2019届高考数学二轮复习查漏补缺课时练习十九第19讲函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用文
高考数学一轮复习课时分层训练19函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数的简单应用文北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练19函数y＝Asinωx ＋φ的图像及三角函数的简单应用文北师大版(对应学生用书第204页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像( ) A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位A [由于y＝sin 3x＋cos 3x＝sin，y＝cos 3x＝sin，因此只需将y＝cos 3x的图像向右平移个单位，即可得到y＝sin＝sin的图像．]2．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图344所示，则ω，φ的值分别是图344A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3A [∵＝π－π，∴T＝π.由T＝＝π，得ω＝2.∵×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ.又∵φ∈，∴φ＝－.]3．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A．x＝－(k∈Z)B．x＝＋(k∈Z)C．x＝－(k∈Z)D．x＝＋(k∈Z)B [将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin2＝2sin的图像．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图像的对称轴为x ＝＋(k∈Z)．]4．(2016·北京高考)将函数y＝sin图像上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图像上，则( )A．t＝，s的最小值为π6B．t＝，s的最小值为π6C．t＝，s的最小值为π3D．t＝，s的最小值为π3A [因为点P在函数y＝sin的图像上，所以t＝sin＝sin＝.所以P.将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′.因为P′在函数y＝sin 2x的图像上，所以sin 2＝，即cos 2s＝，所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，所以s的最小值为.] 5．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－11π12C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝7π24A [∵f＝2，f＝0且f(x)的最小正周期大于2π，∴f(x)的最小正周期为4＝3π，∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.∵f＝2，∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A．]二、填空题6．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f＝________.0 [由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4，所以f＝sin＝0.] 7．(2018·重庆模拟)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ≤)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度．得到y＝sin x的图像，则f＝________.22[y＝sin xy＝siny＝sin，即f(x)＝sin，∴f＝sin＝sin＝.]8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. 【导学号：00090101】20．5 [依题意知，a＝＝23，A＝＝5，∴y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.]三、解答题9．已知函数f(x)＝sin＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y＝f(x)在上的图像．[解] (1)振幅为，最小正周期T＝π，初相为－.(2)图像如图所示．10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像过点P，图像上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．[解] (1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，2分∴ω＝＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图像过点P，4分∴5sin＝0，由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－，∴y＝5sin. 6分(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，10分故函数f(x)的递增区间为(k∈Z).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图345是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)．则下列叙述错误的是( ) 【导学号：00090102】图345A．R＝6，ω＝，φ＝－π6B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减D．当t＝20时，|PA|＝6 3C [由题意，R ＝＝6，T ＝60＝，∴ω＝，当t ＝0时，y ＝f(t)＝－3， 代入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜，∴φ＝－.故A 正确；f(t)＝6sin ，当t∈[35,55]时，t －∈，∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，正确；当t∈[10,25]时，t －∈，函数y ＝f(t)不单调，不正确；当t ＝20时，t －＝，P 的纵坐标为6，|PA|＝＝6，正确，故选C ．]2．若函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ＋a 在上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ＋a ，该函数在上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin 在上有两个不同的交点．结合函数的图像可知1≤－a ＜2，所以－2＜a≤－1.] 3．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的部分图像如图346所示．图346(1)求f(x)的解析式； (2)设g(x)＝2，求函数g(x)在x∈上的最大值，并确定此时x 的值． [解] (1)由题图知A ＝2，＝，则＝4×， 2分∴ω＝.又f ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2sin ＝0， ∴sin ＝0. 4分∵0＜φ＜， ∴－＜φ－＜， ∴φ－＝0，即φ＝，∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin.6分(2)由(1)可得f ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ，8分∴g(x)＝2＝4×1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos.10分∵x ∈，∴－≤3x ＋≤，∴当3x ＋＝π，即x ＝时，g(x)max ＝4.12分。
2019高考数学复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第4节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识梳理1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象.(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.2.函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径[常用结论与微点提醒]1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移ϕω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )解析 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3 C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.答案 C3.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 答案 D4.(2018·长沙模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4. 答案π2＋45.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.解析 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π， ∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.答案3考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值. 解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.规律方法 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. 答案 D考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2018·西安质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析 (1)由题图可知A ＝2， 法一 T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点， 因此2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2， φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.答案 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6规律方法 已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.【训练2】 (2018·茂名一模)如图所示，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的图象的一个对称中心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 解析 由题中函数图象可知：A ＝2， 由于函数图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ ＝32，由于|φ|<π2，所以φ＝π3，则有f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π，k ∈Z 可解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，故f (x )的图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，k ∈Z ，则f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，故选B. 答案 B考点三 三角函数模型及其应用【例3】 如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m).(1)求函数h ＝f (t )的关系式；(2)画出函数h ＝f (t )(0≤t ≤12)的大致图象.解 (1)如图，以O 为原点，过点O 的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系.设点A 的坐标为(x ，y )，则h ＝y ＋0.5. 设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y2， y ＝－2cos θ＋2.又θ＝2π12×t ，即θ＝π6t ，所以y ＝－2cos π6t ＋2，h ＝f (t )＝－2cos π6t ＋2.5(t ≥0).(2)函数h ＝－2cos π6t ＋2.5(0≤t ≤12)的大致图象如下.规律方法 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【训练3】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.解析 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝23－5×12＝20.5. 答案 20.5考点四 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的综合应用【例4】 (2018·昆明诊断)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间. 解 (1)f (x )＝4cos ωx · sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a＝4cos ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a .又f (x )最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，即a ＝－1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期为T ＝π， ∴2ω＝2πT ＝2，ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得π6≤x ≤2π3.∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.规律方法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体.(1)在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.(2)对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.【训练4】 (2018·桂林调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 3解析 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1.答案 B基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·华中师大高考联盟质检)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π4个单位D.向右平移π8个单位解析 由y ＝sin 2x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象只需向左平移π8个单位，故选A. 答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案 A3.(2018·合肥二模)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移π3个单位后对应函数的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) 解析 由函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，得2πω＝π，解得ω＝2，则f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将其图象向右平移π3个单位后，对应函数的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得所求单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). 答案 B4.(2018·西安质检)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.－32B.－12C.12D.32解析 依题设，平移后得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，又该图象关于原点对称，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|<π2，得φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3时，f (x )取最小值－32.答案 A5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A.2 2B. 2C.－22D.－24解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2. 又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24.答案 D 二、填空题6.(必修4P60例1改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.解析 从题图中可以看出，从6～14时是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.由图可得A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20. 又π8×10＋φ＝2π，解得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14].答案 y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14]7.(2018·大连双基测试)函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数为偶函数，则t 的最小值为________.解析 函数f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，其图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －t ＋π4为偶函数，则－t ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即t ＝－π4－k π(k ∈Z )，又t >0，∴当k ＝－1时，t min ＝3π4.答案 3π48.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝______________________________________________________. 解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案 143 三、解答题9.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象. 解 (1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos⎛⎪⎫2x －π，列表：描点画出图象(如图).10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·惠州调研)已知函数f (x )＝sin x ＋λcos x (λ∈R )的图象关于直线x ＝－π4对称，把函数f (x )的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A.x ＝π6B.x ＝π4C.x ＝π3D.x ＝11π6解析 由f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，可得λ＝－1，所以f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，g (x )＝2·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －5π12，令12x －5π12＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝2k π＋11π6，k ∈Z .当k ＝0时，对称轴的方程为x ＝11π6. 答案 D12.(2018·湖北七市联考)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移2个单位，得到g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则|x 1－x 2|的最大值为________.解析 由题意，得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2，所以g (x )max ＝3.又g (x 1)·g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，所以2x ＋π3＝π2＋2kπ(k ∈Z )⇒x ＝π12＋k π(k ∈Z ).又因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以x 1，2＝π12＋π，π12，π12－π，π12－2π，从而|x 1－x 2|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－2π＝3π. 答案 3π13.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温， 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 在10时至18时实验室需要降温.。
2019届高考理科数学一轮复习学案：第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT=f==2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=A sin(ωx+φ)0A0-A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]若函数f(x)=sinωx(0<ω<2)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则ω=.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin cos在区间上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m=.8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-2所示,则φ=.图3-19-2课堂考点探究探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换1(1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x-D.y=2sin2x-(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos2x的图像可以由函数y=sin2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.式题(1)[2017·雅安三诊]把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin(2)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=cos3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式2(1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3(2)已知函数f(x)=M sin(ωx+φ)M>0,|φ|<的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A为图像的一个最高点),B-,0,则函数f(x)=.图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质3(1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图像的一条对称轴为()图3-19-6A.x=B.x=-C.x=2D.x=1[总结反思]求y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题[2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=,且·=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4有一个半径为4m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=A sin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的月平均气温为℃.。
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义课前双击巩固1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)AT= f=1T=2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=Asin(ωx+φ)0 A 0 -A 03.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin(x+π4),则原函数的解析式是.3.[教材改编] 若函数f (x )=sin ωx (0<ω<2)在区间0, π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω= .4.[教材改编] 已知简谐运动f (x )=2sin π3x+φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为 . 题组二 常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos (2x +π3)的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像向 平移 个单位长度.6.设ω>0,若函数f (x )=sin ωx2cos ωx2在区间[-π3,π3]上单调递增,则ω的取值范围是 .7.若f (x )=2sin (ωx+φ)+m 对任意实数t 都有f (π8+t)=f (π8-t),且f (π8)=-3,则实数m= .8.已知函数f (x )=sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-2所示,则φ= .图3-19-2 课堂考点探究探究点一 函数y=Asin (ωx+φ)的图像变换1 (1)将函数y=2sin 2x+π6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ( )A.y=2sin2x+π4 B.y=2sin2x+π3C.y=2sin2x-π4 D.y=2sin2x-π3(2)函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是( )A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.式题(1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移π6个单位长度,所得图像的函数解析式为( )A.y=sin(2x-π3) B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(x2-π3) D.y=sin(x2-π6)(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=√2cos 3x的图像( )A.向右平移π12个单位长度B.向右平移π4个单位长度个单位长度C.向左平移π12个单位长度D.向左平移π4探究点二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A (2)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)M>0,|φ|<π2为图像的一个最高点),B-5,0,则函数f(x)=.2图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.,1式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且Aπ2,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三 函数y=Asin (ωx+φ)的图像与性质3 (1)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f (x )的图像向左平移π3个单位长度后所得图像过点P (0,1),则函数f (x )=sin (ωx+φ) ( ) A.在区间[-π6,π3]上单调递减 B.在区间[-π6,π3]上单调递增 C.在区间[-π3,π6]上单调递减 D.在区间[-π3,π6]上单调递增(2) 函数y=cos (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A ,B 分别为最高点与最低点,且|AB|=2√2,则该函数图像的一条对称轴为 ( )图3-19-6A.x=π2B.x=-π2C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=Asin (ωx+φ)+B (A>0,ω>0)的解析式的一般步骤. (1)求A ,B.确定函数的最大值M 和最小值m ,则A=M -m 2,B=M+m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ,则ω=2πT .(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 已知函数f (x )=2sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-7所示,若f (0)=√3,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =π28-8,B ,C 分别为最高点与最低点. (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图像,求函数g (x )在区间0,π2上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四 三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m 的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O 距离水面2 m ,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P 从水中浮现(即到达图中点P 0)时开始计时. (1)将点P 距离水面的高度h (m )表示为时间t (s )的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P 距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.课时作业一、填空题1．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移π12个单位，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________.2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y＝sin(2x＋π2) ②y＝cos(2x＋π2) ③y＝sin(x＋π2) ④y＝cos(x＋π2)4．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为________.5．已知函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.①ω＝1，φ＝2π3②ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π36．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________．11．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 二、解答题12． 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．13．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．。
(福建专版)2019高考数学一轮复习课时规范练19函数y=Asinωxφ的图象及应用文
课时规范练19 函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动个单位长度,所得图象的函数解析式是()A.y=sin-B.y=sin-C.y=sin-D.y=sin-2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.(2017湖南邵阳一模,文6)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值是()A. B. C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2017天津,文7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=〚导学号24190738〛6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=()A. B. C. D.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为()A.-∈B.-∈C.-∈D.-∈〚导学号24190739〛8.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=.10.(2017北京,文16)已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.〚导学号24190740〛综合提升组11.(2017辽宁大连一模,文11)若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]12.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.13.已知函数y=3sin-.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.〚导学号24190741〛创新应用组14.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2〚导学号24190742〛15.如图所示,某地夏天8—14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈(0,π).(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.答案：1.B由题意,y=sin x的图象进行伸缩变换后得到y=sin x的图象,再进行平移后所得图象的函数为y=sin-=sin-.故选B.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.C函数f(x)=sin 2x+cos 2x=sin的图象向左平移φ个单位长度,所得函数y=sin的图象关于y轴对称,则有2φ+=kπ+,k∈Z.解得φ=kπ+,k∈Z.由φ>0,则当k=0时,φ的最小值为.故选C.4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.A由题意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=.故选A.6.C由函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=.7.B根据所给图象,周期T=4×-=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ).又图象经过,代入有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.8.因为y=sin x-cos x=2sin-,所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.函数f(x)=sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=.x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=.10.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.11.C方程2sin=m可化为sin,当x∈时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图象如图所示.由题意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.12.∵函数的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos-,k∈Z.∵f(x)的图象平移后得函数y=cos--(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-) .∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).13.解 (1)列表:描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象,再把y=sin-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象,再把y=sin x图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.14.D曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin 2,为得到曲线C2:y=sin 2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.15.解 (1)由图象,知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)A=(50-30)=10,b=(50+30)=40,T==2×(14-8)=12,所以ω=,所以y=10sin+40.把x=8,y=30代入上式,得φ=.所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].。
(福建专版)2019高考数学一轮复习课时规范练19函数y=Asinωxφ的图象及应用文
2
π
A.ω=3,φ=12
2
11π
B.ω=3,φ=- 12
1
11π
C.ω=3,φ=- 24
1
7π
D.ω=3,φ= 24
〚导学号 24190738〛
( ) 6.若函数 f(x)=2sin
2x 的图象向右平移 φ
0
<
φ
<
π 2
个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若对
π
满足|f(x1)-g(x2)|=4 的 x1,x2,有|x1-x2|的最小值为 6 ,则 φ=( )
B.
3
{ | } π
x x = 2kπ - ,k ∈ Z
C.
6
{ | } π
x x = 2kπ - ,k ∈ Z
D.
3
〚导学号 24190739〛
8.函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.
9.
已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数 的部分图象如图所示,则 φ= .
( ) 13.已知函数 y=3sin
1x
2
-
π 4
.
(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sin x 的图象经过怎么样的变化得到的.
〚导学号 24190741〛
创新应用组
( )2π
14.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin 2x + 3 ,则下面结论正确的是( )
1x
2
-
π 20
( ) C.y=sin
专题17函数y=Asin(ωxbφ)的图像-2019年高三数学(理)二轮复习题Word版含解析
专题17 函数y=Asin（ωx+φ）的图像1．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的一条对称轴是B．函数的一个对称中心是C．函数的一条对称轴是D．函数的一个对称中心是【答案】C2．函数的部分图象如图所示，若将图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图像可知函数，而横坐标缩短为原来的，则x的系数增加一倍，故新函数解析式为.5．已知函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需把上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A6．函数（其中）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C7．已知函数f（x）＝sin（）的图象与函数g（x）的图象关于x＝1对称，则函数g（x）在（﹣6，﹣4）上（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增【答案】B【解析】8．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得函数为偶函数时，则的一个值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，的最小正周期为，，解得，将的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为：所得函数为偶函数，，可解得：，当时，．故选：．12．的最小正周期为_________________，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左最小移动_______个单位【答案】13．关于函数，有如下命题：（1）是图象的一条对称轴；（2）是图象的一个对称中心；（3）将的图象向左平移，可得到一个奇函数的图象。
其中真命题的序号为______________。
【答案】(2)(3)14．将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像.若在上单调递减，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为，向左平移个单位得函数，当时，函数为减函数，所以，求得，又，所以当时，，故填.15．给出下列命题：(1)终边在y轴上的角的集合是；。
高考 函数y=Asin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 详解
函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用A 组 基础必做1．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4解析 由y ＝sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2x ＋π4，即y ＝cos 2x 。
答案 A2．(2016·上饶模拟)已知函数y ＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A >0)在一个周期内的图像如图所示，其中P ，Q 分别是这段图像的最高点和最低点，M ，N 是图像与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为()A. 3B. 2 C ．1D ．2解析 依题意QM ＝QN ＝12PQ ，又∠PMQ ＝90°，可得△MNQ 是等边三角形，又由于MN 等于半个周期长，MN ＝12×2ππ2＝2。
所以A＝32×2＝3。
答案 A3．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，因此需将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位。
故选C 。
答案 C4．(2016·青岛模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A >0，|φ|<π2的图像如图所示，为了得到g (x )＝sin 2x 的图像，则只需将f (x )的图像( )A ．向右平移π6个长度单位 B ．向左平移π6个长度单位 C ．向右平移π3个长度单位 D ．向左平移π3个长度单位解析 由已知中函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1，易得：A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，即ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入可得，7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z 。
高考数学大一轮复习 第三章 19函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 文
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由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的步骤
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函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图 象的两种作法
高考数学复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
A=1,B=6,T=4,因为T2= ,所以ω= ,所以y=sin( x ) 6.
2
2
因为当x=1时,y=6,所以6=sin( ) 6,
2
结合表中数据得 +φ=2kπ,k∈Z,可取φ=- ,
2
2
所以y=sin( x ) 6.
22
答案:y=sin( x ) 6
22
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换 【题组练透】 1.(2017·全国卷Ⅱ)已知曲线C1:y=cos x,C2:y= sin (2x 2)，则下面结论正确的是 ( )
2
_______,周期T为____________,频率为____________
____,初相φ为______________.
【解析】振幅A=2,T=
2
=6,f=
1 6
,因为图象过点(0,1),
所以1=2sin φ,所以s3in φ= 1 ,又|φ|< ,所以
2
2
φ= .
6
答案:2 6 1
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
(全国卷5年6考)
【知识梳理】
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω> 0),x∈R
振周 幅期
频率｜
=_｜_2_｜
初 相位 相
_ω__x_+_ _φ__
_φ__
2.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的 五个关键点
x
___
ωx+φ _0_
y= Asin(ωx 0
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课时作业(十九)第19讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应
用
时间 /45分钟分值 /100分
基础热身
1.函数f(x)=2sin-3x+的最小正周期和振幅分别是 ()
A.π,1B.π,4
C.,2D.,2
2.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)有一个零点为,则φ的值是 ()
A.B.
C.D.
3.函数y=sin2x-在区间-,π上的简图是 ()
图K19-1
4.将函数f(x)=cos3x+图像上所有的点向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,则g= ()
A.B.-
C.D.-
5.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是.
能力提升
图K19-2
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6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,φ<的部分图像如图K19-2所示,则f(x)的解析式是
()
A.f(x)=2sinπx+
B.f(x)=2sin2πx+
C.f(x)=2sinπx+
D.f(x)=2sin2πx+
7.[2018·潍坊二模] 若将函数y=cosωx(ω>0)的图像向右平移个单位长度后与函数y=sinωx的图像重合,
则ω的最小值为 ()
A.B.
C.D.
8.[2018·厦门一模] 把函数f(x)=sin2x+cos2x的图像向右平移φ个单位长度,再把所得图像上各点的横
坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=2sinx的图像,则φ的一个可能值为 ()
A.-B.
C.-D.
图K19-3
9.[2018·衡阳一模] 已知A,B,C,D是函数y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<一个周期内的图像上的四个点,
如图K19-3所示,A-,0,B为y轴上的点,C为图像上的最低点,E为该图像的一个对称中心,B与D关于点
E对称,在x
轴上的投影为,则 ()
A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=
C.ω=,φ=D.ω=,φ=
10.[2018·广东江门一模] 将函数f(x)=sinπx+图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
再把图像上所有的点向右平移1个单位长度,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)的单调递减区间是 ()
A.[2k-1,2k+2],k∈Z
B.[2k+1,2k+3],k∈Z
C.[4k+1,4k+3],k∈Z
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D.[4k+2,4k+4],k∈Z
11.已知函数f(x)=Acosx+φ+1(A>0,0<φ<π)的最大值为3,y=f(x)的图像与y轴的交点的纵坐标为1,
则f=.
12.设P为函数f(x)=sinx的图像上的一个最高点,Q为函数g(x)=cosx的图像上的一个最低点,则|PQ|的最
小值是.
13.若关于x的方程2sin2x+=m在0,上有两个不等实根,则m的取值范围是.
14.(12分)[2018·北京西城区4月模拟] 函数f(x)=2cosxcosx-+m的部分图像如图K19-4所示.
(1)求m的值;
(2)求x0的值.
图K19-4
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15.(13分)[2018·甘肃张掖三诊] 已知m=cos,cos,n=sin,cos,设函数f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,求f(B)的取值范围.
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难点突破
16.(5分)已知将函数f(x)=sin2ωx+(ω>0)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)的图像,若函数
g(x)图像的两条相邻的对称轴间的距离为,则函数g(x
)图像的—个对称中心为 ()
A.-,0B.,0
C.-,0D.,0
17.(5分)已知函数f(x)=3sinx+2cosx,g(x)=3sinx-2cosx,若将函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后
得到函数g(x)的图像,则cosφ= ()
A.-B.-
C.D.
课时作业(十九)
1.C[解析] 最小正周期T==,振幅为2.故选C.
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2.B[解析] 由已知得f=sin+φ=0,因为0≤φ≤π,所以+φ=π,解得φ=.故选B.
3.A[解析] 令x=0得y=sin-=-,排除选项B,D.由f-=0,f=0,排除选项C.故选A.
4.D[解析]g(x)=cos3x-+=cos3x+-=sin3x+,所以g=sin3×+=-sin=-.故选D.
5.[解析] 由题意可知,该函数的最小正周期为,所以=,得ω=2,则f(x)=tan2x.所以f=tan=.
6.A[解析] 由题图可知f=2,f=0,验证可知,选项A正确.
7.B[解析] 将函数y=cosωx(ω>0)的图像向右平移个单位长度,得到y=cosωx-=cos-ωx的图像,因
为y=cos-ωx的图像与y=sinωx的图像重合,所以=+2kπ(k∈Z),所以ω=6k+(k∈Z),令k=0,得ω
min
=.
故选B.
8.D[解析]f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+,所以把函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度,再把所得图像
上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数解析式为g(x)=2sinx-2φ+,因为函数
g(x)=2sinx,所以-2φ+=2kπ(k∈Z),所以φ=-kπ+(k∈Z),所以当k=0时,φ=,故选D.
9.A[解析] 由题意可知=+=,所以T=π,ω==2.又sin2×-+φ=0,0<φ<,所以φ=,故选A.
10.C[解析] 将函数f(x)=sinπx+图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sinπ
×+
=sin+的图像;再把图像上所有的点向右平移1个单位长度,得到函数g(x)=sin(x-1)+=sinx.由+2k
π
≤x≤+2kπ,得1+4k≤x≤3+4k(k∈Z).故选C.
11.0[解析] 依题意,A=2,f(0)=2cosφ+1=1,所以cosφ=0,因为0<φ<π,则φ=,所以f(x)=2cos
x+
+1=-2sinx+1,所以f=-2sin×+1=0.
12.[解析] 由题意知两个函数的最小正周期都为4,由正、余弦函数的图像知,f(x)与g(x)的图像相差个最
小正周期,设P,Q分别为函数f(x),g(x)图像上的相邻的最高点和最低点,设P(x0,1),则Q(x0+1,-1),则
|PQ|min==.
13.[1,2)[解析] 作出函数y=2sin2x+在0,上的图像,由图可知,当1≤m<2时,直线y=m与y=2sin2
x+
的图像有两个交点,即方程2sin2x+=m在0,上有两个不等实根.
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14.解:(1)依题意,有f=-1,
所以 2coscos+m=-1,
解得m=-.
(2)因为f(x)=2cosxcosx--=2cosxcosx+sinx-=sinxcosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin2x+,
所以f(x)的最小正周期T==π.
所以x0=+=.
15.解:(1)f(x)=m·n=cos,cos·sin,cos=sin++,
令2kπ-≤+≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为4kπ-,4kπ+,k∈Z.
(2)由(1)知f(B)=sin++,由题知b2=ac,所以cosB==≥=(当且仅当a=c时取等号),
所以0
16.D[解析] 将函数f(x)=sin2ωx+(ω>0)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)=sin2ω
x++
的图像,因为函数g(x)图像的两条相邻的对称轴间的距离为,所以=,即T=π=,得ω=1,所以g(x)=sin2
x+
,由2x+=kπ(k∈Z),解得x=-(k∈Z),当k=1时,x=,所以函数g(x)图像的—个对称中心为,0.
17.D[解析] 由题意,得f(x)=3sinx+2cosx=sin(x+θ),其中sinθ=,cosθ=.将函数f(x)的图像向右平移
φ个单位长度得到f(x-φ)=sin(x+θ-φ)=sin(x-θ),所以φ=2θ-2kπ(k∈Z),则
cosφ=2cos2θ-1=2×-1=.故选D.