沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第14讲 锐角的三角比章节复习(解析版)

锐角的三角比是九年级数学上学期第二章的内容．本章的基本要求是理解锐角三角比的概念，会求特殊锐角的三角比的值，会解直角三角形，需理解仰角、俯角、方向角、坡度和坡角等概念，并能解决有关的实际问题．重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关的几何计算．难点是解直角三角形的应用．已知锐角，求三角比已知锐角的三角比，求锐角锐角的三角比的概念已知一边和一个锐角已知两边直角三角形中 的边角关系解 直 角 三 角 形解直角三角形 的应用单元练习：锐角的三角比内容分析知识结构步同级年九2 / 17【练习1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是A ∠的（ ） A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切【答案】D 【解析】=邻边余切对边． 【总结】考查锐角三角比的定义．【练习2】 将锐角α所在的三角的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ）A ．变大B ．变小C ．不变D ．不确定【答案】B【解析】考查锐角三角比的定义．【练习3】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 2，BC = 3，那么下列各式中正确的是（ ） A ．2sin 3B = B ．2cos 3B =C ．2tan 3B = D ．2cot 3B =【答案】C【解析】考查锐角三角比的定义．【练习4】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（ ） A ．cos b c A = B ．tan a b B = C ．cos ac B =D ．tan tan 1A B =【答案】B【解析】考查锐角三角比的定义及相关变形．【练习5】 计算2sin 60° + 3tan30°的值为（ ）A ．3B ．23C ．33D ．43【答案】B选择题【解析】2sin 60° + 3tan30°3233333232=+=⨯+⨯=． 【总结】考查特殊角的锐角三角比值及代数式求值．【练习6】 下列不等式成立的是（ ）A ．sin60sin45sin30︒<︒<︒B ．cos60cos45cos30︒>︒>︒C ．tan60tan45tan30︒<︒<︒D ．cot60cot 45cot30︒<︒<︒【答案】D【解析】通过计算特殊角的锐角三角比的值，可以判断D 正确．【总结】当锐角的度数逐渐增大时，正切值和正弦值也逐渐增大，而余切值和余弦值反而逐渐减小．【练习7】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，下列条件中不能解直角三角形的是（ ）A ．已知c 和aB ．已知b 和A ∠C ．已知a 和bD ．已知A ∠和B ∠ 【答案】D【解析】考查解直角三角形的条件．【总结】要解直角三角形，必须至少知道一条边．【练习8】 已知AD 是Rt ABC ∆的斜边BC 边上的高，BC = a ，B β∠=，那么AD 等于（ ） A ．2sin a βB ．2cos a βC ．sin cos a ββD ．sin tan a ββ【答案】C【解析】解：在ABC Rt △中，BCAB=βcos ，∴βcos a AB =．在ABDRt△中，ABAD=βsin∴βββsincossin aABAD==．【总结】本题主要考查利用锐角三角比解直角三角形．【练习9】如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6厘米，则这个三角形的面积为（）A．4.5平方厘米B．C．平方厘米D．36平方厘米【答案】B【解析】解：根据题意解直角三角形可得：等腰三角形的高为3，底边长为36，则三角形的面积为3933621=⨯⨯．【总结】本题主要考查30°角的锐角三角比的值．【练习10】如图，设点A（m，n）是锐角α的一条边上的任意一点，则mn的值（）A．只与角α的大小有关B．只与点A在角α的边上的位置有关C．与角α的大小及点A在角α的边上的位置有关D．与角α的大小及点A在角α的边上的位置无关【答案】A【解析】=cotmnα，所以只与角α的大小有关．【总结】本题主要考查锐角三角比的概念及相关性质．【练习11】等腰三角形的两条边分别为5和6，关于底角A下列等式中成立的是（）A．3sin5A=B．3cos5A=C．3sin5A=或512D．3cos5A=或512【答案】D【解析】①等腰三角形的两腰为5，底为6时，3cos5A=；②等腰三角形的两腰为6，底为5时，5cos12A=．【总结】本题主要考查锐角三角比的概念，注意要分类讨论．【练习12】 如图，CD 是平面镜，光线从点A 出发经CD 上点E 反射后照射到点B ，若入射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC = 3，BD = 6，CD = 11，则tan α的值为（ ）A ．113B ．311C ．911D ．11【答案】D【解析】解：由光线反射定律可知：BED AEC ∠=∠．则BED AEC ∠=∠tan tan ． ∴DE BDCE AC =． ∴CE CE -=1163，解得：311=CE ． ∴9113311tan tan ====AC CE A α．【总结】本题主要是跟物理知识相结合，注意反射角等于入射角的运用．【练习13】 菱形的边长为4，有一个内角为40°，则较短的对角线是（ ）A ．4sin40︒B ．4sin20︒C ．8sin20︒D ．8cos20︒【答案】C【解析】考查菱形对角线平分一组内角和解直角三角形基础知识．【练习14】 如图，在ABC ∆中，30A ∠=︒，E 为AC 上一点，且AE : EC = 3 : 1，EF ⊥AB步同级年九6 / 17于点F ，连接FC ，则cot CFB ∠的值为（ ）A 136B 132C 433D 134【答案】D【解析】过C 作CG ⊥AB ．∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴EF ∥CG ∴43===AG AF GC EF AC AE ． 设a FE 3=，则a CG 4=． 在AEF Rt △中，AF EF A =tan ，∴AFa333=，∴a AF 33=． ∵43=AG AF ，∴a GF 3= ∴在GFC Rt △中，4343cot ===∠a a CG FG CFB ． 【总结】本题主要考查通过添加辅助线将所要求的锐角放到直角三角形中求解．【练习15】 在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且3AD BD ==CD = 1，那么BAC ∠的大小可能是（ ） A ．15° B ．75° C ．15°，75° D ．105°【答案】C【解析】解：在ABD Rt △中，133tan ===∠AD BD BAD ，∴︒=∠45BAD ． 在ACD Rt △中，3331tan ===∠AD CD CAD ，∴︒=∠30CAD ． ∴①︒=︒+︒=∠+∠=∠753045DAC BAD BAC ； ②︒=︒-︒=∠-∠=∠153045DAC BAD BAC ．ABCDE【总结】本题主要考查解直角三角形，注意分类讨论．【练习16】 如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上一点B ，取145ABD ∠=︒，BD = 500米，55D ∠=︒，要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）米 A ．500sin55︒ B ．500cos55︒C ．500tan55︒D ．500cot55︒【答案】B【解析】解：∵145ABD ∠=︒，∴︒=∠35CBD ．∵55D ∠=︒，∴︒=∠90E ．在BED Rt △中，BD EDD =cos ，∴︒=55cos 500ED ．【总结】本题主要考查解直角三角形的运用，注意分析题目中的条件．【练习17】 如图，四边形ABCD 中，=135A ∠︒，90B D ∠=∠=︒，23BC =，AD = 2，则四边形ABCD 的面积是（ ） A ．42B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】延长CD 和BA 交于点E ．∵=135A ∠︒，90B D ∠=∠=︒，∴45C EAD ∠=∠=．∴()4221322121212222=⨯-⨯=-=AD BC S ABCD 四边形．【总结】本题主要考查通过解直角三角形求几何图形的面积．步同级年九8 / 17ABCD A BC【练习18】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC ⊥AB ，AD = CD ，4cos 5DCA ∠=， BC = 10，则AB 的值是（ ） A ．3B ．6C ．8D ．9【答案】B【解析】解：∵AD = CD ，∴DCA DAC ∠=∠．∵AD // BC ，∴ACB DAC ∠=∠， ∴ACB DCA ∠=∠． ∴BCA DCA ∠=∠cos cos 在ABC Rt △中，BCACACB =∠cos ， ∴1054AC =，解得：8=AC ． ∴68102222=-=-=AC BC AB ．【总结】当两个锐角相等时，它们的相应的锐角三角比的值也相等．【练习19】 如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB = 1.8米，要在窗子外面上方安装水平当光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，则挡光板的宽度AC 为（ ） A ．1.8sin80︒B ．1.8cos80︒C ． 1.8sin80︒D ．以上都不对【答案】D【解析】正确答案为︒80cot 8.1．【总结】本题主要考查锐角三角比的准确运用．填空题【练习20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a =c = 3，则sin A = ______．【答案】32．【解析】sin a A c ==． 【总结】考查锐角三角比的定义．【练习21】 ABC ∆三边长分别为7，24，25，那么这个三角形最小角的余切值为______． 【答案】724．【解析】根据勾股定理逆定理可知，ABC ∆是直角三角形，则最小角为7所对的角，则 此角的余切值为724．【总结】考查锐角余切的概念及勾股定理逆定理的运用．【练习22】 ABC ∆中，90C ∠=︒，817a c =，那么tan A = ______． 【答案】158． 【解析】设k a 8=，k c 17=． 由勾股定理可知：k a c b 1522=-=∴158158tan ===k k b a A ． 【总结】本题主要考查锐角的正切的概念．【练习23】 ABC ∆中，90C ∠=︒，1cos 2A =，则22tan +cotB B = ______． 【答案】310． 【解析】∵1cos 2A =，∴︒=∠60A ，∴︒=︒-︒=∠306090B ．∴()310333cot tan 2222=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+B B ． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习24】 ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 6，如果ABC S ∆=那么A ∠的度数是______． 【答案】60°． 【解析】解：∵31821=⋅⋅=BC AC S ABC △，6=AC ，∴36=BC ．∴3636tan ===AC BC A ， ∴︒=∠60A ．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习25】 在Rt ABC ∆中，A ∠是锐角，则sin A -= ______．【答案】1．【解析】解：原式=1sin 1sin =-+A A ． 【总结】本题主要考查锐角的正弦的取值范围．【练习26】 若()tan 20x +︒=，则x = ______． 【答案】10°．【解析】︒=︒+3020x ，∴︒=10x ．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习27】菱形的两条对角线长为和6，则菱形较小的内角为______． 【答案】60°．【解析】∵菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组内角， ∴最小内角一半的正切值是33， ∴最小内角一半为30°，∴最小内角为60°．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及菱形的性质．【练习28】 如果24cos 8cos 30αα-+=，那么锐角α= ______． 【答案】60°．【解析】解方程可得：23cos =α或21cos =α，∵1cos 0<<α，∴21cos =α，∴︒=60α．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习29】 校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．【答案】13．【解析】如图，AB =8，CD =13，BD =12．过A 作AE ⊥DC ， 则四边形ABDE 为矩形． ∴AB =DE =8，BD =AE =12，∴135122222=+=+=CE AE AC ．【总结】本题主要考查根据题目中的已知条件求直角三角形的斜边．【练习30】 等腰三角形ABC 中，AB = AC ， BC = 10，253ABC S ∆=，那么A ∠=______． 【答案】120°． 【解析】∵12532ABC S BC h ∆=⋅⋅=， BC = 10， ∴335=h ．∴33533521tan ===BC h B ，∴︒=∠30B ． ∴︒=∠-︒=∠1202180B A ．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及等腰三角形的性质．ABC D 【练习31】 ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边上的中线CD = 6，sin A =13，则ABC S ∆= _____．【答案】【解析】∵90C ∠=︒，斜边上的中线CD = 6， ∴AB = 2CD = 12．∵sin A =13， ∴31=AB BC ． ∴4=BC ．∴284122222=-=-=CB AB AC ．∴11422ABCSAC BC ==⨯⨯= 【总结】本题主要考查解直角三角形以及直角三角形的性质．【练习32】 如图，在C 处测得铁塔AB 的塔顶A 的仰角为30°，向塔前进10米到达D 处，在D 处测得A 的仰角为45°，则铁塔的高为______．【答案】535+．【解析】由题意，可设x BD AB ==．在ABC Rt △中，33tan ==BC AB C ，∴x CB 3=． ∴x x 310=+，解得：535+=x ．【总结】本题主要考查解直角三角形与仰角结合的应用．【练习33】 某拦水坝的横截面为梯形ABCD ，其中斜面AB 的坡比为1 : 3，如果自A 向B走了米，那么升高的高度为______米．【答案】10．【解析】设斜面AB 的垂直高度为x ，则水平高度为x 3， ∴()101010322==+x x x ，解：10=x∴升高的高度为10米．【总结】本题主要考查解直角三角形在坡比问题中的应用．【练习34】 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在坡度为1：34的山坡上种树，也要求株距为4米，则相邻两树间的坡面距离是______．【答案】5．【解析】考查坡度的定义．【练习35】 用高为h 的测角仪测得铁塔AB 的顶点A 的仰角为α，测角仪到铁塔距离为m ，那么铁塔高度为____________．【答案】αtan m h +． 【解析】考查仰角的定义． ． ．，【练习36】 计算：cos 45sin 301cos60tan 452︒-︒︒+︒．【答案】212-． 解答题步同级年九14 / 17【解析】解：原式=212121212122-=⨯+-． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值及代数式求值．【练习37】 已知α为锐角，且11tan α-无意义，求()()2cos 15615sin ααα+︒-︒的值．【答案】21-． 【解析】∵α为锐角，且11tan α-无意义．∴1tan =α，∴︒=45α．∴原式=212223621245sin 30cos 660cos 2-=⨯⨯-⨯=︒︒-︒． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及分式无意义的条件．【练习38】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = BC ，BD 为AC 边上的中线．求sin ABD ∠和tan ABD ∠的值．【答案】1010，31． 【解析】过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ． 设AE =DE =x ，则x AD 2=．∵BD 为AC 边上的中线， ∴x AC 22=．∴x AC AB 42==． ∴x BE 3=． ∴x BE DE BD 1022=+=．∴101010sin ===∠x x DB DE ABD ，313tan ===∠x x EB DE ABD ． 【总结】本题主要考查解直角三角形以及锐角三角比的概念．【练习39】 如图，等腰梯形ABCD ，AD // BC ，45DBC ∠=︒，翻折梯形ABCD ，使点B重合于点D ，折痕分别交AB 、BC 于点F 、E ，若AD = 2，BC = 8．求：（1）BE 的长；（2）CDE ∠的正切值．【答案】（1）5；（2）53．【解析】∵EF 垂直平分BD ， ∴DE BE =． ∴︒=∠=∠45BDE DBC ， ∴︒=∠90DEB ． 过A 作AG ⊥BC ，由等腰梯形的性质可得：3==EC BG ． ∴538=-=-=EC BC BE ． ∴5==BE DE ．∴在DEC Rt △中，53tan ==∠DE CE CDE ． 【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及等腰梯形的性质和特殊角的锐角三角 比的值．【练习40】 如图，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，BE ⊥CD 于点E ，AD = 1，CD =．求BE 的长．【答案】223．【解析】过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则可得四边形ABFD 为矩形． ∵在DCF Rt △中，DC DFC =sin ，∴2222DF =，∴2=FD ． ∴2=CF ． ∴2=AB ，1==AD BF ． ∴3=BC ．∵在BCE Rt △中，BCBEC =sin ，A B CDE FG AB CDEF∴322BE =，∴223=BE ． 【总结】本题主要考查解直角三角形，注意通过添加垂线，将特殊角放到直角三角形中．【练习41】 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°．在 离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．【答案】34+．【解析】过A 作AG ⊥CD ，垂足为G ． 由题意可得：︒=∠30CAG ，︒=∠60CED ，6==BD AG ．∵在ACG Rt △中，AG CGCAG =∠tan ，∴633CG =，∴32=CG ， ∴2332+=CD ．∵在CED Rt △中，CECDCED =∠sin ， ∴CE233223+=，∴34+=CE ．【总结】本题主要考查解直角三角形在仰角问题中的应用．【练习42】 如图，有一朝向为正南方向的居民楼CD ，该居民楼的一楼是高6米的超市， 超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼AB ，当冬季正午阳光与水平线的夹角为30°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？ （2）若要超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ 【答案】（1）不受影响，理由见解析；（2）320． 【解析】（1）由题意可知：︒=∠30AEF ，15=EF ．在CED Rt △中，∵FE AF AEF =∠tan ，∴1533AF=，∴=AF∵636.113520>≈-==BF EC ，∴超市以上的居民住房采光不受影响．E AB CDEFG（2）当︒=∠30ACB 时，超市采光不受影响，在ACB Rt △中，BCABACB =∠tan ， ∴BC2033=，∴320=BC ． ∴两楼至少相距320米． 【总结】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用．。