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高一数学下学期质量检测题

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2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题1．在ABC 中，3a =，1b =，60A =︒，则B =（）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【答案】A【分析】由正弦定理求得sin B ，再结合边的关系即可得解．【详解】由正弦定理sin sin a b A B=，所以31sin 12sin 23b A B a ⨯===，又a b >，所以A B >所以30B = ．故选：A.2．已知水平放置的ABC 按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，2A O ''=，那么ABC 的周长为（）A ．6B ．222+C ．2215+D ．2217+【答案】D【分析】根据斜二测画法的规则作出原图ABC ，求出各个边长即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则作出原图ABC 如图：由直观图中1B O C O ''''==，2A O ''=，可得ABC 中，1BO CO ==，4AO =，因为AO BC ⊥，则224117AB AC ==+=，又底边2BC =，所以ABC 的周长为2217+.故选：D.3．某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计.将所得成绩分成5组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.则第4组的学生人数为（）A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】A【分析】先根据频率分布直方图中小矩形面积之和等于1，求出m 的值，再由第四个小矩形面积乘以100即可求解.【详解】由图可得:()0.010.020.060.0751m ++++⨯=，解得0.04m =，所以第四组的人数为0.04510020⨯⨯=.故选：A.4．设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）①//m α，//αβ，则//m β；②m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ；③m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥；④n β⊂，m α⊥，//m n ，则αβ⊥.A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D【分析】根据线面平行和面面平行的性质可判断①②；根据线面垂直和面面垂直的性质可判断③④，由此可得选项.【详解】解：①若//m α，//αβ，则//m β或m β⊂，故①错误；②若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n 或m 与n 异面，故②错误；③若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，又n β⊥，则m n ⊥，故③正确；④若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，m α⊥，可得αβ⊥，故④正确.故选：D.5．设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A ．89B ．223C ．63D ．23【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，求得圆锥的侧面积和底面积，即可得出母线长和半径的关系，然后利用勾股定理即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由题意得23rl r ππ=，解得3l r =，又222l r h =+，则22h r =，223h l =．故选：B.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，3CO CE →→=，BE 的延长线与CD 交于点F .若→→=AB a ，AD b →→=，则EF →=（）A ．6176a b→→-B ．11306a b→→-+C ．11306a b→→+D ．61+76a b→→【答案】B【分析】根据向量的线性运算律进行运算.【详解】解：如图所示：由3CO CE →→=得15CE EA =，由//DC AB 得EFC ∽EBA △，∴15CF CE AB EA ==，又∵DC AB =，∴15CF DC =，111111116565306306EF EC CF AC CD DC DA DC DC DA a b →→→→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=--=--=-+ ⎪⎝⎭，故选：B.7．已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，体积为23，M 为1A B 中点，则点M 到平面11A B C的距离为（）A ．217B ．455C ．77D ．233【答案】A【分析】根据三棱柱的体积求出棱长，设M 到平面11A B C 的距离为d ，利用1111M A B C C A B M V V --=以及棱锥的体积公式即可求解.【详解】直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，设棱长为a ，因为体积为23，所以213234ABC V S AA a a =⋅=⋅= ，解得：2a =，设点M 到平面11A B C 的距离为d ，因为112A B =，1122CB CA ==，所以11A B C 中，11A B 边上的高为()222217-=，则1112772CA B S =⨯⨯= ，取AB 的中点H ，连接CH ，则CH AB ⊥，因为1AA ⊥面ABC ，CH ⊂面ABC ，所以1AA ⊥CH ，因为1AA AB A = ，所以CH ⊥面11ABB A ，在ABC 中，3CH =，由1111M A B C C A B M V V --=，即11111133B M CA B A d S CH S ⋅⋅=⋅⋅ ，即1117321332d ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，解得：217d =，故点M 到平面11A B C 的距离为217，故选：A.8．下列四个命题正确的个数为（）①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为16；②现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；③新高考改革实行“312++”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为12.A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】对于①，利用列举法分析判断，对于②，利用百分位数的定义求解即可，对于③，利用列举法分析判断【详解】①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为6636⨯=种，向上点数之和不小于10的基本事件有()4,6，()5,5，()5,6，()6,4，()6,5，()6,6共6种，所以所求事件的概率61366P ==，故①正确，②：因为775% 5.25⨯=，所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68，故②错误，③：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为246C =，选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）共3种，所以所求事件的概率3162P ==，故③正确，故选：B.二、多选题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是11,A D BD 的中点，则（）A ．四点A ，M ，N ，C 共面B ．MN ∥CDC ．1AD ∥平面1BCD D ．若1MN =，则正方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为12π【答案】BD【分析】连接1AD 和1BC ，由此可知点A ，M ，N 在平面11ABC D 中，而点C 不在平面11ABC D 中，即可判断选项A ；由已知得MN 为△1ABD 的中位线，利用中位线的性质即可判断选项B ；由已知得点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,1A D 与平面11A BCD 相交，即可判断选项C ；由1MN =即可求得正方体的棱长为2，则可以求出正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径，即可判断选项D .【详解】对于选项A ，连接1AD 和1BC ，由此可知点A ，M ，N 在平面11ABC D 中，点C ∉平面11ABC D ，则四点A ，M ，N ，C 不共面，即选项A 不正确；对于选项B ，由正方体的性质结合条件可知M ，N 分别是11,AD BD 的中点，所以MN ∥AB ,又因为CD ∥AB ,所以MN ∥CD ，即选项B 正确；对于选项C ，点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,所以1A D 与平面1BCD 相交，即选项C 不正确；对于选项D ，因为MN 为△1ABD 的中位线，且1MN =，所以正方体的棱长为2，设正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为R ,则2221112=23R D A AA AB ++=,即3R =，则外接球的表面积为24π12πS R ==,即选项D 正确；故选：BD .10．已知复数13z i =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z=，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为32i 【答案】ABC【分析】对选项,A 求出13=22w i -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为32,判断得解.【详解】对选项,A 由题得13,z i =--213(13)22313=42213(13)(13)i i i w i ii i -----+∴===-+-+-+--.所以复数w 对应的点为13(,)22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为13144w =+=，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为32,所以选项D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A ．甲与乙互斥B ．乙与丙互斥C ．甲与乙独立D ．甲与乙对立【答案】BC【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项.【详解】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A 错误.事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B 正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A 表示事件甲，用B 表示事件乙，()()()111,,224P A P B P AB ===，则()()()P AB P A P B =，所以甲与乙独立，C 正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.故选：BC12．设△ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，若2cos sin cos sin ac A B b B C =，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理与二倍角的正弦公式可得A B =或2A B π+=，从而可得正确的选项.【详解】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===知：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，由2cos sin cos sin ac A B b B C =知：2224sin sin cos sin 4sin cos sin R A C A B R B B C=所以sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，而(),,0,A B A B π+∈，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=所以△ABC 是等腰三角形，或直角三角形，故选：AC.三、填空题13．已知一组数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3（其中a R ∈），则中位数为．【答案】3.5【分析】首先根据平均数求出参数a ，即可一一列出数据，再求出数据的中位数即可；【详解】解：因为数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3，所以32451936a a -+++-++=⨯，解得2a =，所以则组数据分别是3,4,4,3,1,9-，按从小到大排列分别为3,1,3,4,4,9-，故中位数为343.52+=故答案为：3.514．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =.【答案】22【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为.【答案】2764【分析】直接利用二项分布的概率公式即可求解【详解】由题意，甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为223332714464C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2764.16．已知正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为.【答案】92π【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.【详解】设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为45，∴21421452b ⨯⨯⨯-=，解得6b =，∴正四棱锥P ABCD -的高622h =-=，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在正四棱锥P ABCD -的高所在直线上，如图，设球O 的半径为R ，则()()22222R R -+=，解得32R =，则球O 的体积为334439R 3322V πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：92π.四、解答题17．已知函数()2332sin cos 3sin cos 222f x x x x x =+--．(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)若θ为锐角，π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos θ的值．【答案】(1)511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)255【分析】（1）利用三角变换公式可得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用整体法可求单调减区间.（2）利用两角差的余弦可求cos θ的值.【详解】（1）()223sin 23sin 2cos sin 23cos 22sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+-⨯=-=- ⎪⎝⎭，令3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，则511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数()f x 的单调递减区间为511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得10sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因θ为锐角，故444πππθ-<-<，而sin 04πθ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故044ππθ<-<，所以310cos 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而2241025cos cos cos sin 442442105ππππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.18．已知平面向量a →，b →满足()1,3a →=，102b →=.（1）若//b a →→，求b →的坐标；（2）若25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求32a b →→-的值；（3）若a →在b →上的投影向量为2b →-，求a →与b →的夹角.【答案】（1）13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）310；（3）34π.【分析】（1）由题意设()1,3b λ→=，解方程2210132λ+=即得解；（2）根据25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出56a b →→⋅=，利用22329124a b a a b b →→→→→→-=-⋅+求解；（3）设a →与b →的夹角为θ，[0,]θπ∈，解方程cos 2ba b b θ→→→→⋅⋅=-得解.【详解】解：（1）由题意设()1,3b λ→=，2210132b λ→=+=，解得12λ=±，即13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，（2）∵25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴250a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222950a a b b →→→→-⋅-=，即()22102139504a b →→⨯+-⋅-⨯=，故56a b →→⋅=，所以22329124*********a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=-+=，（3）设a →与b →的夹角为θ，[0,]θπ∈，则cos 2b a b b θ→→→→⋅⋅=-，即10cos 2102b b θ→→⋅⋅=-，即2cos 2θ=-，因为[0,]θπ∈，所以34πθ=.所以a →与b →的夹角为34π.19．某大学为调研学生在A 、B 两家餐厅用餐的满意度，从在A 、B 两家都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分为6组：[010)，、[10)20，、[20)30，、[30)40，、[40)50，、[5060]，，得到A 餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：（1）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（2）从对B 餐厅评分在[020)，范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[010)，范围内的概率.（3）如果从A 、B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.【答案】（1）20人；（2）35；（3）选择B 餐厅用餐，理由见解析.【分析】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；（2）对B 餐厅评分在[010)，范围内的有2人，记为m 、n ，对B 餐厅评分在[10)20，范围内的有3人，记为a 、b 、c ，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．【详解】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30分的频率为：(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，∴对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=人，（2）对B 餐厅评分在[010)，范围内的有2人，设为m 、n ，对B 餐厅评分在[10)20，范围内的有3人，设为a 、b 、c ，从这5人中随机选出2人的选法为：mn 、ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc 、ab 、ac 、bc ，共10种，其中恰有1人评分在[010)，范围内的选法包括：ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc ，共6种，故2人中恰有1人评分在[010)，范围内的概率为63105P ==，（3）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20，∴A 餐厅评分低于30分的人数所占的比例为20%，B 餐厅评分低于30分的人数为23510++=，∴B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%，∴会选择B 餐厅用餐.20．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,2,45b c B ==∠= .（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2）2525.【解析】（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出5sin 5C =，再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解.【详解】在ABC 中，因为5b =，2c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，得52sin 45sin C= .所以5sin 5C =在ADC △中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ，所以C ∠为锐角故225cos 1sin 5C C =-=因为4cos 5ADC ∠=-，所以22431cos 155sin ADC ADC ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪⎝⎭，()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C=∠∠+∠∠3254525555525=⨯-⨯=【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出4cos 5ADC ∠=-，可得ADC ∠为钝角，从而C ∠为锐角，可确定cos C 的值.21．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求三棱锥1C C DE -的体积；（2）求异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【答案】（1）43；（2）25.【解析】（1）因为11C C DE C CDE V V --=，由正四棱柱1111ABCD A B C D -，可知1CC 为点1C 到平面CDE 的高，结合已知，即可求得答案；（2）取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQ ，证明//NQ MB 且NQ MB =，可得1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角)，求解三角形可得115,17,25DE C E C D ===再由余弦定理可得异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【详解】（1） 1113C C DE C CDE CDE V V S h --∆==，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中∴1CC ⊥平面ABCD ，即1CC 为点1C 到平面CDE 的高111111421432323C C DE V CD CE CC -∴=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（2）取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQN 为1A D 的中点∴1//NQ AA 且112NQ AA =， M 为1BB 的中点，∴1//MB AA ，且112MB AA =∴//NQ MB 且NQ MB=∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ 且MN BQ=同理可证//DE BQ 且DE BQ=∴//MN DE 且MN DE=∴1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角).在正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 中点∴115,17,25DE C E C D ===∴22211112cos 25DE DC C C D E E DC DE +-∠==⋅⋅.∴异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值为25.【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.22．如图，平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，3AB AD BC ===，23BD =，以BD 为折痕将ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且6PC =.（1）若E 为棱PD 中点，求异面直线CE 与PB 所成角的余弦值；（2）证明：平面BCD ⊥平面PBC ；（3）求二面角P BD C --的平面角的正弦值.【答案】（1）13；（2）证明见解析；（3）306.【分析】（1）取DB 的中点M ，连接ME ，MC ，CE ，证明出MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角，分别求出NE 、EC 、CM ，在MEC 中，由余弦定理求出异面直线CE 与PB 所成角的余弦值；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明平面BCD ⊥平面PBC ；（3）解：在平面PBC 内，过点P 作PF BC ⊥于F ，连接MF ，证明出PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角，求出PF ，PM ，在Rt PFM △中，可以求出二面角P BD C --的平面角的正弦值.【详解】（1）解：取DB 的中点M ，连接ME ，MC ，CE ，因为E 为PD 的中点，则//ME PB ，则MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角，在PCD 中，6PC =，3CD =，3PD =，则222PD PC CD =+，所以PCD 为直角三角形，则1322CE PD ==，在MEC 中，1322ME PB ==，132MC BD ==，32CE =，由余弦定理可得，222993144cos 3323222ME CE MC MEC ME CE +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，故异面直线CE 与PB 所成角的余弦值为13；（2）证明：由（1）可知，CD PC ⊥，又CD BC ⊥，PC BC C ⋂=，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，又CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面PBC ；（3）解：在平面PBC 内，过点P 作PF BC ⊥于F ，连接MF ，由（2）可知，平面BCD ⊥平面PBC ，又平面BCD 平面PBC BC =，所以PF ⊥平面BCD ，因为PM BD ⊥，由三垂线定理可得，MF BD ⊥，则PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角，在PBC 中，由余弦定理可得2229962cos 22333PB BC PC B PB BC +-+-===⋅⋅⨯⨯，在Rt PBF 中，2cos 33BF BF B PB ===，所以2,945BF PF ==-=，在等腰PBD △中，22936PM PB BM =-=-=，在Rt PFM △中，530sin 66PF PMF PM ∠===，故二面角P BD C --的平面角的正弦值为306.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1)直接法；(2)等体积法；(3)补形法；(4)向量法.。

浙江省高一下学期3月质量检测数学试题(解析版)

浙江省高一下学期3月质量检测数学试题(解析版)

一、单选题1．已知向量，，，且，则（ ）()1,a k = ()2,3b =()2,2c =- ()a b c -⊥ k =A ．4 B ． C ．2 D ．4-2-【答案】C【分析】求出，用向量的数量积公式求解即可求出参数. (1,3)a b k -=--【详解】因为，，所以，()1,a k = ()2,3b = (1,3)a b k -=--又因为，所以，即，解得.()a b c -⊥()0a b c -⋅=r r r 22(3)0k +-=2k =故选：C2．若（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） ()1i 22i z +=-i z A ． B ．2C ．D ．22i -2i -2-【答案】D【分析】利用复数的除法运算求出，再利用复数的概念作答. z 【详解】依题意，， 22i (22i)(1i)4i2i 1i (1i)(1i)2z ----====-++-所以复数的虚部为. z 2-故选：D3．在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角ABC A A B C a b c cos cos a B b A=ABC A 形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用余弦定理角化边，由探求出的形状，再结合充分条件、必要条件的定cos cos a B b A=ABC A 义直接判断即可.【详解】在中，由结合余弦定理得：，整理得： ABC A cos cos a B b A =22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，即，则或，为等腰三角形或直224224a c a b c b -=-22222()()0a b a b c -+-=a b =222+=a b c ABC A 角三角形， 即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，cos cos a B b A=ABC A ABC A 不能保证有成立， cos cos a B b A=所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件. cos cos a B b A=ABC A 故选：D4．已知为第一象限角，且，则的值为（ ） α4tan 3α=sin 2αA B ．C ． D ．15【答案】C【分析】根据为第一象限角得出为第一或第三象限角，然后利用同角三角函数的基本关系求出α2α，利用半角公式再分情况进行求解. 3cos 5α=【详解】因为为第一象限角，则，所以απ2π2π,Z 2k k k α<<+∈πππ,Z 24k k k α<<+∈故为第一或第三象限角．且，则． 2α4tan 3α=35=cos α当为第一象限角时， 2αsin 2α==当为第三象限角时， 2αsin2α==故选：C ．5．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且A B C '''A ABC A D ¢B C ''A D y ''∥轴，轴，，则（ ）B C x ''∥2,2A D B C ''''==A ．的长度大于的长度 BC ACB ．的面积为4 ABC A C ．的面积为2 A B C '''AD ． π3ABC ∠=【答案】B【分析】根据斜二测画法确定原图形，由此判断各选项. 【详解】由图象知：，，2BC B C ''==24''==AD A D ，为的中点AD BC ⊥D BC所以A 错误；AC =的面积，B 正确；ABC A 142S BC AD =⨯⨯=因为，，45A D C '''∠= 2A D ''=所以的上的高 A B C '''A B C ''sin 45A E A D '''==的面积，C 错误，A B C '''A 122S =⨯=，所以，D 错误. tan 4AD ABC BD ∠==π3ABC ∠≠故选：B6．已知中，，，，过点作垂直于点，则（ ） ABO A 1OA =2OB =1OA OB ⋅=-O OD AB D A ．B ．5277OD OA OB =+ 3477OD OA OB =+C ．D ．2577OD OA OB =+ 4377OD OA OB =+ 【答案】A【分析】根据求得，再用余弦定理求得，利用等面积法求得1OA OB ⋅=-120AOB ︒∠=AB =，从而，最后分解为已知向量即可.OD AD =27AD AB = 【详解】即，cos 2cos 1,OA OB OA OB AOB AOB ⋅=∠=∠=- 1cos 2AOB ∠=-又因为，所以. 0180AOB ︒︒<∠<120AOB ︒∠=在中，根据余弦定理可得：AOB A，即，2222cos1207AB OA OB OA OB ︒=+-⋅⋅=AB =根据三角形面积公式，解得11sin12022AOB SAB OD OA OB ︒=⋅=⋅⋅A OD ， AD ∴==27AD AB ∴= .()22527777OD OA AD OA AB OA OB OA OA OB ∴=+++-===+ 故选：A7．如图所示，唐唐在背景墙上安装了一台视频监视器，为唐唐坐在工位上时相当于眼睛位置的P 一点，在背景墙上的水平投影点为，过作垂直于地面的直线，分别交监视器上、下端于P B B AB 、两点，测得，若，则为唐唐看监视器的A H2m 1.5m AB BH ==，APB HPB ∠α∠β==，αβ-视角. 唐唐通过调整工位使视角取得最大值，此时的长为（）PBAB C ． D 2m 【答案】A【分析】由题意可知，，要使最大，只要最大即可，在,,0,2παβαβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭αβ-()tan αβ-和中，可得的关系，再根据两角差的余弦公式化简整理从而可得出答Rt APB A Rt HPB A tan ,tan αβ案.【详解】解：由题意可知，，则，,,0,2παβαβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭tan tan 0αβ>>因为函数在递增，tan y x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭则要使最大，只要最大即可， αβ-()tan αβ-在中，， Rt APB A 2tan AB PB PBα==在中，， Rt HPB A 1.5tan HB PB PBβ==所以，即， tan 24tan 1.53αβ==4tan tan 3αβ=则 ()21tan tan tan 13tan 431tan tan 1tan 4tan 3tan βαβαβαββββ--===≤+++当且仅当，即 34tan tan ββ=tan β=此时 tan α=， 1.5tan PB β==所以视角取得最大值时，PB 故选：A.8．在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒ABC A 1AB AC ==D ABC A t R ∈DC t DB BC -⋅≥ 成立，且，则的最大值为（ ） BD BC =ADA ．B ．CD ．1+3+4【答案】A【分析】先利用以及化简得到，从而得到在下DC DB BC =+DC t DB BC -⋅≥ cos 0CBD ∠=D BC 方时最大，设，通过勾股定理表示出，结合倍角公式以及辅助角公式AD ,02ABC πθθ∠=<<AD 即可求得最大值.【详解】如图，因为，由可得，即DC DB BC =+DC t DB BC -⋅≥ DB t DB BC BC -⋅≥+ ，()1B B t BC C D -⋅≥+两边平方得，化简得，()()2222211BC t BC DB t DB BC +-⋅+-≥ ()()222110t BC DB t DB -⋅+-≥ 又，令，2cos cos BC DB BC BD BC BD CBD BD CBD ⋅=-⋅=-⋅∠=-∠ cos CBD m ∠=可得，即，整理得()()2222110t m BD t DB --+-≥ ()()22110t m t --+-≥2(22)120t m t m +-+-≥对任意恒成立，t R ∈故，整理得，即，即，故，要使()2224(12)0m m ∆=---≤20m ≤0m =cos 0CBD ∠=2CBD π∠=最大，显然在下方， ADD BC 如图2所示，设，过作的垂线交的延长线于，由,02ABC πθθ∠=<<A BD BD EEAB ABC θ∠=∠=可得，又，故cos cos ,sin sin AE AB BE AB θθθθ=⋅==⋅=22cos BD BC AE θ===AD ==又===， 50,22444ππππθθ<<<+<可得当，即时，，242ππθ+=8πθ=AD 1==+故的最大值为AD1故选：A.【点睛】本题关键点在于先利用以及化简得到DC DB BC =+DC t DB BC -⋅≥ ，结合恒成立求得，进而设出，表示出()()22110t m t --+-≥cos 0CBD ∠=,02ABC πθθ∠=<<，利用二倍角公式及辅助角公式求最值即可.AD二、多选题9．下列命题不正确的有（ ）A ．复数为纯虚数的必要条件是i z a b =+0a =B ．若非零向量满足，则 ,,a b c a b a c ⋅=⋅b c = C ．在中，若，则 ABC A A B >cos cos A B <D ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】BD【分析】根据纯虚数的定义判断A ，根据数量积的性质判断B ，根据余弦函数的性质判断C ，根据正棱锥的定义判断D.【详解】对于，复数为纯虚数的必要条件是，正确．A i z a b =+0a =A 对于B ，由知，在上的投影向量相等，两者并不一定相等，故B 错误．a b a c ⋅=⋅,b c a对于C ，在中，，，因为函数在上为减函数，所以ABC A A B >(),0,πA B ∈cos y x =()0,π，故C 正确．cos cos A B <对于D ，底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故D 错误， 故选：BD.10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，12O O ABCD ，且，下列说法正确的有（ ）2cm AB AD BC ===2CD AB =A ．该圆台轴截面面积为 ABCD 2B ．该圆台的体积为314πcm 3C ．该圆台的侧面积为26πcm D ．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为 C AD 5cm 【答案】ACD【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A ；由台体的体积公式可判断选项B ；由台体的侧面积公式可判断选项C ；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断AD P CP 选项D.【详解】对于，由，且，A 2AB AD BC ===2CD AB =可得，高4CD =12O O ==则圆台轴截面的面积为，故A 正确；ABCD ()214m 22⨯+=对于B ，圆台的体积为，故B 错误；()31π124cm 3V =++=对于C ，圆台的体积为，故C 正确；()π1226πS =+⨯=侧对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角D 4cm 2cm ． 2π2π4θ⋅==设的中点为，连接，可得，AD P CP 90,4,213COP OC OP ∠===+=则．5CP ==所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．C AD 5cm D故选：ACD ．11．已知点为所在平面内一点，满足，下列说法正确的有（ ）O ABC A 0OC OB OA λμ++=A ．若，则为锐角三角形0AB BC ⋅>ABC A B ．若，且，则||||||1OA OB OC === 1λμ==32OA AB ⋅=- C ．若与的面积之比为2,3,AOB λμ=-=-A ABC A 1:4D ．若，且，则满足0OA OB ⋅=||||||1OA OB OC === ,λμ221λμ+=【答案】BCD【分析】根据向量数量积判断夹角为锐角可判断A ，由条件可确定为的外心和重心，即中O ABC A 心，确定三角形为等边三角形，据此可计算而判断B ，由条件可得出在上且OA AB ⋅D AB ，即可得出三角形的 面积比而判断C ，由条件得出，两边平方即15OC OD =()OC OB OA λμ=-+ 可得解，从而判断D.【详解】对于A ，由，则为钝角，故为钝角三角形，错误；0AB BC ⋅>B ABC A A 对于，由于且时，，B ||||||1OA OB OC === 1λμ==0OC OB OA ++=故为的外心和重心，故为等边三角形，O ABC A ABC A则，由可得30BAO ∠= ||||||1OA OB OC ===21cos30AB =⨯⨯=故，故B 正确； 31cos1502OA AB ⋅==- 对于C ，，则，记23OC OB OA =+ 123555OC OB OA =+2355OD OB OA =+ 则在上，且，D AB 32AD DB =由知，到的距离与到的距离之比为，所以与的面积之比为15OC OD =O AB C AB 1:4AOB A ABC A ，故C 正确；1:4对于D ，因为，且，0OA OB ⋅=||||||1OA OB OC ===由得，，0OC OB OA λμ++=()OC OB OA λμ=-+ 所以，即，故D 正确．2222221OC OB OA OB OA λλμμ=+⋅+= 221λμ+=故选：BCD12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，BC 边上的中线，则下列说2a =2AD =法正确的有（ ）A ．与均为定值B ． AB AC ⋅u u u r u u u r AD BC ⋅2210b c +=C ．D ．的最大值为13co 5s ≤<A BAD ∠6π【答案】BCD【分析】对A ，利用中点可得，，即可确定为定值，利用D AB AD DB =+ AC AD DB =-u u ur u u u r u u u r AB AC ⋅u u u r u u u r 数量积的公式可判断是否为定值；对B ，根据，结合余弦定理即可AD BC ⋅cos cos ADC ADB ∠=-∠判断；对C ，根据余弦定理结合基本不等式可知，再由A 中为定值可知2cos 1A bc≥-AB AC ⋅u u u r u u u r ，代入不等关系中，即可判断；对D，利用余弦定理结合基本不等式可知cos 3bc A =，进而判断. cos BAD ∠≥【详解】由题，对于A 选项，，为定值；()()22413AB AC AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅-=-=-= ，不是定值，故A 错误； cos ,4cos ,AD BC AD BC AD BC AD BC ⋅=⋅⋅<>=<>对于B 选项，因为，cos cos ADC ADB ∠=-∠所以2222222cos 2cos b c AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB +=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠，故B 正确；2222222221110AD DC DB =++=⨯++=对于选项C ，，当且仅当时，等号成立，222242cos 122b c a bc A bc bc bc +--=≥=-b c =由A 选项可知，，所以，解得，故C 正确；cos 3bc A =22cos cos 1133cos AA A≥-=-3cos 5A ≥对于D 选项，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=c =，所以，所以为锐角，BD AD <BAD ABD ∠<∠BAD ∠又，所以，故D 正确，cos BAD ∠≥0,6BAD π⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦故选：BCD三、填空题13．已知，满足的取值范围是__________． icos ,R z θθθ=+∈z <θ【答案】 ππππ,Z 44k k k θ-+<<+∈【分析】根据复数模，解三角不等式求解.【详解】因为，z <2|2|z <由得，， 2222||)cos 2sin 12z θθθ=+=+<21sin 2θ<即． sin θ<<ππππ,Z 44k k k θ-+<<+∈故答案为：ππππ,Z 44k k k θ-+<<+∈14．已知点，且，若点在第一､三象限的角平()()()()2,3,5,4,3,50A B AC λλλ=≠ AP AB AC =+P 分线上，则的值为__________． λ【答案】##0.512【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出点的坐标，再由点的横纵坐标相等求解.P 【详解】，则点坐标为，()33,15AP AB AC λλ=+=++P ()53,45λλ++由于点在第一､三象限的角平分线上，则，解得． P 5345λλ+=+12λ=故答案为：1215．已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________． 32π3【答案】32π【分析】由球的体积公式求出内切球的半径，设底面半径为，结合图形利用表示母线，根R R AB 据圆锥表面积公式求其表面积的解析式，利用基本不等式求其最小值.【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得， r 3432ππ33r =2r =设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为， A B C 内切球球心为，内切球切母线于， D AB E 底面半径， 2,BC R BDC ∠θ=>=则，又， tan 2Rθ=π2ADE θ∠=-由已知为直角三角形， ,BDE BDC A A 又，， DC DE =BD BD =所以，BDE BDC ≅A A所以， ,BE BC R BDE BDC θ==∠=∠=所以，π2ADE θ∠=-故，()2tan π22tan2AB BE AE R R θθ=+=+-=-又， 2222tan 4tan21tan 414R RR R θθθ===---故， ()2224844R R R AB R R R +=-=--故该圆锥的表面积为，()224222π42ππ44R R R S R R R +=+=--令则， 240,t R =->22π(4)162π82π832πt S t t t ⎛⎫+⎛⎫==++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即16t t=4,t R ==故答案为：.32π16．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在ABC ,,A B C ,,a b c 22a b bc -=()cos cos C B A λ-+最大值，则实数的取值范围是__________． λ【答案】02λ<<【分析】先利用余弦定理结合可得，再利用正弦定理化边为角，再结合三22a b bc -=2cos c b A b -=角形内角和定理，求出的关系，从而可将都用表示，再根据三角形为锐角三角形求出,A B ,C A B B 的范围，再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解.【详解】由余弦定理可得，则， 22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b A b -=由正弦定理可得()sin sin 2sin cos sin 2cos sin B C B A A B A B =-=+-，()sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B A B A B =+-=-=-因为为锐角三角形，则，所以，ABC A ππ0,022A B <<<<ππ22A B -<-<又因为函数在内单调递增，所以，可得，sin y x =ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B -=2A B =由于为锐角三角形，则，即，解得， ABC A π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π022π02π032B B B π⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩π6π4B <<则 ()()cos cos cos π4cos2cos2cos4C B A B B B B λλλ-+=-+=-，22cos 2cos21B B λ=-++因为，所以，则，π6π4B <<ππ232B <<10cos22B <<因为存在最大值，则，解得． 22cos 2cos21B B λ-++1042λ<<02λ<<故答案为：．02λ<<【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理和正弦定理结合已知条件求得.2A B =四、解答题17．在三角形中，是的中点． ABC π,6,4,2A AB ACD ===AB (1)求在上的投影向量；CD AC(2)若，求的取值范围．1CP = PA PB ⋅【答案】(1)； AC -(2)． []7,27【分析】（1）根据直角三角形可知在上的投影向量；CD AC（2）由向量的加法、减法运算可知，再由圆上动点到定点的距离的范围求解22PA PB PD AD ⋅=-即可.【详解】（1）在上的投影向量的模长即，CD AC 4AC =故在上的投影向量为．CD AC AC - （2）， 222()())(9()PAPB PD AD PD DB PDAD PD AD PD AD PD ⋅==--=-⋅+⋅+=- 因为，，1CP = 5||D C所以，即，， ||1||||1CD PD CD -≤≤+[]4,6PD ∈ 21636PD ≤≤ 故的取值范围为.PA PB ⋅[]7,2718．已知复数，其中为虚数单位．i z a b =+,R,i a b ∈(1)当时，求的取值范围（几何方法需画图并解释）；5z =1z -(2)若，，且，求的实部的取值范围．0b ≠1R z z ω=+∈12ω-<<z 【答案】(1)[]4,6(2)1(,1)2-【分析】（1）由，得到，结合圆的性质和的几何5z =2225a b +=1z -意义即可求解；（2）化简得到，结合，得到，求得，得到()()2222222211i a b a a b b a ba bω+++-=+++R ω∈221a b +=2a ω=不等式，即可求解.122a -<<【详解】（1）解：由题意知，复数，其中为虚数单位， i z a b =+,R,i a b ∈因为，即， 5z =5=2225a b +=，可得的几何意义表示圆上一点到定点的距离，1z -(1,0)如图所示，根据圆的性质及的几何意义，可得，（d 为圆心到定点的距离） 1z -416d r z d r =-£-£+=所以的取值范围是.1z -[]4,6（2）解：由题意知，i,0z a b b =+≠则， ()()22222222221111i i i i i a b a a b b a b z a b a b z a b a b a b a bω+++--=+=++=++=+++++又，则，所以，可得，R ω∈()222210ab b a b+-=+221a b +=2a ω=因为，所以，解得，即实数的取值范围为.12ω-<<122a -<<112a -<<a 1(,1)2-19．在中，角，，的对边分别是，，，满足 ABC A A B C a b c ()()a b c a b c ab +++-=(1)求角；C (2)若角的平分线交于点，且，求的最小值. C ABD 2CD =2a b +【答案】(1)23π(2) 6+【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；(2)利用正弦定理得到，，然后利用基本不等式即可求解. sin 21sin A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 21sin B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭【详解】（1）由可得：，()()a b c a b c ab +++-=222a b c ab +-=-由余弦定理知，，2221cos 222a b c ab C ab ab +==-=--又因此. ()0,πC ∈2π3C =（2）在中，由，得， ACD A πsin sin3CD ADA =AD 在中，由，可得BCD △πsin sin 3CD BDB=BD =所以 c AD BD =+=在中，由，得ABC A sin sin sin a b cA B C ==sin sin a b A B ==解得，， sin 21sin A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 21sin B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭所以， 2sin sin 223sin sin A B a b B A ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为，，sin 0A >sin 0B >所以，(223236a b ⎛+≥+=+=+ ⎝当且仅当时取等号， 222sin sin A B =因此的最小值为.2a b+6+20．如图，在边长为4的正△ABC 中，E 为AB 的中点，D 为BC 中点，，令，3AD AF =AB a = ，AC b =(1)试用、表示向量；a b EF(2)延长线段EF 交AC 于P ，求的值.EF DP ⋅【答案】(1)1136a b EF =-+(2) 2【分析】（1）利用三角形法则及向量的线性运算即可求解；（2）利用向量的线性运算可知，再利用向量的数量积即可求解.1124DP a b =--【详解】（1）11111()23232EF EA AF AB AD AB AC AB =+=-+=-+⨯+111266AB AC AB =-++ 1136AB AC =-+1136a b =-+ （2）设，AP AC λ=u u u ru u u r(0,1)λ∈1122EP EA AP EA AC AB AC a b λλλ=+=+=-+=-+由于与共线，则，即， EF EP EF k EP = 111362a b k a b λ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭即，则，解得，即，110236k a k b λ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1023106k k λ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩14λ=14AP AC =1313()2424DP DC CP BC AC BA AC AC =+=-=+-11112424AB AC a b =--=--所以221111111136246121224EF DP a b a b a a b a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅--=+⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221111442624624a b =-=⨯-⨯= 21．为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB 长为4km ，四边形的另外两个顶点C ， D 设计在以AB 为直径的半圆O 上. 记. 02COB παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭(1)为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km 2，则应设3COD π∠=(3+α计在什么范围内(2)若BC = AD ， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值. αABCD 【答案】(1)62ππα≤<(2)，10km3πα=【分析】（1）由，利用三角形面积公式得到ABCD OBC OCD OAD S S S S =++A A A πsin 6α⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭（2） 由BC = AD 得到，进而得到,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-AB BC CD DA +++=，利用二次函数的性质求解.28sin 8sin822αα-++【详解】（1）解：， 11π1222sin 22sin 22sin π22323ABCD OBC OCD OAD S S S S αα⎛⎫=++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭A A A，π2sin sin 6αααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭由题意， ，π36α⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭sin(6πα+因为，所以， 02πα<<ππ2π363α≤+<解得； ππ62α≤<（2）由BC = AD 可知，，,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-故， π2422sin22sin22sin 48sin 4cos 2222AB BC CD DA ααααα-+++=+⋅+⋅+⋅=++，222148sin 412sin 8sin 8sin 88sin 10222222ααααα⎛⎫⎛⎫=++-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而四边形ABCD 周长最大值是10km ， 当且仅当， 即时取到.1sin22α=π3α=22．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数()2sin cos f x x x x =()f x 4π的图象．()g x (1)求函数的表达式及单调递增区间；()g x(2)当时，恒成立，求正数的取值范围． ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()())1af x g x a +≥+a【答案】(1)． ()()πππsin 2π,πZ 636g x x k k k ⎛⎫⎡⎤=+-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2) (【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后平移变换得到函数的表达()g x 式，再利用正弦函数的单调性得出结论即可；（2）根据题意，将不等式进行等价转化为，然后利用正弦函数的图象和性质列π1sin 232x θ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭出不等式求得，再结合正切函数的图象和性质即可求解.ππ62θ≤≤【详解】（1）由题意可知，())21sin cos sin2cos212f x x x x x x ==+1πsin2sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()ππππsin 2sin 24436g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由得 πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈的单调递增区间为，()g x ππ[π,π](Z)36k k k -++∈所以函数的表达式为()g x π()=sin 26g x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增区间为. ππ[π,π](Z)36k k k -++∈（2）不等式，可化为，()())1af x g x a +≥+ππsin 2sin 236a x x ⎛⎫⎛⎫-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为，πππsin 2sin 2332a x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-+≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦可化为ππsin 2cos 233a x x ⎛⎫⎛⎫-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππ122332x x ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，可得， cos θθ==0a >π10,tan 2aθθ<<=上面的不等式可化为，π1sin 232x θ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭当时，， ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2πππππ2,02,2333333x x x θθθ≤≤≤-≤≤-+≤+由，有，若恒成立，只需要可得π02θ<<ππ5π336θ<+<π1sin 232x θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥,65,36πθππθ⎧≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ππ62θ≤≤， 又由，有，可得，解得，π02θ<<ππ62θ<≤1πtan tan 6a θ=≥0a <≤由上知，实数的取值范围为．a (。

河南省驻马店市2023-2024学年高一下学期期终质量监测数学试卷(含解析)

河南省驻马店市2023-2024学年高一下学期期终质量监测数学试卷(含解析)

河南省驻马店市2023-2024学年高一下学期期终质量监测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．角的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．已知a ，b 是两条不同的直线，a 是一个平面，若,，则( )A. B.a 与b 异面C.a 与b 相交D.a 与b 没有公共点3．已知向量,，若，则( )A.D.24．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.这些公式被编人计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算，就得到.运用上述思想，可得到的近似值为( )A.0.53 B.0.54 C.0.55 D.0.565．函数的最小正周期为T ，若，则()7．设角满足，则的可能值为( )A. B. C. D.8．已知正四面体内接于球O ，E 为底面三角形ABC 中边BC 的中点，过点E 作球2024︒//a αb α⊂//a b (1,2)a = (1,)b m = a b ⊥ m =357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ 246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ !12345n n =⨯⨯⨯⨯⨯⨯ sin 0.5350.50.5sin 0.50.50.4794273!5!≈-+=cos1()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<14T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ=α)sin tan101α︒=α40︒50︒80︒100︒P ABC -O 的截面，若存在半径为A.B.C. D.二、多项选择题9．已知，，是三个向量，则下列命题正确的是( )，则 B.若，则D.若与共线，则或10．如图，正方体的棱长为1，O 为BD 的中点，直线与平面D 交于点M ，则下列结论正确的是( )A.，M ，O 三点共线B.平面平面C.点到平面11．已知函数在上有最大值，则( )A.的取值范围为B.在区间上单调递减C.在区间上无零点D.存在两个，使得三、填空题12．已知复数13．设D 为所在平面内一点，，E 为的中点，与交于点F，设，则________.14．已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，记BC 边上的高为h ，若A 为锐角，⎡⎣⎡⎣⎡⎣⎡⎣a b c00a = a b b c⋅=⋅ a c = //ba b a b = a b=- 1111ABCD A B C D -1AC 1C BD 1C 11A D C ⊥1C BD 1A 1C 1A BD C --()()πsin 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭0,2ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭ϕππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()f x ,2ϕϕ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()0,ϕϕ()1f ϕϕ-=z =ABC △3BC CD =AD BE AC AF AC λ=λ=ABC △sin b B =四、解答题15．已知,均为单位向量，且.(1)求；(2)求向量与的夹角；(3)求向量与方向上的投影数量.16．已知函数的最小正周期为，且图象关于点对称，把函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），.(1)求函数和的解析式；(2)若方程在上有解，求实数k 的取值范围.17．如图，六面体中，四边形为菱形，，，，且平面平面.(1)在DE 上确定一点M ，使得平面ABCD ；(2)求证：平面ABCD ；(3)若，求六面体的体积.18．已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，的外接圆的半径.(1)求角B ；(2)若BD 为AC 边上的角平分线，且，求的面积；(3)设的外接圆的圆心为O ，且，求的取值范围.a b||1a b +=||a b - a b + ba b + b()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()g x ()f x ()g x ()()0f x kg x +=π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ABCDEF ABCD 2AE BF =//BF AE BF AD ⊥ACE ⊥ABCD //FM AE ⊥2AB AC BF ===ABCDEF ABC △ABC △R =π2sin 6C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2BD =ABC △ABC △(,)OB OA OC λμλμ=+∈Rλμ+19．在三棱锥中，，点P 在平面内的投影为H ，连接AH .(1)如图1，证明：；(2)如图2，记，直线AP 与平面ABC 的夹角为，，求证：，并比较和的大小；(3)如图3，已知，，，M 为平面内一点，且，求异面直线AM 与直线BC 夹角的最小值.P ABC -AB AC PB PC ===ABC AP BC ⊥PAB θ∠=1θ2BAH θ∠=12cos cos cos θθθ=⋅θ1θ5AB =4AP =6BC =PBC 4AM =参考答案1．答案：C解析：因为，且，所以角的终边在第三象限.故选：C 2．答案：D解析：因为a ，b 是两条不同的直线，a 是一个平面，若，，则或a 与b 异面，即a 与b 没有公共点，故只有D 满足题意.故选：D.3．答案：A解析：因为，所以,所以故选：A.4．答案：B解析：由泰勒公式：可得：，故选：B.5．答案：B 解析：，即，即，即，则，则故选：B.6．答案：D解析：设，20243605224︒=︒⨯+︒180224270︒<︒<︒2024︒//a αb α⊂//a b a b ⊥ 120a b m ⋅=+= m =246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ 24611111cos1110.542!4!6!224=-+-+≈-+≈ T =π12f ω⎛⎫= ⎪⎝⎭π2sin()12ωϕω⨯+=π2sin()12ϕ+=2cos 1ϕ=cos ϕ=πϕ<<ϕ=()i ,z a b a b =+∈R ()i ,a b a b =-∈R，所以，所以故选：D.7．答案：A，所以，所以，，对比选项可知，只有A符合题意.故选：A.8．答案：C解析：如图，在正四面体中，设顶点P在底面的射影为，则球心O在上，在､，则正四面体的高，设外接球半径为R，在中，，即，解得，在中，，过E点作外接球O的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为，()()()()()()i1i i1ii i11i1i1i1i1ia b a bz a b a ba b+-+-++-=+==+=-+-+-1b a=-===|z()2cos10302cos40sin sin1cos10cos10ααα︒+︒︒===︒︒cos10cos10sin40cos10sin sin40sin402cos402cos40sin40sin80α︒︒︒︒==⋅=︒=︒︒︒︒︒40360kα=︒+︒⋅k∈ZP ABC-1O1PO1O AE1AO=OA123AO AE==1PO===1Rt OO A△22211OA OO O A=+222))R R=-+R=∴1Rt OO E△OE===OE⊥12r a===最大截面圆为过球心的大圆，半径为，由题设存在半径为，解得故选:C.9．答案：AC，则，故A 正确；对于B ，让，,不共线，则有，但不成立，故B 错误；，所以,同向，即，故C 正确；对于D ，若与共线，则,同向或反向，但它们的模长不一定相等，故D 错误.故选：AC.10．答案：ABD解析：对于A ，如图所示，因为，平面，所以平面.因为，平面，所以平面，所以O 是平面和平面的公共点；同理可得，点M 和都是平面和平面的公共点，R =12a ≤≤a ≤≤00a = 0b =ac 0a b b c ⋅=⋅= a c = 2222a b a b a b=++⋅ a b ⋅ a b //a ba b a b O AC ∈AC ⊂11ACC A O ∈11ACC A O BD ∈BD ⊂1C BD O ∈1C BD 11ACC A 1C BD 1C 11ACC A 1C BD所以三点，M ，O 在平面与平面的交线上，即，M ，O 三点共线，故A 正确；对于B ，在正方体中，平面，平面，所以，又，,平面，所以平面，又平面，所以，同理，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故B 正确；对于C ，由B 分析知道平面，则点到平面的距离为.设点C 到平面的距离为h ，由，又正方体的棱长为1，所以正三角形，所以对于D ，如下图，若为,交点，则二面角为，又，且所以1C 1C BD 11ACC A 1C 1111ABCD A B C D -1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1BD AA ⊥BD AC ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂、1A AC BD ⊥1A AC 1AC ⊂1A AC 1A C BD ⊥11A C BC ⊥1BD BC B = 1,BD BC ⊂1C BD 1A C ⊥1C BD 1AC ⊂11A D C 11A D C ⊥1C BD 1A C ⊥1C BD 1A 1C BD 1A M 1C BD 11C BDC C BDC V V --=1113BDC BDC h S CC ⋅=⋅△△BDC 111111232h =⨯⨯⨯⨯h =11A M A C h =-==O 'AC BD 11A BD C --11π()AO A CO C ''-∠+∠11AO A CO C ''∠=∠1tan AO A '∠=[]111tan π()tan 2AO A CO C AO A '''-∠+∠=-∠故故选：ABD.11．答案：AB有.而，故在上有最大值；若在上有最大值，设最大值在处取到，则是的极大值点，故.而，故，从而..由.从而.综上，的取值范围是，故A 正确；对于B ，由于当时，有故，所以在区间上单调递减，故B 正确；对于C ，当，而在上有零点2112tan 1tan AO A AO A '∠=-'-∠==[]11cos π()AO A CO C ''-∠+∠=ϕ<<0,2x ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin 21f x x ϕ=+≤π042ϕ<-<ππsin 1422f ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 0,2ϕ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0,2ϕ⎛⎫⎪⎝⎭0x x =0x x =()f x ()0π22π2x k k ϕ+=+∈Z 00,2x ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭022x ϕϕϕ<+<π2π22k ϕϕ<+<ππ2π2k k ϕ+<<+0ϕ<<πk ϕ+<<2πk ϕ>>k <20k >14k -<<0=ππ22k k ϕ+<<+ϕ<<ϕππ,42⎛⎫⎪⎝⎭,2x ϕϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π222224x ϕϕϕϕ+>⋅+=>⋅=π22332x ϕϕϕϕ+<⋅+=<⋅=π3π2,22x ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x ,2ϕϕ⎛⎫⎪⎝⎭ϕ=()5πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭x =错误；对于D ，设，从而在上单调递增，这意味着方程至多有一个解.由于，故至多存在一个使得，故D 错误.故选：AB.12．答案：1解析：，故虚部为1.故答案为：1解析：由可知.由于E 为的中点，故.故，所以.而根据题意，点F 在直线，从而.解析：，运用正弦定理得到，，又，则余弦定理可知（∗）.()sin 3h x x =-x <<()13cos310x x =->>'()h x ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭sin 31x x -=()sin 3f ϕϕϕϕ-=-ϕ()1f ϕϕ-=()()()5i 12i 5i 105i 2i 12i 12i 12i 5z -+====+++-3BC CD =()1441433333AD AB BC CD AB BC BC AB BC AB AC AB AB AC =++=++=+=+-=-+AD 111412223363AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭31312624AC AE AB AE AB ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭3132424AF AC AE AB AE AB λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭BE 14λ+=λ=sin b B =sin sin B A B =sin 0B >sin A =A =222222cos a b c bc A b c =+-=+，当且仅当.解析：（1）由，均为单位向量，则，由，即故（2），由（1）知，，且，故与（3）由投影数量的定义可知，向量与方向上的投影数量为16．答案：(1)，；(2)1sin 2A =ah ======≤==b =a b||||1a b == ||1a b += 1||a b =+= b ⋅= ||a b -== ()cos ,1a b b a b b a b a b b +⋅+==⋅++ 1cos ,2a b b 〈+〉= ,[0,π]a b b 〈+〉∈ a b + b a b + b π||cos ,1cos 3a b a b b +〈+〉=⨯= ()cos 2f x x =()sin g x x =[1,1]k ∈-解析：（1）由，得，由的图象关于点对称，则，，即，又由，则故，由于单位长度得到函数，故.（2）由（1）知，把，代入方程，得，即方程在上有解，令，，则，上述方程转化为在上有解，进一步转化为上有解，令在上单调递增，故，也即是.17．答案：(1)M 为DE 的中点；(2)证明见解析；解析：（1）当M 为DE 的中点时，平面ABCD .再取AD 的中点为N ，连接MN ，FM ，BN ，由M ，N 分别为DE ，AD 的中点，则，且，再由，且，则，，故四边形BFMN 为平行四边形，πT =2ω=()f x π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭π2π4k ϕ⨯+=k ∈Z πk ϕ=-∈Z 0πϕ<<ϕ=π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(f x ()g x ()sin g x x =()f x ()g x cos 2sin 0x k x +=22sin sin 10x k x --=π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin t x =π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2210t kt --=1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2k t =-1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2h t t =()t 1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()[1,1]h t ∈-[1,1]k ∈-//FM //MN AE 2AE MN =//BF AE 2AE BF =//BF MN BF MN =即，且平面ABCD ，平面ABCD ，故平面；（2）由四边形ABCD 为菱形，则，由平面平面ABCD ，且平面平面，平面ABCD ，则平面ACE ，由平面ACE ，则，由，，则，由，平面，则平面ABCD（3）取AB 的中点为G ，连接CG ，由（2）知平面ABCD ，且平面AEFB ，则平面平面ABCD ，由，且G 为AB 的中点，则，由平面平面，平面ABCD ，则平面AEFB ，由，，得，则为正三角形，，则18．答案：(1)//FM BN FM ⊄BN ⊂//FM ABCD AC BD ⊥ACE ⊥ACE ABCD AC =BD ⊂BD ⊥AE ⊂BD AE ⊥BF AD ⊥//BF AE AE AD ⊥AD BD D = ,AD BD ⊂ABCD AE ⊥AE ⊥AE ⊂AEFB ⊥AC BC =CG AB ⊥AEFB ABCD AB =CG ⊂CG ⊥2AB AC BF ===2AE BF =CG =4AE =ACD △22ACD S ==△()124262ABFE =+⨯=梯形114633ABCDEF E ACD C AEFB V V V --=+=+⨯=B =(3)，得①由，得②由①②联立，得由，消去，得又由，得（2）由（1）可知而BD 为的平分线，故又且即①整理得②由①②联立，可得，解得或（舍去）故（3）由（1）知的外接圆的圆心可知，，由，且则，即则，又由[2,1)λμ+∈-π2sin 6C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1cos 2cos cos 2A B C C ⎫=-⎪⎪⎭πA B C ++=cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+sin sin sin B C B C=(0,π)C ∈sin C tan B =(0,π)B ∈π3B =B =2sin 2R B ==ABC ∠π6ABD CBD ∠=∠=ABC ABD CBD S S S =+△△BD =π1π1sin 2sin 23262c a =+2()a c +=222cos 2a c b B ac +-===2()93a c ac +-=2()4120ac ac --=6ac =2-11sin 622ABC S ac B ==⨯B =ABC 2AOC B ∠==2BOC A =2AOB C ∠=OB OA OC λμ=+ ||||||OA OB OC R ==== 22OB OA OA OC OA OB OC OA OC OCλμλμ⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩ 22cos 222cos 2C A λμμλ-=⎧⎨-=⎩2(cos 2cos 2)A C λμ+=+πA C B +=-=，则，即故19．答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析，；解析：（1）取BC的中点为D，连接，，由，D为BC的中点，得，由，D为BC的中点，得，而，平面，则平面，又平面，所以.（2）由（1）知，，而平面，平面，则，又，平面，于是平面，而平面，因此，又，为锐角，过点H向AB作垂线，垂足为点N，连接PN，则4π12cos2cos22cos22cos2321π2π2cos222cos2,0,233C C C C CC C C Cλμ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=-+=-+⎪⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+∈⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π5π,33C⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π1cos+21,32C⎛⎫⎡⎫∈-⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭[)π2cos22,13C⎛⎫+∈-⎪⎝⎭[2,1)λμ+∈-1θθ≥AD PDAB AC=AD BC⊥PB PC=PD BC⊥AD PD D=,AD PD⊂ADP BC⊥ADP AP⊂ADP BC AP⊥PA BC⊥PH⊥ABC BC⊂ABC PH BC⊥PA PH P⋂=,PA PH⊂PAH BC⊥PAH AH⊂PAH AH BC⊥AB AC=2θ2cosθ=由点P 在平面ABC 内的投影为H ，得由平面ABC ，平面ABC ，得，而，，平面PHN ，则平面PHN ，由平面PHN ，则，于是因此，当时，，重合，，等式成立，所以，由，得，又函数在上单调递减，所以.（3）设点A 到平面PBC 的距离为d ，直线AM 与直线BC 的夹角，直线AM 与平面PBC的夹角，由（1）知，，，，由，得，则直线与平面PBC 所成角，由（2）知，直线AM与直线BC 的夹角1cos θ=PH ⊥AB ⊂PH AB ⊥HN AB ⊥HN AH H = ,HN AH ⊂AB ⊥PN ⊂PN AB ⊥cos θ=AH AP =12cos cos cos θθθ=⋅20θ=AB AH 1θθ=12cos cos cos θθθ=⋅2cos 1θ≤1cos cos θθ≤cos y x =π[0,]21θθ≥θ1θ4PD AD ====2APD S AP ==△1122PBC S PD BC =⋅=△13P ABC APD V S BC -=⋅=△143A PBC PBC S d d -=⋅=△P ABC A PBC V V --=d =4AM =AM 1ϕ1sin d AM ϕ==1=1ϕϕ≥=。

2023-2024学年山西省太原市高一下学期分班测评数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年山西省太原市高一下学期分班测评数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年山西省太原市高一下册分班测评数学试题一、单选题1．集合{|15}A x x =-<≤，{}1,2,3,6B =-，则A B ⋂等于（）A ．{}1,2,3-B ．{2,3}C ．{0,1,2,3,4}D ．(1,5]-【正确答案】B【分析】从集合A 中找出集合B 的元素即可.【详解】由题意发现集合B 中元素2,3A A ∈∈，所以{2,3}A B = ，B 正确.故选：B2．已知函数210()(3)0x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，，，则(1)f -=（）A ．5B ．3C ．2D ．2-【正确答案】A【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系【详解】因为()()21,03,0x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩所以()()212215f f -==+=故选：A3．sin15cos 45sin105sin135︒︒+︒︒=（）A ．12B ．2C ．2D ．1【正确答案】C【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得.【详解】解：sin15cos 45sin105sin135︒︒︒+︒()()sin15cos 45sin 9015sin 18045︒=︒︒+︒+︒︒-sin15cos 45cos15sin 45=︒︒+︒︒()sin 1545sin 602=︒+︒=︒=.故选：C4．在ABC ∆中，已知D 是边AB 上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．13B ．23C ．12D ．34【正确答案】B【详解】试题分析：由已知得，因此，答案选B.向量的运算与性质5．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y （单位：升/小时）与液体所处环境的温度x （单位：C ︒）近似地满足函数关系e ax b y +=（e 为自然对数的底数，a ，b 为常数）.若该液体在10C 的蒸发速度是0.2升/小时，在20C ︒的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在30℃的蒸发速度为（）A ．0.5升/小时B ．0.6升/小时C ．0.7升/小时D ．0.8升/小时【正确答案】D【分析】由题意可得1020e 0.2e 0.4a b a b ++⎧=⎨=⎩，求出,a b ，再将30x =代入即可得解.【详解】由题意得1020e 0.2e 0.4a b a b ++⎧=⎨=⎩，两式相除得10e 2a =，所以e 0.1b =，当30x =时，()33010e e e 0.8a b a b +=⋅=，所以该液体在30C ︒的蒸发速度为0.8升/小时.故选：D.6．已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1（粗线为()f x 部分图象，细线为()g x 部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A ．()()y f g x =B ．()()y f x g x =C ．()()y g f x =D ．()()f x yg x =【正确答案】B【分析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项.【详解】由图1可知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，A 选项，()()()()()()f g x f g x f g x -=-=，所以()()y f g x = 2.A2.A 符合图2.A 错.C 选项，()()()()g f x g f x -=，所以()()y g f x = 2.C2.C 符合图2.C 错.D 选项，()00g =，所以()()f x yg x =的定义域不包括02.D2.D2.D 错.B 选项，()()()()f x g x f x g x --=-，所以()()y f x g x =是奇函数，符合图2，所以B 符合.故选：B7．已知函数()()πsin R,04f x x x ωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（）A ．π2B ．3π8C ．π4D ．π8【正确答案】D【分析】利用最小正周期公式求出ω，再利用平移变换得到平移后的函数结合正弦函数图像和性质求解即可.【详解】因为()f x 最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()y f x =图像向左平移ϕ个单位长度得()πsin 224f x x ϕϕ⎛⎫+=++ ⎝⎭，因为()f x ϕ+图像关于y 轴对称，所以()ππ2πZ 42k k ϕ+=+∈，解得()82k k Z ππϕ=+∈，则当0k =时，π8ϕ=，其他选项不满足题意，故选：D.8．已知544547,117<<．设7481log 7,log 11,log 243a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c a b<<【正确答案】C【分析】先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断,a b 的大小关系，再利用对数的运算即可判断.【详解】由4log 7a =可得：47a =，由7log 11b =可得：711b =，所以4447a =，44711b =，由544547,117<<可得：45,45a b ><，解得：54a b >>，因为443log 7log 82a =<=，所以5342b a <<<，又因为458135log 243log 34c ===，所以b<c<a ，故选.C 二、多选题9．下列说法正确的有（）．A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a bc c >，则a b >C ．若a b >，则a c b c ->-D ．若a b >，则22a b >【正确答案】BC【分析】AD 可举出反例，BC 可通过不等式基本性质得到求解.【详解】A 选项，当2,1,0a b c ===时，满足a b >，故22ac bc =，故A 错误；B 选项，若22a b c c>，故20c >，不等式两边同乘以2c ，得到a b >，故B 正确；C 选项，若a b >，不等式两边同减去c 得：a c b c ->-，C 正确；D 选项，当0,1a b ==-时，满足a b >，此时22a b <，D 错误.故选：BC10．已知向量a ，b满足1a b == 且|2|b a -= ）A ．||a b -=B ．2a b += C ．,60a b 〈〉=︒D ．a b⊥ 【正确答案】AD【分析】先对条件|2|b a -= 进行化简得到a b ⋅，再结合选项逐个判定可得答案.【详解】因为|2|b a -= ，所以22445b a b a -⋅+= ；因为1a b == ，所以0a b ⋅= ，所以,90a b =︒，故C 错误，D 正确；因为222||22a b a a b b -=-⋅+= ，所以||a b -= A 正确；因为22222a a b b b a +⋅+=+= ，所以a b += B 错误；故选：AD.11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时()22f x x x =-，则（）A ．()f x 的最小值为-1B ．()f x 在()2,0-上单调递减C ．()0f x >的解集为()(),22,∞∞--⋃+D ．存在实数x 满足()()20f x f x ++-=【正确答案】ACD【分析】根据题意当0x ≥时()22f x x x =-，作出其图象，然后再由偶函数的性质作出0x <的图象，通过观察函数图象即可判断.【详解】依题意，作出函数()f x 的图象，如图所示：观察图象可得：()f x 的最小值为-1，A 正确；()f x 在(),1-∞-和()0,1上单调递减，B 错误；()0f x >的解集为()(),22,∞∞--⋃+，C 正确；令2x =，则有()()()()020200f f f f ++=+=，D 正确；故选：ACD.12．已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．3πϕ=-B ．()f x 图象的对称中心为5,0,Z1π2π2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭C ．直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴D ．()y f x =的图象与2y =的图象有3个交点【正确答案】ABD【分析】根据图像求出函数的解析式，然后逐项进行验证即可求解.【详解】由图可知：11π5ππ212122T =-=，所以π,2T ω==，又因为5π5π()cos(2)01212f A ϕ=⨯+=，所以5ππ2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，也即ππ,Z 3k k ϕ=-∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-，则()cos 23π(f x A x =-，又因为2(0)cos()23πf A A -===，所以4A =，则π()4cos(2)3f x x =-，故选项A 正确；令ππ2π,Z 32x k k -=+∈则π5π,Z 212k x k =+Î，所以函数()f x 图象的对称中心为5,0,Z 1π2π2k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，故选项B 正确；令π2π,Z 3x k k -=∈则ππ,Z k x k =+∈26，所以函数()f x 图象的对称轴为ππ,Z k x k =+∈26，所以直线π3x =不是()f x 图象的一条对称轴，故选项C 错误；在同一坐标系内作出函数()y f x =与2y =的图象，根据函数的图像可知：点7π(,4)4C ，27π7π()66A ，13π(,4)6F ,213π113π(,log )626D ，因为当7π6x =时，2227π7π2log 2log 4466y ==<=，所以函数()y f x =的图象与2y =的图象在7π6x =附近有两个交点，又2213π2log 2log 446>=，所以函数()y f x =的图象与2y =的图象在13π6x =附近没有交点，结合图象可知：函数()y f x =的图象与2y =的图象有3个交点，故选项D 正确，故选.ABD 三、填空题13．函数()51log 21y x =-的定义域是__________.【正确答案】()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得出x 所满足的不等式组，进而可得函数的定义域.【详解】由题意可得()5210log 210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得12x >且1x ≠.因此，函数()51log 21y x =-的定义域是()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为.()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭14．若命题“2000R,0x x x a ∃∈+-=”为假命题，则实数a 的取值范围为______．【正确答案】1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】命题“2000R,0x x x a ∃∈+-=”为假命题，等价于“方程20x x a +-=无实根”，则140a ∆=+<，求解即可．【详解】命题“2000R,0x x x a ∃∈+-=”为假命题，等价于“方程20x x a +-=无实根”，则140a ∆=+<，解得14a <-，即实数a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为1，圆心角为23π，则此弧田的面积为____________.【正确答案】34π-【分析】根据题意所求面积为=AOB S S S - 阴影扇，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.【详解】易知AOB 为等腰三角形，腰长为1，底角为6π，AB =所以1sin 26AOB S AB OA π=⋅=弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：所以212=123434AOB S S S ππ-=⋅⋅-=-阴影扇.故答案为.34π-16．已知函数()1223x f x x x m -=-+⋅有唯一零点，则m =__________，()3f x m <的解集为__________．【正确答案】1()0,2【分析】根据函数特征可知将1x -看成整体，即()()21113x f x x m --=-+⋅，再利用换元法根据函数奇偶性和单调性即可求得参数m 的值，进而解出不等式.【详解】令1x t -=，则()213tg t m t -=+⋅，所以()g t 为偶函数；又函数有唯一零点，由对称性可知()001g m -=+=，解得1m =；易知函数()f x 的图象关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，()()023f f ==，则不等式()3f x m <即为()3f x <，由对称性可得02x <<.故1，()0,2关键点点睛：本题关键在于将()f x 看成是由22y x x =-和13x y m -=⋅合成的函数，且两个函数都关于1x =对称，再利用换元法判断出函数奇偶性和单调性即可求解.四、解答题17．已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = ．(1)若||b = ，且//a b，求b 的坐标；(2)若c =，且2a c + 与43a c -r r垂直，求a 与c r 的夹角θ.【正确答案】(1)()2,4b =或()2,4b =--.(2)π4θ=.【分析】（1）设(),b x y =，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.【详解】（1）解：设(),b x y = ，因为//a b ，所以2y x =．①又b = 2220x y +=．②，由①②联立，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4b =或()2,4b =--．（2）解：由()()243a c a c +⊥- ，得()()222438320a c a c a c a c ⋅+-=--⋅=r r r r r r r r，又|||a c r r ，解得5a c ⋅=r r，所以cos [0,π]||||a c a c θθ⋅==∈r r r r ，所以a与c的夹角π4θ=.18．已知22sin 2sin12αα=-（1）求sin 2cos 2αα+的值；（2）已知(0,)απ∈，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23tan 2tan 1ββ-=，求αβ+的值．【正确答案】（1）15-；（2）74αβπ+=．【分析】（1）由已知求得tan α，再由倍角公式、同角三角函数基本关系式化弦为切求解sin 2cos 2αα+的值；（2）求解一元二次方程可得tan β，由两角和的正切求tan()αβ+，结合角的范围可得αβ+的值．【详解】解：（1）由已知得22sin 2sin1cos 2ααα=-=-，所以1tan 2α=-，22222sin cos cos sin sin 2cos 22sin cos cos 2sin cos ααααααααααα+-+=+=+222tan 1tan 1tan 15ααα+-==-+；（2）由23tan 2tan 1ββ-=，可得1tan 3β=-或tan 1β=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 3β∴=-，则11tan tan 23tan()1111tan tan 123αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+===--⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为(0,)απ∈，1tan 02α=-<，则,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,()2αβππ+∈，所以74αβπ+=．19．某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x 米，写出泳池的总造价()f x ，问泳池的长为多少米时，可使总造价()f x最低，并求出泳池的最低造价．【正确答案】225()80012000,((0,))f x x x x ⎛⎫=⨯++∈+∞ ⎪⎝⎭，泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】因为泳池的长为x 米，则宽为200x米．则总造价200200()4002210060200((0,))f x x x x x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯∈+∞ ⎪⎝⎭，整理得到225()800120001600151200036000((0,))f x x x x ⎛⎫=⨯++≥⨯+=∈+∞ ⎪⎝⎭，当且仅当15x =时等号成立．故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．20．在ABC 中，a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C=+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．【正确答案】o 120，等腰三角形【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得222a b c bc =++，在利用余弦定理，求解1cos 2A =-，即可求解角A 的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得0sin sin sin(60)BC B +=+，即可求解sin sin B C +的最大值.试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c=+++即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A=+-故1cos 2A =-，0120A =（2）由（1）得：001sin sin sin sin(60)sin sin(60)2B C B B B B B +=+-=+=+故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.正弦定理；余弦定理.21．设函数()f x 是定义在R 上的增函数，对于任意,x y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+．(1)证明()f x 是奇函数；(2)解不等式()211()(3)22f x f x f x ->．【正确答案】(1)证明见解析(2)()()05,-∞+∞，【分析】（1）对,x y 赋值，利用奇函数的定义进行证明；（2）先化简目标式为()2(5)f x f x >，结合函数单调性可求答案.【详解】（1）证明：令0x =，则由()()()f x y f x f y +=+，得()()()0f y f f y =+，即()00f =；令y x =-，则由()()()f x y f x f y +=+，得()()()00f f x f x ==+-，即得()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数．（2）()211()(3)22f x f x f x ->，所以()22()(3)f x f x f x ->，则()22()(3)f x f x f x >+，即()2()()(3)f x f x f x f x >++，因为()()()f x y f x f y +=+，所以()()()()35f x f x f x f x ++=，所以()2(5)f x f x >，又因为函数()f x 是增函数，所以25x x >，所以0x <或5x >．所以x 的解集为()()05,-∞+∞，．22．已知函数()()11cos cos cos 222f x x x x x =--+，x R ∈．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内的所有实数根之和．【正确答案】(1)最小正周期为π，增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)103π【分析】（1）利用三角恒等化简函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期，解不等式()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈可得出函数()f x 的增区间；（2）232,626t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，数形结合可知函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象有4个交点，利用对称性可求得这4个交点横坐标之和，进而可求得方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内的所有实数根之和.【详解】（1）解：()2111cos 211cos cos cos 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x +=--+--+2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，由()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈得()Z 63k x k k ππππ-≤≤+∈，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）解：当02x π≤≤时，232666x πππ-≤-≤，令26t x π=-，作出函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：可知函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象有4个交点，设这四个交点的横坐标由小到大依次为1t 、2t 、3t 、4t ，设()21,2,3,46i i x t i π-==，故方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内有四个不等的实根1x 、2x 、3x 、4x ，由图可知，点()1,t a 、()2,t a 关于直线2t π=对称，点()3,t a 、()4,t a 关于直线52t π=对称，所以，12341234522222226666t t t t x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯+=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1234103x x x x π+++=.。

河北邯郸2024年高一下学期期末质检数学试题+答案

河北邯郸2024年高一下学期期末质检数学试题+答案

邯郸市2023—2024学年第二学期期末质量检测高一数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.有三组数据（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.设它们的方差依次为222123,,s s s ，则（ ） A.222123s s s >> B.222132s s s >> C.222132s s s << D.222123s s s <<2.在复平面内，非零复数z 满足i z z =（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（ ） A.一､三象限 B.二､四象限C.实轴上（除原点外）D.坐标轴上（除原点外）3.已知向量(),1ab =，且()23a b b +⋅= ，则向量a与向量b 的夹角为（ ）A.π6 B.π4C.π3D.π24.已知ABC 的顶点坐标分别是())(,,0,A BC −，则sin C =（ ）D.5.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为假命题的是（ ） A.若α∥,,m l βαβ⊥⊥，则m ∥lB.若,,m l m l αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C.若α∥,,m m βα⊂∥l ，则l ∥βD.若m ∥,,l m l α⊥∥β，则αβ⊥6.在ABC 中，60,2A AB AC ∠==，平面内一点O 满足OA OB OC == ，则向量OC 在向量AB 上的投影向量为（ ）A.14AB AB C.14AB − D.AB7.在三棱锥S ABC −中，SA ⊥平面,4,6ABC ABAC BC ===，若该三棱锥的体积为球的表面积为（ ） A.256π7 B.368π7C.48πD.32π 8.甲､乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件M =“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件N =“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件S =“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（ ）A.M N ⊆B.()()()P M N P M P N ∪=+C.()()P S P N <D.()()P S P M =二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.已知非零向量,,a b c，下列说法错误的是（ ） A.若a a b b ⋅=⋅，则a b =±B.若a b a b +=+，则a b a b ⋅=C.若()2,1,1a b==，且a∥b ，则a =D.若()3,4a =，则与a垂直的单位向量的坐标为43,55 −10.已知复数,z w 均不为0，则下列式子正确的是（ ） A.20z B.zw w z=C.2z z z +=D.11.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6,A B C D =为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（ ） A.ABC 为钝角三角形B.ABC 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D.若ABD CBD ∠∠=，则::5BD AC =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某校高一年级有1250人，全年级学生的近视率为60%，男生中有390人近视.学校医务室计划通过抽样的方法估计高一年级所有近视学生的平均度数.现从近视的学生中通过按比例分配的分层随机抽样的方法得到容量为100的样本，样本中男生的平均度数为300度，女生的平均度数为350度，则估计高一年级近视学生的平均度数为__________度.13.在如图所示的圆锥中，AB 为底面圆O 的直径，C 为 AB 的中点，24AB OP ==，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为__________.14.已知,OA OB 是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量OP，有且只有一对实数,x y 使OP xOA yOB =+ ，且当,,P A B 共线时，有1x y +=.同样，在空间中若三个向量,,OA OB OC不共面，那么对任意一个空间向量OP，存在唯一的在度实数组(),,x y z ，使得OP xOA yOB zOC =++ ，目当,,,P A B C 共面时，有1x y z ++=.如图，在四棱锥P ABCD −中，BC ∥,2AD AD BC =，点E 是棱PD 的中点､PC 与平面ABE 交于F 点，设PF xPA yPB zPE =++，则PFPC=__________；2y z x +−=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）为响应“强化学校体育工作，推动学生文化学习和体育锻炼协调发展”的号召，现从某学校随机抽取了100名学生，获得了他们一周体育运动的时间（单位：h ），将数据绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的a ，并估计该校学生一周体育运动时间的平均数；（2）为鼓励同学们积极参加体育运动，学校计划对一周运动时间较长的前30%同学给予奖励，若小华一周体育运动时间为9.4小时，他能否获得奖励？请说明理由. 16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱111A B C ABC −中，2,ABAC D ==为BC 的中点.（1）证明：1A B ∥平面1AC D ；（2）若三棱柱111A B C ABC −的体积为AB BC =，求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值. l 7.（本小题满分15分）如图，在平面四边形ABCD 中，设,,,sin cos BC a AB c AC b a CBA BAC ∠∠====.（1）求sin BAC ∠，（2）若,22AB AC CD AD ===，求ADC ∠为何值时，平面四边形ABCD 的面积最大？ 18.1（本小题满分17分）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K 共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）､方块（红色）､黑桃（黑色）､梅花（黑色））.现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K 即为成功.现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③抽取规则 有放回依次抽取不放回依次抽取按数字等比例分层抽取成功概率1p 2p 3p（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； （2）若三种抽取方式小明各进行一次， （i ）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii ）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p ，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p 最大？如果无关，请给出简要说明. 19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,ABCD PD DC =，点H 在棱PC 上.（1）证明：平面HAB ⊥平面PAD ； （2）当13CH CP =时，求二面角H DB C −−的正切值； （3）过H 且与,PB CD 都平行的平面α分别交,,BC PD BD 于,,Q M N ，若3PD =，当H 在线段PC 的两个三等分点之间运动时（含三等分点），求四边形MHQN 面积的取值范围.邯郸市2023—2024学年第二学期期未质量检测高一数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案DACACCBDACDBDBCD1.D 解析：由对称性可知三组数据的平均数相等，再结合数据的集中与离散程度可知选D. [命题意图]考查方差的意义.2.A 解析：设i z a b =+，由已知得i z z =，即()i i i i,a b a b b a a b +=−=+∴=，故选A. [命题意图]考查复数的运算及几何意义.3.C 解析：(()2,2,22cos ,||4cos ,13a a a b b a b a b b a b =∴=∴+⋅=+=+=，1cos ,2a b ∴= ，又[]π,0,π,,3a b a b ∈∴=，故选C.[命题意图]考查向量的数量积.4.A 解析：方法一：由())(2,0,,0,A BC −，知4,AB AC BC ==定理知222cos 2AC BC AB ACB AC BC∠+−==⋅，所以sin ACB ∠=A.方法二：如图，由())(,,0,A BC −，知π,sin 4ACOBCO BCO∠∠∠==，()sin sin sin cos cos sin ACB ACO BCO ACO BCO ACO BCO∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=，故选A.[命题意图]考查余弦定理及同角三角函数关系. 5.C 解析：C 中由α∥,m βα⊂可得m ∥β，当m ∥l 且满足l β⊂时，不满足l ∥β，故C 错误.[命题意图]考查空间直线､平面间的位置关系. 6.C 解析：在ABC 中，由余弦定理知222,,BC AC BC AB ABC =∴+= 为直角三角形，又OA OB OC == ，故外心O 是斜边AB 的中点，AOC ∴ 为正三角形，由投影向量的几何意义，向量OC 在向量AB 上的投影向量为14AB −，故选C.[命题意图]考查投影向量的定义.7.B 解析：如图，将三棱锥S ABC −补成三棱柱SDE ABC −，则三棱锥S ABC −和三棱柱SDE ABC −的外接球相同，设12,O O 分别为ABC 和SDE 的外心，则三棱柱SDE ABC −的外接球球心O 为12O O 的中点，连接1AO 并延长交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，连接AO ，因为AB AC =，所以,sin AFAF BC ABC AB ∠⊥=12sin ACAO ABC ∠==，所以1AO =1132S ABCV BC AF SA −=×⋅⋅=可得4SA =，则222111922,7OO AO AO OO ==+=，则外接球的表面积2368π4π7S AO =⋅=，故选B.[命题意图]考查几何体的体积，外接球等综合问题.8.D 解析：用()1,2i x i =表示甲第i 次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用()12,x x 表示.用1表示正面向上，0表示反面向上，则样本空间()()()(){}()(){}Ω0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,{(0M N ===，()0),1,1}，故A ，B 错误；对于事件S ，方法一：借助表格列举如下，()0,0,0()0,0,1()0,1,0()1,0,0()1,1,0()1,0,1()0,1,1()1,1,1()0,0√√√√√√√()0,1 √ √ √ √()1,0 √ √ √ √()1,1√()74411322P S +++∴==，又()()12P M P N ==，所以C 错误，D 正确，故选D.方法二：设事件T =“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则()()P S P T =，下证事件S 与事件T 对立.若事件S 与事件T 同时发生，那么甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛的次数至少比乙少两次，与题目矛盾；若事件S 与事件T 都不发生，那么甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛的次数不比乙少，与题目矛盾；故事件S 与事件T 对立，()()12P S P T ∴==，故选D. [命题意图]考查事件的互斥与相互独立的定义，考查古典概型概率的计算.9.ACD 解析：若a a b b ⋅=⋅ ，即22||a b = ，则a b = ，故A 错误；由a b a b +=+ 知,a b 同向共线，则a b a b ⋅=，故B 正确；由a∥b ，设(),a b λλλ== ，又222,4,a a λλλ=∴+=∴=∴=或(a ，故C 错误；设与a垂直的单位向量的坐标为(),x y ，则221,340,x y x y +=+=解得4,535x y = =− 或4,53,5x y=− =故D 错误，故选ACD.[命题意图]考查向量数量积与模的运算､向量的共线与垂直的坐标运算.10.BD 解析：设i z =，则22i 10z ==−<，故A 错误；由复数的模的性质zw z ww zz==，故B 正确；设1i z =+，则1i,||2z z z =−+=，而2z =，故C 错误；222||||||||z z z z z z z ===，又2222||||||||||||z z z z z z z z z ====，故D 正确，故选BD. [命题意图]考查复数及模的运算性质.11.BCD 解析：由题知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可知::4:5:6a b c =，不妨设4a m =，则5,6b m c m =，对于A ，由上知c 为最大边，故C 为最大角，由余弦定理知1cos 08C =>，故C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故A 错误；对于B ，由上知A 为最小角，且3cos 4A =，又1cos 8C =，知3cos 24C =，且,A C 均为锐角，则2C A =，故B 正确；对于C,2BD BA BC =+，平方得()22222222222242cos 2279,2a c b BD c a ac ABC c a ac a c b m BD ac ∠+−=++=++⋅=+−=∴=，又5AC m =，故::10BD AC =，故C 正确；对于D ，由9cos 16B =得sin B =，又29cos 12sin 216B B =−=，所以sin 2B =，由ABCBCD BAD S S S =+ ，即()1146sin 46sin 222Bm m B m m BD ×××=×+××，故BD =，故D 正确，故选BCD. [命题意图]考查三角函数､正余弦定理､解三角形､三角形中线､角平分线的应用.12.324 解析：高一年级女生近视人数为125060%390360×−=，则高一年级近视学生的平均度数为390360300350324750750×+×=. [命题意图]考查分层随机抽样的平均数. 13.12解析：方法一：如图，连接AC ，分别取,PB AC 的中点,D E ，连接,,OD OE DE ，则OD ∥,PA OE ∥BC ，则DOE ∠或其补角为异面直线AP 与BC 所成角，作DF AB ⊥于点F ，连接EF ，由C 为 AB 的中点可得AC BC =，且AC BC ⊥，而4AB =，则3,45AC BC AE AFBAE ∠===== ，由余弦定理可得11,2EF DF OP DE OE OD ===2221cos 22OD OE DE DOE OD OE ∠+−==−⋅，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为12.方法二：如图，连接,AC PC ，分别取,AC PC 的中点,D E ，连接,,OD DE OE ，则DE ∥,PA OD ∥BC ，则ODE ∠或其补角为PA 与BC 所成角，1122DE PA OD BC ===，Rt POC 中，12OE PC ==，则ODE 为等边三角形，则60ODE ∠= ，即异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为12.[命题意图]考查异面直线所成的角. 14.23；2 解析：方法一：1,22z PF xPA yPB zPE xPA yPB PD PC AC AP AB BC AP AB AD AP =++=++=−=+−=+− ，()()111222PB PA PD PA AP PA PB PD =−+−−=−++又,,P F C 三点共线，即存在实数λ，使得PF PC λ= ，故11,,222z x y λλλ=−==，又1x y z ++=，所以23λ=，故1222,,,,223333PF x y z y z x PC λ=−==∴==+−=. 方法二：过P 作l ∥AD ，延长AE 交l 于点.G AD ∥,BC AD ∥,l BC ∴∥l ，连接BG ，与PC 的交点即为21,2,,32PF PG PG AD PE AD PF F PC AC AP AB BC AP AB AD AP FC BC AD BC ED BC PC ∴==⋅=⋅=∴==−=+−=+− ()()111,222PB PA PD PA AP PA PB PD =−+−−=−++ 22113322PF PC PA PB PD ∴==−++ 122221,222333333PA PB PE y z x =−++∴+−=+−×−= . 注：确定F 位置的方法不唯一.[命题意图]考查立体几何与向量的综合运用.15.解：（1）（0.010.020.070.170.070.040.01)21,0.11a a +++++++×=∴= 该校学生一周体育运动时间的平均数的估计值为10.0230.0450.1470.3490.22110.14130.08150.028.08×+×+×+×+×+×+×+×=.（2）不能. ()0.220.30.020.080.14168289.459.40.2211−−+++×=+≈>. 故小华不能获得奖励.[命题意图]考查频率分布直方图及平均数､百分位数的计算.16.解：（1）证明：如图，连接1AC 交1AC 于点O ，连接OD ，则OD 为1ABC 的中位线，OD ∴∥1A B ，又OD ⊂平面11,AC D A B ⊄平面11,AC D A B ∴∥平面1AC D .（2）2AB AC BC === ，111114ABC A B C ABC S V AA −∴===∴= ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，又1BB ⊥平面1,ABC BB AD ∴⊥，又1,BB BC B AD ∩=∴⊥平面11BCC B ， 1AC D ∠∴为直线1AC 与平面11BCC B 所成角，1AC =，又AD =11sin AD AC D AC ∠∴=.[命题意图]考查线面平行的判定和线面角.17.解：（1）由已知及正弦定理知sin sin cos BAC CBA CBA BAC ∠∠∠∠⋅=⋅， 因为sin 0CBA ∠≠，故tan BAC ∠=， 又0πBAC ∠<<，所以π3BAC ∠=，所以sin BAC ∠=. （2）由（1）知π3BAC ∠=，又AB AC =，故ABC 为等边三角形， 设(),0,πADC∠θθ=∈. 11sin sin 22ADC ABC ABCD S S S CD AD AB AC BAC θ∠=+=⋅⋅+⋅⋅ 平面四边形221121sin sin 22AC AC θθ=×××+×=+， 在ADC 中，由余弦定理知2222cos 54cos AC CD AD CD AD θθ=+−⋅⋅=−，所以πsin 2sin 3ABCD S θθθ ==+−平面四边形， 又ππ2π,333θ −∈− ，所以当ππ32θ−=，即5π6θ=时，平面四边形ABCD 的面积最大，2+. [命题意图]考查正余弦定理解三角形､三角形面积公式､三角函数求最值.18.解：（1）设方式①的样本空间为1Ω，方式②的样本空间为2Ω，方式③的样本空间为3Ω， 则()()()123Ω8864,Ω8756,Ω444432n n n =×==×==×+×=， 设事件A =“抽到一张红10和一张红K ”，{A =（红桃10，红桃K ），（红桃10，方块K ），（方块10，红桃K ），（方块10，方块K ），（红桃K ，红桃10），（方块K ，红桃10），（红桃K ，方块10），（方块K ，方块10），故()()()()()()123123818181,,Ω648Ω567Ω324n A n A n A p p p n n n =========. （每个2分） （2）（i ）记三次抽取至少有一次成功为事件B ，则()()()()12376371111187416p B p p p =−−−−=−××=. （ii ）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.方法一：设三次抽取成功的概率分别为,,a b c （即,,a b c 为123,,p p p 不同顺序的一个排列）， 则()()()112p ab c a bc b a c abc =−+−=+−，又()()()321312213123,p p p p p p p p p p p p >>∴+>+>+， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 方法二：若按①②③的顺序，13711574874112p =×+××=， 同理①③②②①③､②③①､③①②③②①顺序下的概率分别为1391395,,,,224224224224112，（每个顺序的 概率值1分）故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.[命题意图]考查古典概型，相互独立事件及其概率运算.19.解：①证明：PD ⊥ 平面,ABCD PD AB ∴⊥，在正方形ABCD 中，,,AB AD PD AD D AB ⊥∩=∴⊥平面PAD ， AB ⊂ 平面HAB ，∴平面HAB ⊥平面PAD .（2）如图，在平面PCD 内过点H 作HG CD ⊥于点G ，则HG ∥PD ， 又PD ⊥平面,ABCD HG ∴⊥平面ABCD ，过G 作GE BD ⊥于点E ，连接HE ，HE BD ∴⊥，则GEH ∠为二面角H BD C −−的平面角，连接AC 交BD 于点O ，则有23GEDG PH OC CD CP ===， 设PD a =，易得OC =，则GE =，tan GH GEH GE ∠∴=（3）PB ∥平面MHQN ，平面MHQN ∩平面PBC HQ =， PB ∴∥HQ ，同理PB ∥,MN HQ ∴∥MN ， 又CD ∥平面MHQN ，同理可得MH ∥NQ ，即四边形MHQN 为平行四边形.方法一：sin MHQN S MH MN HMN ∠∴=⋅ ， PB ∥,MN MH ∥,sin sin AB HMN PBA ∠∠∴=， sin MHQN S MH MN PBA ∠∴=⋅，而sin PA PBA PB∠== 设1233PH PC λλ = ，则MH λ=，)1,1HQ CH MN HQ PB PCλλ==−∴==− ，)2212MHQN S λλλ ∴−−−+ .又12,33MHQN S λ ∴∈ . 方法二：如图，延长QN 交AD 于点F ，连接MF ，由（1）得AB ⊥平面,PAD QF ∥AB ， QF ∴⊥平面,,MHQN PAD QF MF S MH MF ∴⊥∴=⋅ ， 设1233PH PC λλ =，又3,3PD PM MH λ=∴==， 则33,33MD DF CQ λλ=−==−，)1MF λ−，))221312MHQN S λλλλλ ∴=⋅−−−−+又12,33MHQN S λ ∴∈ . [命题意图]考查面面垂直的判定､二面角以及线面平行的性质.。

2023-2024学年广东省深圳市高一下学期期中质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省深圳市高一下学期期中质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省深圳市高一下册期中数学试题一、单选题1．已知复数25iiz -=，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．5D ．5-【正确答案】B【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.【详解】()i 25i 25i 52i i 1z ---===--，则z 的虚部为2-．故选：B.2．下列结论中，正确的是（）A ．零向量只有大小，没有方向B ．若//AB CD ，//AB EF，则//CD EF C ．对任一向量a，0a > 总是成立的D ．AB BA = 【正确答案】D【分析】对于A ，根据零向量的定义可判断；对于B ，根据向量平行的传递性可判断；对于C ，举反例00= ，即可判断；D ，根据AB BA =-即可判断.【详解】对于A ，零向量的方向是任意方向的，A 错误；对于B ，当0AB = 时，CD 与EF可以不平行，B 错误；对于C ，00=，C 错误；对于D ，AB BA BA =-=，D 正确.故选：D 3．若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【正确答案】C【分析】根据倍角余弦公式可得29cos 25α=，再根据π02α<<，开方即可求解.【详解】因为27cos 22cos 125αα=-=-，所以29cos 25α=，又π02α<<，则3cos 5α=.故选：C4．函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（）A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,2【正确答案】A【分析】利用辅助角公式化简可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.【详解】()1π2cos2sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为2ππT ω==，振幅为1.故选：A.5．已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+ ，()24=--NP a b ，()3=-PQ a b ，则（）A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线【正确答案】B【分析】根据共线定理即可判断各项.【详解】对于A ，令tMN NP = ，即()()524b t a b a -+-=，所以258t t =-⎧⎨=⎩，所以不存在t ，使得tMN NP = ，A 错误；对于B ，由于2(4)NP a b =-- ，3()PQ a b =-，所以5NQ NP PQ a b =+=+ ，所以MN NQ = ，又,MN NQ相交于点N ，故M 、N 、Q 三点共线.B 正确；对于C ，13MP MN NP a b =+=-+，令mMP PQ = ，即()()133b m b a a -+=-，所以3133m m -=⎧⎨=-⎩，所以不存在m ，使得mMP PQ = ，C 错误；对于D ，令nNP PQ = ，即()()243b n a b a --=-，所以2383n n -=⎧⎨=-⎩，所以不存在n ，使得nNP PQ = ，D 错误.故选：B6．已知,αβ都为锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（）A ．6365B ．6365-C ．3365D ．3365-【正确答案】A【分析】根据余弦的差角公式，结合()βαβα=+-,同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为,αβ都为锐角，即π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈因为12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，所以5sin 13α=，()3sin 5αβ+=，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦124536313513565=⨯+⨯=.故选：A7．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25C ．25-D ．65或25-【正确答案】B【分析】利用三角恒等变换和同角三角关系求解即可.【详解】因为tan 2θ=-，所以cos 0θ≠，所以()222sin 1sin 2sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++++==+++222sin sin cos sin (sin cos )sin cos θθθθθθθθ+=+=+22tan tan 2tan 15θθθ+==+，故选：B8．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（）A ．[]1,3-B ．[]2,6-C ．[]3,9-D ．[]3,6-【正确答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求出点P 的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AP AB ⋅的取值范围.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，设点(),P x y ，易知，以AD 为半径的左半圆的方程为()()221110x y x +-=-≤≤，以BC 为半径的右半圆的方程为()()()2221123x y x -+-=≤≤，所以点P 的横坐标x 的取值范围是[]1,3-，又因为(),AP x y = ，()2,0AB = ，所以，[]22,6AB AP x ⋅=∈-.故选：B.二、多选题9．已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（）A ．1m =-B ．π,3a b =C ．//a bD ．2b =【正确答案】AD【分析】因为22a b a b +=-，两边平方可得0a b ⋅= ，即可求得1m =-，从而可判断选项ABC ，进而求得()1,1b =-，从而可判断选项D.【详解】因为22a b a b +=- ，两边平方可得()()2222a ba b +=- ，所以22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅= .对于A ，220a b m ⋅=+=，解得1m =-，A 正确；对于B ，因为0a b ⋅= ，所以π,2a b =，B 错误；对于C ，因为0a b ⋅= ，则a b ⊥，C 错误；对于D ，由选项A 可知()1,1b =-，所以b = ，D 正确.故选：AD10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（）A ．4B ．5C ．7D ．10【正确答案】BC【分析】由题意画出图形，可知sin c B a c <<，求出a 的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解：如图：要使ABC 有两个解，则sin c B a c <<，即π8sin86a <<，解得：48a <<，故选：BC11．已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（）A ．a b a b+=- B ．1a b -=C ．()()1a b a b +⋅-= D ．2a b ×= 【正确答案】AB【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判断出答案.【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，所以1a == ，1b == ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ+=++ ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ-=--，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ+=+++ ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=++=+-，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ-=-+- ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=-+=--，若π2θϕ=+，此时222a b a b +=-= ，故a b a b +=- ，A 可能正确；若π3θϕ=+，此时21a b -= ，1a b -= ，B 选项可能正确；()()()()cos cos ,sin sin cos cos ,sin sin a b a b θϕθϕθϕθϕ+⋅-=++⋅--()()22222222cos cos sin sin cos sin cos sin 110θϕθϕθθϕϕ=-+-=++-+=-=，故C 一定不正确；[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ×=×=Î-，故D 一定不正确.故选：AB12．如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1，2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（）A ．()13AG AB AC =+ B ．GAB △面积的最小值是23C ．1AG ≥ D ．GA GB ⋅存在最小值【正确答案】ABC【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出(),3,,C m B G 坐标，根据AC AB ⊥及0GA GB GC ++=即可找到三个点的坐标关系，分别写出()1,3AG AB AC +即可判断A ；取AB 中点为F ，连接CF ，根据0GA GB GC ++=，可得,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，即可找到GAB △面积与ABC 面积之间比例关系，进而建立GAB △面积等式，根据基本不等式即可判断B ，求出AG再根据基本不等式可判断C ；写出GA GB ⋅ 进行化简，根据m 的范围即可得GA GB ⋅最值情况.【详解】解：记AB 中点为F ，连接CF ，以D 为原点，,DB DE 方向分别为,x y轴建立如图所示直角坐标系：所以()()0,2,0,3A E ，设()()(),3,,0,,,,,,R C m B n G x y m n x y ∈，且,0m n ≠，所以()(),1,,2AC m AB n ==- ，因为AC AB ⊥，所以0AC AB ⋅=，即20mn -=，故2n m =，即2,0B m ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(),2GA x y =-- ，2,GB x y m --⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),3m x y GC =--，因为0GA GB GC ++= ，所以230530m x m y ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩，解得2353m m x y ⎧+⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即325,3m G m ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以21,33m m AG -⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，因为()()2112,2,1331,33mm AB AC m m ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，故()13AG AB AC =+，选项A 正确；因为0GA GB GC ++=，所以()GC GA GB =-+ ，即2GC GF =-，所以,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，所以1136GAB ABC S S AC AB ==⋅=△△23=，当且仅当221m m =，即1m =±时取等，所以选项B 正确；因为21,33m m AG -⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以AG =1=≥=，当且仅当224m m=，即m =1AG ≥ ，选项C 正确；因为23,15,333,3m m m m GA GB ⎛⎫+-⎛⎫⎪- ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭ ，所以155,33333332923,m m m m m m m m GA GB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-⋅=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎛⎫+-+- ⎭⎝⎭⎪⋅- ⎪⎝⎭⎝ ⎪⎭222266165999m m m m ----=-=，因为R m ∈且0m ≠，所以20m >，记()66f x x x=--，0x >，可知()f x 单调递增，没有最值，即GA GB ⋅没有最值，故选项D 错误.故选：ABC思路点睛：该题考查向量的综合应用，属于难题，关于三角形三心的思路有：（1）若G 为ABC 的重心，则①G 是三边中线的交点，②0GA GB GC ++=，③重心分三角形中线为2:1；（2）若O 为ABC 的内心，则①O 是三角形三个角平分线的交点，②0aOA bOB cOC ++=，③::::BOC AOC BOA S S S a b c =△△△；（3）若O 为ABC 的外心，则①O 是三角形三边垂直平分线的交点，②sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，③::sin 2:sin 2:sin 2BOC AOC BOA S S S A B C =△△△.三、填空题13．2cos 15= _____．【分析】利用21cos30cos 152+=即可得到答案.【详解】211cos302cos 1522+===本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.14．设,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE ＝________.（用,a b表示）【正确答案】1263a b -+ 【分析】利用三角形法则，结合12,23AD AB BE BC ==即可.【详解】如图:因为12,23AD AB BE BC ==，所以()12122323DE DB BE AB BC AB AC AB=+=+=+- 12212122336363AB AB AC AB AC a b -+=-+=-+ ，故1263a b -+15=________.【正确答案】1【分析】=再利用差角余弦公式和诱导公式即可求解.=1==故116．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD = ，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅ 的值是______________.【正确答案】22【分析】根据基底,AB AD 表示,,AP BP 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=，即得结果.【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-2231162AD AB AB AD =--⋅ 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．四、解答题17．已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.(1)求复数z 的模和共轭复数；(2)若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.【正确答案】(1)z =，1i z =+(2)1,0a b ==【分析】（1）利用复数模的公式求模，再利用复数的共轭复数的定义求共轭复数；（2）将复数z 代入(),az b z a b R +=∈，利用复数相等求解；【详解】（1）解：因为复数1i z =-（i 是虚数单位），所以z 1i z =+；（2）因为复数1i z =-（i 是虚数单位），且(),az b z a b R +=∈，所以()1i 1i a b -+=-，即i 1i a b a +-=-，则11a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩.18．已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．(1)若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；(2)若()-⊥a b b r r r ，求a 与b 的夹角．【正确答案】2(2)π4【分析】（1）先算出a r，再按照数量积的公式计算即可（1）根据()-⊥a b b r r r 得到()0a b b -=r r r g ，计算出a b ⋅ ，再根据cosθa b a b = 即可【详解】（1）()1,1a =- ，所以a =所以π1cos 1322a b a b ⋅==⨯= （2）因为()a b b -⊥ ，所以()0a b b -⋅= ，所以20a b b -= ，所以1a b = ，令θa b ⋅=所以cos θ2a b a b⋅== ，因为[]θ0,π∈，所以πθ4=故a 与b 的夹角为π4．19．已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .(1)求()f x 的最小正周期以及单调递增区间；(2)将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()g x 的值域.【正确答案】(1)π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)⎡-⎣【分析】（1）求得()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期公式可求得最小正周期，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈可求得单调递增区间；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知：()()2π22sin 2sin cos 1sin 2cos 224f x a a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=-=- ⎪⎝⎭ ，所以πT =，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，则π3πππ,Z 88k x k k -≤≤+∈所以()f x 的最小正周期为π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意知：()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()g x ⎡∈-⎣.即()g x的值域为⎡-⎣.20．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D在同一平面内）(1)求ABD △的面积；(2)求点C D ，之间的距离．【正确答案】(1))236km +;(2)．【分析】（1）由正弦定理求得AD 的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出AC 和CAD ∠，由余弦定理即可求得答案.【详解】（1）在ABD △中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，所以60ADB ∠=︒．由正弦定理：sin sin AD AB ABD ADB=∠∠，得sin 45sin 60AD AB =︒︒，所以)sin 45212km sin 60AD AB ︒=⋅==︒,()1sin sin 75sin 45302224BAD ⎫∠=︒=︒+︒=+=⎪⎪⎝⎭，所以ABD △的面积为)211sin 1236km 224ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=+．（2）由30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，得45CAD ∠=︒，且90ACB ∠=︒,12cos30AC ∴== 在ACD中由余弦定理，得2222cos 3631662602CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=⨯+⨯-⨯=,所以)km CD =．即点C ，D之间的距离为．21．已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.(1)若1p =，求()tan αβ+的值；(2)用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.【正确答案】(1)1(2)11p p +，最大值为12【分析】（1）根据韦达定理，结合和角正切公式即可求解；（2）根据韦达定理结合和角正切公式先求得()tan p αβ+=，再利用三角恒等变换结合齐次弦化切得原式为()()22tan 11tan 11p p p p αβαβ+==++++，利用基本不等式即可求得最大值.【详解】（1）当1p =时，2430x x --=由题意知：tan tan 4αβ+=，tan tan 3αβ=-所以()tan tan 4tan 11tan tan 13αβαβαβ++===-+（2）由题知：tan tan 4p αβ+=，tan tan 3αβ=-，则()tan tan 4tan 1tan tan 13p p αβαβαβ++===-+因为()()()()222222cos 2cos 2sin cos sin cos sin sin cos cos sin αβαβααββαβαβ+-=--+-2222222222cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos 2sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβ=--++-22cos sin αβ+2222cos cos sin sin 2sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-()()2222cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ=-+-()()cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos αβαβαβαβαββα=-+-()()()()()22222cos 1cos sin cos tan 1αβαβαβαβαβ+=+==+++++，所以()()()()222tan 1tan cos 2cos 2sin 1tan 11p p p pαβαβαβαβαβ+⎡⎤++-===⎣⎦++++而12p p +≥=，当且仅当1p =时，等号成立，所以当1p =时，取得最大值为12.22．悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.(1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e <+）.【正确答案】(1)()e e 2x xf x -+=，()e e 2x xg x --=(2)（i ）30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）[]4,4-【分析】（1）根据()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，由()()()()e e x x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求解；（2）由（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e e x x h x -=+，证明其单调性即可；（ii ）令cos t x =，将x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，转化为()22e e e e 20t t t t a --+--+≥恒成立求解.【详解】（1）解：由()()()()e e x x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：()e e 2x x f x -+=，()2x xe e g x --=；（2）（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e e x x h x -=+，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()121212e e e e x x x x h x h x ---=-+-，()12121e e 1e x x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[)12,0,x x ∈+∞，所以12e 1x x +>，则12110e x x +->，因为12x x <，所以12e e x x <，所以()()120h x h x -<，所以函数()h x 在[)0,∞+为增函数，又()()e e e e x x x x h x h x ---=+=+=，所以()h x 是偶函数，则cos sin x x ≥，又因为[]0,πx ∈，所以不等式解集为30,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）令cos t x =，则1,22t ⎤⎡⎤∈⋃--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由()()2cos cos 10f x ag x -+≥，得()22e e e e 20t t t t a --+--+≥，当,12t ⎤∈⎥⎣⎦时，1e e e e t t --⎡⎤-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立，因为()2e e 44e e 4e e e e t t t t t t t t -----+=-+≥≥--，当且仅当e e 2t t --=时，等号成立，所以4a ≤，当1,2t ⎡∈-⎢⎣⎦时，1e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立；，()2e e 44e e e e e et t t t t t t t a -----+=-+≥--，因为()2e e 44e e 4e e e e t t t t t t t t -----+⎛⎫=--+≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当e e 2t t --=-时，等号成立，所以4a ≥-，综上：a 的取值范围是[]4,4-.。

河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．复数312i 1iz +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=I ，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥3．已知向量()2,m λ=r ，()2,4n λ=--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数λ的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或44．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为Z 甲，Z 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．Z Z =甲乙，22s s >乙甲B ．Z Z =甲乙，22s s <甲乙C ．Z Z >甲乙，22s s >乙甲 D ．Z Z <甲乙，22s s >乙甲5．已知函数π())(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移(0)θθ>个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A ．π8B ．π4C ．3π8 D ．π26．已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3cos cos cos αβαβ+=，则()tan αβ+的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．38．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足3BE EC =u u u r u u u r ，12AE BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AF BE ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．0B ．23C ．43D ．3二、多选题9．一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ） A ．等边三角形B ．正方形C ．梯形D ．正五边形10．若1b c >>，01a <<，则下列结论正确的是（ ）A ．a a b c <B ．log log b c a a >C ．a a cb bc <D ．log log c b b a c a >11．在锐角ABC V 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边，1a =，cos cos 1b A B -=，则下列选项正确的有（ ）A ．2B A =B ．b 的取值范围是)C ．当32b =时ABC VD ．若当,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围为⎛ ⎝⎭三、填空题12．若函数tan y x ω=在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格增函数，则实数ω的取值范围是.13．已知函数()f x 是偶函数，对任意x ∈R ，均有()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则函数()()()5log 1g x f x x =-+的零点有个.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2．以11A D 为半径的球面与侧面11B BCC 的交线长为．四、解答题15．已知()()4,3,23213a b a b a b ==-⋅+=r r rr r r ．(1)求a r 与b r的夹角；(2)若a r 在b r 方向上的投影向量为c r，求()c a b ⋅+r r r 的值．16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为S ，已知2c =，且224a b +=+． (1)求C ；(2)a -的取值范围．17．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[]40,100内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间[)70,80内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间[]80,100内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在[]70,100内的所有学生测试成绩的平均数和方差．18．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+，求：（1）()f x 的最小正周期及最大值；（2）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=，求α的值；（3）若()210f x m -+=，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等的实数根，求m 的取值范围.19．在直角梯形ABCD 中，,22AD BC BC AD AB ===∥90ABC ∠=︒（如图1），把△ABD 沿BD 翻折，使得A ∉平面BCD ，连接AC ，M ，N 分别是BD 和BC 中点（如图2）．(1)证明：平面BCD ⊥平面AMN ；(2)记二面角A —BC —D 的平面角为θ，当平面BCD ⊥平面ABD 时，求tan θ的值； (3)若P 、Q 分别为线段AB 与DN 上一点，使得()R AP NQPB QDλλ==∈（如图3），令PQ 与BD 和AN 所成的角分别为1θ和2θ，求12sin sin θθ+的取值范围．。

广东省广州市增城区四校联考2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析

广东省广州市增城区四校联考2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为（，称为黄金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72，肚脐至足底长度为103，根据以上数据，作为形象设计师的你，对TA 的着装建议是（ ） A ．身材完美，无需改善 B ．可以戴一顶合适高度的帽子 C ．可以穿一双合适高度的增高鞋D ．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子2．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）A ．5B ．22C ．23D ．43．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．154．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,6,S S ==则9S =（ ）A ．18B ．14C ．10D ．225．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．已知x y ，满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．16D ．47．已知数列}{n a 满足111,1n n a a a +=-=，则10a =（ ） A ．10B ．20C ．100D ．2008．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．459．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形90ACB ∠=︒，2AC =，11BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值是（ ）A ．2B 5C 3D 562+-10．已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 ( ) A ．3B ．3C ．12D ．12-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期期末教学质量测试数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期期末教学质量测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z =(3+i)(2−i)，则z 的虚部为( )A. −iB. −1C. 7iD. 72.已知由小到大排列的4个数据1，3，4，a 的极差是它们中位数的2倍，则a =( )A. 5B. 6C. 7D. 83.设x ∈R ，则“x =π2”是“cos x =0”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD 中，点E 满足AE =13AC ，则BE =( )A. 23AB−13ADB. AB−13ADC. −23AB +13ADD. −AB +13AD5.已知函数y =x 2+(1+m)x +2在区间(−∞,4]上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−9]B. [3,+∞)C. (−∞,−5]D. [7,+∞)6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3 3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A. 24B. 243 C. 273D. 6327.已知m +e m =e ，n +3n =e ，则( )A. 1<n <m <eB. 1<m <n <eC. 0<n <m <1D. 0<m <n <18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin A=3a cos B，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，则a+2c的最小值是( )A. 4B. 6C. 2+22D. 3+22二、多选题：本题共3小题，共18分。

四川省广安市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学(含解析)

秘密★启用前广安市2023—2024学年度下期期末教学质量检测高一数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第I 卷（选择题，共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数所表示的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.从小到大排列的数据的第三四分位数为（）A.B.9C.D.103.复数满足，则（ ）A. B.C.D.4.如图，在梯形中，在上，且，设，则（）A. B.C. D.()3i 1i -1,2,3,7,8,9,10,11172192z 1i22iz z +-=+z =31i 515--31i 515-+11i 155-11i 155+ABCD 2,AB DC E =BC 12CE EB =,AB a AD b == DE =1233a b + 1233a b - 2133a b + 2133a b -5.已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.一艘船向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东方向上，航行后到处，看到灯塔在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔的距离（即的长）为（）B. C. D.7.在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（ ）A.3B.4C.5D.68.已知下面给出的四个图都是正方体，为顶点，分别是所在棱的中点.则满足直线的图形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（）,m n α,m n α⊥∥αm n ⊥m ∥,n α∥αm ∥n ,m m n α⊥⊥n ∥αm ∥,m n α⊥n α⊥A S 30 10nmile B S 75 S BS 5i11iz --=-z Z 1i --0Z 0Z Z ,A B ,E F AB EF ⊥A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70B.讲座后问卷答题得分的众数为90C.讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10.若平面向量满足.则（ ）A.B.向量与的夹角为C. D.在上的投影向量为11.如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点.且平面，则（）A.在侧面B.异面直线与所成角的最大值为C.三棱锥的体积为定值D.直线与平面所成角的正切值的取值范围是第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配,a b2a b a b ==+= 2a b ⋅=-aa b -π3a b -= a b - a 32a1111ABCD A B C D -M 11A B P 11CDD C MP ∥1AB C P 11CDD C AB MP π21A PB C -124MP 11ABB A ⎡⎣的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为__________.13.已知的内角的对边分別为，且边上的高为则__________.14.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体.如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括在内的各个顶点都在球的球面上.若为球上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球的体积为.则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数（其中.（1）若为实数，求的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值.16.（15分）已知向量.（1）若与垂直，求实数的值；（2）已知为平面内四点，且.若三点共线，求实数的值.17.（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：），将全部数据按区间分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.ABC V ,,A B C ,,a b c ()πsin π,6,2A A b BC ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭c =,,A B C O P O P ABC -1V O V 1V V=122i,i z m z m =-=-)m ∈R 12z z m 1m =12z z ⋅220x px q ++=,p q ()()1,2,3,2a b =-=2ka b - 2a b + k ,,,O A B C ()2,3,3,2OA a b OB a b OC m m =+=+=-,,A B C m kg [)[)[]50,60,60,70,,90,100（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？18.（17分）从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题记的内角的对边分别为，已知__________.（1）求角的大小；（2）若点在上，平分.求的长；（3的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.19.（17分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点.（1）平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求二面角的大小；（3）若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值.a 85%()cos sin a a C B C +=+πsin 62a b c B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin sin sin B A C A -=-ABC V ,,A B C ,,a b c C D AB CD ,2,ACB a c ∠==CD a ABCD PA ⊥,ABCD PA AB =E PB F BC AEF PBC B PC D --PC ∥AEF AB AEF数学试题参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.【命题意图】本小题主要考查复数的代数运算及其几何意义，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【答案】C【解析】，故所表示的点位于第三象限.2.【命题意图】本小题主要考查四分位数等基础知识，考查数学抽象等数学核心素养.【答案】C【解析】由于，该组数据的第三四分位数为9和10的平均数.3.【命题意图】本小题主要考查复数的代数运算､共轭复数等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算等数学核心素养.【答案】B【解析】设，则，即，所以且，即，所以.4.【命题意图】本小题主要考查平面向量的线性运算的几何意义等基础知识，考查数学抽象､直观想象､数学运算等数学核心素养.【答案】D【解析】依题意，.5.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面等基础知识，考查化归与转化､数形结合等数学思想，考查推理论证､空间想象､运算求解等数学能力.【答案】A【解析】若，则，故A 正确；若，则相交或平行或异面，故B 错误；若，则或，故C 错误；若，则或或()343i 1i i i 1i -=-+=--()3i 1i -875%6⨯=192()i ,z a b a b =+∈R ()()1i 2i 31i 22i i 555a b a b +-+-+==+313i i 55a b -+=+35a -=135b =31,515a b =-=31i 515z =-+23DE AE AD AB BE AD AB BC AD=-=+-=+-()()2233AB AC AB AD AB AD DC AB AD=+--=++-- 212121323333AB AD AB AB AD AB AD a b ⎛⎫=++--=-=- ⎪⎝⎭,m n α⊥∥αm n ⊥m ∥,n α∥α,m n ,m m n α⊥⊥n ∥αn α⊂m ∥,m n α⊥n ∥αn α⊂或与相交，故D 错误.6.【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用等基础知识，考查化归与转化､数形结合等数学思想，考查数学抽象､运算求解等数学核心素养.【答案】B【解析】在中，，依据正弦定理，，则.7.【命题意图】本小题主要考查复数运算的几何意义，复数与向量的关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.本小题根据习题7.2第8题内容创编.【答案】A 【解析】依题意，，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，故只需求和之间距离的取值范围即可，点，则，故的值不可能等于3.8.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面位置关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查空间想象等数学能力.本小题根据第8.6节例2､习题8.6第11题等题创编.【答案】D【解析】对于图①和图②，分别取如图所示的棱中点，易证平面，则，故图①和图②均符合题意；对于图③，连接，易证平面，则，图③符合题意；对于图④，取如图所示的棱的中点，易证，于是平面，所以，故图④符合题意.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.【命题意图】本小题主要考查统计图的识别､统计量的意义等基础知识，考查了数学抽象､数据处理等数学核心素养.【答案】ACD【解析】由图可知，讲座前问卷答题的得分的中位数应该小于，A 正确；讲座后问卷答题的得分的众n α⊥n αABS V 45ASB ∠= sin sin30AB BSASB ∠=10sin30sin45BS ==()()5i 1i 5i 32i 1i 2-+-==+-Z ()3,20Z Z 0Z 5=046Z Z……0Z ZG AB ⊥EFG AB EF ⊥AC EF ⊥ABC AB EF ⊥G ,AB EG AB FG ⊥⊥AB ⊥EFG AB EF ⊥70数为95，B 错误；讲座前问卷答题得分比讲座后波动大，故讲座前问卷答题的得分的方差大于讲座后得分的方差，C 正确；由图可知，讲座前问卷答题的得分的极差大于讲座后得分的极差，D 正确.10.【命题意图】本小题主要考查平面向量的线性运算及其几何意义，平面向量的数量积等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算､直观想象等素养.【答案】AD【解析】方法1：由于，则，得正确；，则，C 错误；又，所以，则向量与的夹角为，B 错误；在上的投影向量为正确.方法2：根据向量加法的平行四边形法则，满足条件的向量构成如图所示的平行四边形，且，则，A 正确；向量与的夹角为错误；C 错误；在上的投影向量为，D 正确.11.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和相关计算，考查推理论证､空间想象､运算求解等数学能力.【答案】ABD【解析】如图，取的中点，取的中点，取的中点，依题意，，易证，则，可知，四点共面，又平面平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面，于是，在侧面的轨迹即为线段，由，得，则A 正确；当在处时，此时直线，即异面直线与所成角的最大值为，B 正确；由上可2a b a b ==+= 222||2824a b a b a b a b +=++⋅=+⋅= 2,A a b ⋅=-()222||282212a b a b a b -=+-⋅=-⨯-= a b -= ()26a a b a a b ⋅-=-⋅= ()cos ,a a b a a b a a b ⋅--===⋅- a a b -π6a b - a ()2423,D 222a ab a a a b a a a a a a a ⋅--⋅+⋅=⋅=⋅=,a b2π,3a b = 2πcos23a b a b ⋅=⋅=- a a b - π,B 6a b -= a b- a 32a 1CC R CD N 11B C H 1B C ∥HR MN ∥1B C MN ∥HR ,,M N R H HR ⊄11,AB C B C ⊂1AB C HR ∥1AB C MH ∥1AB C ,,HR MH H HR MH ⋂=⊂MNRH MNRH ∥1AB C MP ⊂MNRH MP ∥1AB C P 11CDD C NR 1AB =NR ==P N AB MP ⊥AB MP π2知，平面，则线段上的点到平面的距离为定值的面积也为定值，则（定值），C 错误；由于平面平面，故直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，取的中点，连接，则平面，故是直线与平面所成的角，且，则，D 正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计抽样问题，主要考查分层抽样方法相关知识；考查运算求解能力，抽象概括能力.本小题源于教材必修第二册“巩固复习”第5题.【答案】30【解析】该学校高二年级学生中，男生占比为，则所抽取的男生人数为.13.【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查化归与转化等数学思想，考查推理论证､运算求解等数学能力.【答案】3【解析】依题意得，则，因为，所以的面积，即，根据余弦定理，得，则有，解得.14.【命题意图】本小题主要考查几何体中的相关运算，体积公式等知识，考查化归与转化等数学思想，考查空间想象､运算求解等数学能力.NR ∥1AB C NR 1AB C 01,hAB C V 111111111132212A PBC P AB C N AB C B ANC V V V V ----⎛⎫====⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭11ABB A ∥11CDD C MP 11ABB A MP 11CDD C 11C D Q PQ MQ ⊥11CDD C MPQ ∠MP 11CDD C 1tan MQ MPQ PQ PQ ∠==1PQ …1tan MPQ ∠……188P 60036004005=+350305⨯=sin A A -=tan A =()0,πA ∈2π.3A ABC =V 112π6sin223ABC S c ==⨯V a =22366a c c =++260c c --=3c =【解析】根据图形可知，该阿基米德多面体是由一个正方体切去八个角得到的，该多面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，设该多面体的棱长为1，可知球的半径为1为如图正方体中与点等距的一个顶点，设三棱锥的高为，由，得，球心到平面距离为，三棱锥，故其体积的最大值，所以四､解答题：本题共5小题，共77分.15.（13分）【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查复数的概念及代数运算等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【解析】（1），因为为实数，所以，解得.故为实数时，的值为.（2）当时，，O Q A B C ､､Q ABC -h Q ABC A QBC V V --=21111332h ⎛⨯=⨯ ⎝h =O ABC 122-=P ABC -11113V ⎫=+=⎪⎪⎭14π3V V ==()()()2122232i2i i 2i i 11m m m m z m z m m m+--+-===-++12z z 220m -=m =12z z m 1m =122i,1i z z =-=-则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得16.（15分）【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查平面向量线性运算､数量积､共线向量及其坐标运算等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【解析】（1），则，因为与垂直，所以，解得.（2），，，，因为三点共线，所以.所以，解得.17.（15分）【命题意图】本小题设置生活实践情景，设计水果进货规划问题，考查平均数､百分位数等统计量的计算，样本估计总体，决策等相关知识；考查统计概率思想；运算求解能力和应用能力.本小题源于教材必修第二册P 223复习参考题“综合运用”第9题编制.【解析】（1）由直方图可得，样本落在的频率分别为，由()()122i 1i 13i z z ⋅=--=-13i -220x px q ++=()22(13i)13i 0p q -+-+=()16123i 0p q p +--+=()160,1230,p q p +-=⎧⎨-+=⎩4,20.p q =-⎧⎨=⎩()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=--- ()()()221,23,25,2a b +=-+=- 2ka b - 2a b +()()562420k k ----=229k =()()()21,223,27,2OA a b =+=-+= ()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=- ()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=-- ()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=--- ,,A B C AB ∥AC()()22637m m ---=-⨯-2m =[)[)[]50,60,60,70,,90,100 10,10,0.2,0.4,0.3a a，解得.则样本落在频率分别为，所以，该苹果日销售量的平均值为.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.方法1：依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得.所以，每天应该进95kg 苹果.方法2：依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.18.（17分）【命题意图】本小题主要考查正弦定和余弦定理等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查推理论证､运算求解等数学能力.【解析】（1）若选条件①，依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，，所以.又，则，所以.若选条件②.由正弦定理得，10100.20.40.31a a ++++=0.005a =[)[)[]50,60,60,70,,90,100 0.05,0.05,0.2,0.4,0.3()5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5kg 22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[]90,100()kg x ()0.031000.15x ⨯-=()95kg x =10.03100.7-⨯=85%[]90,10085%()0.850.7901095kg 10.7-+⨯=-cos sin a a C A +=sin sin cos sin A A C C A +=π02A <<sin 0A >1cos C C +=cos 1C C -=11cos 22C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<ππ66C -=π3C =πsin sin sin sin 62A B C B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，，，即.因为，所以，所以.若选条件③在中，因为，所以，即，化简得.又，则，故.因为，所以.（2）依题意，，即，则在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去），所以（3）依题意，的面积，所以.又为锐角三角形，且，则，所以.()sin sin 1sin sin sin cos 222B C B A B C B B ⎫++++==⎪⎪⎭sin cos cos sin sin 2B C B C B ++=sin sin cos sin cos cos sin sin C B C B B C B C B +=++sin sin cos sin C B B C B =+cos 1C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πC ∈ππ66C -=π3C =ABC V ()sin sin sin ,πB A C A A B C -=-++=()()sin sin sin C A A C A +-=-sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C A +-=-sin 2cos sin A C A =()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2C =0πC <<π3C =1π1π1πsin sin sin 262623a CDb CD ab ⋅⋅+⋅⋅=⋅()a b CD +⋅=CD =ABC V 22222π2cos 3c a b ab a b ab =+-=+-2742b b =+-3b =1a =-CD ==ABC V 11sin 22ABC S ab C ab ===V 4ab =ABC V π3C =2ππ0,32A B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭π2π63B <<又，则，所以.由正弦定理，得，所以，所以，所以的取值范围为.19.（17分）【命题意图】本小题设置探索创新情境，设计空间直线､平面的位置关系问题，主要考查直线与平面的位置关系､直线与平面所成角､二面角等基础知识；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.本小题源于教材必修第二册P 164习题8.6“拓展探索”第21题.【解析】（1）平面平面.理由如下：因为平面平面，所以，因为，又.所以平面，故.在中，为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面.π02B <<ππ62B <<tan B >sin sin a b A B =sin sin b A a B =22πsin 3sin ab B a B⎛⎫- ⎪⎝⎭=14sin 222sin B B B ⎫+⎪⎝⎭==+228a <<a <<a AEF ⊥PBC PA ⊥,ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥BC AB ⊥PA AB A ⋂=BC ⊥PAB BC AE ⊥PAB V ,PA AB E =PB AE PB ⊥PB ⊂,PBC BC ⊂,PBC PB BC B ⋂=AE ⊥PBC AE ⊂AEF AEF ⊥PBC（2）不妨设，计算可得又，所以，则，作于，连结，又，可知，所以，所以是二面角的平面角在中，由，，则，连结，知，在中，根据余弦定理，得，所以.（3）因为直线平面平面，平面平面，所以直线直线.又为线段的中点，所以为线段上的中点.由（2）知，所以.设与交点为，连结，由（1）知，平面平面，平面平面，所以平面.所以直线与平面所成角为.又由为上的中点，可得为的中点，1AB =PB PD PC ====,,PB PD BC DC PC PC ===PBC PDC ≅V V PCB PCD ∠∠=BG PC ⊥G DG ,BC DCCG CG ==GBC GDC ≅V V 90DGC BGC ∠∠== BGD ∠B PC D --Rt PBC V PC BG PB BC ⋅=⋅1=BG DG ==BD BD =GBD V 222cos 2BG DG BD BGD BG DG∠+-=⋅12==-120BGD ∠= PC ∥,AEF PC ⊂PBC PBC ⋂AEF EF =PC ∥EF E PB F BC BG PC ⊥BG EF ⊥BG EF H AH AEF ⊥PBC AEF ⋂PBC EF =BH ⊥AEF AB AEF BAH ∠PC ∥,EF F BC H BG可知，，又，所以直线与平面.12BH BG ===1AB =sin BH BAH AB ∠==AB AEF。

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高考网 www.gaokao.com 高考网 www.gaokao.com s=0 i=2 Do s=s+i i= i+2 Loop until Print s End 第4题

高一数学下学期质量检测题 参考公式：锥体的体积公式13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 如果事件AB，互斥，那么()()()PABPAPB．

用最小二乘法求线性回归方程系数公式12211ˆˆˆniiinixynxybaybxxnx，． 一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题的选项中，只有一项符合题目要求． 1．某校有40个班，每班55人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（ ） A.40 B.50 C.120 D.150 2．将两个数a=5，b=9交换，使a=9，b=5，下面语句正确一组是 ( ) （A） （B） （C） D）

3．函数41lg)(xxxf的定义域为（ ） Ａ．(14)， Ｂ．[14)， Ｃ．(1)(4)，， Ｄ．(1](4)，， 4．有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30， 在处 应添加的条件是（ ） A. i>12 B. i>10 C. i=14 D. i=10 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S（ ） Ａ．90 Ｂ．110 Ｃ．250 Ｄ．209 6．下图是NBA球员甲、乙在某个赛季参加的11场

比赛中得分情况茎叶统计图，则他们得分的中位数 分别为（ ）。 A.19、13 B.13、19 C.20、13 D.18、20

7．某科研小组共有5个成员，其中男研究人员3人，女研究人员2名，现选举2名代表，至少有1名女研究人员当选的概率为（ ） A. 52 B. 53 C. 107 D. 以上都不对

a=b b=a

t = b b = a a = t b=a a=b a = c

c = b b = a

开始 1k 0S 10k是 2SSk

1kk

否 输出S 结束

甲 乙 6 9 8 0 7 8 6 5 7 9 1 1 1 3 3 4 6 2 2 0 2 3 1 0 1 4 0 （第6题） （第5题） 高考网 www.gaokao.com 高考网 www.gaokao.com 8. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（ ） A．0.9 45 B．0.9 35 C．0.1 35 D．0.1 45

9．直线02yax与圆922yx的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 10．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0—9和字母A—F共16个 记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15

例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ） A．B0 B。72 C。5F D。6E

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中相应的横线上． 11.某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高一学生的人数为___________． 12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学去参加演讲比赛，有下列4对事件： ①至少有1名男生和至少有1名女生， ②恰有1名男生和恰有2名男生， ③至少有1名男生和全是男生， ④至少有1名男生和全是女生， 其中为互斥事件的序号是： 。

13．已知定义域为R的函数)(),(xgxf分别是奇函数、偶函数，

若1)2()3(gf，则)2()3(gf ． 14．按如右图3所示的程序框图运算． 若输入8x，则输出k ； 若输出2k，则输入x的取值范围是 ． （注:“1A”也可写成“1:A”或“1A”，均表示 赋值语句）

0 13 14 15 16 17 18 19 秒

频率/组距 0.36 0.34

0.18 0.06 0.04 0.02

图3 开始 0k21xx 1kk

结束

输入x

是 否 输出x,k

71x 高考网 www.gaokao.com 高考网 www.gaokao.com 三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 15．(12分) 将一枚质地均匀的正方形骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛

掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y。

（1）求事件“3yx”的概率；（2）求事件2yx的概率。

16．(12分)假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

参考数据：90512iix，3.11251iiiyx 若由资料知y对x呈线性相关关系。试求： （1）求yx,； （2）线性回归方程abxy； （3）估计使用10年时，维修费用是多少？

17.（14分）已知一个矩形由三个相同的小矩形拼凑而成(如图所示)，用红、黄、蓝三种不同 颜色给3个小矩形涂色，每个小矩形只涂一种颜色(相邻两个小矩形可以用同一种颜色)。 （Ⅰ）试用树形图或表格列出所有可能着色结果； （Ⅱ）求3个小矩形颜色都不相同的概率；

18．（ 14分）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，已知： 122DCDDADAB，ADDCABDC⊥，∥．

（1）设E是DC上中点，证明 ：1DE∥平面1ABD。 （2）求证：11DCAC⊥； E ·

B C

D

A

1A 1D 1C

1B 高考网 www.gaokao.com

高考网 www.gaokao.com 19. (14分) 如图，圆822yx内有一点Ｐ（－１，２）， ＡＢ为过点Ｐ且倾斜角为α的弦， （１）当α＝１３５０时，求AB：（4分） （２）当弦ＡＢ被点Ｐ平分时，写出直线ＡＢ的方程。（５分） （3）求过点Ｐ的弦的中点的轨迹方程。（5分）

20．（14分）已知函数cbxaxxf2)(，其中ZcNbNa,,。 （1）若ab2且函数)1,1)((ttf的最大值为2，最小值为4，试求函数)(xf的最小值； （2）若对任意实数x，不等式)1(2)(42xxfx恒成立，且存在0x使)1(2)(200xxf 成立，求c的值。 高考网 www.gaokao.com

高考网 www.gaokao.com 2008年惠州市第一中学高一数学下学期质量检测题 参考答案 一、选择题：1-5：C D A B B 6-10： A C B B D 二、填空题：11. 65 12. ② ④ 13. 1 14. 4k 3517x

三、解答题：

15. 解：设,xy表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：1,1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,1，2,2，„„，6,5，6,6，共36个基本事件．

（1）用A表示事件“3xy”，则A的结果有1,1，1,2，2,1，共3个基本事件． ∴313612PA． 答：事件“3xy”的概率为112． （2）用B表示事件“2xy”，则B的结果有1,3，2,4，3,5，4,6，6,4，5,3，4,2，3,1，共8个基本事件． ∴82369PB．

答：事件“2xy”的概率为29．

16.解：（1）5,4yx（2）由已知可得：23.145905453.112552512251iiiiixxyxyxb 于是 08.0423.15xbya 所以，回归直线方程是：08.023.1xy。 （3）由第（2）可得，当10x时，38.1208.01023.108.023.1xy（万元） 即估计使用10年时，维修费用是12.38万元。 17．（14分）（Ⅰ）（略）

（Ⅱ）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，事件B的基本事件有6个，故 62()279PB. ------11分 答：3个小矩形颜色都不同的概率为29. ---- 12分.

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