工程力学(高教版)教案：5.4 内力方程及内力图

第四节 内力方程及内力图

描述内力沿杆长度方向变化规律的坐标x 的函数，称为内力方程。为了形象直观的反映内力沿杆长度方向的变化规律，以平行于杆轴线的坐标x 表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示内力的大小，选取适当的比例尺，便可作出对应的内力图。

一、利用内力方程作内力图

内力方程所提供的函数图形，即为内力图。

例5-6 一受力如图5-16(a)所示的阶梯形杆件，q 为沿轴线均匀分布的载荷，试作轴力图。

图5-16

解 如图5-16(b)。

由 ∑=0X 022=-+-R p ql P

解得 1P R =

由于作用在杆件上的外力不是连续变化的，故应分段列出内力方程。

AB 段：()P x N = P N N B A

==-+ ()l x <<0 P N N B A ==-+

BC 段 ()()P x l x q P R x N l P 22-=

-+-= ()l x l 3≤<

P N B =-, P N C =, CD 段 ()P x N = ()l x l 43<≤

P N D =- ()l x <<0

根据+A N 、-B N 、C N 、-D N 的对应值便可作出图 5-16(c)所示的轴力图 。+

N 及-N 分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的轴力。

由例子可见，杆的不同截面上有不同的轴力，而对杆进行强度计算时，要以杆内最大的轴力为计算依据，所以必须知道各个截面上的轴力，以便确定出最大的轴力值。这就需要画轴力图来解决。

例5-7 试作出例5-2中传动轴的扭矩图。

图5-17

解 BC 段：()28.3-=-=B m x T kN ·m ()l x <<0

28.3-==-+C B T T kN.m

CA 段: ()64.7-=--=C B m m x T kN ·m ()l x l 2<<

64.7-==-+A C T T kN ·m

AD 段: ()09.5==D m x T kN ·m ()l x l 32<<

09.5==-+D A T T kN ·m

根据+B T 、-C T 、+C T 、-A T 、+A T 、-D T 的对应值便可作出图 5-17(c)所示的扭矩图 。+

T 及-T 分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的扭矩。

由例子可见，轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的扭矩为计算依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。这就需要画扭矩图来解决。

例5-8 试作出图5-18(a)所示梁的剪力图和弯矩图。

图5-18

解 如图5-18(b)。

求梁的支座反力。

由 0=∑A m 0120244=⨯+-⨯-m q Y B

解得 25=B Y kN

由 ∑=0Y 0204=--+q Y Y B A

解得 35=A Y kN

CA 段: ()20-==A R x Q kN ()10<

()x x M 20-= ()10<≤x

20-==-+A C Q Q kN 0=C M , 20-=-A M kN ·m

AB 段: ()()()x Y x q x Q B 10255-=--= ()51<

15=+A Q kN 25-=-

B Q kN ()()()2252552

15x x x qP x Y x M B -=---= ()51≤

A Q 、的对应值便可作出图 5-18所示的剪力图 。

根据C M 、B M 、m ax M 、-A M 、+A M 、的对应值便可作出图 5-18(c)所示的弯矩图（机

械类将弯矩图画在梁受压侧，土建类将弯矩图画在梁受拉侧） 。

由上述内力图可见，集中力作用处的横截面，轴力图及剪力图均发生突变，突变的值等于集中力的数值;集中力偶作用的横截面，剪力图无变化，扭矩图与弯矩图均发生突变，突变的值等于集中力偶的力偶矩数值。

二、利用分布荷载与剪力、弯矩间的微分关系作梁的内力图

)(x Q 、()x M 和()x q 间的微分关系，将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存在的某些规律，在不列内力方程的情况下，能够快速准确的画出内力图。

如图5-19(a)所示的梁上作用的分布载荷集度()x q 是x 的连续函数。设分布载荷向上为正，反之为负，并以A 为原点，取x 轴向右为正。用坐标分别为x 和dx x +的两个横截面从梁上截出长为dx 的微段，其受力图如图5-19(b)所示。

图5-19

由 ∑=0Y ()()()()[]0=+-+x dQ x Q dx x q x Q

解得 ()()dx

x dQ x q =

(5-4) 由 0=∑C m ()()()()()()[]02

12=++---x dM x M dx x q dx x Q x M 略去二阶微量()()221dx x q 解得 ()()dx x dM x Q = (5-5) 将式(5-5)代入式(5-4) 得 ()()2

2dx x M d x q = (5-6) 式(5-4)、(5-5)和(5-6)就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。由此可知()x q 和)(x Q 分别是剪力图和弯矩图的斜率。

根据上述各关系式及其几何意义，可得出画内力图的一些规律如下：

（1） q=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

（2） q=常数：剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

（3）集中力P作用处：剪力图在P作用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。

（4）集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图在力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。

掌握上述载荷与内力图之间的规律，将有助于绘制和校核梁的剪力图和弯矩图。将这些规律列于表5-1。

利用上述规律，首先根据作用于梁上的已知载荷，应用有关平衡方程求出支座反力，然后将梁分段，并由各段内载荷的情况初步确定剪力图和弯矩图的形状，最后由式（5-3）求出特殊截面上的内力值，便可画出全梁的剪力图和弯矩图。这种绘图方法称为简捷法。下面举例说明。

例5-9 外伸梁如图5-20(a)所示，试画出该梁的内力图。

解：

（1）求梁的支座反力

由 0=∑B m ()0221352=++⨯-⨯a q m a R a P B 解得 102431=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=qa a m P R A kN 由 ∑=0Y 02=-++-qa R R P B A

解得 52=-+=A B R qa P R kN

图5-20

（2）画内力图：

CA 段: 0=q kN ，剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。

3-=-==-+P Q Q A C kN

0=C M , 8.1-=⨯-=a P M A kN ·m

AD 段: 0=q kN ，剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。

8.1-=⨯-=a P M A kN ·m

7=+-==+A D A R P Q Q kN

4.22=⨯+⨯-=-a R a P M A D kN ·m

DB 段: 0

5-=-=-

B B R Q kN ，()qx R x Q B +-= ()a x 20≤< 令()0=x Q 得5.0==q R B x m

2.12-=-⨯+⨯-=+m a R a P M A D kN ·m

25.12/5.05.02=⨯-⨯=q R M B E kN ·m ，0=B M

根据-B Q 、+C Q 、-A Q 、+A Q 、D Q 的对应值便可作出图 5-20(b)所示的剪力图 。由图可见，在AD 段剪力最大，7m ax =Q kN 。

根据C M 、B M 、、A M 、E M 、-D M 、+

D M 、的对应值便可作出图 5-20(c)所示的弯

矩图。由图可见，梁上点D 左侧相邻的横截面上弯矩最大，4.2max ==-D M M kN ·m 三、利用叠加原理作弯矩图

在小变形情况下，梁在载荷作用下，其长度的改变可忽略不计，则当梁上同时作用有几个载荷时，其每一个载荷所引起梁的支座反力、剪力及弯矩将不受其它载荷的影响，)(x Q 及()x M 均是载荷的线性函数。因此，梁在几个载荷共同作用时的弯矩值，等于各载荷单独作用时弯矩的代数和。

利用叠加法作弯矩图时，只有熟悉一些基本载荷的弯矩图，才能快速省时。为此将常见梁的弯矩图列表5-2中，以便查用。

表5-2 常见梁的弯矩图

例5-10 用叠加法作图5-21(a)所示梁的弯矩图。

图5-21

解 查表5-2，可得1P 、2P 单独作用时产生的弯矩图分别为图5-21(b 、c)然后将此二弯矩图对应的纵坐标代数相加，便可做出由1P 、2P 共同作用时梁的弯矩图。如图 5-21( d)所示。

例5-11 用叠加法作图5-22(a)所示梁的弯矩图。

解 查表5-2，可得0m 、q 单独作用时产生的弯矩图分别为图5-22(b 、c)，叠加时可先将0m M 图画上，然后以其斜直线为基础，作q M 图的对应纵坐标，异号的弯矩值相抵消，使得图 5-22( d)所示的阴影部分，即为梁的弯矩图。

图5-22

思考题

5-1．设两根材料不同，截面面积也不同的拉杆，承受相同的轴向拉力，其内力是否相同？5-2．外力偶矩与扭矩的区别与联系是什么？

5-3．列

)

(x

Q及()x

M方程时，在何处需要分段？

5-4．集中力及集中力偶作用的构件横截面上的轴力、扭矩、剪力、弯矩如何变化？