导数的运算练习题答案

1.设a 为实数，函数R x a x e x f x

∈+-=,22)(。

(Ⅰ)求)(x f 的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当12ln ->a 且0>x 时，122

+->ax x e x

。

2. 已知 函数f(x)=))(6(3)4(2

3

R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称，其中m,n 为实常数。

（１） 求n m ,的值；

（２） 试用单调性的定义证明：f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数；

（３） 当-2≤x ≤2 时，不等式)log ()(a n x f m -≥恒成立，求实数a 的取值范围。 解(1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x)

恒成立，)6(3)4()6(3)4(2323--+---=-++-+-n mx x m x n mx x m x

[]()()()()()(),

,0,

012022)

12)(()

12()12(,2,2,,12)()1()2(.6,40)6()4(2121222121212122

212

121232131212

12132x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x f n m n x m >>-<-++<-≤<≤--++-=---=-<-∈-====-+-即从而，知，由且任取可知由恒成立，必有即

∴f(x)在[-2,2]上是减函数。

（3）由（2）知f(x)在[-2,2]上是减函数，则-22≤≤x 时,()().162-=≥f x f 故-2时，2≤≤x 不等式f(x)a a n m m log )log (-≥恒成立

.4161

08log 2log 0)2)(log 8(log log )log 6(168444444≥≤

3.设定函数)0(3

)(23

>+++=a d cx bx x a x f ，

且方程09)('=-x x f 的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线)(x f y =过原点时，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 在),(+∞-∞无极值点，求a 的取值范围

4.设函数()ln ln(2)f x x x ax =+-+(0)a >． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；

（2）若()f x 在(0,1]上的最大值为1

2，求a 的值．

【解析】对函数求导得：

11()2f x a x x '=

-+-，定义域为（0，2）

单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。

当a=1时，令2112

()0+1=00

22x f x x x x x -+'=-?=--得（）

当()0,x f x '∈>

为增区间；当()0,x f x '∈<为减函数。 区间

(]01，上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定

量a 的值。

当

(]

01x ∈，有最大值，则必不为减函数，且

11

()2f x a x x '=

-+->0，为单调递增区间。

最大值在右端点取到。

max 1

(1)2f f a ===

。

5.已知函数)(11ln )(R a x

a

ax x x f ∈--+-= （Ⅰ）当2

1

≤

a 时，讨论)(x f 的单调性： （Ⅱ）设42)(2

+-=bx x x g .当4

1=a 时，若对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使

)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围。

【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+∞），因为 '

2

11()-x a f x a x -=-=22-ax +x+a-1

x ，所

以当0a =时，

'2x-1()f x x =

，令'

2x-1()>0

f x x =得x>1，所以

此时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；

当12a =时，'()f x =2211

-x +x+-122x ?=22-x +2x-12x =2

2-x-102x ≤（），所以

此时函数f(x)在（0，+∞）是减函数；

当<0a 时，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得1

x>1x<-1a 或（舍去），此

时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；

当10<<2a 时，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得11

-1a （，

+∞）上是减函数；

当1<<12a 时，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得1

-1

-1a （，

1）上是增函数；在（0，1-1a ）和1（，+∞）上是减函数；

当1a ≥时，由于1

-10a ≤，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，可解得01x <<，

此时函数f(x)在（0，1）上是增函数；在（1，+∞）上是减函数。

（Ⅱ）当

1

4a =

时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈，

有

11f(x )f(1)=-

2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()

2g x -≥，

[]21,2x ∈，即存在

[]1,2x ∈，使21()242g x x b x =-+≤-，即2

922b x x ≥+，即9

22b x x ≥+∈1117[,]

24，所以1122b ≥，解得114b ≥，即实数b 取值范围是11

[,)4+∞。

6.已知函数)(12

3)(2

3

R x x ax x f ∈+-

=，其中0>a . （Ⅰ）若1=a ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （Ⅱ）若在区间]2

1

,21[-

上，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=323

x x 12-+，f （2）=3；f ’(x)=2

33x x -, f ’(2)=6.

所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.

（Ⅱ）解：f ’(x)=2

333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0，解得x=0或x=1

a .

以下分两种情况讨论：

若

11

0a 2a 2<≤≥

，则，当x 变化时，f ’(x)，f （x ）的变化情况如下表：

当11x f x 22??∈-????，时，（）>0

等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -??

>->?????

?+??>>????即，

解不等式组得-5

若a>2，则

11

0a 2<

<

.当x 变化时，f ’(x),f （x ）的变化情况如下表：

当11x 22??∈-????，时，f （x ）>0等价于1

f(-)21f()>0,a ???????>0,即258

11->0.2a a -???????>0,，解不等式组得52a <<或

2a <-

.因此2

7.已知函数bx x ax x f ++=2

3)( （其中常数R b a ∈,），)()(')(x f x f x g +=是奇函数.

（Ⅰ）求)(x f 的表达式；

（Ⅱ）讨论)(x g 的单调性，并求)(x g 在区间]2,1[上的最大值与最小值.