“中国剩余定理”问题的解题技巧
【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？
这种问题称为“中国剩余定理”问题。
我一般用两种方法解决这类问题。
第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。
第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。
还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。所以一般不用。
下面分别介绍一下常用的两种方法。
通用的方法：逐步满足法
【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？
把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.
所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。
特殊的方法：最小公倍法
情况一
【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外）
除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16.
情况二
【问题】一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少？
这种情况也可以用特殊法。
数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。
数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。
所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14.
多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。
所以有时候特殊法和通用法混合使用。在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。
我们接下来分析最开始的那个问题。
【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？
这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。
除以７余２的数可以写成7n＋2。
7n＋2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余数知识）
7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余数知识），则n最小取6。
所以满足“除以７余２，除以8余4”的最小的数是7×6＋2=44.
所有满足“除以７余２，除以8余4”的数都可以写成44＋56×m。（想想为什么？）
要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余数知识）
56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余数知识），则m最小取2。
所以满足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44＋56×2=156.
二项式定理11种题型解题技巧
二项式定理知识点及11种答题技巧 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？
剩余定理详细解法 中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？ 意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？ 《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23 如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。 刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题： 「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」 孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
中国剩余定理(孙子定理)
中国剩余定理（孙子定理） 问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。 定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。 定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 以上两个定理随便个例子即可证明！ 现给出求解该问题的具体步骤： 1、求出最小公倍数 lcm=3*5*7=105 2、求各个数所对应的基础数 （1）105÷3=35 35÷3=11......2 //基础数35 （2）105÷5=21 21÷5=4 (1) 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63 3、105÷7=15 15÷7=2 (1) 定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数） 35+63+30=128 4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下） x=128-105=23 那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。 （1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况） （2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。 （3）第三步基础数加和，为什么要这样做呢？利用就是上面提到的定理1。 35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。 （4）应该不能确定是不是最小的数，这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以减去它剩余下来的余数还是符合题
中国剩余定理问题的解题技巧
【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？ 这种问题称为“中国剩余定理”问题。 我一般用两种方法解决这类问题。 第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。 第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。 还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。所以一般不用。 下面分别介绍一下常用的两种方法。 通用的方法：逐步满足法 【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？ 把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，…… 然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11. 所以11就是所求的数。 先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。 好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。 特殊的方法：最小公倍法 情况一 【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外） 除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。 除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。 所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16. 情况二
【问题】一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少？ 这种情况也可以用特殊法。 数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。 数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。 所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14. 多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。 所以有时候特殊法和通用法混合使用。在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。 我们接下来分析最开始的那个问题。 【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？ 这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。 除以７余２的数可以写成7n＋2。 7n＋2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余数知识） 7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余数知识），则n最小取6。 所以满足“除以７余２，除以8余4”的最小的数是7×6＋2=44. 所有满足“除以７余２，除以8余4”的数都可以写成44＋56×m。（想想为什么？） 要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余数知识） 56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余数知识），则m最小取2。 所以满足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44＋56×2=156.
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数1 2n n C -,12n n C +同时
小学奥数：中国剩余定理
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。 解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人 问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰： 三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。 五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。 七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。 三乘五乘七，又得一百零五。 则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数
六下奥数1中国剩余定理
六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响 摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。 引言 随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。 在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。 如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成 在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： （1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；
戴维南定理典型例子_戴维南定理解题方法
戴维南定理典型例子_戴维南定理解题方法 什么是戴维南定理戴维南定理（又译为戴维宁定理）又称等效电压源定律，是由法国科学家L·C·戴维南于1883年提出的一个电学定理。由于早在1853年，亥姆霍兹也提出过本定理，所以又称亥姆霍兹-戴维南定理。其内容是：一个含有独立电压源、独立电流源及电阻的线性网络的两端，就其外部型态而言，在电性上可以用一个独立电压源V和一个松弛二端网络的串联电阻组合来等效。在单频交流系统中，此定理不仅只适用于电阻，也适用于广义的阻抗。戴维南定理在多电源多回路的复杂直流电路分析中有重要应用。 戴维南定理（Thevenin‘stheorem）：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻R0是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络N0的等效电阻。戴维南定理典型例子戴维南定理指出，等效二端网络的电动势E等于二端网络开路时的电压，它的串联内阻抗等于网络内部各独立源和电容电压、电感电流都为零时，从这二端看向网络的阻抗Zi。设二端网络N中含有独立电源和线性时不变二端元件（电阻器、电感器、电容器），这些元件之间可以有耦合，即可以有受控源及互感耦合；网络N的两端ɑ、b接有负载阻抗Z（s），但负载与网络N内部诸元件之间没有耦合，U（s）=I（s）/Z（s）。当网络N中所有独立电源都不工作（例如将独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替），所有电容电压和电感电流的初始值都为零的时候，可把这二端网络记作N0。这样，负载阻抗Z（s）中的电流I（s）一般就可以按下式1计算（图2）式中E（s）是图1二端网络N的开路电压，亦即Z（s）是无穷大时的电压U（s）；Zi（s）是二端网络N0呈现的阻抗；s是由单边拉普拉斯变换引进的复变量。 和戴维南定理类似，有诺顿定理或亥姆霍兹－诺顿定理。按照这一定理，任何含源线性时不变二端网络均可等效为二端电流源，它的电流J等于在网络二端短路线中流过的电流，并联内阻抗同样等于看向网络的阻抗。这样，图1中的电流I（s）一般可按下式2计算（图
(完整版)排列组合二项式定理新课
20.1.1 排列的概念 【教学目标】 1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法； 2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。 【教学重难点】 教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用 教学难点：排列数公式的推导 【教学课时】 二课时 【教学过程】 合作探究一：排列的定义 我们看下面的问题 （1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里 （2）从10名学生中选2名学生做正副班长； （3）从10名学生中选2名学生干部； 上述问题中哪个是排列问题？为什么？ 概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n个不同元素中，任取m（m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同） 按照一定的顺序 ．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 ．．．．。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二排列数的定义及公式 3、排列数：从n个不同元素中，任取m（m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导
探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n * ∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）4 10A ；(2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???L ，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A --B ．2979k A -C ．3079k A -D ．3050k A - 答案：1、5040、20、20；2、6；3、C 典型例题 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。 解：略 点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。 变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的 排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中，m =n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=L （叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）4 4A （3）)!1(-?n n 想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，25A 和3 355A A ÷有怎样的关系？ 那么，这个结果有没有一般性呢？ 排列数公式的另一种形式：
(小学奥数)5-5-6 中国剩余定理及余数性质拓展.学生版
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理 2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 一、中国剩余定理——中国古代趣题 （1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 （2）趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘． 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘． 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233?+?+?=，233105128-=，12810523-= 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？ 先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数． 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答． 二、核心思想和方法 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》知识点拨 教学目标 5-5-4.中国剩余定理 及余数性质拓展
戴维南定理的解析与练习
戴维宁定理 一、知识点： 1、二端（一端口）网络的概念：二端网络：具有向外引出一对端子的电路或网络。无源二端网 络：二端网络中没有独立电源。有源二端网络：二端网络中含有独立电源。 2、戴维宁（戴维南）定理任何一个线性有源二端网络都可以用一个电压为联的等效电路来代替。 如图所示：U OC 的理想电压源和一个电阻R0 串
L 等裁巴路J 等效电路的电压U OC是有源二端网络的开路电压，即将负载R-断开后a、b两端之间 的电压。 等效电路的电阻R o是有源二端网络中所有独立电源均置零（理想电压源用短路代替, 理想电流源用开路代替）后，所得到的无源二端网络a、b两端之间的等效电阻。
二、 例题：应用戴维南定理解题： 戴维南定理的解题步骤： 1?把电路划分为待求支路和有源二端网络两部分，如图 1中的虚线。 2?断开待求支路，形成有源二端网络（要画图） ，求有源二端网络的开路电压 UOG 3?将有源二端网络内的电源置零，保留其内阻（要画图） ，求网络的入端等效电阻 Rab 。 4?画出有源二端网络的等效电压源，其电压源电压 US=UOC （此时要注意电源的极性）， 内阻 R0=Rab= 5?将待求支路接到等效电压源上，利用欧姆定律求电流。 例1:电路如图，已知 5= 40V , U2=20V ，R1=R2=4，R3=13，试用戴维宁定理求电流 b 。 解：（1）断开待求支路求开路电压 UOC U 1 U 2 40 20 4 4 2.5A UOC =U2 + IR2 = 20 + 4 = 30V 或：UOC = U1 -I R1 = 40 - 4 30V UOC 也可用叠加原理等其它方法求。 （2） 求等效电阻R0 将所有独立电源置零（理想电压源 用短路代替，理想电流源用开路代替） R R ^~R L 2 R R 2 ]:师 画出等效电路求电流I 3 U OC R 。 R 3 2 13
浅析中国剩余定理及其应用
浅析中国剩余定理及其应用 李辉 （井冈山学院数理学院信息与计算科学 343009） 指导老师颜昌元 [摘要]：本文阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. [关键词]：中国剩余定理；解法;多项式；现代密码学 引言在中国,以剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的卜筮古法.秦九韶说:“圣有大衍,微寓于《易》”,即指此意.另外,同余理论的另一个来源是古代制定历法的需要.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.中国剩余定理对现代数学的研究有很强的启迪意义.特别是在多项式，密码学中的应用非常关键. 一中国剩余定理的由来 我国古代《孙子算经》中有一著名而又重要的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二、五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.答曰:二十三”.这一问题可译为:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合条件的最小的数.题中还介绍了它的解法:“术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之,得二百三十三,以二百十减之,即得.”意即:物数W=70×2+21×3+15×2-2×105=23.接下来又给出了这类题的一般解法(余数为一的情况):术文说:“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.”这个问题及其解法,在世界数学史上占有重要的地位,因此,中外数学家都尊称为“孙子定理”或“中国剩余定理”. 为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来,我们不妨先引进同余定义:一般地,若两个整数a、b被同一个大于1的整数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余.记作: a≡b (mod m）应用同余原理,我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来,是:设N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7),求最小的数N.答案是N=23. 书中问题及其解法,建立起数学模型就是: 设a、b、c为余数, P为整数,则N≡a(mod 3)≡b(mod 5)≡c(mod 7) 的解是: N=70a+21b+15c-105P (1) 现在,我们把上述解法中的a,b,c作一分析:设M=3×5×7,则 70=2×5×7=2×(3×5×7)/3=2×M/3
高中数学19种答题方法及6种解题思想
高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；
【数学】19种答题方法+6种解题思想
高中数学19种答题方法+6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；
中国剩余定理
中国剩余定理 孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下： 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。 中文名 孙子定理 外文名 Chinese remainder theorem(CRT) 分类 数学 提出 孙子 问题 一元线性同余方程组 又名 余数定理 目录 .1公式 .2文献 .3交换环上推广 .?主理想整环
.?一般的交换环 .4数论相关 .5例题解析 公式 用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组： 有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。 中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到： 设 是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设 是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。 设 为 模
的数论倒数( 为 模 意义下的逆元) 方程组 的通解形式为 在模 的意义下，方程组 只有一个解： 证明 [1]： 从假设可知，对任何 ，由于
，所以 这说明存在整数 使得 这样的 叫做 模 的数论倒数。考察乘积 可知： 所以 满足： 这说明
中国剩余定理
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 注释：三数为a b c，余数分别为m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。 孙子定理 孙子定理 1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。 k1%b==k1%c==0 && k1%a==1; k2%a==k2%c==0 && k2%b==1; k3%a==k3%b==0 && k3%c==1; 2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍即得结果。 Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c); P为满足Answer > 0的最大整数； 或者Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ; 解题思路： 令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。求M=？ 因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，
3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a 的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数； 再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数,该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数； 因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a； 同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。即，第一个数+第二个数之和，为满足除以A余a，除以B余b。 依此类推，按上面的方法寻找到除以各素因子的余数的数之总和，为满足除以各素因子余数的条件的数。总和再减去能被这几个素数共同整除的数（A*B*C*D*…*Z）N后，其差仍然保持除以各素因子余数的条件的数。由此构成孙子定理的解法。 （中国剩余定理CRT）设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj) =1,i≠j,i,j = 1,2,...,k 则同余方程组： x≡b1 （mod m1) x≡b2 （mod m2) ... x≡bk （mod mk)
戴维宁定理七种例题
戴维宁定理例题 例1 运用戴维宁定理求下图所示电路中的电压U0 图1 剖析：断开待求电压地址的支路（即3Ω电阻地址支路），将剩下一端口网络化为戴维宁等效电路，需恳求开路电压U oc和等效电阻R eq。 （1）求开路电压U oc，电路如下图所示 由电路联接联络得到，U oc=6I+3I，求解得到，I=9/9=1A，所以U oc=9V （2）求等效电阻R eq。上图电路中含受控源，需求用第二（外加电源法（加电压求电流或加电流求电压））或第三种（开路电压，短路电流法）办法求解，此刻独立源应置零。 法一：加压求流，电路如下图所示， 依据电路联接联络，得到U=6I+3I=9I（KVL），I=I0′6/(6+3)=(2/3)I0（并联分流），所以U=9′(2/3)I0=6I0，R eq=U/I0=6Ω 法二：开路电压、短路电流。开路电压前面已求出，U oc=9V，下面需恳求短路电流I sc。在求解短路电流的进程中，独立源要保存。电路如下图所示。
依据电路联接联络，得到6I1+3I=9（KVL），6I+3I=0（KVL），故I=0，得到I sc=I1=9/6=1.5A（KCL），所以R eq=U oc/I sc=6Ω 终究，等效电路如下图所示 依据电路联接，得到 留心： 核算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法仍是开路、短路法，要详细疑问详细剖析，以核算简练为好。戴维南定理典型例子 戴维南定理指出，等效二端网络的电动势E等于二端网络开路时的电压，它的串联内阻抗等于网络内部各独立源和电容电压、电感电流都为零时，从这二端看向网络的阻抗Zi。设二端网络N中含有独立电源和线性时不变二端元件（电阻器、电感器、电容器），这些元件之间可以有耦合，即可以有受控源及互感耦合；网络N的两端ɑ、b接有负载阻抗Z（s），但负载与网络N内部诸元件之间没有耦合，U（s）=I（s）/Z（s）。当网络N中所有独立电源都不工作（例如将独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替），所有电容电压和电感电流的初始值都为零的时候，可把这二端网络记作N0。这样，负载阻抗Z（s）中的电流I（s）一般就可以按下式1计算（图2）式中E（s）是图1二端网络N的开路电压，亦即Z（s）是无穷大时的电压U（s）；Zi（s）是二端网络N0呈现的阻抗；s是由单边拉普拉斯变换引进的复变量。