阵A与B满足( D )，则矩阵A与B相似.A.有相同的行列式B.有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是 (D ).A. |A|>0B. A的每一个元素都大于零C. D. A的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( C ).A. A与B相似B. A与B合同C. A与B等价D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.行列式24 .12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|= 6.13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X=11 12-⎛⎫⎪-⎝⎭.14.已知向量组的秩为2，则k =-2 .15.向量的长度16.向量在基下的坐标为(3，-4，3) .17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= 1 .18.设是三阶矩阵A的特征值，则a = 1 .19.若是正定二次型，则λ>.满足520.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).解：(1) A-2E=300200100 110020110 123002121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭| A-2E |= -1；(2)100100100100 110010010110 121001021101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭100100010110001121⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭1100(2)110121-⎛⎫⎪∴-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E . 22.已知向量组求：(1)向量组的秩； (2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A ，然后实施初等行变换：121012101202240400240012243200120000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，向量组的秩1234(,,,)2r =αααα；(2)向量组的一个极大无关组为：13,αα，且有214132,22==-ααααα.23.讨论a 为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：1222201111111311151a -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭A 122220*********03333a -⎛⎫⎪-- ⎪→ ⎪-- ⎪--⎝⎭12222011110000100000a -⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭10040011110000100000a ⎛⎫⎪-- ⎪→⎪- ⎪⎝⎭. 若方程组有解，则()()2r r ==A A ，从而a =1.当a =1时，原方程组的通解方程组为：1423441x x x x x =-⎧⎨=++⎩，34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T .导出组的同解方程组为：142344x x x x x =-⎧⎨=+⎩，34,x x 为自由未知量. 令34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别取10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0)T ，(-4, 1, 0, 1)T . 所以，方程组的通解为：(0, 1, 0, 0)T +c 1(0, 1, 1, 0)T +c 2(-4, 1, 0, 1)T ，其中，c 1，c 2为任意常数.24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性. 解：因为12112111022(2)(6)24082a a a a a a ----=+=-++. 当a =2或a =-6时，向量组相性相关；当a ≠2且a ≠-6时，向量组线性无关.25.已知矩阵A =，(1)求矩阵A 的特征值与特征向量； (2)判断A 可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P 及相应的对角形矩阵Λ.解：矩阵A 的特征多项式为：2110|430(2)(1)102λλλλλλ+--=-=----|E A ， 所以，A 的特征值为：1231,2λλλ===.对于121λλ==，求齐次线性方程组()-=E A x o 的基础解系，210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值121λλ==的全部特征向量为：121c -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，(c ≠0). 对于32λ=，求齐次线性方程组(2)-=E A x o 的基础解系，3101002410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值32λ=的全部特征向量为：00(0)1c c ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为三阶矩阵A 只有两个线性无关的特征向量，所以， A 不能相似于对角矩阵.26.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.解：(1) 利用配方法，将二次型化为标准形： 222123112132233,,22243f x x x x x x x x x x x x =+-+--() 22222112323232233[2()()]()243x x x x x x x x x x x x =+-+---+-- 2221232233()24x x x x x x x =+-+-- 222212322333()(2)5x x x x x x x x =+-+-+-222123233=()()5x x x x x x +-+--. 令112322333y x x x y x x y x ⎧=+-⎪=-⎨⎪=⎩，即11222333x y y x y y x y ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩，得二次型的标准形为：2221235y y y +-.(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2.四、证明题（本大题共6分）27.已知A 是n 阶方阵，且，证明矩阵A 可逆，并求证：由2()+=A E O ，得： A 2+2A = -E ，从而 A (A +2E )= -E , A (-A -2E )= E 所以A 可逆，且12-=--A A E .。
线性代数试题库(1)答案 (2)
线性代数试题库（1）答案一、选择题：（3×7=21分）1.n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =M ij B 。
A ij =(-1) n M ij C 。
A ij =(-1)j i +M ij D 。
A ij =-M ij2．设A 是数域F 上m x n 矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m < n 时，有非零解 B ．当m > n 时，无解C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{n αα,,1 }的矩阵分别为A ，B.那么对于a ，b ∈F ，a σ+b τ关于基{n αα,,1 }的矩阵是（ C ）A ．A+B B ．aA+BC ．aA+bBD ．A+Bb 4．已知数域F 上的向量321,,ααα 线性无关，下列不正确的是（ D ）A 1α，2α线性无关B ．32,αα线性无关C ．13,αα线性无关D ．321,,ααα中必有一个向量是其余向量的线性组合。
5．R n 中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A ．RnB ．∑===∈ni i i n a n i R a a a 11}0,,1,|),,{(且C ．∑===∈ni i i n a n i R a a a 11}1,,1,|),,{(且 D ．{0}6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）A 。
相似B ．合同C ．相等D ．互为逆矩阵 7．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（ C ） A ．)1,1|,(|),,(1321x x x x =σB ．),,1(),,(321321x x x x x x +=σC ．)0,,(),,(32321x x x x x =σD ．),,(),,(232221321x x x x x x =σ二．填空题（3X10=30分）1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++09030322132`1321x k x x kx x x x x x 有非零解2．设A=()0,,,0321321≠=≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b b B a a a ,则秩（AB ）为（1）。
2014年4月自考线性代数真题及答案
三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)
1 4 16．计算行列式D= 2 3
3 1 4 2
2 3 1 4
4 2 的值. 3 1
a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 17．设矩阵A= a 21 a 22 a 23 ，B= a11 3a 31 a12 3a 32 a13 3a 33 ，求可逆矩阵P，使得PA=B. a a 31 a 32 a 33 31 a 32 a 33 1 1 2 1 0 0 18．设矩阵A= 2 2 3 ，B= 2 1 1 ，矩阵X满足XA=B，求X. 4 3 3 1 2 2
1 +2 2 + 3 ， 1 + 2 +2 3 也是该方程组的基础解系．
全国2014年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)答案课程代码：04184
一、单项选择题 1-5 CABDC 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1 0 1 1 4 3 6．0 7．4 8． 9． 10．-2 11． , 12．1 13． 1 k (1 2 ) 14． 15．2 3 2 5 5 0 1
导出组同解方程组为
基础解系 1 (1, 1,1, 0)T , 2 (2,3, 0,1)T ，通解为 * k11 k2 2 , k1 , k2 R.
2
21．解：特征方程 | E A |
0 0
0 0 2 1 ( 2)( 2 a 2 2a 1) 0 1 a
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
2 3 4 6．3阶行列式 1 5 2 第2行元素的代数余子式之和A21+A22+A23=________． 1 1 1
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】04184线性代数（经管类）2一、二、单选题1、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D2、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D3、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B4、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D6、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B20、A:k-1 B:kC:1 D:k+1做题结果：A 参考答案：B21、行列式D如果按照第n列展开是【】A.,B.,C.做题结果：A22、关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解B:如果行列式不等于0，则方程组只有零解C:如果行列式等于0，则方程组必有唯一解D:如果行列式等于0，则方程组必有零解做题结果：A 参考答案：B23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为。
【】A:-3 B:-7C:3 D:7做题结果：A 参考答案：A24、A:0 B:1C:-2 D:2做题结果：A 参考答案：C25、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D26、A:a≠2 B:a≠0C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0做题结果：A 参考答案：D27、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B28、A:-2|A| B:16|A|C:2|A| D:|A|做题结果：A 参考答案：B29、下面结论正确的是【】A:含有零元素的矩阵是零矩阵B:零矩阵都是方阵C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵D:若A，B都是零矩阵，则A=B做题结果：A 参考答案：C30、设A是n阶方程，λ为实数，下列各式成立的是【】C.,D.做题结果：C 参考答案：C31、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B 32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案好东西第一部分选择题（共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1。
设行列式=m,=n，则行列式等于( )A. m+n B。
—(m+n)C。
n—m D。
m—n2。
设矩阵A=,则A-1等于（）A。
B。
C. D。
3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于(1,2）的元素是（）A。
–6 B。
6C。
2 D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B。
BC时A=0C. A0时B=C D。
｜A｜0时B=C5。
已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A。
1 B. 2C。
3 D。
46。
设两个向量组α1，α2，…，αs和β1,β2，…，βs均线性相关,则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B。
有不全为0的数λ1,λ2,…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs)=0 C。
有不全为0的数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1)+λ2(α2-β2)+…+λs（αs—βs)=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…,λs和不全为0的数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中( ）A.所有r-1阶子式都不为0 B。
所有r-1阶子式全为0C。
至少有一个r阶子式不等于0 D。
所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A。
η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩（A)〈nB.秩（A)=n-1C.A=0D。
线性代数试题库(1)答案(2)
2 .设A 是数域F 上m X n 矩阵，则齐次线性方程组A .当m < n 时，有非零解B .当m > n 时，无解 零解 AX=O （ A ）C .当m=n 时，只有零解D .当m=n 时，只有非3.在n 维向量空间V 中，如果「弋壬L （V ，关于V 的一个基｛%,•••,□.｝的矩阵分别为A ，B.那么对于 a ，b 亡 F ，a cr +b T 关于基{%,•••,«B. aA+BC . aA+bBD . A+Bb4.已知数域F 上的向量a 1,5,5 线性无关，下列不正确的是（ D ）中必有一个向量是其余向量的线性组合。
二.填空题（3X10=30分）I X 1 + X2 + X 3 = 0k= (-1或3)时，齐次线性方程组{ 3X 1、-X 2 +kX 3 =0有非零解I 2少^, + X 2 + k X 3 = 0a iH0,B=(b i ，b 2，b 3)H 0,则秩(AB )%( 1)。
〔丄丄丄、3.向量（X ，y ，Z ）关于基（0，1/2, 0），（1/3, 0, 0），（0, 0，1/4）的坐标为 V?^,：丿线性代数试题库（1）答案、选择题: 1.n 阶行列式 （3X 7=21 分） D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（C ）A . A ij =M ijA ij =(-1) n M ij Co A ij =(-1)i *M ij D 。
A ij =-M ij n ｝的矩阵是（C ）A . A+B1,52, A %，a 2线性无关B . Ct 2,(X 3线性无关C . a 3,5线性无关D . a 1,5035. R n中下列子集，哪个不是子空间（Cn{(印,…,an)|a^ R,i =1；" , n 且2 a^0}C . n{( ar" , a n ) | a ^ R, i =1,…,n 且S a i=1}D . {0}6.两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A 。
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
华中科技大学线性代数试题及答案 (1)
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
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第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分）⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为（ ）(A ） n （B ） n /2 （C ） 2n (D ） n （n —1）/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中,x 3的系数是( ）（A) —2 （B ） 2 （C) -4 (D ） 4⑶ 若D n =det(a ij ）=1，则det(－a ij ) = ( ）(A) 1 （B ） -1 （C) （-1）n （D ） (-1)n（n —1）/2⑷ 设nn λλλλλλ2121=，则n 不可取下面的值是( ）（A ）7 （B) 2k +1(k2） （C ） 2k (k2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A ）100123123- (B ） 031010300- （C) 100003010- (D)261422613- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ） （A) D 的所有元素非零 （B) D 至少有n 个元素非零 （C) D 的任何两行元素不成比例(D ）以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺=+++111222c bc acbc b ab acaba ( ) (A ）100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a(B ）1111122222+++++c bc ac bc b ab acabc bc ac bc b ab ac aba (C ） 101011122222+++++c bc bc b acabc bc ac bc b ab ac aba（D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是（ ）（A ） abc =0 （B) a+b+c =0 （C) a =1, b =—1, c =0 （D ） a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )（A) (a 1a 2— b 1b 2) （a 3a 4— b 3b 4） (B ） （a 1a 4— b 1b 4）（a 2a 3- b 2b 3)（C) (a 1b 2— a 2b 1） (a 3b 4- a 4b 3） (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3—a 3b 2）⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则应满足的条件是( )（A ） λ=0 （B) λ=2 (C ） λ=1 (D ） λ 1二 填空 （每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
⑵ 五阶行列式=6200357020381002300031000___________.⑶ 设7343690211118751----=D ,则5A 14+A 24+A 44=_______。
⑷ 若a ，b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0.⑸ 设x 1，x 2，x 3是方程x 3+px +q =0的根,则行列式=132213321x x x x x x x x x __。
三 计算行列式 (每小题6分，共30分)⑴ 0112210321011322211313211----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a⑶yy x x-+-+1111111111111111 ⑷ac ba c ba c ba cb a ⑸ xb b b a x b b aa xb aa a x D n =(ab )四 证明题 (每小题10分，共20分）⑴ 用归纳法证明： 任意一个由自然数1,2,…，n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n⑵ 设平面上三条不同的直线为 000=++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ，证明： 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a 五 解答题 (5分)和 取何值时，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？参考答案一、选择题⑴ (D) ⑵ （A ） ⑶ (C) ⑷ （A) ⑸ （D) ⑹ （D) ⑺ (C) ⑻ (B ） ⑼ （B ）; ⑽ （D) 二、填空题 ⑴ “—”调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列5341352412a a a a a ，此时列标排列的逆序数为t (24513)=5，故该项带负号. ⑵ 42 423212331)1(620035702038100230003100032=⨯⨯-=⨯⑶ -150用5， 1， 0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---⑷ a =0, b =00)(1010022=+-=--=---b a ab ba ab b a a =0, b =0⑸ 0由题意知()()()0321=---x x x x x x k ，其中x 3的系数为k ，x 2的系数为)(321x x x k ++-，与原方程比较，得k =1，x 1+x 2+x 3=0。
将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得0111)(132213321132213321=++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、计算题⑴ 011221032101132275103110201122103210113222113132114241--------------r r r r051132275131101122113227513110)1(53454-------+--------+r r 列展开按第5130271310521122713105423---⨯------⨯-r r 行展开按第1705133151-=--⨯列展开按第⑵ ()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 5232125232125232125232122222122334++++++++++++---d d d dc c c c b b b b a a a ac c c c c c 022*******212221222222334=++++--d d c c b b a a c c c c⑶y y x x-+-+1111111111111111yyy x x x r r r r ----1111001111004321yx xy --11111100111100113,1行提取公因子第2214110110011110011y x yx xy r r =---⑷ 对n 阶行列式acba cba cb a按第一行展开，得递推公式 11---=n n n bcD aD D于是有 abc a abc bc a a bcD aD D 2)(32123-=--=-= 2224232343)()2(c b bc a a bc a bc abc a a bcD aD D +-=---=-= 223534534c ab bc a a bcD aD D +-=-=⑸ x b b b a x b b aa x ba a a x D n =)(000a x a b b b a x b b a ax ba a a x -++++=)(000a x b b b x b b ax ba a x ab b b a x b b aa x ba a a x -+=1)(1111--+=n D a x b b b x b b a x b a a x a1)(1111)1,,2,1(--+-------=-n n i D a x b x b a b x b a b a b x an i bc c得递推公式11)()(---+-=n n n D a x b x a D ①D n 的转置行列式相当于将a ,b 互换，于是有11)()(---+-=n n n D b x a x b D ②因为a b ，①⨯(x —b )—②⨯(x -a ），得()()ba a xb b x a D nn n ----=四、证明题⑴ 设n 元排列为i 1i 2…i n 。
当n =2时,最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。
假设结论对n -1元排列成立,下面证明对n 元排列也成立 ① 若元素i n =n 。
根据归纳法假设，i 1i 2…i n -1可经过不超过n -1次对换变成12… （n -1），亦即i 1i 2…i n -1i n 可经过不超过n —1次对换（<n 次）变成12…n ② 若元素i nn 。
不妨设i k =n ，只需对换元素i k 和i n ，即得第①种情形，故i 1i 2…i n 可经过不超过n 次对换变成12…n ⑵ 必要性设三条直线交于一点(x 0，y 0)，则x =x 0，y =y 0，z ＝1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000bz ay cx az cy bx cz by ax 故系数行列式0==ba c a cb cb a D 即))((222ca bc ab c b a c b a D ---++++-= ])()()[()(21222a c c b b a c b a -+-+-⋅++-=0=由于三条直线不同，因此，a ,b ，c 不能全部相等，故0=++c b a 。
充分性已知0=++c b a ，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+b ay cx a cy bx cby ax ① 将前两个方程相加，有)()()(a c y c b x b a +-=+++由于0=++c b a ，得b ay cx -=--，即第三个方程。
因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程（该方程是多余方程）,去掉第三个方程，方程组①变为⎩⎨⎧-=+-=+a cy bx cby ax ② 其系数行列式22)(c a ac b ac cb ba D +-=-==])([21)(22222c a c a ac c a -++-=-+-=显然D 0 ［否则，a =c =0，并由此得b =- (a +c ）=0，这与0=++c by ax 是直线方程矛盾]因此,方程组②亦即方程组①有唯一解,三条直线交于一点。