工程力学(高教版)教案：5.4 内力方程及内力图

第四节 内力方程及内力图
描述内力沿杆长度方向变化规律的坐标x的函数，称为内力方程。为了形象直观的反
映内力沿杆长度方向的变化规律，以平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置，以垂直于杆
轴线的坐标表示内力的大小，选取适当的比例尺，便可作出对应的内力图。

一、利用内力方程作内力图

内力方程所提供的函数图形，即为内力图。
例5-6 一受力如图5-16(a)所示的阶梯形杆件，q为沿轴线均匀分布的载荷，试作轴力图。

图5-16
解 如图5-16(b)。
由 0X 022RpqlP
解得 1PR
由于作用在杆件上的外力不是连续变化的，故应分段列出内力方程。
AB
段：PxN PNNBA lx0

PNNBA

BC
段 PxlxqPRxNlP22 lxl3

PNB, PNC
,

CD
段 PxN lxl43

PND

lx0
根据AN、BN、CN、DN的对应值便可作出图 5-16(c)所示的轴力图 。N及N分
别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的轴力。
由例子可见，杆的不同截面上有不同的轴力，而对杆进行强度计算时，要以杆内最大的
轴力为计算依据，所以必须知道各个截面上的轴力，以便确定出最大的轴力值。这就需要
画轴力图来解决。
例5-7 试作出例5-2中传动轴的扭矩图。

图5-17
解 BC段：28.3BmxT kN·m lx0
28.3CBTT
kN.m

CA
段: 64.7CBmmxT kN·m lxl2

64.7ACTT
kN·m

AD
段: 09.5DmxT kN·m lxl32

09.5DATT kN·m
根据BT、CT、CT、AT、AT、DT的对应值便可作出图 5-17(c)所示的扭矩图 。

T

及T分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的扭矩。
由例子可见，轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的
扭矩为计算依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。这就需要
画扭矩图来解决。
例5-8 试作出图5-18(a)所示梁的剪力图和弯矩图。
图5-18
解 如图5-18(b)。
求梁的支座反力。

由 0Am 0120244mqYB

解得 25BYkN
由 0Y 0204qYYBA
解得 35AYkN
CA
段: 20ARxQkN 10x

xxM20 
10x

20ACQQkN 0CM, 20AM
kN·m

AB
段: xYxqxQB10255 51x

15AQkN 25BQ
kN


2
2

5255215xxxqPxYxMB
51x

根据BQ、CQ、AQ、AQ、的对应值便可作出图 5-18所示的剪力图 。
根据CM、BM、maxM、AM、AM、的对应值便可作出图 5-18(c)所示的弯矩图（机
械类将弯矩图画在梁受压侧，土建类将弯矩图画在梁受拉侧） 。
由上述内力图可见，集中力作用处的横截面，轴力图及剪力图均发生突变，突变的值等
于集中力的数值;集中力偶作用的横截面，剪力图无变化，扭矩图与弯矩图均发生突变，突
变的值等于集中力偶的力偶矩数值。

二、利用分布荷载与剪力、弯矩间的微分关系作梁的内力图

)(xQ
、xM和xq间的微分关系，将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存在

的某些规律，在不列内力方程的情况下，能够快速准确的画出内力图。
如图5-19(a)所示的梁上作用的分布载荷集度xq是x的连续函数。设分布载荷向上为
正，反之为负，并以A为原点，取x轴向右为正。用坐标分别为x和dxx的两个横截面从
梁上截出长为dx的微段，其受力图如图5-19(b)所示。

图5-19
由 0Y 0xdQxQdxxqxQ

解得 dxxdQxq (5-4)
由 0Cm 0212xdMxMdxxqdxxQxM
略去二阶微量221dxxq解得 dxxdMxQ (5-5)

将式(5-5)代入式(5-4) 得 22dxxMdxq (5-6)
式(5-4)、(5-5)和(5-6)就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。由此可知xq和)(xQ分
别是剪力图和弯矩图的斜率。
根据上述各关系式及其几何意义，可得出画内力图的一些规律如下：

（1） q=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
（2） q=常数：剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。
（3） 集中力P作用处：剪力图在P作用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一折线，
P作用处有转折。
（4） 集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图在力偶作用处有突变，
突变值等于集中力偶。
掌握上述载荷与内力图之间的规律，将有助于绘制和校核梁的剪力图和弯矩图。将这些
规律列于表5-1。

利用上述规律，首先根据作用于梁上的已知载荷，应用有关平衡方程求出支座反力，然
后将梁分段，并由各段内载荷的情况初步确定剪力图和弯矩图的形状，最后由式（5-3）求
出特殊截面上的内力值，便可画出全梁的剪力图和弯矩图。这种绘图方法称为简捷法。下面
举例说明。
例5-9 外伸梁如图5-20(a)所示，试画出该梁的内力图。
解：
（1）求梁的支座反力

由 0Bm 0221352aqmaRaPB

解得 102431qaamPRAkN
由 0Y 02qaRRPBA
解得 52ABRqaPRkN

图5-20
（2）画内力图：

CA
段: 0qkN ，剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。

3PQQ
AC
kN

0CM
, 8.1aPMA kN·m

AD
段: 0qkN ，剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。

8.1aPM
A
kN·m

7ADARPQQ
kN

4.22aRaPM
AD
kN·m

DB段: 0q（因其为方向向下） ，剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。
5BBRQ
kN ，qxRxQB ax20

令0xQ 得5.0qRBx m
2.12maRaPM
AD
kN·m

25.12/5.05.02qRM
BE
kN·m，0BM

根据BQ、CQ、AQ、AQ、DQ的对应值便可作出图 5-20(b)所示的剪力图 。由图可
见，在AD段剪力最大，7maxQ kN。
根据CM、BM、、AM、EM、DM、DM、的对应值便可作出图 5-20(c)所示的弯
矩图。由图可见，梁上点D左侧相邻的横截面上弯矩最大，4.2maxDMM kN·m
三、利用叠加原理作弯矩图
在小变形情况下，梁在载荷作用下，其长度的改变可忽略不计，则当梁上同时作用有几
个载荷时，其每一个载荷所引起梁的支座反力、剪力及弯矩将不受其它载荷的影响，)(xQ及


xM
均是载荷的线性函数。因此，梁在几个载荷共同作用时的弯矩值，等于各载荷单独作

用时弯矩的代数和。
利用叠加法作弯矩图时，只有熟悉一些基本载荷的弯矩图，才能快速省时。为此将常见
梁的弯矩图列表5-2中，以便查用。

表5-2 常见梁的弯矩图
例5-10 用叠加法作图5-21(a)所示梁的弯矩图。
图5-21
解 查表5-2，可得1P、2P单独作用时产生的弯矩图分别为图5-21(b、c)然后将此二弯
矩图对应的纵坐标代数相加，便可做出由1P、2P共同作用时梁的弯矩图。如图 5-21( d)所
示。
例5-11 用叠加法作图5-22(a)所示梁的弯矩图。

解 查表5-2，可得0m、q单独作用时产生的弯矩图分别为图5-22(b、c)，叠加时可先

将0mM图画上，然后以其斜直线为基础，作qM图的对应纵坐标，异号的弯矩值相抵消，
使得图 5-22( d)所示的阴影部分，即为梁的弯矩图。
图5-22
思 考 题
5-1．设两根材料不同，截面面积也不同的拉杆，承受相同的轴向拉力，其内力是否相同？
5-2．外力偶矩与扭矩的区别与联系是什么？

5-3．列)(xQ及xM方程时，在何处需要分段？
5-4．集中力及集中力偶作用的构件横截面上的轴力、扭矩、剪力、弯矩如何变化？