随机过程读书笔记

随机过程读书笔记

《应用随机过程》读书笔记

早期的概率论和分析是两个截然不同的领域.1933年，Kolmogorov建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分析问题.于是上世纪40到50年代间，随机分析学迅速发展成为一门新的学科，被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越来越广泛，紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的分支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于点过程、估计理论等理论分支。

在放假期间，我看了《应用随机过程》第六章---鞅的内容。鞅是一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平竞争的思想，也就是在竞争中付出与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握，可以细致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本概念及其相关性质。

一定义1 随机过程Xn,n0称为关于Yn,n0的下鞅，如

果对

n0,Xn时(Y0,,Yn)的函数，EXn，并且E(Xn1|Y0,,Yn)Xn，这里

如果对Xnmax0,Xn。我们称过程Xn,n0为关于Yn,n0的上鞅，n0,Xn是(Y0,,Yn)的函数，EXn，并且E(Xn1|Y0,,Yn)Xn，这里

Xnmax0,Xn。若Xn,n0兼为关于Yn,n0的下鞅与上鞅，则称

之为关于Yn,n0的鞅。

根据鞅的定义，我们可以直接推出以下命题：

适应列Xn,Fn,n0是下鞅当且仅当Xn,Fn,n0是上鞅。如果Xn,Fn，Yn,Fn是两个下鞅，a，b是两个正常数，则aXnbYn,Fn是下鞅。

如果Xn,Fn，Yn,Fn是两个下鞅，则

。 max(Xn,Yn),Fn或min(Xn,Yn),Fn是下鞅

下面以一个例子加以说明：考虑一个公平博弈的问题，设X1,X2独立同分布，分布函数为PXi1PXi1，于是，可以将Xi(i1,2,)看做一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元。

12出现反面就输1元。假设我们按以下的规则来赌博，每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停。令Wn表示第n次赌博后所输的总钱数，W00，无论如

何，只要赢了就停止赌博，从而Wn从赢了之后起就不再变化，于是有PWn11|Wn11。假设前n次投出的硬币都出现了反面，按照规定，我们已经输了

1242n12n1，即Wn(2n1)，假如下一次硬币出现的

是正面，按规定Wn12n(2n1)1，公平的前提知道

PWn11|Wn(2n1)11，PWn12n2n1|Wn(2n1)，易证22E(Wn1|Fn)Wn，这里Fn(X1,,Xn)，从而Wn是关于Fn的鞅。

二鞅的停时定理

1 设Xn,n0是一随机变量序列，称随机函数T是关于Xn,n0的停时，如果T在0,1,2,,中取值，而且对每个n0。

Tn(X0,X1,,Xn)。

2 设M0,M1,M2,是一个关于Fn(X0,X1,,Xn)的鞅，T是停时且满足：

PT1; E(MT)；

E(MnITn)0； limn则有 EMTEM0

1939 年法国概率学家 Lévy 第一次提出鞅，并作了理论的奠基工作。随着对brown运动的随机积分理论的发展，30年代末至50年代初，Levy和美国概率学家Doob就创立了鞅论，并且Doob将其发扬光大.1953年，Doob在其名著Stochastic Processes中首次系统地介绍了鞅论及其应用成果，这部历史性专著促使鞅成为随机过程理论的一个独立分支.突飞猛进的研究成果使其在理论和应用上的重要性也日

益凸显.

Doob极大不等式

定理设Z0,Z1,,Zn是一个鞅，MnmaxZ0,,Zn。对0，PMnE(ZnIM1)nE(Zn)；

如果E(Zn2)，则对0。

PMn12E(ZIMn)2n2E(Zn)2。

并且E(Mn2)4E(Zn2)

三一致可积性

定义 1 假设有一列随机变量X1,X2,,称它们是一直可积的，如果对0，存在0，使得对任意A，当P(A)时，E(XnIA)对

n成立。

因为一致可积的条件比较难验证，下面给出两个一致可积的充分条件。

1 假设X1,X2,是一列随机变量，并且存在常数C，使得

2E(Xn)C对所有的n成立，则此序列是一致可积的。

2 设Mn是关于Fn的鞅。如果存在一个非负随机变量Y，满足

E(Y),且MnY，对n成立，则Mn是一致可积鞅。

四鞅收敛定理

定理设M0,M1,是关于X0,X1,的鞅，并且存在常数C使得E(Mn)C对任意n成立，则当n时，Mn收敛到一个随机变

量M

根据上面的定理，我们可以得出以下结论：如果Mn是关于

X0,X1,的一致可积鞅，则limMn存在，记为M，并且EMEM0.

n五生活举例

1 设Xn是一个赌徒n 次抛掷公平硬币后的财产，如果硬币正面朝上，则赌徒赢得1美元，硬币反面朝上，则赌徒输掉1美元。已知历史上所拥有的财产，且下一次试验后赌徒财产的条件期望与其现在的财产相等，故这一随机过程是鞅。这个例子称为赌徒谬误。令Yn = Xn

2 n ，其中Xn 是上例中赌徒的财产，则随机过

程{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是鞅。这一例子可以表明赌徒的全部收益或损失大致在抛掷次数的正负平方根之间变化。设抛掷的是有偏硬币，正面向上的概率为p ，反面向上的概率为q = 1 p 。令

正面情况用“+”，反面情况用。令

则{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是关於{ Xn : n = 1, 2, 3, ... }的鞅。证明如下：

服从正态分布

2一个罐子中最初装有r 个红球和b 个蓝球。某人随机取出一个球，然后将此球与另一个与此球颜色相同的球放回罐子中。令Xn为重复上述步骤n 次后罐子中的红球数，令

Yn = Xn/ (n + r + b)。这时随机过程{ Yn: n = 1, 2, 3, ... }是鞅。

3 某一总体可能是按照概率密度f 分布，也可能是按照概率密度g 分布。从总体中取出一个随机样本，数据为X1, ..., Xn 。令Yn为“似然比”：

若总体实际上是

按照概率密度f 而不是g 分布，则{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是关于{ Xn : n = 1, 2, 3, ... }的鞅。

4 设每一变形虫不是以概率p 分裂成两个变形虫，就是以概率1 p 最终死亡。令Xn为n 代后变形虫的存活数目。令r 为最终灭绝的概率。则

是关于{ Xn: n = 1, 2, 3, ... }的鞅。

当前靴论及随机积分理论己广泛应用于金融系统、随机微分方程、估计理论、随扫L控制等领域.随着靴论的迅速发展。如今它已成为各种较有深度的概率论及其相应著作的一个标准组成部分，所以对教论的进一步研究是非常必要也是有重要意义的.近年来.对鞅论在理论研究方面已取得了一定成果，但还远远不够，它的发展还处在初级阶段.现在我们考虑的靴论基本上是一个过程下的靴，这是不受外界干扰的一种理想状况.因此考虑多个过程下的不确定因素，才能更贴切、更准确地解决实际问题

《应用随机过程》读书笔记

早期的概率论和分析是两个截然不同的领域.1933年，Kolmogorov建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分析问题.于是上世纪40到50年代间，随机分析学迅速发展成为一门新的学科，被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越来越广泛，紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的分支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于点过程、估计理论等理论分支。

在放假期间，我看了《应用随机过程》第六章---鞅的内容。鞅是一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平竞争的思想，也就是在竞争中付出与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握，可以细致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本概念及其相关性质。

一定义1 随机过程Xn,n0称为关于Yn,n0的下鞅，如果对

n0,Xn时(Y0,,Yn)的函数，EXn，并且E(Xn1|Y0,,Yn)Xn，这里

如果对Xnmax0,Xn。我们称过程Xn,n0为关于Yn,n0的上鞅，n0,Xn是(Y0,,Yn)的函数，EXn，并且E(Xn1|Y0,,Yn)Xn，这里

Xnmax0,Xn。若Xn,n0兼为关于Yn,n0的下鞅与上鞅，则称

之为关于Yn,n0的鞅。

根据鞅的定义，我们可以直接推出以下命题：

适应列Xn,Fn,n0是下鞅当且仅当Xn,Fn,n0是上鞅。如果Xn,Fn，Yn,Fn是两个下鞅，a，b是两个正常数，则aXnbYn,Fn是下鞅。

如果Xn,Fn，Yn,Fn是两个下鞅，则

。 max(Xn,Yn),Fn或min(Xn,Yn),Fn是下鞅

下面以一个例子加以说明：考虑一个公平博弈的问题，设X1,X2独立同分布，分布函数为PXi1PXi1，于是，可以将Xi(i1,2,)看做一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元。

12出现反面就输1元。假设我们按以下的规则来赌博，每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停。令Wn表示第n次赌博后所输的总钱数，W00，无论如何，只要赢了就停止赌博，从而Wn从赢了之后起就不再变化，于是有PWn11|Wn11。假设前n次投出的硬币都出现了反面，按照规定，我们已经输了

1242n12n1，即Wn(2n1)，假如下一次硬币出现的

是正面，按规定Wn12n(2n1)1，公平的前提知道

PWn11|Wn(2n1)11，PWn12n2n1|Wn(2n1)，易证22E(Wn1|Fn)Wn，这里Fn(X1,,Xn)，从而Wn是关于Fn的鞅。

二鞅的停时定理

1 设Xn,n0是一随机变量序列，称随机函数T是关于Xn,n0的停时，如果T在0,1,2,,中取值，而且对每个n0。

Tn(X0,X1,,Xn)。

2 设M0,M1,M2,是一个关于Fn(X0,X1,,Xn)的鞅，T是停时且满足：

PT1; E(MT)；

E(MnITn)0； limn则有 EMTEM0

1939 年法国概率学家 Lévy 第一次提出鞅，并作了理论的奠基工作。随着对brown运动的随机积分理论的发展，30年代末至50年代初，Levy和美国概率学家Doob就创立了鞅论，并且Doob将其发扬光大.1953年，Doob在其名著Stochastic Processes中首次系统地介绍了鞅论及其应用成果，这部历史性专著促使鞅成为随机过程理论的一个独立分支.突飞猛进的研究成果使其在理论和应用上的重要性也日益凸显.

Doob极大不等式

定理设Z0,Z1,,Zn是一个鞅，MnmaxZ0,,Zn。对0，

PMnE(ZnIM1)nE(Zn)；

如果E(Zn2)，则对0。

PMn12E(ZIMn)2n2E(Zn)2。

并且E(Mn2)4E(Zn2)

三一致可积性

定义 1 假设有一列随机变量X1,X2,,称它们是一直可积的，如果对0，存在0，使得对任意A，当P(A)时，E(XnIA)对

n成立。

因为一致可积的条件比较难验证，下面给出两个一致可积的充分条件。

1 假设X1,X2,是一列随机变量，并且存在常数C，使得

2E(Xn)C对所有的n成立，则此序列是一致可积的。

2 设Mn是关于Fn的鞅。如果存在一个非负随机变量Y，满足

E(Y),且MnY，对n成立，则Mn是一致可积鞅。

四鞅收敛定理

定理设M0,M1,是关于X0,X1,的鞅，并且存在常数C使得E(Mn)C对任意n成立，则当n时，Mn收敛到一个随机变量M

根据上面的定理，我们可以得出以下结论：如果Mn是关于

X0,X1,的一致可积鞅，则limMn存在，记为M，并且EMEM0.

n五生活举例

1 设Xn是一个赌徒n 次抛掷公平硬币后的财产，如果硬币正面朝上，则赌徒赢得1美元，硬币反面朝上，则赌徒输掉1美元。已知历史上所拥有的财产，且下一次试验后赌徒财产的条件期望与其现在的财产相等，故这一随机过程是鞅。这个例子称为赌徒谬误。令Yn = Xn

2 n ，其中Xn 是上例中赌徒的财产，则随机过

程{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是鞅。这一例子可以表明赌徒的全部收益或损失大致在抛掷次数的正负平方根之间变化。设抛掷的是有偏硬币，正面向上的概率为p ，反面向上的概率为q = 1 p 。令

正面情况用“+”，反面情况用。令

则{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是关於{ Xn : n = 1, 2, 3, ... }的鞅。证明如下：

服从正态分布

2一个罐子中最初装有r 个红球和b 个蓝球。某人随机取出一个球，然后将此球与另一个与此球颜色相同的球放回罐子中。令Xn为重复上述步骤n 次后罐子中的红球数，令Yn = Xn/ (n + r + b)。这时随机过程{ Yn: n = 1, 2, 3, ... }是鞅。

3 某一总体可能是按照概率密度f 分布，也可能是按照

概率密度g 分布。从总体中取出一个随机样本，数据为X1, ..., Xn 。令Yn为“似然比”：

若总体实际上是

按照概率密度f 而不是g 分布，则{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是关于{ Xn : n = 1, 2, 3, ... }的鞅。

4 设每一变形虫不是以概率p 分裂成两个变形虫，就是以概率1 p 最终死亡。令Xn为n 代后变形虫的存活数目。令r 为最终灭绝的概率。则

是关于{ Xn: n = 1, 2, 3, ... }的鞅。

当前靴论及随机积分理论己广泛应用于金融系统、随机微分方程、估计理论、随扫L控制等领域.随着靴论的迅速发展。如今它已成为各种较有深度的概率论及其相应著作的一个标准组成部分，所以对教论的进一步研究是非常必要也是有重要意义的.近年来.对鞅论在理论研究方面已取得了一定成果，但还远远不够，它的发展还处在初级阶段.现在我们考虑的靴论基本上是一个过程下的靴，这是不受外界干扰的一种理想状况.因此考虑多个过程下的不确定因素，才能更贴切、更准确地解决实际问题