尺规作图的路径与原理

尺规作图的路径与原理

闽江学院附属中学杜强

一、知识回顾

1.什么是尺规作图?

尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图

起源

起源于古希腊,最初由伊诺皮迪斯提出,并逐渐形成公约,最后总结在欧几里得的《几何原本》之中。

直尺

没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧画直线、射线或线段,不可以用于度量长度。

描述：画直线、射线或线段。例如:画射线OA

圆规

两脚可以开至无限宽,量取两点之间的距离,用于画圆弧,

描述：以某点为圆心,某长为半径作弧,与直线(射线、线段或弧)交于某点。例如:以点C为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点D和E

2.课标要求

⑴能用尺规完成基本作图

①.作一条线段等于已知线段;②.作一个角等于已知角;③.作一个角的平分线;④.作一条线段的垂直平分线;⑤.过一点作已知直线的垂线。

⑵会利用基本作图作三角形

①已知三边、两边及其夹角、两角及夹边作三角形;②已知底边上的高线作等腰三角形;③已知一直角边和斜边作直角三角形。

⑶会利用基本作图完成

①过不在同一直线上的三点作圆;②作三角形的外接圆、内切圆；

③作圆的内接正方形和正六边形。

⑷尺规作图要求

在尺规作图中,了解作图的道理,保留作图痕迹,不要求写出作法。

3.基本作图

五个基本作图名称：①作一条线段等于已知线段;②作一个角等于已知角;③作一个角的平分线;④作一条线段的垂直平分线;⑤过一

点作已知直线的垂线。

五个基本作图要求：在尺规作图中，了解作图的道理,熟悉作图

的过程，保留作图痕迹，不要求写出作法。

五个基本作图的作法：

①作一条线段等于已知线段（七年级上册第四章P126）

已知线段a. 求作线段AB,使AB=a

作法：

(1)画射线AC

(2)在射线AC上截取AB=a(以点A为圆心,

线段a长为半径画弧,交射线AC于点B),则线段AB即为所求

②作一个角等于已知角（八年级上册第十二章P36）

已知∠AOB. 求作∠AOB',使∠AOB′=∠AOB.

作法：

(1)以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D

(2)画一条射线O’A’,以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C'

(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于点D'

(4)过点D'画射线O'B’,则∠A'O'B'=∠AOB

原理：△OCD≌△O'C'D'（sss）

③作一个角的平分线(八年级上册第十二章P48)

已知∠AOB. 求作∠AOB的平分线

作法:

(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N；

MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内(2)分别以点M,N为圆心,大于1

2

部相交于点C；

(3)画射线OC,则射线OC即为

原理：△OMC≌△O NC（sss）

④作一条线段的垂直平分线(八年级上册第十三章P63)已知线段AB. 求作线段AB垂直平分线

作法:

AB的长为径作弧,两弧相交于C,D (1)分别以点A和点B为圆心,大于1

2

两点

(2)作直线CD,则直线CD即为所求

原理：四边形ACBD是菱形

注：它也是作直线的垂线和确定线段中点的重要依据

⑤过一点作已知直线的垂线（八年级上册第十三章P62）

I.已知直线AB和直线AB外一点C, 求作AB的垂线,使它经过点C

(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁;

(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E

DE的长为半径作弧,两弧相交于点(3)分别以点D和点E为圆心,大于1

2

F;

(4)作直线CF,则直线CF即为所求直线

原理：线段DE的垂直平分线

∠.已知直线AB和直线AB上一点C, 求作AB的垂线,使它经过点C.

作法:

(1)以点C为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点D和E

DE的长为半径在直线AB的同侧(2)分别以点D和点E为圆心,大于1

2

作弧,两弧相交于点F;

(3)作直线CF,则直线CF即为所

求直线

原理：等腰△DEF三线合一

二、实践提升

1.牛刀小试

【练习】如图,已知线段a.求作等边∠ABC,使其边长为a

2举一反三

【变式I】求作一个角,使它等于60°

∴∠ABC为所求作的角

【变式∠】求作一个角,使它等于30°(五种作法如下)

【变式∠】已知线段AB,以线段AB为斜边,求作R∠ABC,使∠BAC=30°

可以类比30°角的作法:

【变式∠】求作一个角,使它等于45°

【变式V】求作一个角,使它等于75

【变式∠】求作一个角,使它等于120°

4.归纳提升

三、中考前沿

1.真题赏析

【2017福州质检·19题】(本题满分8分)

如图,在Rt∠ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2以点B为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D;以点A为圆心AD长为半径画弧,交AC于点E,保留

的值

作图痕迹,并求AE

AC

注：根据文字语言，

完成尺规作图，

再解答

【2017福州中考·19题】(本题满分8分)

如图,△ABC中,∠ABC=90°,AD⊥BC,垂足为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.

(要求:尺规作图,保留痕迹,不写作法)

【2018福州质检·19题】(本题满分8分)

如图,在Rt∠ABC中,∠C=90°,∠B=54°,AD是∠ABC的角平分线.求作AB 的垂直平分线MN交AD于点E,连接BE;并证明DE=DB.(要求:尺规作图,保留痕迹,不写作法)

【2018福建中考·20题】(本题满分8分)

求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比

要求:①根据给出的∠ABC及线段A'B’,∠A'（∠A'=∠A),以线段A'B’为一边,在给出的图形上用尺规作出∠A'B'C',使得∠A'B'C'∠∠ABC,不写作法,保留作图痕迹；

②在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程

【2019·福州质检20题】(本题满分8分)

如图,在Rt∠ABC中,∠ACB=90°,BD平分∠ABC.求作∠O,使得点O在边AB上,且∠O经过B,D两点;并证明∠O与AC相切.

(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

【2019福建中考·20题】(本题满分8分)

已知∠ABC和点A',如图

(1)以点A'为一个顶点作∠A'B'C',使得∠A'B'C'∠∠ABC,且∠A'B'C'的面积等于∠ABC面积的4倍;

(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

(2)设D,E,F分别是∠ABC三边AB,BC,CA的中点,D’,E',F'分别是你所作的∠A'B'C'三边A'B’,B'C',C'A',的中点,求证:∠DEF∠∠D'E'F'

2.总结升华

了解：

了解中考要求,知晓标准

理解

理解作图原理,熟悉作法

掌握

掌握基本作图,解决问题