2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2021-2022学年山西省名校高一上学期期末考试数学试题(解析版)
山西省名校2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．的值是（）A．B．C．D．2．简谐运动可用函数，x∈〖0，+∞）表示，则这个简谐运动的初相为（）A．B．C．D．8x3．终边在直线上的角的集合为（）A．B．C．D．4．“x＝0”是“sin x＝0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则lg a+lg b的最大值为（）A．0B．C．D．16．若点P（7，m）在角α的终边上，且，则m＝（）A．25B．±25C．24D．±247．下列计算结果正确的是（）A．B．若x+x﹣1＝3，x4+x﹣4＝49C．cos2α＝cos4α﹣sin4αD．若，则8．满足不等式2cos x+1＞0成立的x的取值集合为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）不是周期函数B．函数f（x）的值域为〖﹣1，1〗C．函数f（x）的图象不关于任何点对称D．函数f（x）图象的对称轴方程为，k∈Z10．定义在〖﹣7，7〗上的奇函数f（x），当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（2，7〗B．（﹣2，0）∪（2，7〗C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．〖﹣7，﹣2）∪（2，7〗11．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的函数，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f （x）+g（x）＝x2+ax，记，若对于任意的1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围为（）A．B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1〗D．（0，2〗12．＝（）A．B．2C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣4）＝．14．函数f（x）＝，x∈〖2，6〗的最大值为．15．当x∈〖a，b〗时，函数的值域为，则b﹣a的最大值为．16．若函数（其中ω≠0）在区间上不单调，则ω的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．（1）若A＝{1}，求a，b的值；（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．18．（12分）化简求值：（1）已知cos，求的值；（2）tan210°sin330°﹣cos150°sin120°+sin240°cos315°sin135°．19．（12分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间〖，〗上的值域．20．（12分）（1）已知α，β都是锐角，，，求cosβ的值；（2）已知θ为锐角，φ为钝角，，tanφ＝﹣3，求θ+φ．21．（12分）已知f（x）是二次函数，且满足f（1﹣x）＝f（3+x），f（0）＝1，f（1）＝0．（1）求函数f（x）的〖解析〗式：（2）当x∈〖t，t+1〗时，表示出函数f（x）的最小值g（t），并求出g（t）的最小值．22．（12分）设函数f（x）＝|2x﹣m|+n，若函数y＝f（x）有零点，且与函数y＝f〖f（x）〗的零点完全相同．（1）证明：n＝﹣|1﹣m|；（2）求实数m的取值范围．（附：当x＜1时，2x﹣1＜2x﹣1．）▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A〖解析〗＝﹣sin＝﹣sin＝﹣．故选：A．2．B〖解析〗简谐运动可用函数，x∈〖0，+∞）表示，当x＝0时，8×0﹣＝﹣，则这个简谐运动的初相为﹣．故选：B．3．B〖解析〗由直线y＝x的斜率为，则倾斜角为60°，∴终边落在射线y＝x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}，终边落在射线y＝x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}，∴终边落在直线y＝x上的角的集合是：S＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}∪{α|α＝+2kπ，k∈Z}＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}∪{α|α＝+（2k+1）•π，k∈Z}＝{α|α＝+kπ，k∈Z}．故选：B．4．A〖解析〗∵“x＝0”能推出“sin x＝0”，即充分性成立；反过来，“sin x＝0”不能推出“x＝0”，例如sinπ＝0，但π≠0，即必要性不成立；若“x＝y”，一定有“sin x＝sin y”，即必要性成立；故“x＝0”是“sin x＝0”的充分不必要条件．故选：A．5．A〖解析〗∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴lg a+lg b＝lg ab≤lg1＝0，∴lg a+lg b的最大值为0．故选：A．6．D〖解析〗因为点P（7，m）在角α的终边上，且＝，则m＝±24，故选：D．7．C〖解析〗对于A，＝|e﹣3|＝3﹣e，故A错误，对于B，若x+x﹣1＝3，则x2+x﹣2+2＝9，则x2+x﹣2＝7，则x4+x﹣4＝49﹣2＝47，故B错误，对于C，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cos2α+sin2α）（cos2α﹣sin2α）＝cos4α﹣sin4α，故C正确，对于D，若，则tan（α+）＝＝＝3，故D错误，故选：C．8．A〖解析〗由2cos x+1＞0可得cos x＞﹣，所以根据单位圆的性质可得x的范围为﹣，故选：A．9．C〖解析〗作出函数f（x）的图象如图，∵f（x+2π）＝f（x），即f（x）是周期函数，故A错误，由图象知函数的值域为〖，1〗，故B错误，由图象知函数不是中心对称图象，不关于任何点对称，故C正确，由图象知函数关于x＝kπ+，k∈Z对称，故D错误，故选：C．10．B〖解析〗∵当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6；∴f（x）在（0，7〗上单调递增，且f（2）＝0；∴2＜x≤7时，f（x）＞0；0＜x＜2时，f（x）＜0；∵f（x）是定义在〖﹣7，7〗上的奇函数；∴x∈（﹣2，0）时，f（x）＞0；∴不等式f（x）＞0的解集为：（﹣2，0）∪（2，7〗．故选：B．11．C〖解析〗由题设有：，即，解得，∴h（x）＝ax2+2x，对于任意的1＜x1＜x2＜2，都有，即函数h（x）＝ax2+2x在（1，2）上单调递减，∴或，解得a≤﹣1．故选：C．12．D〖解析〗sin20°（）＝sin20°×＝sin20°×＝sin20°×＝＝＝1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．〖解析〗根据题意，当x＞0时，，则f（4）＝2+＝，又由f（x）为奇函数，则f（﹣4）＝﹣f（4）＝；故〖答案〗为：．14．3〖解析〗在〖2，6〗上单调递减，∴f（x）max＝f（2）＝3．故〖答案〗为：3．15．6〖解析〗因为，定义域为R关于原点对称，f（﹣x）＝f（x），故f（x）是R上的偶函数，又根据复合函数的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，由＝0得x＝0，由＝得x＝±3，当x∈〖a，b〗时，函数的值域为，则0∈〖a，b〗，且a＝﹣3或b＝3，故b＝3，a＝﹣3时，b﹣a取最大值6．故〖答案〗为：6．16．（，+∞）〖解析〗∵函数＝sinωx（其中ω≠0）在区间上不单调，|﹣|＞||，∴﹣＜﹣，求得ω＞，即ω的取值范围为（，+∞），故〖答案〗为：（，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．解：（1）集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．若A＝{1}，则，解得a＝2，b＝1；（2）B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，∴，解得a＝﹣3，b＝2．18．解：（1）＝＝sinαtanα＝，因为cos，所以sinα＝＝±，所以原式＝＝．（2）tan210°sin330°﹣cos150°sin120°+sin240°cos315°sin135°＝tan30°（﹣sin30°）﹣（﹣cos30°）sin60°+（﹣sin60°）cos45°sin45°＝×（﹣）﹣×（﹣）×+（﹣）××＝﹣+﹣＝0．19．解：（1）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，可得函数f（x）的单调增区间为〖﹣+kπ，+kπ〗，k∈Z，单调减区间为〖+kπ，+kπ〗，k∈Z；（2）由x∈〖，〗，可得2x﹣∈〖﹣，〗，可得sin（2x﹣）∈〖﹣，1〗，可得函数f（x）在区间〖，〗上的值域为〖﹣，〗．20．解：（1）∵α，β都是锐角，，∴sinα＝，﹣＜α﹣β＜，∵，∴α﹣β∈（0，），∴cos（α﹣β）＝，∴cosβ＝cos〖（α﹣β）﹣α〗＝cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα＝×+×＝；（2）∵θ为锐角，φ为钝角，∴0＜θ＜，＜φ＜π，∴＜θ+φ＜，∵，tanφ＝﹣3，∴tan（θ+φ）＝＝﹣1，∴θ+φ＝．21．解：设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），因为f（1﹣x）＝f（3+x），所以函数f（x）关于x＝2对称，所以﹣＝2，又f（0）＝1，f（1）＝0，所以，解得，所以f（x）＝x2﹣x+1．（2）由（1）得，函数f（x）关于x＝2对称，当t≥2时，函数f（x）在x∈〖t，t+1〗上递增，所以f（x）min＝f（t）＝t2﹣t+1＝（t﹣2）2﹣≥﹣；所以当t≥2时，g（t）＝t2﹣t+1，g（t）min＝﹣，当t+1≤2，即t≤1时，函数f（x）在x∈〖t，t+1〗上递减，所以f（x）min＝f（1+1）＝（t+1）2﹣（t+1）+1＝（t﹣1）2﹣≥﹣，所以当t≤1时，g（t）＝t2﹣t，g（t）min＝﹣，当1＜1＜2时，函数f（x）在〖t，2）上递减，在（2，t+1〗上递增，所以f（x）min＝f（2）＝﹣，所以当1＜1＜2时，g（t）＝﹣，综上所述，g（t）＝，g（t）min＝﹣．22．（1）证明：设y＝f（x）的零点为x＝a，由题意得f（a）＝0且f〖f（a）〗＝0，即f（0）＝0，∴|20﹣m|+n＝0，∴n＝﹣|1﹣m|；（2）解：由（1）知，n＝﹣|1﹣m|，∴f（x）＝|2x﹣m|+n＝|2x﹣m|﹣|1﹣m|，∵函数y＝f（x）有零点，∴|2x﹣m|﹣|1﹣m|＝0有解，即|2x﹣m|＝|1﹣m|，等式两边同时平方并整理得：2021-2022学年期末考试试题（2x）2﹣2m•2x+2m﹣1＝0，即（2x+1﹣2m）（2x﹣1）＝0，又∵函数y＝f（x）与函数y＝f〖f（x）〗的零点完全相同，所以（2f（x）+1﹣2m）（2f（x）﹣1）＝0，①当1﹣2m＝﹣1，即m＝1时，f（x）＝0，符合题意；②当2f（x）+1﹣2m＝0无解时，f（x）＝|2x﹣m|﹣|1﹣m|≥﹣|1﹣m|，所以2f（x）≥2﹣|1﹣m|，所以2f（x）＝2m﹣1无解，则2m﹣1＜2﹣|1﹣m|，由题知，当m＜1时，2﹣|1﹣m|＝2m﹣1，即2m﹣1＜2m﹣1，符合题意，当m＞1时，2﹣|1﹣m|＝21﹣m，2m﹣1＞21﹣m，不符合题意，综上，实数m的取值范围为：（﹣∞，1〗．11。
四川省眉山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
由于函数 、 在区间 上为增函数，所以函数 在 上为增函数.
当 时， ，又 ，
所以，函数 在 上的值域为 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
【小问1详解】
解：当 时，函数 在 上单调递增，
则 ， ，
由题意得： ，解得 满足题设，
当 时，函数 上单调递减，
则 ， ，
由题意得 ，解得 满足题设，
17.已知
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式化简题干条件，得到 ，进而求出 的值；（2）结合第一问求出的正切值和 ，利用同角三角函数的平方关系求出正弦和余弦值，进而求出结果.
【小问1详解】
∵
∴ ，化简得：
∴
【小问2详解】
∵ ，
∴ 为第四象限，故 ，
（1）设经过 年后辐射物中锶90的剩余量为 吨，试求 的表达式，并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量；
（2）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数）
参考数据： ， ．
【答案】（1） ， ，经过800年后辐射物中锶90的剩余量为 吨；（2）事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区．
眉山市高中2024届第一学期期末教学质量检测
数学试题卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
2021-2022学年安徽省合肥市五校联考高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省合肥市五校联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．集合{}1,2,3A =，集合{}0,1,2B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．∅ 【答案】B【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，A B ={}1,2.故选：B2．cos420︒=（ ）A B ． C ．12 D ．12- 【答案】C【分析】根据诱导公式()cos 360cos ,k k αα+⋅︒=∈Z 化简即可. 【详解】1cos 420cos(36060)cos60.2︒︒︒︒=+== 故选：C3．命题p ：x ∃∈R ，20x +≤，则命题p 的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，20x +>B ．x ∀∈R ，20x +≤C ．x ∃∈R ，20x +≥D ．x ∀∈R ，20x +> 【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，20x +≤是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即x ∀∈R ，20x +>，故选：D4．函数()lg(21)f x x =-的定义域为（ ）A ．1(0,)2B ．(]0,1C ．1(,)2-∞D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据二次根式的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.【详解】要使函数有意义，需满足10210x x -≥⎧⎨->⎩， 解得112x <≤， 故选：D5．下列函数在定义域上是增函数的是（ ）A ．sin y x =B ．ln y x =C ．1()2x y =D ．2y x【答案】B【分析】根据基本函数的性质即可判断.【详解】函数sin y x = 在R 上既有单调增区间又有减区间，A 不符合题意； 函数ln y x =在定义域()0+∞，上为增函数，B 符合题意； 函数1()2x y =是在R 上单调递减的指数函数，C 不符合题意； 函数2y x 的定义域为R ，在()0-∞，是减函数，在()0+∞，是增函数，故D 不符合题意. 故选：B6．“1x =”是“220x x +-=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解方程可求得220x x +-=的解，根据充分必要条件定义可得结论.【详解】由220x x +-=得：2x =-或1x =，“1x =”是“220x x +-=”的充分不必要条件.故选：A.7．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数x y e =为增函数，则0.501a e e =>=；对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<；对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=.因此，a b c >>.故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题.8．已知关于x 的不等式220ax bx ++<的解集为(1,2)，则下列结论中正确的是（ ）A ．3,1a b ==B ．1,3a b =-=-C ．1,3a b ==-D ．3,1a b =-=-【答案】C【分析】由题意可知1和2是方程220ax bx ++=的两个根，代入方程求,a b 的值即可.【详解】因为不等式220ax bx ++<的解集为(1,2)，所以1,2x x ==是方程220ax bx ++=的两个根， 将1,2x x ==代入方程220ax bx ++=得204220a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得13a b =⎧⎨=-⎩， 故选：C二、多选题9．已知函数(),0,0x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，则下列结论中正确的是( ) A ．函数()f x 有且仅有一个零点0B ．(2)2f =C ．()f x 在(),0∞-上单调递增D ．()f x 在(0,)+∞上单调递减【答案】ACD【分析】根据函数零点的定义可判断A ；根据分段函数解析式求出f (2)可判断B ；根据一次函数的单调性可判断CD ． 【详解】由函数(),0,0x x f x x x ⎧=⎨->⎩，可得函数()f x 有且仅有一个零点0，故A 正确； 由于()22f =-，故B 错误；当0x 时，()f x x =，∴()f x 在(),0∞-上单调递增，故C 正确；当0x >时，()f x x =-，∴()f x 在()0,∞+上单调递减，故D 正确．故选：ACD10．已知函数()sin(2),()sin 4f x xg x x π=-=，要得到函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象（ ） A ．先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度 B ．先将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度 C ．先向右平移4π个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变 D ．先向右平移8π个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变 【答案】BC【分析】根据函数图像缩放平移的规则计算即可.【详解】先将横坐标缩小为原来的12 ，纵坐标不变，得到sin 2y x = ， 再向右平移8π 个单位长度得到函数()sin 2sin 284y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 的图象，A 错误，B 正确； 先向右平移4π 个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 再将横坐标缩小为原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()sin 24y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 的图象，C 正确，D 错误.故选：BC.11．已知函数()1f x x x=+，则下列结论中正确的是（ ） A ．当0x >时，()f x 最小值是2B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在()0,1上单调递减D ．()f x 在()1,+∞上单调递增【答案】ABCD 【分析】由基本不等式可判断A ；由奇偶性的定义可判断B ；由单调性的定义可判断CD【详解】当0x >时，由基本不等式()12f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，取等号， 所以当0x >时，函数的最小值为2，故A 正确；因为函数的定义域为()(),00,∞-+∞， ()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，可得()f x 是奇函数，故B 正确；任取()12,0,1x x ∈，且12x x <()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=， 因为1201x x <<<，所以1212120,10,0x x x x x x -<-<>，所以()()12121210x x x x x x -->，即()()12f x f x >，所以函数()1f x x x=+在()0,1上为减函数，故C 正确； 同理可得函数()1f x x x =+在 ()1,+∞上为增函数，故D 正确； 故选：ABCD12．已知函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期为2πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】CD 【分析】先根据图象求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确.根据图象得到的周期进行判定A ；求得23x π+的取值范围，然后利用正弦函数的单调性结合复合函数单调性法则判定B ；计算512f π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点从而判定是否为对称轴从而判定C ；利用“左加右减”求得平移后的函数解析式即可判断D .【详解】由图象可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴== ⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩，解得：3πϕ=， 故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 对于A ：T π=，故A 错误；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，因为[]0π-，上正弦函数sin y x =先减后增，不单调，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故B 错误； 对于C ：当512x π=- 时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴，故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：CD.三、填空题13．lg5lg 2+=___．【答案】1【分析】根据对数的运算法则计算可得；【详解】解：()lg5lg2lg 52lg101+=⨯==；故答案为：114．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则()1f -=______．【答案】2-【分析】求出()1f 的值，利用奇函数的性质可求得()1f -的值.【详解】由题意可得()1122f =⨯=，因为函数()f x 为奇函数，故()()112f f -=-=-.故答案为：2-.15．若角α的终边过点1,2，则tan α=______.【答案】-2【分析】由正切函数定义计算.【详解】根据正切函数定义：2tan 21α==--. 故答案为－2. 【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.16．若0x >，0y >，且1x y +=，则11x y+的最小值为________． 【答案】4【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.【详解】由题设，知：()()22241111y x y x x y x x x y x yy y +=++=++≥+⋅=当且仅当12x y ==时等号成立.故答案为：4.四、解答题17．设全集为R ，{}|A x x a =<，{}2|430.B x x x =-+<(1)当2a =时，求,A B A B ；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.【答案】(1){}12A B x x ⋂=<<，{}3A B x x ⋃=<(2){}|3a a ≥【分析】解一元二次不等式得B 集合，（1）由交运算、并运算可得结果；（2）由集合的包含关系列式可得结果.【详解】（1）2{|430}{|13}B x x x x x =-+<=<< ，当a =2时，{|2}A x x =< ，∴{|12}A B x x =<< ，{|3}A B x x =<；（2）∵B A ⊆ ，{|}A x x a =<，{|13}B x x =<<，如图所示，∴3a ≥故实数a 的范围为[3,)+∞.18．求解下列问题：(1)已知sin αα为第二象限角，求cos α和tan α的值； (2)已知3sin 5α=，5cos()13αβ+=，α，β为锐角，求sin β的值. 【答案】(1)cos α=1tan 2α=- (2)33sin 65β=【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案.【详解】（1）由于sin αα为第二象限角，所以cos α=， 所以sin 1tan cos 2ααα==-. （2）由于α，β为锐角，所以0παβ<+<， 由于3sin 5α=，5cos()13αβ+=，所以()412cos ,sin 513ααβ+==， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=. 19．已知函数2,0,()log ,0,ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩且点(2,1)在函数()f x 的图像上.(1)求a ，并在如图直角坐标系中画出函数()f x 的图像；(2)求不等式()1f x <的解集；(3)若方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =，图像见解析(2)(,1)(0,2)-∞-(3)(],2-∞【分析】（1）由(2)1f =得出a ，进而画出图像；（2）由对数函数的单调性解不等式得出解集；（3）由函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有两个不同的交点，结合图像得出实数m 的取值范围．【详解】（1） 点(2,1)在函数()f x 的图像上，(2)log 21a f ∴==，2a ∴=22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧∴=⎨>⎩， 函数()f x 的图像如图所示：（2）不等式()1f x <等价于20log 1x x >⎧⎨<⎩或021x x ≤⎧⎨+<⎩， 解得02x <<或1x <-，∴不等式()1f x <的解集为(,1)(0,2).-∞-⋃（3）方程()0f x m -=有两个不相等的实数根， ∴函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有两个不同的交点． 结合图像可得2m ，故实数m 的取值范围为(],2-∞ .20．已知函数π()sin()(0,0)6f x A x A ωω=+>>的最大值为2,函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求,A ω的值;(2)若()2f α=,π02α<<,求cos2α的值. 【答案】(1)2A =,2ω= (2)12【分析】(1)根据函数()f x 的最大值为2可得A ;由函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2可得π22T =,结合2πT ω=即可求出结果;(2)根据()2f α=,可得πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,依据π02α<<可求出2α的值,即可求出cos2α的值.【详解】（1）由题意,函数()f x 的最大值为2,可得2A =, 由函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,可得π22T =,πT ∴=,即2π2Tω==; （2）由(1)知()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()2f α=,π2sin 226α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,即πsin 216α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π02α<<,ππ7π2666α∴<+<, ππ262α∴+=, ∴π23α=, 1cos 22α∴=.21．已知函数()sin cos 2.f x x x x = (1)求函数()f x 的最小正周期及函数的单调递增区间；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1)最小正周期为π，单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用倍角公式辅助角公式化简，根据公式求函数最小正周期，根据正弦函数的性质求得单调区间．（2）由题意可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的单调性求值域.【详解】（1）1π()sin cos 2sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期 2ππ2T ==；令 πππ2π22π(Z)232k x k k -+≤-≤+∈，解得： π5πππ(Z)1212k x k k -+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当 π02x ≤≤时， ππ2π2333x -≤-≤，∴πsin(2)13x -≤，∴()1f x ≤≤ ， 即 ()f x 在 π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．已知函数2()21xf x a =-+为奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性；(3)若22(4)()0f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)()f x 在R 上是增函数 (3)2k >【分析】（1）根据奇函数性质可得，()()0f x f x -+=，代入即可得到a 的值； （2）利用单调性的定义证明，任取12,R x x ∈，设12x x <，然后()()12f x f x -()()()12122222121x x x x -=+⋅+，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在R 上恒成立的问题，求解即可. 【详解】（1）函数定义域为R .因为函数2()21x f x a =-+为奇函数， 所以有()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=.又222()2121xx xf x a a -⋅-=-=-++， 则()()2222121x x x f x f x a a ⋅-+=-+-++222222021x x a a ⋅+=-=-=+，所以，1a =.（2）由（1）知，2()121x f x =-+. 任取12,R x x ∈，不妨设12x x < ，()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()12122222121x x x x -=+⋅+， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<. 又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. （3）因为，函数2()121x f x =-+为奇函数， 所以22(4)()0f x x f x k -++--<等价于()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，∵()f x 是R 上的单调增函数，∴224x x x k -+<+，即2240x x k -+>恒成立， ∴()()2442820k k ∆=--⨯=--<， 解得2k >.。
河南省郑州市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，
外接球的表面积的值为 ,
故答案为：
【点睛】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于容易题.
16.高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， .已知函数 ，则函数 的值域是_________.
则故 取得最小值，为 ，
当 时，函数值最大为 ．
即函数取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
二､填空题
13.已知集合M满足 ，则满足条件的集合M有_________个.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.
【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题.
22.已知函数 为奇函数，其中a为常数.
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）判断函数 在 上的单调性，并证明；
（Ⅲ）对任意 ，都有 恒成立.求实数m的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 在 上为增函数，证明见解析（Ⅲ）
7.已知 ，若 ，则t=（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数 为单调函数，令 ，求出 即可.
【详解】 , ,
令 ,
,
,
即 ，
浙江省台州市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
浙江省台州市2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）1.已知全集{}1,0,1,2,5U =-，{}0,2,5A =，则U C A =（ ） A. {}1- B. {}1C. {}1,1-D. {}1,0,1-【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的补集运算，可以直接得到答案.【详解】因为{1,0,1,2,5},{0,2,5}U A =-=，根据集合的补集运算有，{1,1}U C A =-. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集运算，属基础题. 2.sin120︒=（ ）B.12C. D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式()sin 180sin x x ︒-=，可以得到本题答案.【详解】因为()sin 180sin x x ︒-=，所以sin120sin 60︒︒==. 故选：A【点睛】本题主要考查利用诱导公式求三角函数值，属基础题.3.函数1()2f x x =-的定义域为（ ）A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (1,2)(2,)-+∞D. [1,2)(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】使函数各部分有意义，列出不等式组求解，即可得到本题答案.【详解】因为函数1()2f x x =-，要使函数有意义，则1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠，所以函数1()2f x x =-的定义域为[1,2)(2,)-+∞. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的定义域，属基础题. 4.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A. sin y x = B. 2xy =C. 2log y x =D. 21y x =【答案】C 【解析】 【分析】把4个函数的值域都写出来，即可得到本题答案.【详解】因为sin y x =的值域为[1,1]-，2xy =的值域为(0,)+∞，2log y x =的值域为[0,)+∞，21y x=的值域为(0,)+∞. 故选：C【点睛】本题主要考查具体函数的值域，属基础题.5.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A.3π B. 3π-C.23π D. 23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.6.函数()log (2)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象经过定点（ ） A. ()1,1-- B. ()1,0-C. ()2,2-D. ()2,0-【答案】A 【解析】 【分析】令21x +=，即可得到本题答案.【详解】因为函数()log (2)1a f x x =+-，且有log 10a = (0a >且1a ≠)，令21x +=，则1x =-，1y =-，所以函数()f x 的图象经过点(1,1)--. 故选：A【点睛】本题主要考查对数函数()log a f x x =(0a >且1a ≠)恒过定点(1,0)，属基础题. 7.已知角α是锐角，若sin ,cos αα是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根，则实数m 和n 一定满足（ ） A. 240m n -= B. 221m n =+C. 10m n ++≤D. 0mn >【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理有，sin cos m αα+=-①，sin cos n αα⋅=②，①式两边平方结合②式，即可得到本题答案.【详解】因为sin ,cos αα是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根，由韦达定理有，sin cos m αα+=-①，sin cos n αα⋅=②，①式两边平方得，212sin cos m αα+⋅=③，②代③得，221m n =+. 故选：B【点睛】本题主要考查韦达定理与三角函数的综合应用. 8.已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且()10f -=，则不等式(1)()0x f x -≤的解集为（ ）A. {|10}x x -≤<B. {|1}x x ≥-C. {|10x x -≤< 或0}x >D. { | 0}x x >【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出函数的大概图象，分1x ≤和1x >两种情况解不等式，即可得到本题答案. 【详解】因为()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，在(0,)+∞上单调递减，且(1)0f -=，所以可以把下图当作()f x 的图象，那么要求(1)()0x f x -≤的解集，分两种情况即可，①当10x -≤时，()0f x ≥，解得11x -≤≤且0x ≠；②当10x ->时，()0f x ≤，解得1x >，综上，得1x -≤且0x ≠，所以不等式(1)()0x f x -≤的解集为 {|10x x -≤<或0}x >，故选：C【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，数形结合是解决本题的关键. 9.若实数x 、y 满足2cos 1x y -=，则2cos x y +的取值范围是（ ） A. [)1,-+∞B. []1,10-C. 9,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.9,1016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】用x 表示cos y ，求21(1)2x x +-在[1,3]x ∈-的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】由题意得，1cos (1)2y x =-，由cos [1,1]y ∈-，得[1,3]x ∈-，所以222119cos (1)2416x y x x x ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭，当3x =时，取最大值10；当14x =-时，取最小值916-，所以2cos x y +的取值范围是9,1016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的值域以及二次函数在定区间的值域问题.10.设函数2cos ,10()23,02x x x f x ax x a x --≤≤=+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则（ ） A. 12a ≥-B. 1123a -≤≤ C. 13a ≥D.102a -≤<或0a > 【答案】B 【解析】 【分析】因为()cos f x x x =-在[1,0]-单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在(0,2]也是单调递增，且31a -≥-，解不等式组，即可得到本题答案. 【详解】当10x -≤≤时，()cos 2sin ,1,6666f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=--∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[1,0]-上单调递增，因为()f x 在区间[1,2]-上是单调函数，所以2()23f x ax x a =+-在区间(0,2]上单调递增，当0a >时，对称轴10x a=-<，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤；当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a =->，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足3112a a-≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上得，1123a -≤≤. 故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法. 11.已知23a =，2log 5b =，则2b =____________，2a b +=_____________. 【答案】 (1). 5 (2). 15 【解析】 【分析】由2log 5b =，可得25b =，然后利用指数幂的运算性质可得本题答案. 【详解】由2log 5b =，得25b =，22215a b a b +=⋅=. 故答案为：5；15【点睛】本题主要考查对数式化指数式以及指数幂的运算性质. 12.设函数1()2f x x =+，则()1f =____________；若1(())3f f x =，则x =____________. 【答案】 (1). 13(2). 1- 【解析】 【分析】（1）代入1x =，可得答案；（2）先用x 表示(())f f x ，解方程即可得到本题答案. 【详解】（1）因为1()2f x x =+，所以1(1)3f =；（2）因为1()2f x x =+，所以1121(())1225322x f f x f x x x +⎛⎫====⎪++⎝⎭++，解得1x =-.故答案为：13；-1 【点睛】本题主要考查利用函数解析式求值的问题，属基础题. 13.cos 04παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 2cos αα-=____________，2sin cos 2cos ααα+=_______.5【解析】 【分析】 （1）由2sin cos 04παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭化简可得本题答案；（2）联立sin 2cos αα=与22sin cos 1αα+=，求得2cos α，即可得到本题答案.【详解】（1）由题得，222sin cos 2sin cos cos sin 2cos 0422πααααααα⎛⎫⎛⎫--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭；（2）由（1）得，sin 2cos αα=，联立22sin cos 1αα+=，得21cos 5α=，所以224sin cos 2cos 4cos 5αααα+==.故答案为：0；45【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值问题，涉及到和差公式以及同角三角函数的基本关系.14.函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，02πϕ<<，则ω=__________，sin ϕ=______________.5【解析】 【分析】由图知，,A T ，代入2T πω=，可求得ω，接着代入点6,25π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案. 【详解】由图知，2,22A T t t ππ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()2sin(2)f x x ϕ=+，又62sin()25f ππϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以3sin 5ϕ=.故答案为：2；35【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求其解析式. 15.已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.【答案】0 【解析】 【分析】由(5)1f <和m Z ∈，可确定1m =-或0m =，由()f x 是奇函数，可舍掉1m =-，即可得到本题答案.【详解】因为22323(5)5123012m m f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-或0m =，当1m =-时，2232m m +-=-，不符合题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为：0【点睛】本题主要考查利用幂函数的性质求参数的取值.16.已知函数()f x 的最小正周期为2，当[0,2]x ∈时，2()23f x x x =-++.若[2018,2020]x ∈-，则满足()4f x ≥的所有x 取值的和为_____________.【答案】2021 【解析】 【分析】由[0,2]x ∈时，22()23(1)44f x x x x =-++=--+≤与()4f x ≥，可得()4f x =，因为(1)4f =且函数()f x 的最小正周期为2，所以求出[2018,2020]-内所有奇数的和，即可得到本题答案. 【详解】在函数()f x 的一个周期内，即[0,2]x ∈时，22()23(1)44f x x x x =-++=--+≤,又因为()4f x ≥，所以()4f x =，且当且仅当1x =时取得(1)4f =，在[2018,2020]x ∈-内共有2021个周期，且每个周期内的x 取奇数时的函数值为4，故所有的x 值之和为(2017)(2015)(1)13201720192019-+-++-+++++=.故答案为：2021【点睛】本题主要考查函数的周期性.17.设函数()|1|2|2|f x x x =-+-，若不等式()a f x b ≤≤的解集为[],a b ，则是下列说法中，正确的序号是_______________.①b a a b >； ②11a b -<-； ③函数1()ln f x x x=-在(),a b 上有零点；④函数()log xb f x a x =-在(0,)x ∈+∞上单调递增.【答案】②③ 【解析】 【分析】由()|1|2|2|f x x x =-+-的图象及不等式|1|2|2|a x x b ≤-+-≤的解集为[,]a b ，可以确定,a b 的取值，然后对①②③④逐一判断，即可得到本题答案.【详解】因为()|1|2|2|f x x x =-+-，所以当1x ≤时，()12(2)53f x x x x =-+-=-； 当12x <≤时，()12(2)3f x x x x =-+-=-；当2x >时，()12(2)35f x x x x =-+-=-，综上，得53,1()3,1235,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，因为不等式1|2|2|a x x b ≤-+-≤的解集为[,]a b ，可作图如下，由图可得，(),()f b b f a b ==，且有1,2a b <>，所以3553b ba b -=⎧⎨-=⎩，解得5652a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1b a a b <<得①不正确；13|1||1|62a b -=<=-，故②正确； 显然1()ln f x x x=-时，556552ln 0,ln 0665225ff ⎛⎫⎛⎫=-<=-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故在(,)a b 上有零点，所以③正确；因为(0,1),1a b ∈>，所以xy a =为减函数，log b y x =为增函数，故()log x b f x a x =-为减函数，所以④不正确.故答案为：②③【点睛】本题主要考查绝对值不等式与函数的综合应用，难度较大. 18.设集合{ |12}A x x =-<<，{}2|230B x x x =+-<. （1）求AB ；（2）设集合{|20}C x x a =->，若A C ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|11}AB x x =-<<（2）2a ≤-【解析】 【分析】（1）先求出一元二次不等式的解，然后根据集合的交集运算性质即可得到本题答案； （2）根据集合的包含关系，列出不等式求解即可得到本题答案.【详解】（1）由2230x x +-<，得31x -<<，所以{|31}B x x =-<<，因为{|12}A x x =-<<,所以{|11}A B x x =-<<；（2）题意知{|20}{|}2aC x x a x x =->=>，由于A C ⊆，所以12a ≤-，即2a ≤-.【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及根据集合的包含关系确定参数的取值范围，属基础题.19.已知cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin 2α的值；（2）设角β的终边与单位圆的交点为10P y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,)βπ∈，求2αβ-的大小. 【答案】（1）45（2）24παβ-= 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=，先算出sin α，然后代入二倍角公式即可得到本题答案；（2）由角β的终边与单位圆的交点为10P y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,)βπ∈ ，算得cos ,sin ββ，然后算得tan(2)1αβ-=，确定2αβ-的范围，即可得到本题答案.【详解】（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α==，所以4sin 22sin cos 5ααα==；（2）设角β的终边与单位圆的交点为10P y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则cos 10β=，因为(0,)βπ∈，所以sin β==1）知4sin 25α=，223cos 2cos sin 5ααα=-= ，所以4tan 23α=，1tan 7β=，则tan 2tan tan(2)11tan 2tan αβαβαβ--==+，由cos 10β=得0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0,2(0,)2πααπ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭，所以2,2παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以24παβ-=.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数，和差公式以及二倍角公式的综合应用. 20.已知函数1())(-=->x xf x a a a .（1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）若对于任意的[1,3]x ∈，()21(5)0f x f mx -+-≥恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】（1）()f x 在R 上是增函数，证明见解析（2）4 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可；（2）利用函数的单调性和奇偶性把对于任意的[1,3]x ∈，()21(5)0f x f mx -+-≥恒成立转为对任意的[1,3]x ∈，215x mx -≥-，即4m x x≤+恒成立，即可得到本题答案. 【详解】（1）()f x 在R 上是增函数，证明如下. 取任意的12,x x R ∈，且12x x < 则()()()()()112211222111xx x x x x x x f x f x a aaa a a a --+⎛⎫-=---=-+ ⎪⎝⎭，又1a >，12x x <，则120x x a a ->，12110x x a++>，则()()210f x f x ->，故()f x 在R 上是增函数；（2）注意到()()f x f x =-，则()f x 为奇函数，则()()221(5)01(5)f x f mx f x f mx -+-≥⇒-≥-，由（1）可知，()f x 在R 上是增函数，则()221(5)15f x f mx x mx -≥-⇒-≥-，则原问题等价于对于任意的[1,3]x ∈，215x mx -≥-恒成立，求实数m 的最大值，即[1,3]x ∈，4m x x≤+恒成立，易知当[1,3]x ∈时，min 44x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m 的最大值为4.【点睛】本题主要考查利用定义法证明函数的单调性以及利用函数的单调性、奇偶性解不等式.21.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若把()f x 图象上所有的点向左平行移动3π个单位后，得到函数()g x 的图象（1）求函数()g x 的解析式，并写出()g x 的单调增区间；（2）设函数()()2()h x f x g x =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求满足3()22h x ⎡∈-⎢⎣⎦的实数x 的取值范围.【答案】（1）()cos2g x x =，,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z （2）,,231242πππππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）通过平移变换得到()cos2g x x =，令2202k x k πππ-+≤≤+，解不等式即可得到本题答案；（2）利用和差公式和辅助角公式，化简得()23hx x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，3(),22h x ⎡∈-⎢⎣⎦，即可确定x 的取值范围.【详解】（1）由题意，得()sin 2sin 2cos 2362g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令2202k x k πππ-+≤≤+，得2k x k πππ-+≤≤，则单调增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . （2）由题意，得3()()2()sin 22cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又33(),2h x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到31sin 2232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，解得2233x ππ+=-，或2336x πππ-≤+≤，或542633x πππ≤+≤，即2x π=-，或312x ππ-≤≤-，或42ππx ≤≤，即,,231242x πππππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤∈---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换、利用和差公式与辅助角公式化简，以及三角函数图象与性质的应用.22.如图，AB 是半圆的直径，C ，D 是半圆上的两点，AB CD ∥，2AD BC ==，设2(2)AB x x =>，四边形ABCD 的周长为()f x .（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程12()4f x m x-=在区间[]2,4上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（3）记ABC 的面积为()g x 是否存在实数a ，对于任意的1[2,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得()()124f x g x a -≥+成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1()41f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2,)x ∈+∞（2）717,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）存在，2102]【解析】 【分析】（1）在Rt ACB ∆中，利用2BC BE BA =⋅，求得2BE x=，即可得到本题答案；（2）由12()4f x m x -=，得31m x x -=-或11m x x-=+，结合图象即可确定m 的取值范围；（3）由题意得，min min (()4)()f x g x a -≥+，分1a ≥-和231a -<<-两种情况考虑，即可得到本题答案.【详解】（1）如图，在Rt ACB ∆中，过点C 作CE AB ⊥于点E ，则2BC BE BA =⋅，所以2BE x =，42CD x x =-，所以1()41f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(2,)x ∈+∞；（2）由[2,4]x ∈，12()4f x m x -=，得121x m x x-+-=， 所以121x m x x -+-=±，即31m x x -=-或11m x x-=+， 由方程12()4f x m x-=在区间[]2,4上有两个不相等的实数根，结合图象可得， 得513124m ≤-≤，即实数的取值范围是717,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）2()21g x x =-，2x >2()2()1g x a x a +=+-由题意知min min (()4)()f x g x a -≥+，因为1()44f x x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭在[]2,3上单调递增，所以()4(2)6f x f -≥=.所以min ()6g x a +≤，假设存在实数a 满足条件，则至少存在一个2x 满足2x a +3a +>3a >，又2()10x a +-≥，所以当1a ≥-时，在[2,3]x ∈上，2()10x a +-≥恒成立，所以()g x a +在[]2,3上单调递增，()(2)g x a g a +≥+=，所以6，解得22a ≤≤，所以12a -≤≤；31a <<-时，存在23x =，使得()()2222106x a x a g x a ⎧+>⎪⎪+-≥⎨⎪+≤⎪⎩都满足，所以符合.综上，实数a的取值范围是2].【点睛】本题主要考查利用函数解决实际问题，数形结合以及分类讨论是解决本题得关键.。
山东省青岛市2021-2022学年高一上学期期末考试数学答案
青岛市2022年高一年级选科测试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
D A B DC D D B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．ABD10．BCD11．ACD12．ABC三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．1-；14．1250-；15．(1)5123；(2)1;16．0四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）解：（1）因为1sin 1x -≤≤，所以022sin 4x ≤-≤，所以[0,4]A =当[0,4]x ∈时，91[8,1]4y x =-+∈-所以[8,1]B =-所以[0,1]A B = （2）因为||0x ≥，所以||212x +≥，所以[2,)C =+∞所以R (,0)[2,))(C A =-∞+∞ ð18．（本小题满分12分）解：（1）因为θθθθθθθθθθθθθtan 31tan cos sin cos 3cos cos sin sin cos 3cos sin )(-+=-+=-+=f 所以3tan 31tan =-+θθ，即θθtan 391tan -=+，解得2tan =θ（2）因为51)π23sin(sin =+-θθ，所以51cos sin =+θθ①所以251)cos (sin 2=+θθ，251cos sin 21=+θθ所以2524cos sin 2-=θθ所以22249(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 25θθθθθθθθ-=+-=-=因为)π,0(∈θ，所以0sin >θ，又因为0cos sin <θθ，所以0cos <θ，即0cos sin >-θθ所以57cos sin =-θθ②由①②解得：53cos ,54sin -==θθ所以131sin cos 3cos sin )(-=-+=θθθθθf 19．（本小题满分12分）解：（1）由题知：()()sin xg x h x e x +=①所以()()sin xg x h x ex--+-=-因为()g x 为偶函数，()h x 为奇函数()()sin x g x h x e x --=-②由①②得：11()(),()sin ()22sin x x x xg x h x e e x e e x--==-+（2）由()()()()()()g x h x f x g x h x f x +=⎧⎨-=-⎩得：()()()2f x f x h x --=因为2π为()f x 的一个周期，所以(2π)()f x f x +=所以(2π)(2π)()()(2π)()22f x f x f x f x h x h x +-----+===又因为()(π)()(π)()(π)()()222h x h x h x h x h x h x x x ϕϕ-+-+-----+-====-所以()x ϕ为奇函数20．（本小题满分12分）解：（1）12,[2,2]x x ∀∈-，且12x x <则22121221122222121211(1)(8)(1)(8)()()88(8)(8)x x x x x x f x f x x x x x ---+--+-=-=++++2222121212212212(88)(88)(8)(8)x x x x x x x x x x +---+--=++1212122212()(8)(8)(8)x x x x x x x x -++-=++12x x < ，120x x ∴-<，12,[2,2]x x ∈- ，1244x x ∴-<+<，1244x x -<-≤：潍坊高中数学12128x x x x ∴+->-，121280x x x x ++->12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <所以()f x 在区间[2,2]-上为增函数（2） 12221log log 3log 213=>=，12221log log 3log 423=<=，1211log 23∴<<32ππ<<，1cos30∴-<<222sin sin sin 5532πππ=>= ，22sin15π<，22sin 125π∴<<22tan tan tan 7763πππ=<= ，22tan tan 077ππ=>，220tan73π∴<<综上可知：12222211cos3tan sin log 2753ππ-<<<<<()f x 在区间[2,2]-上为增函数，1222221(cos3)(tan )(sin )(log )753f f f f ππ∴<<<即c d b a<<<21．（本小题满分12分）解：（1）当050x <<时，2()600()2300104002300L x x C x x x =--=-+-当50x ≥时，()10000()600230022200250L x x C x x x =--=--+-所以2104002300,050()1000022200,50250x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪-⎩（2）当050x <<时，因为()22()10400230010201700L x x x x =-+-=--+所以max ()(20)1700L x L ==当50x ≥时，()1000010000()22200[250]2150250250L x x x x x =--+=--++--215021001950£-´=（当且仅当250100x -=时，即75x =时取等号）所以max ()(75)1950L x L ==综上可知，当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元．22．（本小题满分12分）解：（1） ()3x f x =，且(2)18f a +=，2318a +∴=32a ⇒=()34(3)424ax x a x x x xg x ∴=-=-=-从而()24xxg x =-（2）由（1）知()24xxg x =-，所以方程()80xg x m -⋅=可化为：2480xxxm --⋅=，即11()()42xxm =-于是问题转化为：11()(),[2,2]42x x y x =-∈-的图象与直线y m =有交点。
上海市曹杨二中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
上海市曹杨二中 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }＝．（用列举法表示）2. 已知 a 为常数，若关于 x 的不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），则 m ＝ ．3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为．6．已知 lg2＝a ，10b ＝3，用 a 、b 表示 log 56＝．9. 已知实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），则 x +2y 的最小值为．10. 已知函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f（x ）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．已知角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），则 sin α+cos α＝（）14．已知 a 、b ∈R ，h ＞0．则“|a ﹣b |＜2h ”是“|a |＜h 且|b |＜h ”的（）4．已知全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．若 A ∩B ＝{5}， ，则 A ＝．5．已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为．7．已知 ，化简：＝．8．已知函数 y ＝f （x ）的表达式为 ，则函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为．11．已知函数 y ＝f （x ）的表达式为若存在实数 x 0，使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x 0）成立，则实数 a 的取值范围是 ． 12．已知常数 a ＞0，函数 y ＝（f x ）、y ＝g （x ）的表达式分别为、．若对任意 x 1∈ 〖﹣a ，a 〗，总存在 x 2 ∈ 〖﹣a ，a 〗，使得（f x 2 ） ≥g （x 1），则 a 的最大值为 ．A ．B ．C ．D ．A. 充分不必要条件C ．充要条件 B. 必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件15．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256 个等级，最暗的黑色用 0 表示，最亮的白色用 255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0 至 255 之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩 高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）（1） 求集合 A 和集合 B ；（2） 求 A ∪B ＝B ，求实数 m 的取值范围．A ．B ．C ．D ．16．已知 x 、y 、z 是互不相等的正数，则在 x （1﹣y ）、y （1﹣z ）、z （1﹣x ）三个值中，大 于 的个数的最大值是（ ）17．（14 分）已知 m ≥1，设集合，B ＝{x ||x ﹣2m |＞m ﹣1}．18．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（t∈〖0，24〗）小时后，水中含有物质N 的浓度增加y mol/L，y 与t 的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N 的浓度不低于2mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1 个单位的物质N，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；（2）若t＝0 时在水中首次投放1 个单位的物质N，t＝16 时再投放1 个单位的物质N，试判断当t∈〖16，24〗时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．2 12（1） 若函数 y ＝f （x ）为偶函数，求 a 的值； （2） 若 a ＞0，求函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值；（3） 若方程 f （x ）＝6 有两个不相等的实数解 x 1、x ，且|x ﹣x |≤1，求 a 的取值范围．21．（18 分）已知定义在 R 上的函数 y ＝f （x ）满足：y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，且其在区间〖1，3）上的图像关于直线 y ＝x 成轴对称． （1）求证：当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 若对任意给定的实数 x ，总有 f （x +2）＝f （x ），解不等式 f （x ）≥x 2；（3）若 y ＝f （x ）是 R 上的奇函数，且对任意给定的实数 x ，总有 f （3x ）＝3f （x ），求f （x ）的表达式．20．（16 分）已知 a 为常数，设函数 y ＝f （x ）的表达式为 ．由根与系数的关系知 ，解得 m ＝1，a ＝4．故答案为：1．3．〖解 析〗根据扇形的面积公式 S ＝ lr 可得：3＝ ×3r ，解得 r ＝2cm ， 再根据弧长公式可得该扇形的圆心角的弧度数α＝ ＝ ．故答案为： ． ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 * 案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．{0，3，6}〖解 析〗由集合 A ＝{0，1，2}，集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }故集合 B 中的元素有 0，3，6，集合 B ＝{0，3，6}，故答案为：{0，3，6}． 2．1〖解 析〗因为不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），所以 m 和 2 是方程 2x 2﹣6x +a ＝0 的解，4．{5，7}〖解 析〗全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．〖解 析〗设幂函数的解析式为：y ＝x α，〖解 析〗∵10b ＝3，∴b ＝lg3，又∵lg2＝a ， A ∩B ＝{5}， ，∴A ＝{5，7}．故答案为：{5，7}．5．y ＝由函数图象经过点（4， ），则有 4α＝ ，解得：α＝﹣ ，故答案为：y ＝ ．6．∴log 56＝ ＝＝，故答案为：．7．〖解 析〗因为，所以 sin，8．2（1）当 x ⩽0 时，y ＝f （x ）＝0，x ＝0，（2）当 x ＞0 时，令 t ＝log 2x ，则 t ∈R ，y ＝f （t ）＝0， 若 t ⩽0，则 t ＝0，即 f （0）＝0，所以 x ＝0（舍去）， 若 t ＞0 时，则 log 2t ＝0，解得 t ＝1，即 log 2x ＝1，所以 x ＝2． 综上所述，函数 y ＝f 〖f （x ）〗的零点为 0，2， 故函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为 2．故答案为：2．〖解 析〗∵实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），10．〖4，+∞）〖解 析〗函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f （0）＝0，图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f （x ）的值域为 R ，则当 x ＞0 时，f （x ） ≤ ， min故实数 a 的取值范围是〖4，+∞）．故答案为：〖4，+∞）．所以 ＝＝sin ．故答案为： ． 〖解 析〗函数 .9．2 +3∴xy ＝x +y ，且 x ＞0，y ＞0，∴ + ＝1， ∴x +2y ＝（x +2y ）（ + ）＝ + +3≥2+3， 当且仅当 ＝，即 x ＝ +1，y ＝1+时取等号， 则 x +2y 的最小值为 2 +3，故答案为：2+3．f （x ）＝x 2﹣ax +4 的图象开口向上，对称轴为 x ＝ ，f （0）＝4，则 ＞0，f （x ） min ＝f （ ）＝ ﹣ +4≤0，解得 a ≥4，12．0 1 2 2 111．〖1，+∞）使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x ）成立，即函数有最大值 f （x ），又因为当 x ＞a 时，f （x ）＝﹣x +2，单调递减，且 f （x ）＜﹣a +2， 故当 x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，所以 1≥﹣a +2 且 a ≥﹣1，故 a ≥1，所以实数 a 的取值范围为〖1，+∞）．故答案为：〖1，+∞）．〖解 析〗∵对任意 x ∈〖﹣a ，a 〗，总存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ），二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．C〖解 析〗因为角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），所以 sin α＝ ＝﹣ ，cos α＝ ＝，则 sin α+cos α＝﹣ +＝．故选：C ．〖解 析〗函数若存在实数 x 0，∴存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ） 2 2 max ＝ ，即≥在〖﹣a ，a 〗上有解，即 2a 2x 2﹣3x +2a ≤0 在〖﹣a ，a 〗上有解，设 h （x ）＝2a 2x 2﹣3x +2a ，其对称轴为 x ＝ ，若 ＜a ，即 a ＞ 时，此时Δ＝9﹣16a 3＜0，则 2a 2x 2﹣3x +2a ≤0 不成立；若 ≥a ，即 0＜a ≤时，只需 h （x ） min≤0，即 h （a ）＜0 即可， 则 ，解得 0＜a ≤ ；综上，实数 a 的最大值为 ．故答案为： ．14．B〖解析〗由|a﹣b|＜2h 可得：﹣2h＜a﹣b＜2h，由|a|＜h，|b|＜h 可得：﹣h＜a＜h，﹣h＜b＜h，则﹣2h＜a﹣b＜2h，但是如﹣2＜a﹣b＜2 ﹣1＜a＜1 且﹣1＜b＜1，或者0＜a＜1 且﹣1＜b＜2 等等，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a|＜h 且|b|＜h”的必要不充分条件，故选：B．15．A〖解析〗根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y＝x 上方．故选：A．16．C〖解析〗假设x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值都大于，则x（1﹣y）y（1﹣z）z（1﹣x），即x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），∵x、y、z 是互不相等的正数，∴1﹣y＞0，1﹣z＞0，1﹣x＞0，∴x（1﹣x）＝，当且仅当x＝1﹣x 即x＝时，等号成立，同理y（1﹣y），z（1﹣z），又x，y，z 互不相等，∴x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），这与x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z）矛盾，∴假设不成立，∴x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值不可能都大于，取x＝，y＝，z＝，则x（1﹣y）＝＝，y（1﹣z）＝＝，z（1﹣x）＝×＝，此时x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）中有两个值都大于，所以在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是2，故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）17．解：（1）∵m≥1，集合＝{x| ＜0}＝{x|3＜x＜6}，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}＝{x|x﹣2m＜1﹣m 或x﹣2m＞m﹣1}＝{x|x＜m+1 或x＞3m﹣1}．19．（1）解：当 0≤t ≤12 时，由题得 ，解之得 4≤t ≤12；当 12＜t ≤24 时，由题得，解之得 12≤t ≤16；所以 4≤t ≤16．20．解：（1）若函数 y ＝f （x ）为偶函数，则 f （﹣x ）＝f （x ），即＝，12 1 2 1 2 1 23 1 3 2（2）f （x ）单调递增，证明如下，设﹣1＜x ＜x ＜1， 则 x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0，所以 t （x ）＜t （x ），所以 log t （x ）＜log t （x ），所以 y ＝f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．所以物质 N 能持续有效发挥作用的时长为12 小时．（2） 解：当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度为 ymol /L ，当且仅当 t ＝20 时等号成立．所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度的最大值为3mol/L ． 所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度始终不超过 3mol/L ．整理得（a ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0，所以 a ﹣1＝0，即 a ＝1．（2）∵A ∪B ＝B ，∴A B ，∴6≤m +1 或 3≥3m ﹣1，解得 m ≥5 或 1≤m ，∴实数 m 的取值范围是〖1， 〗∪〖5，+∞）．18．解：（1）由 ，得，所以 x ＝log 3，所以 f （x ）＝log 3，D ＝（﹣1，1），设 t （x ）＝ ＝﹣1﹣ ，则 t （x 1 ）﹣t （x ）＝2 ﹣＝＜0，则．（2）函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）＝（）（）＝a 2+1+a （22x +），所以函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值为 a 2+2a +1．（3） 当 a ≤0 时，f （x ）在R 上递增，f （x ）＝6 只有一个实根，不成立；方程 f （x ）＝6 有两个不等的实根等价为 y ＝f （x ）与 y ＝6 的图象有两个交点．且 36﹣4a ＞0，即 0＜a ＜9，则 a 的取值范围是〖8，9）．21．（1）证明：依题意， x ∈〖1，3），函数 y ＝f （x ）的图象上任意点（x ，y ）关于直线 y＝x 对称点（y ，x ）在函数 y ＝f （x ）的图象上， 则有：x ＝f （y ），且 1≤y ＜3，于是得：f （f （x ））＝x ，显然 f （x ）＝x 满足 f （f （x ））＝x ，当 f （x ）≠x 时，若 f （x ）＞x ，而 1≤f （x ）＜3， 又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数， 则 f （f （x ））＞f （x ），即 x ＞f （x ）与 f （x ）＞x 矛盾，若 f （x ）＜x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＜f （x ），即 x ＜f （x ），与 f （x ）＜x 矛盾， 所以当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2）由（1）知，函数 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上的值域为〖1，3），函数 y ＝f （x +2）的图象可由 y ＝f （x ）的图象向左平移 2 个单位而得，因为 a ＞0，22x + ≥2 ＝2，当且仅当 22x ＝ ，即 x ＝0 时等号成立，所以 a 2+1+a （22x + ）≥a 2+2a +1，当 a ＞0 时， ≥2 ，当且仅当 2x ＝ 时，f （x ）取得最小值 2 ，当直线 y ＝6 与 y ＝f （x ）相切时，2 ＝6，解得 a ＝9；设 t ＝2x （t ＞0），则 t + ＝6，即 t 2﹣6t +a ＝0，可得 t 1+t 2＝6，t 1t 2 ＝a ，① 由|x 1 ﹣x |≤1，可设 x ＞x ，可得 2 1 2 ≤2，即 ≤2，②由①②可得 t 2 ≥2，且 t ＝3﹣ 2 ，解得 8≤a ＜9，因对任意给定的实数x，总有f（x+2）＝f（x），则函数y＝f（x）在R上的图象可由数y＝f（x）（x∈〖1，3））的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y＝f（x）在R上的值域为〖1，3），由x2＜3 得：﹣＜x＜，当﹣3≤x＜﹣1 时，1≤x+4＜3，则f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝x+4，由f（x）≥x2 得：x2≤x+4，解得≤x≤，则有≤x＜﹣1，当﹣1≤x＜1 时，1≤x+2＜3，则f（x）＝f（x+2）＝x+2，由f（x）≥x2 得：x2≤x+2，解得﹣1≤x≤2，则有﹣1≤x＜1，当1≤x＜3 时，由f（x）≥x2 得：x2≤x，解得0≤x≤1，则有x＝1，综上得：≤x≤1，所以不等式f（x）≥x2 的解集是〖，1〗；（3）因对任意给定的实数x，总有f（3x）＝3f（x），n∈N*，当3n≤x＜3n+1 时，有1 ，则f（x）＝f（3×）＝3f（3×）＝32f（）＝…＝3n f（）＝3n×＝x，n∈N*，当3﹣n≤x＜3﹣n+1 时，有1≤3n•x＜3，则f（x）＝f（3x）＝f（32x）＝…＝f（3n x）＝×3n x＝x，显然x≥1，函数y＝3x的值域是〖3，+∞），函数y＝3﹣x+1的值域是（0，1〗，则n取尽一切正整数，{x|3﹣n≤x＜3﹣n+1}∪{x|1≤x＜3}∪{x|3n≤x＜3n+1}＝（0，+∞），因此，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x，而y＝f（x）是R 上的奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，又f（0）＝0，所以，x∈R，f（x）＝x，即函数f（x）的表达式是f（x）＝x．上海市曹杨二中 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }＝．（用列举法表示）2. 已知 a 为常数，若关于 x 的不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），则 m ＝ ．3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为．6．已知 lg2＝a ，10b ＝3，用 a 、b 表示 log 56＝．9. 已知实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），则 x +2y 的最小值为．10. 已知函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f（x ）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．已知角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），则 sin α+cos α＝（）14．已知 a 、b ∈R ，h ＞0．则“|a ﹣b |＜2h ”是“|a |＜h 且|b |＜h ”的（）4．已知全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．若 A ∩B ＝{5}， ，则 A ＝．5．已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为．7．已知 ，化简：＝．8．已知函数 y ＝f （x ）的表达式为 ，则函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为．11．已知函数 y ＝f （x ）的表达式为若存在实数 x 0，使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x 0）成立，则实数 a 的取值范围是 ． 12．已知常数 a ＞0，函数 y ＝（f x ）、y ＝g （x ）的表达式分别为、．若对任意 x 1∈ 〖﹣a ，a 〗，总存在 x 2 ∈ 〖﹣a ，a 〗，使得（f x 2 ） ≥g （x 1），则 a 的最大值为 ．A ．B ．C ．D ．A. 充分不必要条件C ．充要条件 B. 必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件15．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256 个等级，最暗的黑色用 0 表示，最亮的白色用 255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0 至 255 之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩 高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）（1） 求集合 A 和集合 B ；（2） 求 A ∪B ＝B ，求实数 m 的取值范围．A ．B ．C ．D ．16．已知 x 、y 、z 是互不相等的正数，则在 x （1﹣y ）、y （1﹣z ）、z （1﹣x ）三个值中，大 于 的个数的最大值是（ ）17．（14 分）已知 m ≥1，设集合，B ＝{x ||x ﹣2m |＞m ﹣1}．18．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（t∈〖0，24〗）小时后，水中含有物质N 的浓度增加y mol/L，y 与t 的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N 的浓度不低于2mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1 个单位的物质N，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；（2）若t＝0 时在水中首次投放1 个单位的物质N，t＝16 时再投放1 个单位的物质N，试判断当t∈〖16，24〗时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．2 12（1） 若函数 y ＝f （x ）为偶函数，求 a 的值； （2） 若 a ＞0，求函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值；（3） 若方程 f （x ）＝6 有两个不相等的实数解 x 1、x ，且|x ﹣x |≤1，求 a 的取值范围．21．（18 分）已知定义在 R 上的函数 y ＝f （x ）满足：y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，且其在区间〖1，3）上的图像关于直线 y ＝x 成轴对称． （1）求证：当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 若对任意给定的实数 x ，总有 f （x +2）＝f （x ），解不等式 f （x ）≥x 2；（3）若 y ＝f （x ）是 R 上的奇函数，且对任意给定的实数 x ，总有 f （3x ）＝3f （x ），求f （x ）的表达式．20．（16 分）已知 a 为常数，设函数 y ＝f （x ）的表达式为 ．由根与系数的关系知 ，解得 m ＝1，a ＝4．故答案为：1．3．〖解 析〗根据扇形的面积公式 S ＝ lr 可得：3＝ ×3r ，解得 r ＝2cm ， 再根据弧长公式可得该扇形的圆心角的弧度数α＝ ＝ ．故答案为： ． ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 * 案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．{0，3，6}〖解 析〗由集合 A ＝{0，1，2}，集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }故集合 B 中的元素有 0，3，6，集合 B ＝{0，3，6}，故答案为：{0，3，6}． 2．1〖解 析〗因为不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），所以 m 和 2 是方程 2x 2﹣6x +a ＝0 的解，4．{5，7}〖解 析〗全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．〖解 析〗设幂函数的解析式为：y ＝x α，〖解 析〗∵10b ＝3，∴b ＝lg3，又∵lg2＝a ， A ∩B ＝{5}， ，∴A ＝{5，7}．故答案为：{5，7}．5．y ＝由函数图象经过点（4， ），则有 4α＝ ，解得：α＝﹣ ，故答案为：y ＝ ．6．∴log 56＝ ＝＝，故答案为：．7．〖解 析〗因为，所以 sin，8．2（1）当 x ⩽0 时，y ＝f （x ）＝0，x ＝0，（2）当 x ＞0 时，令 t ＝log 2x ，则 t ∈R ，y ＝f （t ）＝0， 若 t ⩽0，则 t ＝0，即 f （0）＝0，所以 x ＝0（舍去）， 若 t ＞0 时，则 log 2t ＝0，解得 t ＝1，即 log 2x ＝1，所以 x ＝2． 综上所述，函数 y ＝f 〖f （x ）〗的零点为 0，2， 故函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为 2．故答案为：2．〖解 析〗∵实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），10．〖4，+∞）〖解 析〗函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f （0）＝0，图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f （x ）的值域为 R ，则当 x ＞0 时，f （x ） ≤ ， min故实数 a 的取值范围是〖4，+∞）．故答案为：〖4，+∞）．所以 ＝＝sin ．故答案为： ． 〖解 析〗函数 .9．2 +3∴xy ＝x +y ，且 x ＞0，y ＞0，∴ + ＝1， ∴x +2y ＝（x +2y ）（ + ）＝ + +3≥2+3， 当且仅当 ＝，即 x ＝ +1，y ＝1+时取等号， 则 x +2y 的最小值为 2 +3，故答案为：2+3．f （x ）＝x 2﹣ax +4 的图象开口向上，对称轴为 x ＝ ，f （0）＝4，则 ＞0，f （x ） min ＝f （ ）＝ ﹣ +4≤0，解得 a ≥4，12．0 1 2 2 111．〖1，+∞）使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x ）成立，即函数有最大值 f （x ），又因为当 x ＞a 时，f （x ）＝﹣x +2，单调递减，且 f （x ）＜﹣a +2， 故当 x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，所以 1≥﹣a +2 且 a ≥﹣1，故 a ≥1，所以实数 a 的取值范围为〖1，+∞）．故答案为：〖1，+∞）．〖解 析〗∵对任意 x ∈〖﹣a ，a 〗，总存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ），二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．C〖解 析〗因为角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），所以 sin α＝ ＝﹣ ，cos α＝ ＝，则 sin α+cos α＝﹣ +＝．故选：C ．〖解 析〗函数若存在实数 x 0，∴存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ） 2 2 max ＝ ，即≥在〖﹣a ，a 〗上有解，即 2a 2x 2﹣3x +2a ≤0 在〖﹣a ，a 〗上有解，设 h （x ）＝2a 2x 2﹣3x +2a ，其对称轴为 x ＝ ，若 ＜a ，即 a ＞ 时，此时Δ＝9﹣16a 3＜0，则 2a 2x 2﹣3x +2a ≤0 不成立；若 ≥a ，即 0＜a ≤时，只需 h （x ） min≤0，即 h （a ）＜0 即可， 则 ，解得 0＜a ≤ ；综上，实数 a 的最大值为 ．故答案为： ．14．B〖解析〗由|a﹣b|＜2h 可得：﹣2h＜a﹣b＜2h，由|a|＜h，|b|＜h 可得：﹣h＜a＜h，﹣h＜b＜h，则﹣2h＜a﹣b＜2h，但是如﹣2＜a﹣b＜2 ﹣1＜a＜1 且﹣1＜b＜1，或者0＜a＜1 且﹣1＜b＜2 等等，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a|＜h 且|b|＜h”的必要不充分条件，故选：B．15．A〖解析〗根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y＝x 上方．故选：A．16．C〖解析〗假设x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值都大于，则x（1﹣y）y（1﹣z）z（1﹣x），即x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），∵x、y、z 是互不相等的正数，∴1﹣y＞0，1﹣z＞0，1﹣x＞0，∴x（1﹣x）＝，当且仅当x＝1﹣x 即x＝时，等号成立，同理y（1﹣y），z（1﹣z），又x，y，z 互不相等，∴x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），这与x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z）矛盾，∴假设不成立，∴x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值不可能都大于，取x＝，y＝，z＝，则x（1﹣y）＝＝，y（1﹣z）＝＝，z（1﹣x）＝×＝，此时x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）中有两个值都大于，所以在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是2，故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）17．解：（1）∵m≥1，集合＝{x| ＜0}＝{x|3＜x＜6}，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}＝{x|x﹣2m＜1﹣m 或x﹣2m＞m﹣1}＝{x|x＜m+1 或x＞3m﹣1}．19．（1）解：当 0≤t ≤12 时，由题得 ，解之得 4≤t ≤12；当 12＜t ≤24 时，由题得，解之得 12≤t ≤16；所以 4≤t ≤16．20．解：（1）若函数 y ＝f （x ）为偶函数，则 f （﹣x ）＝f （x ），即＝，12 1 2 1 2 1 23 1 3 2（2）f （x ）单调递增，证明如下，设﹣1＜x ＜x ＜1， 则 x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0，所以 t （x ）＜t （x ），所以 log t （x ）＜log t （x ），所以 y ＝f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．所以物质 N 能持续有效发挥作用的时长为12 小时．（2） 解：当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度为 ymol /L ，当且仅当 t ＝20 时等号成立．所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度的最大值为3mol/L ． 所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度始终不超过 3mol/L ．整理得（a ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0，所以 a ﹣1＝0，即 a ＝1．（2）∵A ∪B ＝B ，∴A B ，∴6≤m +1 或 3≥3m ﹣1，解得 m ≥5 或 1≤m ，∴实数 m 的取值范围是〖1， 〗∪〖5，+∞）．18．解：（1）由 ，得，所以 x ＝log 3，所以 f （x ）＝log 3，D ＝（﹣1，1），设 t （x ）＝ ＝﹣1﹣ ，则 t （x 1 ）﹣t （x ）＝2 ﹣＝＜0，则．（2）函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）＝（）（）＝a 2+1+a （22x +），所以函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值为 a 2+2a +1．（3） 当 a ≤0 时，f （x ）在R 上递增，f （x ）＝6 只有一个实根，不成立；方程 f （x ）＝6 有两个不等的实根等价为 y ＝f （x ）与 y ＝6 的图象有两个交点．且 36﹣4a ＞0，即 0＜a ＜9，则 a 的取值范围是〖8，9）． 21．（1）证明：依题意， x ∈〖1，3），函数 y ＝f （x ）的图象上任意点（x ，y ）关于直线 y＝x 对称点（y ，x ）在函数 y ＝f （x ）的图象上，则有：x ＝f （y ），且 1≤y ＜3，于是得：f （f （x ））＝x ，显然 f （x ）＝x 满足 f （f （x ））＝x ，当 f （x ）≠x 时，若 f （x ）＞x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＞f （x ），即 x ＞f （x ）与 f （x ）＞x 矛盾，若 f （x ）＜x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＜f （x ），即 x ＜f （x ），与 f （x ）＜x 矛盾，所以当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 由（1）知，函数 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上的值域为〖1，3），函数 y ＝f （x +2）的图象可由 y ＝f （x ）的图象向左平移 2 个单位而得，因为 a ＞0，22x + ≥2 ＝2，当且仅当 22x ＝ ，即 x ＝0 时等号成立， 所以 a 2+1+a （22x + ）≥a 2+2a +1，当 a ＞0 时， ≥2 ，当且仅当 2x ＝ 时，f （x ）取得最小值 2 ，当直线 y ＝6 与 y ＝f （x ）相切时，2 ＝6，解得 a ＝9； 设 t ＝2x （t ＞0），则 t + ＝6，即 t 2﹣6t +a ＝0，可得 t 1+t 2＝6，t 1t 2 ＝a ，①由|x 1 ﹣x |≤1，可设 x ＞x ，可得 2 1 2 ≤2，即 ≤2，② 由①②可得 t 2 ≥2，且 t ＝3﹣ 2，解得 8≤a ＜9，因对任意给定的实数x，总有f（x+2）＝f（x），则函数y＝f（x）在R上的图象可由数y＝f（x）（x∈〖1，3））的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y＝f（x）在R上的值域为〖1，3），由x2＜3 得：﹣＜x＜，当﹣3≤x＜﹣1 时，1≤x+4＜3，则f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝x+4，由f（x）≥x2 得：x2≤x+4，解得≤x≤，则有≤x＜﹣1，当﹣1≤x＜1 时，1≤x+2＜3，则f（x）＝f（x+2）＝x+2，由f（x）≥x2 得：x2≤x+2，解得﹣1≤x≤2，则有﹣1≤x＜1，当1≤x＜3 时，由f（x）≥x2 得：x2≤x，解得0≤x≤1，则有x＝1，综上得：≤x≤1，所以不等式f（x）≥x2 的解集是〖，1〗；（3）因对任意给定的实数x，总有f（3x）＝3f（x），n∈N*，当3n≤x＜3n+1 时，有1 ，则f（x）＝f（3×）＝3f（3×）＝32f（）＝…＝3n f（）＝3n×＝x，n∈N*，当3﹣n≤x＜3﹣n+1 时，有1≤3n•x＜3，则f（x）＝f（3x）＝f（32x）＝…＝f（3n x）＝×3n x＝x，显然x≥1，函数y＝3x的值域是〖3，+∞），函数y＝3﹣x+1的值域是（0，1〗，则n取尽一切正整数，{x|3﹣n≤x＜3﹣n+1}∪{x|1≤x＜3}∪{x|3n≤x＜3n+1}＝（0，+∞），因此，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x，而y＝f（x）是R 上的奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，又f（0）＝0，所以，x∈R，f（x）＝x，即函数f（x）的表达式是f（x）＝x．。
辽宁省沈阳市新民市第一高级中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷及答案
辽宁省沈阳市新民市第一高级中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数()lg(2)f x x =+的定义域为A ．(2,1)-B ．[2,1)-C ．(2,1]-D ．[2,1]--2．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0a b <<，则（ ）A ．2a ab <B ．2ab b <C ．22a b <D ．22a b >4．若命题32:,1p x R x x ∃∈>-，则p ⌝A ．32,1x R x x ∀∈<-B ．32,1x R x x ∀∈≤-C ．32,1x R x x ∃∈<-D ．32,1x R x x ∃∈≤-5．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中真命题为（ ） A ．若,m n α⊂∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若α∥β，m β⊂，则m ∥αD ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β 6．函数2log y x =与112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数．则实数m 的值为( )A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或18．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．e x y x =+B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．y =9．函数()()212log 23f x x x =--的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()3,+∞10．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >且1x ≠时,1lg 2lg x x +≥ B ．当0x >时2≥C ．当2x ≥时,1x x +的最小值是2D ．当02x <≤时,1x x -无最大值11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段BD 上任意一点（包括端点），则一定有（）A ．1PC 与1AA 异面B ．1PC 与1AA 相交C ．1PC 与平面11ABD 平行 D ．1PC 与平面11AB D 相交12．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,∞+为增函数，又()20f =，则不等式()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭的解集为（ ）A ．()()2,00,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,02,-+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+二、填空题13．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的______________.14．已知函数()f x 的图像与函数3x y =的图像关于直线y x =对称，则()9f =________．15．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，那么这个正三棱锥的高是______________.16．空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A=PB=PC=a ，那么这个球的体积是_______________.三、解答题17．已知集合{}37A x x =≤<，{}211B x x =<<.(1)求()R A B ⋂；(2)已知{}=121C x a x a -<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值集合.18．如图，已知梯形EFGH 中，//EF GH ，90HEF ∠=，1GH =，2EF =， 60EFG ∠=，在平面EFGH 内，过F 作l EF ⊥，以l 为轴将梯形EFGH 旋转一周，求所得旋转体的表面积及体积.19．已知函数()2f x x bx c =-+，()f x 的对称轴为1x =且()01f =-．(1)求b 、c 的值；(2)当[]0,3x ∈时，求()f x 的取值范围；(3)若不等式()()2log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围.20．如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ､N 分别是AB ､PC 的中点（1）求证：MN//平面P AD；（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ//平面P AD.21．某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：21400,0400280000,400x x xRx⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩(1)将利润()f x（单位：元）表示成月产量x的函数(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）22．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．（1）判断函数f(x)的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切的x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【详解】由题意得10{20x x -+>，解得 21x -<，即(2,1]-．2．A【详解】试题分析：由1x >可得21x >成立，反之不成立，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件3．D【分析】取特殊值2,1a b =-=-，排除ABC ；对于D ，利用不等式的性质进行证明.【详解】由0a b <<，不妨取2,1a b =-=-.对于A ：24,2a ab ==，故2a ab <不成立；对于B ：21,2b ab ==，故2ab b <不成立；对于C ：224,1a b ==，故22a b <不成立；对于D ：因为0a b <<，所以0a b ->->，所以()()220a b ->->，即22a b >.故选：D4．B【详解】分析：根据特称命题的否定是全称命题判断即可.详解：该命题是特称命题，则命题的否定是 32,1x R x x ∀∈≤-，故选B.点睛：该题考查的是有关特称命题的否定问题，在求解的时候，只要明确特称命题的否定形式即可得结果.5．C【分析】根据空间直线、平面的位置关系，对四个选项一一判断即可.【详解】对于A ：若,m n α⊂∥α，则m ∥n 或m 、n 异面.故A 错误；等于B ：若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α、β相交.故B 错误；对于C ：因为α∥β，m β⊂，所以m ∥α（面面平行的性质定理）.故C 正确；对于D ：若α∥β，m ∥α，则m ∥β或m β⊂.故D 错误.故选：C6．C【分析】根据函数平移以及对数函数的图像直接判断即可.【详解】函数2log y x =为对数函数,过()1,0且单调递增.又112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭往左平移1个单位所得.故选：C【点睛】本题主要考查了指对数函数的图像与变换,属于基础题.7．B【分析】由题意利用幂函数的定义和性质可得221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，由此解得m 的值． 【详解】解：由于幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞时是减函数， 故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩， 解得1m =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题．8．A【分析】根据奇偶性的定义可判断BCD ，取特值可判断A.【详解】记()e x f x x =+，则1(1)1e ,(1)1e f f --=-+=+，显然(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-，故e x y x =+为非奇非偶函数；由奇偶性定义易知1y x x =+为奇函数，122x x y =+和y =. 故选：A9．A【解析】首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性即可求解.【详解】令223t x x =--，由2230t x x =-->，解得3x >，或1x <-，当1x <-时，函数223t x x =--单调递减，则()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-.故选：A.10．B【分析】利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．【详解】解：A ．当1＞x ＞0时，lgx ＜0，lgx 1lgx +≥2不成立；B ．当0x >时2≥，正确； C ．当x ≥2时，x 1x+＞2，不成立； D ．当0＜x ≤2时，函数y ＝x 1x -单调递增，当x ＝2时，有最大值21322-=，不正确． 故选B ．考点：基本不等式.11．C【分析】连接AC 、11A C 、1BC 、1C D ，证明出四边形11ABC D 为平行四边形，并结合面面平行的性质可判断各选项能否一定成立.【详解】连接AC 、11A C ，因为11//AA CC 且11AA CC =，所以，四边形11AAC C 为平行四边形， 当P 为AC 、BD 的交点时，1PC 与1AA 相交，当P 不为AC 、BD 的交点时，1PC 与1AA 异面，AB 选项都不一定成立；连接1BC 、1C D ，因为11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ∴，1BC ⊄平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，1//BC ∴平面11AB D ，同理可证1//C D 平面11AB D ，因为111BC C D C ⋂=，1BC 、1C D ⊂平面1BC D ，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面1BC D ，C 选项一定满足，D 选项一定不满足.故选：C.12．A【分析】分析出函数()f x 在(),0∞-上的单调性，可得出()()220f f -=-=，分0x <、0x >两种情况解原不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,∞+为增函数，则该函数在(),0∞-上也为增函数，且()()220f f -=-=， 由()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭可得()0xf x <. 当0x <时，则()()02f x f >=-，解得20x -<<；当0x >时，则()()02f x f <=，解得02x <<. 综上所述，不等式()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭的解集为()()2,00,2-.故选：A.13．316【分析】根据截面圆的性质求出对应的半径进行求解即可．【详解】解：如图所示的过球心的截面图，设球的半径为R ，截面圆的半径为r ，则r ，所以223416S S R ππ⎫⎪⎪⎝⎭==圆球； 故答案为：316． 14．2【分析】先求出()3log f x x =，即可代入求解.【详解】因为已知函数()f x 的图像与函数3x y =的图像关于直线y x =对称，所以()f x 与3x y =互为反函数，所以()3log f x x =.所以()39log 92f ==.故答案为：215．2【分析】根据所给条件画出图形，再根据正三棱锥的性质计算可得.【详解】解：如图正三棱锥S ABC -中，D 为AB 的中点，则CD 设O 为三角形ABC 的重心，则SO ⊥底面ABC ，又23CO CD ==所以2SO =，即这个正三棱锥的高是2；故答案为：216．23a π【分析】先分析出过空间四个点P 、A 、B 、C 的球面即为棱长为a 的正方体的外接球,即可求解.【详解】空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A=PB=PC=a ， 则P A 、PB 、PC 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P 、A 、B 、C 的球面即为棱长为a 的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,,所以这个球面的面积23S a π=.故答案为: 23a π17．(1)()R {|3A B x x ⋂=<或7}x ≥(2){|2a a ≤-或35}a ≤≤【分析】（1）根据交集、补集的定义计算可得；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.（1） 解：因为{}37A x x =≤<，{}211B x x =<<， 所以{}37A B x x ⋂=≤<，所以()R {|3A B x x ⋂=<或7}x ≥；（2） 解：因为{}211B x x =<<，{}=121C x a x a -<<+且C B ⊆，①当C =∅时，即121a a -≥+，解得2a ≤-时，符合题意；②当C ≠∅时，则121122111a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得35a ≤≤，综上，所求a 的集合是{|2a a ≤-或35}a ≤≤.18．表面积为(9π+【分析】作出几何体的直观图，分析可知该几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥而成的组合体，利用圆柱、圆锥的体积和表面积公式可求得该几何体的表面积和体积.【详解】解：在直角梯形EFGH 中，过点G 作GM EF ⊥，垂足为点M ，如下图所示：因为//GH EF ，EH EF ⊥，GM EF ⊥，故四边形EHGM 为矩形，故1EM GH ==，则1FM EF EM =-=，又因为60EFG ∠=，tan 603EH GM FM ∴===2cos60FM FG==， 作出几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥而成的组合体， 且圆柱的底面半径为21所以，该几何体的体积为221π2π13V =⨯⨯，表面积为(222π22π2π1π129πS =⨯⨯-⨯+⨯⨯=+.19．(1)2b =，1c =-(2)[]22-,(3)01k <<或4k >【分析】（1）利用二次函数的对称性可求得b 的值，由()01f =-可求得c 的值； （2）利用二次函数的基本性质可求得()f x 的取值范围； （3）由()()2log 2f k f >可得出关于k 的不等式，解之即可. （1）解：二次函数()f x 的对称轴方程为12bx ==，可得2b =，且()01f c ==-. 因此，2b =，1c =-. （2）解：由（1）可知()221f x x x =--，当[]0,3x ∈时，()()[]2122,2f x x =--∈-.（3）解：由()()2log 21f k f >=-，可得()222log 2log 0k k ->，可得2log 0k <或2log 2k >，解得01k <<或4k >.20．（1）证明见解析；（2）当Q 在PB 的中点时，平面//MNQ 平面PAD .【分析】（1）取PB 中点Q ，连接,MQ NQ ，利用面面平行的判定定理证明平面//MNQ 平面PAD ，即可证明//MN 平面PAD ；（2）假设第一问的Q 即为所求，再利用面面平行进行证明. 【详解】（1）证明：取PB 中点Q ，连接,MQ NQ ，,M N 分别是,AB PC 的中点，//NQ BC ∴.//AD BC ，//,NQ AD ∴又NQ ⊄面PAD ，AD ⊂面PAD ， ∴//NQ 面PAD .同理可证：//MQ 面PAD . 又NQ ⊂面MNQ ，MQ面MNQ ，NQ MQ Q =,∴平面//MNQ 平面PAD ，MN ⊂平面MNQ ， //MN ∴平面PAD（2）解：假设第一问的Q 即为所求Q 在PB 的中点，M N ､分别是AB PC ､的中点，Q 为PB 的中点//,MQ PA ∴且//NQ AD则//MQ 平面,//PAD NQ 平面PAD 且MQ MQ Q ⋂=所以平面//MNQ 平面PAD .所以第一问的Q 点即为所求，当Q 在PB 的中点时，平面//MNQ 平面PAD . 【点睛】（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理；（2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.如果存在，可以证明；如果推出矛盾，则不存在.21．(1)2130020000,0400()260000100,400x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩(2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000【分析】（1）根据题意建立函数关系式，写出分段函数形式；（2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量. （1） 由题意可得：当0400x ≤≤时，2211()400200001003002000022f x x x x x x =---=-+-；当400x >时，()800002000010060000100f x x x =--=-；所以2130020000,0400()260000100,400x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩. （2）当0400x ≤≤时，()2211()300200003002500022f x x x x =-+-=--+，即最大值为25000；当400x >时，()60000100f x x =-为减函数，所以当400x >时，()2000025000f x <<，故max ()25000f x =.即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： （1）求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；（2）求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.22．（1）f (x )是增函数，奇函数；（2）存在，t ＝－12.【分析】（1）根据奇偶性定义判断奇偶性，利用复合函数的单调性确定函数的单调性； （2）根据奇偶性与单调性把不等式化这22t t x x +≤+，即存在t ，使得12t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2≤2min12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立，由此可得t 值．【详解】（1）∵f (x )＝ex －1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭x ，且y ＝ex 是增函数，y ＝－1e ⎛⎫⎪⎝⎭x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －ex ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．（2）由（1）知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立，即f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立，即x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立，所以，t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立，即存在实数t使得12t⎛⎫+⎪⎝⎭2≤2min12x⎛⎫+⎪⎝⎭恒成立所以存在实数t＝－12，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题中不等式恒成有两个变量，一个是存在t，一个是所有x，要注意它们的区别，注意问题的转化．。
2021-2022学年山东省济宁市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省济宁市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}03|A x x =≤≤， {}|14B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|13x x <≤ B ．{}|04x x ≤< C ．{}|13x x ≤≤ D ．{}|04x x <<【答案】B【分析】利用并集的概念求解即可.【详解】由{}03|A x x =≤≤， {}|14B x x =<<， 则A B ={}|04x x ≤<. 故选：B2．2x >是220x x ->的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】解不等式220x x ->得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性．【详解】由220x x ->解得：0x <或2x >，{}{}202x x x x x ⊂>≠或， 因此，2x >是220x x ->的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性： （1）A B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）AB ，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件． 3．已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()()2f f -=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】D【分析】先根据分段函数求出()2f -，再根据分段函数，即可求出结果.【详解】因为()21224f --==， 所以()()12112log 244f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭.故选：D.4．函数()212x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间是（ ）A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】根据解析式，结合指数函数、幂函数的单调性判断()f x 的单调性，再应用零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】由2y x =-递增，1()2x y =-递增，则21()2x y -=-递增，又y x =递增，∴()212x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上递增，又()1111102f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，()2210f =->，∴零点所在区间是1,2. 故选：B.5．设2log 0.5a =，0.5log 0.2b =，122c =，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】B【分析】由指对数函数的单调性判断a ，b ，c 三个数的大小.【详解】由120.50.522log 0.5log 10122log 0.25log 0.2c a b =<=<==<=<<， ∴a c b <<. 故选：B.6．函数()3ln f x x x =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】应用排除法，结合奇偶性定义判断()f x 奇偶性，由解析式判断1()2f 的符号，即可确定图象.【详解】由()33()ln ln ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-且定义域为{|0}x x ≠，函数为奇函数，排除A 、C ；又1ln 2()028f =-<，排除B. 故选：D.7．2021年，我国先后发射天河核心舱､问天实验舱和梦天实验舱后，中国空间站—“天宫空间站”基本完成组装，并拟在2022年完成建设.“天宫空间站”运行轨道可以近似看成圆形环地轨道，已知“天宫空间站”约90分钟绕地球飞行一圈，平均轨道高度约为388.6千米，地球半径约为6371.4千米，据此计算“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为（ ）千米.（参考数据 3.14π≈） A ．471.70 B ．450.67 C ．235.85 D ．225.33【答案】A【分析】由题设以(388.66371.4)+千米为轨道半径计算轨道长度，再除以飞行一圈的时间即可.【详解】由题设，“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为()2388.66371.426760 3.14471.709090π⨯+⨯⨯≈=千米.故选：A.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()()()21210mf m m f m --->的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】构造()()g x xf x =，根据已知条件，结合奇偶性、单调性的定义判断()g x 的奇偶性、单调性，再应用其性质解不等式即可.【详解】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-， ∴()g x 是奇函数，又任意1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122121212()()0x f x x f x g x g x x x x x --=<--成立，∴()g x 在[)0,+∞单调递减，则(],0∞-单调递减，即()g x 在R 上递减， ∴()()()2121()(21)0mf m m f m g m g m ---=-->，则()(21)g m g m >-， ∴21m m <-，可得1m ，故解集为()1,+∞. 故选：C.【点睛】关键点点睛：构造()()g x xf x =，结合已知及奇偶性、单调性定义判断()g x 的性质，应用其性质解不等式. 二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若0ab >且a b >，则11a b< C ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd < D ．若0a b <<，则22a ab b <<【答案】ABC【分析】A 、C 、D 应用不等式性质即可判断真假；B 应用作差法，结合不等式性质判断真假.【详解】A ：由题设，a b >且c d ->-，则a c b d ->-，真命题； B ：由0ab >且a b >，则110b aa b ab--=<，真命题； C ：由0a b >>，0c d ->->，则ac bd ->-，即ac bd <，真命题； D ：由0a b ->->，则22a ab b >>，假命题. 故选：ABC.10．下列说法正确的是（ ） A ．函数1sin sin y x x=+的最小值为2 B ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则122a b +的最小值为92C ．关于x 的不等式210ax bx ++<的解集是()1,2，则1a b +=-D ．函数()()2log 1a f x x mx =++（0a >且1a ≠）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+ 【答案】BC【分析】A 由三角函数的性质，结合特殊情况判断；B 应用基本不等式“1”的代换求最值；C 由一元二次不等式的解集求参数a 、b ，即可判断；D 由对数函数、二次函数的性质有240m ∆=-<即可判断.【详解】A ：当1sin 0x -<<时，显然1sin 0sin y x x=+<，故错误； B：由12125259()()222222b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当223b a ==时等号成立，正确；C ：根据不等式的解集可知1,2是方程210ax bx ++=的根，所以0312a b a a⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，可得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则 1a b +=-，正确；D ：由题意，210x mx ++>在R 上恒成立，则240m ∆=-<，解得22m -<<，错误. 故选：BC11．已知()0,θπ∈，且满足12sin cos 25θθ⋅=-，sin cos θθ>，则下列说法正确的是（ ）A ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．4tan 3θ=-C ．4tan 3θ=D ．1sin cos 5θθ+= 【答案】ABD【分析】由于()0,θπ∈，且满足12sin cos 025θθ⋅=-<，可得,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再结合22sin cos 1θθ+=，可求出sin ,cos θθ的值，进而可求出tan θ的值【详解】因为()0,θπ∈，且满足12sin cos 025θθ⋅=-<，可得,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A 正确， 因为22sin cos 1θθ+=，所以22241sin cos 2sin cos 12525θθθθ++=-=， 222449sin cos 2sin cos 12525θθθθ+-=+=， 所以()21sin cos 25θθ+=，()249sin cos 25θθ-=， 因为sin cos θθ>，sin 0,cos 0θθ><， 所以1sin cos 5θθ+=，7sin cos 5θθ-=，所以D 正确，所以解得43sin ,cos 55θθ==-，所以sin 4tan cos 3θθθ==-，所以B 正确，C 错误， 故选：ABD12．函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数例如[]1.11=，[]2.32=，设函数()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域为(],0-∞B ．若0x ≥，则()0f x ⎡⎤=⎣⎦C ．方程1f x有无数个实数根D ．若方程()f x x a =-+有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[)0,∞+ 【答案】BD【分析】由题意可知，当[),1,x n n n N ∈+∈时，[]x n =，所以()[]f x x x x n =-=-，作出函数()f x 和1y =的图象，由图象即可判断A ，B ，C 是否正确；在同一直角坐标系中作出函数()y f x =和函数y x a =-+的图象，由图象即可判断D 是否正确. 【详解】当[)0,1x ∈时，[]0x =，所以()[]f x x x x =-=； 当[)1,2x ∈时，[]1x =，所以()[]1f x x x x =-=-； 当[)2,3x ∈时，[]2x =，所以()[]2f x x x x =-=-； 当[)3,4x ∈时，[]3x =，所以()[]3f x x x x =-=-； ……当[),1,x n n n ∈+∈N 时，[]x n =，所以()[]f x x x x n =-=-；作出函数()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩的图形，如下图所示：由图像可知，函数()f x 的值域为(),1∞-，故A 错误；由图像可知，若0x ≥，则()[)0,1f x ∈，所以()0f x ⎡⎤=⎣⎦，故B 正确； 由图像可知，函数()f x 与1y =没有交点，所以方程1f x无实数根，故C 错误；在同一直角坐标系中作出函数()y f x =和函数y x a =-+的图象，如下图所示：由图像可知，若方程()f x x a =-+有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[)0,+∞，故D 正确. 故选：BD. 三、填空题13．命题“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是___________. 【答案】R x ∀∈，210x x -+≤【分析】由特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可写出否定形式. 【详解】由特称命题的否定为全称命题， ∴原命题的否定为：“R x ∀∈，210x x -+≤”.故答案为：R x ∀∈，210x x -+≤.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点()1,2P -，则sin θ=___________.【分析】利用终边上的点坐标，结合正弦函数的定义求sin θ值.【详解】由题设，sin θ==. 15．已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()()23f x x m m =+∈R ，则()8f -=______． 【答案】-4【分析】先由奇函数的性质(0)0f =求出m 的值，从而可求出函数解析式，进而可求得结果【详解】因为()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()()23f x x m m =+∈R ， 所以23(0)00f m =+=，得0m =， 所以()23f x x =，0x ≥， 因为()y f x =是奇函数所以()2238(8)824f f -=-=-=-=-， 故答案为：4-16．已知函数()kf x x x=+具有以下性质：如果常数0k >，那么函数()f x 在区间(上单调递减，在区间⎤+∞⎦上单调递增，若函数()11a y x x x-=+≥的值域为[),a +∞，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,2]-∞【分析】当1a ≤判断单调性，进而确定最值即可求范围，当1a >的大小关系，结合()kf x x x=+的性质，判断[1,)+∞上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围.【详解】1、当10a -≤时，1a y x x-=+在[1,)+∞上递增，故1|x y a ==，满足题设； 2、当10a ->，即1a >，1≥，即2a ≥时，函数在上递减，在)+∞上递增，故|x y a =，可得2a =；1<，即12a <<时，函数在[1,)+∞上递增，故1|x y a ==，满足题设； 综上，(,2]a ∈-∞. 故答案为：(,2]-∞.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，并根据()kf x x x=+的性质，结合目标函数的解析式及值域研究单调性及最值，即可求参数范围. 四、解答题17．已知全集为R ，集合{}12A x x =≤≤，{B x x m =<或}21,0x m m >+>. (1)当2m =时，求A B ； (2)若RA B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}12x x ≤<(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据2m =，求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果； （2）先求出R B ，再根据RA B ⊆，可得1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，求解不等式即可.(1)解：当2m =时，{2B x x =<或}5x >， 又{}12A x x =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤<； (2)因为{B x x m =<或}21,0x m m >+>，所以{}R 21B x m x m =≤≤+， 又R A B ⊆，所以1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，解得112m ≤≤，即1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以实数m 的取值范围1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．已知()()()()()sin cos sin 23sin cos 2tan 2f παπαααπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若133f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求22cos cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】(1)()cos αα=f ； (2)59. 【分析】（1）利用诱导公式化简()f α即可.（2）由题设有1cos()33πα-=，又()326πππαα-=-+、2()33ππαπα+=--，再由诱导公式、同角三角函数的平方关系求目标式的值. (1)()()()()()sin cos sin cos (cos )(sin )2cos 3cos cos (tan )sin cos 2tan 2f παπαααααααπααααπαπα⎛⎫++- ⎪⋅-⋅-⎝⎭===-⋅⋅-⎛⎫--- ⎪⎝⎭. (2)由1cos()333f ππαα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，又1cos()cos[()]sin()32663ππππααα-=-+=+=，21cos cos[()]cos()3333πππαπαα⎛⎫+=--=--=- ⎪⎝⎭，π1cos 33α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭∴2225cos cos 1sin cos()63639ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19．已知函数()221f x ax x a =-++（R a ∈且0a ≠）.(1)若函数()f x 在区间0,1内为单调函数，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()()10f x a a x a >+>.【答案】(1)0a <或102a <≤；(2)1(,1)(,)a a-∞⋃++∞.【分析】（1）利用二次函数的性质，讨论对称轴与0,1的位置关系求a 的取值范围.（2）由题设可得1()(1)0a x a x a --->，判断1,1a a +的大小关系，由一元二次不等式的解法求解集即可. (1)由题设，二次函数()f x 的对称轴为12x a =且a ≠ 0， ∴要使()f x 在0,1内为单调函数，则102a <或112a≥，解得0a <或102a <≤. (2) 由题设，()2221()f x ax x a a a x =-++>+， ∴2221(1)1()(1)0ax a a x a a x a x a-++++=--->，由0a >，则12a a +≥=，当且仅当1a =时等号成立， ∴11a a +>，故解集为1(,1)(,)a a -∞⋃++∞. 20．已知函数()e e x x f x -=+.(1)证明：函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增；(2)若[]()1,1x t t ∈->-时，记函数()f x 的最大值为()g t ，求()g t .【答案】(1)证明见解析(2)1e e ,11()e e ,1t t t g t t --⎧+-<<=⎨+≥⎩【分析】（1）利用单调性的定义证明即可，（2）先判断函数为偶函数，则结合（1）可得()f x 在区间(),0∞-上单调递减，然后根据偶函数图象的对称性和函数的单调性可求出()f x 的最大值(1)任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()221121()()e e e e x x x x f x f x ---=+-+212111e e e ex x x x =-+- ()21211e e 1e ex x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()212121e e 1e e e ex x x x x x -=-， 因为120x x ≤<，所以21e e x x >，21e e 1x x >，所以21e e 0x x ->，2121e e 10e e x x x x -> 所以()212121e e 1e e 0e e x x x x x x -->，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，(2)因为()e e e e ()x x x x f x f x ---==++=，所以函数()f x 为偶函数，因为函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，所以当11t -<<时，1x =-时函数()f x 取得最大值，即1()(1)e e g t f -=-=+， 当1t ≥时，x t =时函数()f x 取得最大值，()()e e t t g t f t -==+，所以1e e ,11()e e ,1t t t g t t --⎧+-<<=⎨+≥⎩21．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为2m k ，二月底测得该水生植物的面积为224m ，三月底测得该水生植物的面积为240m ，该水生植物的面积y （单位：2m ）与时间x （单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的()0,1x y ka k a =>>；另一个是同学乙提出的()120,0y px k p k =+>>，记2021年元旦最初测量时间x 的值为0．(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】(1)甲同学提出的函数模型()0,1x y ka k a =>>满足要求，2165253x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ (2)池塘中该水生植物面积应该在6月起是去年元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上【分析】（1）根据水生植物面积的增长变化结合函数的增长变化快慢选择即可； （2）根据题意建立不等式，利用取对数的方法求解即可.(1)因为两个函数模型()0,1x y ka k a =>>，()120,0y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数．随着x 的增大，()0,1x y ka k a =>>的函数值增加的越来越快，而()120,0y px k p k =+>>的函数值增加的越来越慢．因为在池塘里该水生植物蔓延的速度是越来越快，即随着时间增加，该水生植物的面积增加的越来越快，所以，甲同学提出的函数模型()0,1x y ka k a =>>满足要求． 由题意知232440ka ka ⎧=⎨=⎩，解得，5321625a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以，2165253xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ (2) 一月底水深植物面积为1216521625315⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ 由21652161025315x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，解得5350log 3x > 又5350lg10111log 1111 5.553lg5lg31lg 2lg310.30100.4771lg 3=+=+=+≈+≈----- 故6x ≥．所以，池塘中该水生植物面积应该在6月起是去年元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．22．已知函数()()()3log 31R x f x kx k =++∈为偶函数. (1)求实数k 的值；(2)若方程()()()31log 3R 2x f x x a a a =+⋅-∈有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)12k =-；(2){3(0,)--⋃+∞.【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.（2）由题设可得(31)0x a ->，23(1)310x x a a ⋅-+-=有且仅有一个实数根，讨论0a >、0a <，结合指数函数、二次函数的性质求参数范围.(1)由题设，()()f x f x -=，即33log (31)log (31)x x kx kx --++=++，∴32log 3x kx x -==-，可得21k =-，则12k =-. (2) 由题设，()33log (31)log 322x x x x a a -++=+⋅-，则33log (31)log (31)x x x a +=+-， ∴(31)0x a ->，且2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-，整理得23(1)310x x a a ⋅-+-=， 令3x t =，则2()(1)1g t at a t =-+-有且仅有一个零点，(0)10g =-<，(1)20g =-<， 当0a >时，0x >， 此时，(1,)t ∈+∞且()g t 开口向上，∴()g t 在(1,)+∞上有且仅有一个零点；当0a <时，0x <，此时，(0,1)t ∈且()g t 开口向下且对称轴11(1)2x a=+，∴1012a<+<，即1a <-时，仅当22(1)4610a a a a ∆=++=++=，可得3a =--符合条件；110a+<，即10a -<<时，()g t 在(0,1)上无零点.综上，{3(0,)a ∈--⋃+∞.【点睛】关键点点睛：第二问，注意(31)0x a ->，讨论0a >、0a <对应定义域区间不同，另外结合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.。
【数学】北京市西城区2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)
北京市西城区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}，那么A∪B＝（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，1）C．（﹣2，+∞）D．（1，+∞）2．方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B．{（1，1），（﹣1，1）}C．{（1，﹣1），（﹣1，﹣1）}D．∅3．函数的定义域是（）A．[1，2）B．[1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[1，2）∪（2，+∞）4．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[25，35）内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（）A．0.38B．0.61C．0.122D．0.755．若a＞b，c＞d＞0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bdC．D．以上答案都不对6．已知向量，，那么＝（）A．5B．C．8D．7．若2a＝3，则log43＝（）A．B．a C．2a D．4a8．设，为平面向量，则“存在实数λ，使得”是“向量，共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设f（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，则不等式f（x+1）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）10．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若AB＝2，则|+|的取值范围是（）A．[1，3]B．[，3]C．[3，]D．[，]二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∀x＞0，2x＞0”的否定是．12．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲、乙的平均成绩分别为a，b，则a，b的大小关系是．13．若不等式x2+ax+b＞0的解集为，则a＝，b＝．14．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量，，则向量＝．（用，表示）15．设函数f（x）的定义域为D，若存在实数T（T＞0），使得对于任意x∈D，都有f（x）＜f（x+T），则称f（x）为“T﹣单调增函数”．对于“T﹣单调增函数”，有以下四个结论：①“T﹣单调增函数”f（x）一定在D上单调递增；②“T﹣单调增函数”f（x）一定是“nT﹣单调增函数”（其中x∈N*，且n≥2）：③函数f（x）＝[x]是“T﹣单调增函数”（其中[x]表示不大于x的最大整数）；④函数不是“T﹣单调增函数”．其中，所有正确的结论序号是．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．（Ⅰ）求丙答题正确的概率；（Ⅱ）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．17．（15分）设f（x）＝x2﹣ax+3，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图像与直线y＝3x交点的坐标；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，0）上不具有单调性，求a的取值范围．18．（14分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲6699乙79x y（Ⅰ）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；（Ⅱ）设x＝6，y＝10，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求a≥b的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）19．（15分）已知函数．（Ⅰ）若f（a）＝1，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（x）≥m对于x∈[3，+∞）恒成立，求实数m的范围．20．（13分）某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（n∈N*，单位：年）之间的函数关系式为e＝2n2+10n，该船每年捕捞的总收入为50万元．（Ⅰ）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？（Ⅱ）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？21．（15分）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A，且u≠v}为集合A的生成集．（Ⅰ）当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B；（Ⅱ）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（Ⅲ）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．【参考答案】一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．C【解析】∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∪B＝{x|x＞﹣2}．故选：C．2．A【解析】由x+y＝0，得x＝﹣y，代入x2+y2＝2，得2y2＝2，解得y＝±1，故y＝1时，x＝﹣1，y＝﹣1时，x＝1，故方程组的解集是{（1，﹣1），（﹣1，1）}，故选：A．3．B【解析】要使原函数有意义，则，解得x≥1．∴函数的定义域是[1，+∞）．故选：B．4．B【解析】∵质量指标值在[25，35）内的产品为一等品，∴该企业生产的产品为一等品的概率约为（0.08+0.042）×5＝0.61．故选：B．5．D【解析】对于A，令a＝﹣2，b＝﹣3，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但ac＜bd，故A 错误，对于B，令a＝3，b＝2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但ac＞bd，故B错误，对于C，令a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但，故C错误．故选：D．6．B【解析】向量，，那么＝|（5，﹣5）|＝＝5．故选：B．7．A【解析】由题意得，log23＝a，所以log43＝log23＝a，故选：A．8．A【解析】设，为平面向量，则当时，向量，共线，当向量，（，）共线，则不存在实数使，故“存在实数λ，使得”是“向量，共线”的充分不必要条件；故选：A．9．D【解析】∵f（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增且f（﹣1）＝0，则f（x）的图象如图：则f（x）＜0的解为0＜x＜1或x＜﹣1，由0＜x+1＜1或x+1＜﹣1，得﹣1＜x＜0或x＜﹣2，即f（x+1）＜0的解集（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0），故选：D．10．D【解析】由题意知，△ABC为等腰直角三角形，其中AC＝BC＝，设＝λ，λ∈[0，1]，则+＝+（﹣）＝+（﹣λ）＝+（1﹣λ），所以|+|2＝[+（1﹣λ）]2＝+（1﹣λ）22+2（1﹣λ）•＝2+4（1﹣λ）2+2（1﹣λ）••2•cos45°＝4λ2﹣12λ+10＝4（λ﹣）2+1，在λ∈[0，1]上单调递减，故当λ＝0时，|+|2取得最大值，为10，当λ＝1时，|+|2取得最小值，为2，所以|+|的取值范围为[，]．故选：D．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．∃x∈R，2x≤0【解析】命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈R，2x≤0．故答案为：∃x∈R，2x≤0．12．a＞b【解析】由表格数据可得，，b＝，故a＞b．故答案为：a＞b．13．﹣；1【解析】因为不等式x2+ax+b＞0的解集为，所以和2是方程x2+ax+b＝0的实数解，由根与系数的关系，知，解得a＝﹣，b＝1．故答案为：﹣；1．14．【解析】在正六边形ABCDEF中，，且，则＝﹣2＝＝，故答案为：．15．②③④【解析】①例如f（x）＝，定义域为R，存在T＝2，对于任意x∈R，都有f（x）＜f（x+2），但f（x）在R上不单调递增，①错误；②因为f（x）是T﹣单调增函数，所以存在T＞0，使得对于任意x∈D，都有f（x）＜f（x+T），因为n≥2，T＞0，所以f（x+T）＜f（x+nT），故f（x）＜f（x+nT），即存在实数nT＞0，使得对于任意x∈D，都有f（x）＜f（x+nT），故f（x）是nT﹣单调增函数，②正确；③f（x）＝[x]，定义域为R，当T＝1时，对任意的x∈R，都有[x]＜[x+1]，即f（x）＜f（x+1）成立，所以f（x）＝[x]是T﹣单调增函数，③正确；④当x＝﹣时，f（﹣）＝﹣+1＝，若T＝1＞0，则f（x+T）＝f（﹣+1）＝f（）＝lg＜0，显然不满足f（x）＜f（x+T），故函数不是“T﹣单调增函数”，④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，设丙答对题的概率为x，乙答对题的概率为P（B）＝1﹣＝，∵每人回答问题正确与否相互独立，∴事件A，B，C是相互独立事件，根据相互独立事件概率乘法公式得P（BC）＝P（B）P（C）＝，解得x＝，∴丙答题正确的概率为；（Ⅱ）甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为：P（）＝P（）P（B）P（）＝（1﹣）×（1﹣）＝．17．解：（I）当a＝1时，f（x）＝x2﹣x+3，联立方程，解得或，故焦点坐标为（1，3）和（3，9）．（II）函数f（x）有两个不相等的正数零点，设方程x2﹣ax+3＝0有两个不等的正实根x1，x2，即，解得，故a的取值范围为（2，+∞）．（III）函数f（x）＝x2﹣ax+3在上单调递增，在上单调递减，∵函数f（x）在（﹣∞，0）上不具有单调性，∴0，解得a＜0，故a的取值范围为（﹣∞，0）．18．解：（Ⅰ）由题意得＞，整理得x+y＞14，根据题意得0≤y≤10，∴4＜x≤10，∴乙的平均得分高于甲的平均得分时，x的最小值为5；（Ⅱ）设x＝6，y＝10，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，设事件M表示“a≥b”，记甲的4局比赛为m，n，c，d，各局得分为6，6，9，9，乙的4局比赛为A，B，C，D，各局得分为7，9，6，10，从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有的可能的结果有16种，分别为：（m，A），（m，B），（m，C），（m，D），（n，A），（n，B），（n，C），（n，D），（c，A），（c，B），（c，C），（c，D），（d，A），（d，B），（d，C），（d，D），事件M包含的基本事件有8种，分别为：（m，C），（n，C），（c，A），（c，B），（c，C），（d，A），（d，B），（d，C），∴a≥b的概率P（M）＝＝；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，x的所有可能取值为6，7，8．19．解：（Ⅰ）若f（a）＝1，得log2＝1，即＝2，得a﹣1＝2a+2，得a＝﹣3；（Ⅱ）由＞0，得x＞1或x＜﹣1，定义域关于原点对称，则f（﹣x）+f（x）＝log2+log2＝log2（•）＝log21＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．（Ⅲ）＝＝1﹣，设t＝，则y＝log2t为增函数，t＝1﹣在[3，+∞）为增函数，∴f（x）在x∈[3，+∞）为增函数，要使f（x）≥m对于x∈[3，+∞）恒成立，则使f（x）min≥m，∵f（x）min＝f（3）＝log2＝log2＝﹣1，∴m≤﹣1，则求实数m的范围是（﹣∞，﹣1]．20．解：（I）由题意可得，渔船捕捞的利润y＝50n﹣e﹣98＝﹣2n2+40n﹣98＞0，解得10＜n＜10+，∵n∈N*，且，∴该渔船捕捞3年开始盈利．（II）由题意可得，平均盈利额m＝≤，当且仅当，即n＝7时，等号成立，故在第7年平均盈利额达到最大，总收益为7×12+30＝114万元．21．解：（Ⅰ）∵A＝{2，3，5}，∴B＝{6，10，15}，（Ⅱ）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，因为a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，所以B中元素个数大于等于7个，又A＝{21，22，23，24，25}，B＝{23，24，25，26，27，28，29}，此时B中元素个数大于等于7个，所以生成集B中元素个数的最小值为7．（Ⅲ）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，不妨设0＜a＜b＜c＜d，则集合A的生成集B＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，则必有ab＝2，cd＝16，其4个正实数的乘积abcd＝32；也有ac＝3，bd＝10，其4个正实数的乘积ahcd＝30，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021—2022学年第一学期质量检测高一年级数学试题班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或36. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或47. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD. sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 1812. 设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数， 则实数a 的取值范围为________．16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.17. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若A B A =，求a 的取值范围．19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)πααπαππα⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-的值.20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1xf x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值.23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2.（Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由.24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式： （2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B2. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）【答案】C3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者 【答案】A4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位【答案】B5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或3【答案】A6. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或4【答案】C7. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)【答案】B8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)【答案】C11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C12. 设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________． 【答案】15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]2∞－， 16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－231617. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．【答案】24:25三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若AB A =，求a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2- （2）()(),45,-∞-+∞19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)ααπαππα-- ⎪⎝⎭+-的值. 【答案】（1）35；（2）54-. 20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1x f x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．【答案】（1）22,[0,1]1(),[1,0)1x x x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩（2）单调减函数，证明见解析21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()283,05257,5x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩（2）4万件22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值. 【答案】（1）答案见解析，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最大值2；最小值2-. 23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2. （Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12k =（2）0a ≤（3）518m =- 24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。