2018-2019学年浙江省杭州市高二下学期期末考试数学试题 Word版

2018-2019学年浙江省杭州市高二下学期期末考试数学试题

考生须知：

1.本试卷分试题看和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题长指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!

3.考试结束，只需上交答题卡。

一.选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分。

1.设集合()1,2,4A ，()3,4B .则集合A B =（ ）

A.{}4

B.{}1,4

C.{}2,3

D.{}1,2,3,4

2.直线340x y ++=的斜率为（ ）

A.13

-

B.

1

3

C.3-

D.3

3.函数()2

2log 1y x =-的定义城是（ ） A.{}

1x x >

B.{}

1x x <

C.{}

1x x ≠

D.R

4.在ABC ?中，2

2

2

a b c =+，则A ∠=（ ） A.30?

B.60?

C.120?

D.150?

5.一个空间几何体的三规图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）

正视图 侧视图

俯视力

A.

2

3

B.

4

3

C.

8

3

D.4

6.若四边形ABCD 满足0AB CD +=，()

0AB AD AC -?=，则该四边形是（ ） A.正方形 B.矩形

C.菱形 D .直角梯形

7.已知1-，a ，b ，5-成等差数列，1-，c ，4-成等比数列，则a b c ++=（ ）

A.8-

B.6-

C.6-或4-

D.8-或4-

8.设a ，b R ∈，则“a b ≥”是“a b >”的（ ） A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.函数()()

22x f x x x c =-的图象可能．．

是（ ）

A.

B.

C.

D.

10.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m α，//m β，则//αβ C.若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D.若//m α，αβ⊥，则m β⊥

11.设实数x ，y 满足不等式组2,

23,0,0.x y x y x y +≥??

+≥??≥≥?

则3x y +的最小值是（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

12.若α是第四象限角，5sin 313πα??+=-

???，则sin 6πα??

-= ???

（ ）

A.

1

5

B.15

-

C.

1213

D.1213

-

13.已知椭圆22

2:14

x y E a +

=，设直线():1l y kx k R =+∈交椭圆E 所得的弦长为L .则下列直线中，交椭

圆E 所得的弦长不可能．．．等于L 的是（ ） A.0mx y m ++= B.0mx y m +-=

C.10mx y --=

D.20mx y --=

14.设(),22

a b

a b F a b -+=-.若函数()f x ，()g x 的定义域是R .则下列说法错误．．的是（ ）

A.若()f x ，()g x 都是增函数，则函数()()()

,F f x g x 为增函数 B.若()f x ，()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数 C.若()f x ，()g x 都是奇菌数，则函数()()(

)

,F f x g x 为奇函数 D.若()f x ，()g x 都是偶函数，则函数()()()

,F f x g x 为偶函数

15.长方体1111ABCD A B C D -中，P 是对角线1AC 上一点，Q 是底面ABCD 上一点，若

AB =

11BC AA ==，则1PB PQ +的最小值为（ ）

A.

3

2

B.

1

2

D.2

二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）

16.若双曲线22:154

y x C -=的渐近线与圆()()2

2230x y r r -+=>相切，则r =_________. 17.已知a ，b 是单位向量.若2a b b a +≥-，则向量a ，b 夹角的取值范围是_________. 18.已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，数列{}n n a b 的前n 项和为1

3n n +?.若13a =，

则数列{}n a 的 通项公式为_________.

19.如图，已知正三棱锥ABCD ，BC CD BD ===，2AB AC AD ===，点P ，Q 分别在核BC ，

CD 上（不包含端点）

，则直线AP ，BQ 所成的角的取值范围是_________.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运革过程，

20.设函数(

)2sin cos f x x x x =+. （I ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 在区间5,36ππ??

?

??

?上的值域. 21.如图，已知三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC

，1AA AB ==，AB AC ⊥，D 为AC 的

中点

.

（I ）证明：1//B C 面1BA D ；

（Ⅱ）求直线1B C 与平面1BA D 所成角的正弦值，

22.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =.若1a ，2a ，5a 成等比数列.

（I ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设()2

1

11

n n b n N a

*

+=

∈-， 求数列{}n b 的前n 项和n

T .

23.已知直线l 与抛物线2

:4C y x =交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点。

（I ）当直线l 经过抛物线C 的焦点，6MN =时，求点Q 的横坐标；

（Ⅱ）若5MN =，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程. 24.设a ，k R ∈，已知函数()2f x x x a ka =--+. （I ）当1a =时，求()f x 的单调增区间；

（Ⅱ）若对于任意10,6

a ??∈????

，函数()f x 至少有三个零点。求实数k 的取值范围.

2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题 1-5：AACDB 6-10：CDDBC

11-15：BCDCA

二、填空题

17.0,

3π??

????

18.21n a n =+

19.,32ππ??

???

三、解答题

20.解：（Ⅰ）()1cos 2sin 222

x x

f x -=+

1sin 22sin 223x x x π?

?=+=- ???

， 所以T π=.

（Ⅱ）因为()sin 232

f x x π?

?

=-

+ ?

?

?， 因为5,36x ππ??

∈?

???

，所以42,333x πππ??-∈????，

所以sin 213x π?

?≤-≤ ??

?，

所以()f x 的值域为1??

???

?

. 21.（Ⅰ）证明：连接AB ，交1A B 于N ，所以N 为1AB 的中点， 又因为D 为AC 的中点，所以1//DN B C ， 因为DN 在面1BA D 内，1B C 不在面1BA D 内， 所以1//B C 面1BA D .

（Ⅱ）以AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（不妨设1AC =）.

所以)B

，10,,02D ??

???

，(1A ，(1C ，

设面1BA D 的法向量为(),,m x y z =， 则10

n BD n BA ?=??

?=?

，解得()

1,n =.

因为(1BC =，记直线1BC 平面1BA D 所成角为θ.

所以111sin cos ,7BC n BC n BC n

θ?=<>

=?，. 22.解：（Ⅰ）由题意，得12

151a a a a =??=?解得11

2a d =??=?，

所以21n a n =-，2

n S n =.

（Ⅱ）因为()11114141n b n n n n ??

=

=- ?++??

，

所以()

41n n

T n =

+.

23.解（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ， 所以1226MN x y =++=. 所以12

22

Q

x x x +=； （Ⅱ）设直线:l ty m +，由2

4x ty m y x

=+??=?，

得2

440y ty m --=.

所以124y y t +

=，124y y m =-.

所以

MN =5=.

所以()

22

25

161m t t =

-+， 所以()12122x x t y y m +=++=()

22

2

25422381t m t t +=

+≥+，

所以12322Q x x x +=

≥，此时1

2

t =±，1m =. 所以:220l x y --=或220x y +-=.

24.解（Ⅰ）当1a =时，()()()

2

2

21,111,1x x k x f x x x k x x k x ?-++≥?=--+=?++-

所以()f x 的单调增区间为1,2??

-

+∞ ???

. （Ⅱ）因为()()()()()

2

2

21,1,x x a k x a f x x x a k x x a k x a ?-+?+≥?=--+=?++?-

f x 在1,2?

?-∞- ???上单调递减，在1,2a ??- ???上单调递增，在1,2a ?? ???上单调递减，，在1,2??

+∞ ???

上单

调递增.

若()0f a <，则()f x 在1,2a ??- ???和1,2a ??

???

上无零点，由()f x 的单调性及零点的存在性定理可知，()f x 至多有两个零点.

故()0f a ≥，即2

0a ak +≥对任意10,6

a ??∈????

恒成立，可知0k ≥.

当()0f a ≥时，若102f ??

>

???或102f ??

-> ???

成立，则由()f x 的单调性及零点的存在性定理可知()f x 至多有两个零点，故102102f f ???≤ ???

??

?

???-≤ ????

?，即()()1

104110

4a k a k ?-++≤????-+-≤??成立，注意到，

()()111144a k a k -++≥-+-，故()1104a k -++≤，即114k a ≤-对任意10,6a ??

∈????

成立，可知1

2

k ≤

， 综上可知，102

k ≤≤

.

因为20x x a ka --+=，所以2x a ka x --=.

设3y x a ka =--，其顶点(),A a ka -在y kx =-，10,6x ??∈????

（即线段OB ）上运动.

若0k <，显然存在V 字图与抛物线2

y x =只有两个交点的情况，不符合题意，故0k ≥，如图画出草图.

显然 当点A 自点O 向点B 运动时，两个图象总有M ，N 两个交点，故只需要V 字形图象右支y x a ka =--与抛物线有()2y x x a =>交点即可， 即()20x x a ka -++=有两个正根，

满足()140

a ka a ka -+≥???

+>??，

即1014k a <+≤

对任意10,6a ??

∈????

都成立， 即112

k -<≤

， 又0k ≥，所以102

k ≤≤

.