高考数学试题分类汇编——函数填空doc

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高考数学真题专题分类汇编专题三函数(学生版)

专题三函数真题卷题号考点考向2023新课标1卷4函数的基本性质复合函数的单调性、已知函数单调性求参10 对数运算、对数函数对数运算、对数函数解决实际问题 11函数的基本性质、函数的极值抽象函数的奇偶性、求抽象函数的函数值、极值点定义2023新课标2卷 4 函数的基本性质利用奇偶性求参 2022新高考1卷 12 函数的基本性质对称性、周期性的综合应用 2022新高考2卷 8 函数的基本性质奇偶性、周期性的综合应用2021新高考1卷13 函数的基本性质利用奇偶性求参2021新高考2卷7比较大小利用对数函数的单调性比较大小 8 函数的基本性质奇偶性、周期性的综合应用 14 函数的基本性质基本初等函数的性质 2020新高考1卷6指数运算、对数运算指数、对数运算解决实际问题8 函数的基本性质单调性、奇偶性的综合应用 2020新高考2卷7函数的单调性与最值利用单调性求参数的取值范围 8 函数的基本性质单调性、奇偶性的综合应用 12对数函数新定义问题、对数运算、对数函数的性质、不等式的性质【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷第4题）设函数()()2x x a f x −=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是( )A. (,2]−∞−B. [2,0)−C. (0,2]D. [2,)+∞2.（2023·新课标II 卷第4题）若21()()ln 21x f x x a x −=++为偶函数，则a =( ) A. 1−B. 0C.12D. 13.（2023·新课标I 卷第10题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg ppL p =×，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车 10 60~90混合动力汽车 10 50~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则( )A. 12p p …B. 2310p p >C. 30100p p =D. 12100p p …4. （2023·新课标I 卷第11题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则( ) A. (0)0f = B. (1)0f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第12题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域为R ，记()().g x f x =′若3(2)2f x −，(2)g x +均为偶函数，则( )A. (0)0f =B. 1()02g −=C. (1)(4)f f −=D. (1)(2)g g −=6.（2022·新高考II 卷第8题）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++−=，(1)1f =，则221()k f k ==∑( )A. 3−B. 2−C. 0D. 1【2021年真题】7.（2021·新高考I 卷第13题）已知函数3()(22)x x f x x a −=⋅−是偶函数，则a =__________. 8.（2021·新高考II 卷第7题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是( ) A. c b a <<B. b a c <<C. a c b <<D. a b c <<9.（2021·新高考II 卷第8题）设函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则 ( ) A. 102f−=B. (1)0f −=C. (2)0f =D. (4)0f =10.（2021·新高考II 卷第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x ：_________. ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x ′>；③()f x ′是奇函数．【2020年真题】11.（2020·新高考I 卷第6题）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间(t 单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与0R ，T 近似满足01.R rT =+有学者基于已有数据估计出0 3.28R =， 6.T =据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)≈( ) A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天12.（2020·新高考I 卷、II 卷第8题）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)−∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x −…的x 的取值范围是( ) A. [1,1][3,)−∪+∞ B. [3,1][0,1]−−∪ C. [1,0][1,)−∪+∞D. [1,0][1,3]−∪13.（2020·新高考II 卷第7题）已知函数2()lg(45)f x x x =−−在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是( ) A. (2,)+∞ B. [2,)+∞ C. (5,)+∞ D . [5,)+∞14.（2020·新高考I 卷第12题）（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，，n ，且()0(1,2,,)i P X i p i n ==>= ，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵21()logniii H X p p ==−∑( )A. 若1n =，则()0H x =B. 若2n =，则()H x 随着1p 的增大而增大C. 若i p =1n(1,2,i =，)n ，则()H x 随着n 的增大而增大 D. 若2n m =，随机变量Y 的所有可能取值为1，2，，m ，且()P Y j ==j p +21j m p +−(1,2,j = ，)m ，则()H X ()H Y【答案解析】1.（2023·新课标I 卷第4题）解：结合复合函数单调性的性质，易得12a…，所以a 的取值范围是[2,);+∞故选.D 2.（2023·新课标II 卷第4题）解：()f x 为偶函数，(1)(1)f f =−，1(1)ln (1)ln 33a a ∴+=−+，0a ∴=，故选.B3.（2023·新课标I 卷第10题）（多选）解：1211200220lg 20lg 20lg 0p p p L L p p p −=×−×=×> ，121pp ∴>，12p p ∴>，所以A 正确; 223320lg 10p L L p −=× …，231lg 2p p ∴…，1223p e p ∴…，所以B 错误;33020lg40p L p =×= ，30100p p ∴=，所以C 正确; 112220lg 905040p L L p −=×−= ...，12lg 2p p ∴ (12100)p ∴…，所以D 正确．故选ACD4. （2023·新课标I 卷第11题）（多选）解：选项A ，令0xy ==，则(0)0(0)0(0)f f f =×+×，则(0)0f =，故A 正确; 选项B ，令1xy ==，则(1)1(1)1(1)f f f =×+×，则(1)0f =，故B 正确; 选项C ，令1x y ==−，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =−×−+−×−，则(1)0f −=，再令1y =−，则22()(1)()(1)f x f x x f −=−+−，即()()f x f x −=，故C 正确; 选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+，而常函数没有极值点，故D 错误. 故选：.ABC5.（2022·新高考I 卷第12题）（多选）解：由3(2)2f x −为偶函数可知()f x 关于直线32x =对称，由(2)g x +为偶函数可知()g x 关于直线2x =对称，结合()()g x f x =′，根据()g x 关于直线2x =对称可知()f x 关于点(2,)t 对称，根据()f x 关于直线32x =对称可知：()g x 关于点3(,0)2对称，综上，函数()f x 与()g x 均是周期为2的周期函数，所以有(0)(2)f f t ==，所以A 不正确;(1)(1)f f −=，(4)(2)f f =，(1)(2)f f =，故(1)(4)f f −=，所以C 正确.13()()022g g −==，(1)(1)g g −=，所以B 正确; 又(1)(2)0g g +=，所以(1)(2)0g g −+=，所以D 不正确. 6.（2022·新高考II 卷第8题）解：令1y =得(1)(1)()(1)()(1)()(1)f x f x f x f f x f x f x f x ++−=⋅=⇒+=−−故(2)(1)()f x f x f x +=+−，(3)(2)(1)f x f x f x +=+−+，消去(2)f x +和(1)f x +得到(3)()f x f x +=−，故()f x 周期为6; 令1x =，0y =得(1)(1)(1)(0)(0)2f f f f f +=⋅⇒=，(2)(1)(0)121f f f =−=−=−， (3)(2)(1)112f f f =−=−−=−， (4)(3)(2)2(1)1f f f =−=−−−=−， (5)(4)(3)1(2)1f f f =−=−−−=， (6)(5)(4)1(1)2f f f =−=−−=，故221()3[(1)(2)(6)](19)(20)(21)(22)k f k f f f f f f f ==+++++++∑(1)(2)(3)(4)1(1)(2)(1)3f f f f =+++=+−+−+−=−即7.（2021·新高考I 卷第13题）解：函数3()(22)x x f x x a −=⋅−是偶函数；33()(22)=()()(22)x x x x f x x a f x x a −−∴=⋅−−=−⋅−，化简可得3(2222)0x x x x x a a −−⋅−+⋅−=，解得1a =，故答案为1.8.（2021·新高考II 卷第7题）解：55881log 2log log log 32a b =<==<=，即.a c b << 故选.C9.（2021·新高考II 卷第8题）解：因为函数为偶函数，则()()22f x f x +=−，可得()()31f x f x +=−，因为函数为奇函数，则()()1221f x f x −=−+，所以()()11f x f x −=−+，所以，(3)(1)f x f x +=−+，即(4)(2)()f x f x f x +=−+=，故函数是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f −=−=，其它三个选项未知. 故选.B10.（2021·新高考II 卷第14题）解：取2()f x x =，则22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===，满足①， ()2f x x ′=，0x >时有，满足②， ()2f x x ′=的定义域为R ，又()2()f x x f x ′′−=−=−，故是奇函数，满足③.故答案为：2()(f x x =答案不唯一，()()2*nf x xn N =∈均满足)11.（2020·新高考I 卷第6题）解：将0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，得01 3.2810.386R rT −−==，由()0.38tI t e=得()()ln 0.38I t t =，当增加1倍时，，所需时间为(2)f x +(21)f x +()f x ()0f x ′>故选.B12.（2020·新高考I 卷、II 卷第8题）解：根据题意，不等式(1)0xf x −…可化为()010x f x ≥ −≥ 或()010x f x ≤ −≤，由奇函数性质得(2)-(2)0f f −==，()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以或，解得13x 剟或10.x −剟满足(1)0xf x −…的x 的取值范围是[1,0][1,3].x ∈−∪ 故选.D13.（2020·新高考II 卷第7题）解：由2450x x −−>，得1x <−或 5.x > 令245t x x =−−，外层函数lg y t =是其定义域内的增函数，∴要使函数2()lg(45)f x x x =−−在(,)a +∞上单调递增，则需内层函数245t x x =−−在(,)a +∞上单调递增且恒大于0，则(,)(5,)a +∞⊆+∞，即 5.a …a ∴的取值范围是[5,).+∞故选：.D14.（2020·新高考I 卷第12题）（多选）解：A 选项中，由题意知11p =，此时2()1log 10H X =−×=，故A 正确；B 选项中，由题意知121p p +=，且1(0,1)p ∈， 121222121121()log log log (1)log (1)H X p p p p p p p p =−−=−−−−，设22()log (1)log (1)f x x x x x =−−−−，(0,1)x ∈ ，则222111()log log (1)log (1)ln 2ln 2f x x x x′=−−+−+=−，当1(,1)2x ∈时，()0f x ′<，当1(0,)2x ∈时，()0f x ′>，故当11(0,)2p ∈ 时，()H X 随着1p 的增大而增大，当11(,1)2p ∈ 时，()H X 随着1p 的增大而减小，故B 错误；C 选项中，由题意知2211()()log H X n log n n n=×−=，故()H X 随着n 的增大而增大，故C 正确；D 选项中，由题意知j 21j 2j 21j j 1()()log ()mm m H Y p p p p +−+−==−++∑， 2j 2j j 2j 21j 221j j 1j 1()log (log log )m mm m H X p p p p p p +−+−===−=−+∑∑，j 21jj 21j2j 21j2j 221jj 1j 1()()log()(log log )m m mmp p pp m m H X H Y p p p p +−+−++−+−==−=+−+∑∑j 21jj 21jj 21jj21jj 21j j 21j j 21j 22j 1j 1j 21jj 21j()()()=log log m m m m p p pp mmm m m p p p p m m p p p p p p p pp p +−+−+−+−++−+−+−=+−+−+++=∑∑j 21j21j j 2j 1j21j=log (1)(1)0,m mpp m m p p p p +−+−=+−++>∑故D 错误. 故答案为： .AC。

2024年高考数学真题分类汇编09：函数与导数(含详细答案解析)

函数与导数一、单选题1.(2024·全国)已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x+ln (x +1),x ≥0，在R 上单调递增，则a 取值的范围是()A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)2.(2024·全国)已知函数为f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x -1)+f (x -2)，且当x <3时f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是()A.f (10)>100B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<100003.(2024·全国)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24.(2024·全国)设函数f (x )=(x +a )ln (x +b )，若f (x )≥0，则a 2+b 2的最小值为()A.18B.14C.12D.15.(2024·全国)曲线f x =x 6+3x -1在0,-1 处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-326.(2024·全国)函数f x =-x 2+e x -e -x sin x 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为()A. B.C. D.7.(2024·全国)设函数f x =e x +2sin x1+x 2，则曲线y =f x 在0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.238.(2024·北京)已知x 1,y 1 ，x 2,y 2 是函数y =2x图象上不同的两点，则下列正确的是()A.log 2y 1+y 22>x 1+x22 B.log 2y 1+y 22<x 1+x22C.log 2y 1+y 22>x 1+x 2D.log 2y 1+y 22<x 1+x 29.(2024·天津)下列函数是偶函数的是()A.y=e x-x2x2+1B.y=cos x+x2x2+1C.y=e x-xx+1D.y=sin x+4xe|x|10.(2024·天津)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a11.(2024·上海)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x+cos xB.sin x cos xC.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x12.(2024·上海)已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M=x0x0∈R,x∈-∞,x0,f x <f x0，在使得M =-1,1的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x=2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x=-1处取到极小值二、多选题13.(2024·全国)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f x2C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)14.(2024·全国)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当a>1时，f(x)有三个零点B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a，使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题15.(2024·全国)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.16.(2024·全国)已知a>1，1log8a -1log a4=-52，则a=．17.(2024·全国)曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为．18.(2024·天津)若函数f x =2x2-ax-ax-2+1有唯一零点，则a的取值范围为．19.(2024·上海)已知f x =x,x>01,x≤0,则f3 =．四、解答题20.(2024·全国)已知函数f(x)=ln x2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0，且f (x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若f (x )>-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围．21.(2024·全国)已知函数f (x )=e x -ax -a 3．(1)当a =1时，求曲线y =f (x )在点1,f (1) 处的切线方程；(2)若f (x )有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．22.(2024·全国)已知函数f x =a x -1 -ln x +1．(1)求f x 的单调区间；(2)若a ≤2时，证明：当x >1时，f x <e x -1恒成立．23.(2024·全国)已知函数f x =1-ax ln 1+x -x ．(1)当a =-2时，求f x 的极值；(2)当x ≥0时，f x ≥0恒成立，求a 的取值范围．24.(2024·北京)已知f x =x +k ln 1+x 在t ,f t t >0 处切线为l ．(1)若切线l 的斜率k =-1，求f x 单调区间；(2)证明：切线l 不经过0,0 ；(3)已知k =1，A t ,f t ，C 0,f t ，O 0,0 ，其中t >0，切线l 与y 轴交于点B 时．当2S △ACO =15S △ABO ，符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95)25.(2024·天津)设函数f x =x ln x ．(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的取值范围；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．26.(2024·上海)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．27.(2024·上海)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．参考答案：1.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为f x 在R上单调递增，且x≥0时，f x =e x+ln x+1单调递增，则需满足--2a2×-1≥0-a≤e0+ln1，解得-1≤a≤0，即a的范围是[-1,0].故选：B.2.B【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)+ f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.3.D【分析】解法一：令F x =ax2+a-1,G x =cos x，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令h x =f(x)-g x ,x∈-1,1，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a=2，并代入检验即可.【解析】解法一：令f(x)=g x ，即a(x+1)2-1=cos x+2ax，可得ax2+a-1=cos x，令F x =ax2+a-1,G x =cos x，原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F0 =G0 ，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F x =G x ，可得2x2+1-cos x=0因为x∈-1,1，则2x2≥0,1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2.解法二：令h x =f(x)-g x =ax2+a-1-cos x,x∈-1,1，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4.C【分析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，分类讨论-a 与-b ,1-b 的大小关系，结合符号分析判断，即可得b =a +1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln (x +b )的符号，进而可得x +a 的符号，即可得b =a +1，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；若-a ≤-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-b <-a <1-b ，当x ∈-a ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-a =1-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a <0,ln x +b <0，此时f (x )>0；当x ∈1-b ,+∞ 时，可知x +a ≥0,ln x +b ≥0，此时f (x )≥0；可知若-a =1-b ，符合题意；若-a >1-b ，当x ∈1-b ,-a 时，可知x +a 0,ln x +b 0，此时f (x )<0，不合题意；综上所述：-a =1-b ，即b =a +1，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12；解法二：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；则当x ∈-b ,1-b 时，ln x +b <0，故x +a ≤0，所以1-b +a ≤0；x ∈1-b ,+∞ 时，ln x +b >0，故x +a ≥0，所以1-b +a ≥0；故1-b +a =0，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12.故选：C .【点睛】关键点点睛：分别求x +a =0、ln (x +b )=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5.A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】f x =6x 5+3，所以f 0 =3，故切线方程为y =3(x -0)-1=3x -1，故切线的横截距为13，纵截距为-1，故切线与坐标轴围成的面积为12×1×13=16故选：A .6.B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入x =1可得f 1 >0，可排除D .【解析】f -x =-x 2+e -x -e x sin -x =-x 2+e x -e -x sin x =f x ，又函数定义域为-2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又f 1 =-1+e -1e sin1>-1+e -1e sin π6=e 2-1-12e >14-12e>0，故可排除D .故选：B .7.A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】fx =ex+2cos x 1+x 2 -e x +2sin x ⋅2x1+x 22，则f0 =e 0+2cos0 1+0 -e 0+2sin0 ×01+02=3，即该切线方程为y -1=3x ，即y =3x +1，令x =0，则y =1，令y =0，则x =-13，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S =12×1×-13 =16.故选：A .8.A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设x 1<x 2，因为函数y =2x 是增函数，所以0<2x 1<2x 2，即0<y 1<y 2，对于选项AB ：可得2x1+2x 22>2x 1·2x 2=2x 1+x 22，即y 1+y 22>2x 1+x 22>0，根据函数y =log 2x 是增函数，所以log 2y 1+y 22>log 22x 1+x22=x 1+x22，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如x 1=0,x 2=1，则y 1=1,y 2=2，可得log 2y 1+y 22=log 232∈0,1 ，即log 2y 1+y 22<1=x 1+x 2，故C 错误；对于选项D ：例如x 1=-1,x 2=-2，则y 1=12,y 2=14，可得log 2y 1+y 22=log 238=log 23-3∈-2,-1 ，即log 2y 1+y 22>-3=x 1+x 2，故D 错误，故选：A .9.B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A ，设f x =e x -x 2x 2+1，函数定义域为R ，但f -1 =e -1-12，f 1 =e -12，则f -1 ≠f 1 ，故A 错误；对B ，设g x =cos x +x 2x 2+1，函数定义域为R ，且g -x =cos -x +-x 2-x 2+1=cos x +x 2x 2+1=g x ，则g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设h x =e x -xx +1，函数定义域为x |x ≠-1 ，不关于原点对称，则h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设φx =sin x +4x e |x |，函数定义域为R ，因为φ1 =sin1+4e ，φ-1 =-sin1-4e ，则φ1 ≠φ-1 ，则φx 不是偶函数，故D 错误.故选：B .10.B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为y =4.2x 在R 上递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a <1a >c ，故选：B 11.A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【解析】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．12.B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【解析】对于A ，若存在y =f (x )是偶函数, 取x 0=1∈[-1,1],则对于任意x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而f (-1)=f (1), 矛盾, 故A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .13.ACD【分析】求出函数f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数f x 在1,3 上的值域即可判断C ；直接作差可判断D .【解析】对A ，因为函数f x 的定义域为R ，而f x =2x -1 x -4 +x -1 2=3x -1 x -3 ，易知当x ∈1,3 时，f x <0，当x ∈-∞,1 或x ∈3,+∞ 时，f x >0函数f x 在-∞,1 上单调递增，在1,3 上单调递减，在3,+∞ 上单调递增，故x =3是函数f x 的极小值点，正确；对B ，当0<x <1时，x -x 2=x 1-x >0，所以1>x >x 2>0，而由上可知，函数f x 在0,1 上单调递增，所以f x >f x 2 ，错误；对C ，当1<x <2时，1<2x -1<3，而由上可知，函数f x 在1,3 上单调递减，所以f 1 >f 2x -1 >f 3 ，即-4<f 2x -1 <0，正确；对D ，当-1<x <0时，f (2-x )-f (x )=1-x 2-2-x -x -1 2x -4 =x -1 22-2x >0，所以f (2-x )>f (x )，正确；故选：ACD .14.AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为x =0,x =a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出f (x )在(-1,0),(0,a ),(a ,2a )上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，则f (x )=f (2b -x )为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A 选项，f (x )=6x 2-6ax =6x (x -a )，由于a >1，故x ∈-∞,0 ∪a ,+∞ 时f (x )>0，故f (x )在-∞,0 ,a ,+∞ 上单调递增，x ∈(0,a )时，f (x )<0，f (x )单调递减，则f (x )在x =0处取到极大值，在x =a 处取到极小值，由f (0)=1>0，f (a )=1-a 3<0，则f (0)f (a )<0，根据零点存在定理f (x )在(0,a )上有一个零点，又f (-1)=-1-3a <0，f (2a )=4a 3+1>0，则f (-1)f (0)<0,f (a )f (2a )<0，则f (x )在(-1,0),(a ,2a )上各有一个零点，于是a >1时，f (x )有三个零点，A 选项正确；B 选项，f (x )=6x (x -a )，a <0时，x ∈(a ,0),f (x )<0，f (x )单调递减，x ∈(0,+∞)时f (x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )在x =0处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，即存在这样的a ,b 使得f (x )=f (2b -x )，即2x 3-3ax 2+1=2(2b -x )3-3a (2b -x )2+1，根据二项式定理，等式右边(2b -x )3展开式含有x 3的项为2C 33(2b )0(-x )3=-2x 3，于是等式左右两边x 3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f (1)=3-3a ，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，事实上，f (x )+f (2-x )=2x 3-3ax 2+1+2(2-x )3-3a (2-x )2+1=(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a ，于是6-6a =(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a即12-6a =012a -24=018-12a =6-6a，解得a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f (x )=2x 3-3ax 2+1，f (x )=6x 2-6ax ，f (x )=12x -6a ，由f (x )=0⇔x =a 2，于是该三次函数的对称中心为a 2,f a2，由题意(1,f (1))也是对称中心，故a2=1⇔a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：(1)f (x )的对称轴为x =b ⇔f (x )=f (2b -x )；(2)f (x )关于(a ,b )对称⇔f (x )+f (2a -x )=2b ；(3)任何三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是f (x )=0的解，即-b 3a ,f -b3a 是三次函数的对称中心15.ln2【分析】先求出曲线y =e x +x 在0,1 的切线方程，再设曲线y =ln x +1 +a 的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，求出y ，利用公切线斜率相等求出x 0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【解析】由y =e x +x 得y =e x +1，y |x =0=e 0+1=2，故曲线y =e x +x 在0,1 处的切线方程为y =2x +1；由y =ln x +1 +a 得y =1x +1，设切线与曲线y =ln x +1 +a 相切的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，由两曲线有公切线得y =1x 0+1=2，解得x 0=-12，则切点为-12,a +ln 12 ，切线方程为y =2x +12 +a +ln 12=2x +1+a -ln2，根据两切线重合,所以a -ln2=0，解得a =ln2.故答案为：ln216.64【分析】将log 8a ,log a 4利用换底公式转化成log 2a 来表示即可求解.【解析】由题1log 8a -1log a 4=3log 2a -12log 2a =-52，整理得log 2a 2-5log 2a -6=0，⇒log 2a =-1或log 2a =6，又a >1，所以log 2a =6=log 226，故a =26=64故答案为：64.17.-2,1【分析】将函数转化为方程，令x 3-3x =-x -1 2+a ，分离参数a ，构造新函数g x =x 3+x 2-5x +1,结合导数求得g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令x 3-3x =-x -1 2+a ，即a =x 3+x 2-5x +1，令g x =x 3+x 2-5x +1x >0 ,则g x =3x 2+2x -5=3x +5 x -1 ，令g x =0x >0 得x =1，当x ∈0,1 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，g 0 =1,g 1 =-2，因为曲线y =x 3-3x 与y =-x -1 2+a 在0,+∞ 上有两个不同的交点，所以等价于y =a 与g x 有两个交点，所以a ∈-2,1.故答案为：-2,1 18.-3,-1 ∪1,3【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g x =2x 2-ax 与h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，则两函数图象有唯一交点，分a =0、a >0与a <0进行讨论，当a >0时，计算函数定义域可得x ≥a 或x ≤0，计算可得a ∈0,2 时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当a ∈0,2 时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当a <0时，按同一方式讨论即可得.【解析】令f x =0，即2x 2-ax =ax -2 -1，由题可得x 2-ax ≥0，当a =0时，x ∈R ，有2x 2=-2 -1=1，则x =±22，不符合要求，舍去；当a >0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥a 或x ≤0，当x ≤0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =2时，即4x +1=0，即x =-14，当a ∈0,2 ，x =-12+a 或x =12-a>0(正值舍去)，当a ∈2,+∞ 时，x =-12+a <0或x =12-a<0，有两解，舍去，即当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤0时有唯一解，则当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥a 时需无解，当a ∈0,2 ，且x ≥a 时，由函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在1a ,2a上单调递减，在2a ,3a上单调递增，令g x =y =2x 2-ax ，即x -a 2 2a 24-y 2a 2=1，故x ≥a 时，g x 图象为双曲线x2a 24-y 2a2=1右支的x 轴上方部分向右平移a2所得，由x2a 24-y 2a2=1的渐近线方程为y =±aa 2x =±2x ，即g x 部分的渐近线方程为y =2x -a 2，其斜率为2，又a ∈0,2 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x ≥2a 时的斜率a ∈0,2 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在a ,+∞ 上单调递增，故有1a <a 3a>a，解得1<a <3，故1<a <3符合要求；当a <0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥0或x ≤a ，当x ≥0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =-2时，即4x -1=0，即x =14，当a ∈-2,0 ，x =-12+a <0(负值舍去)或x =12-a0，当a ∈-∞,2 时，x =-12+a >0或x =12-a>0，有两解，舍去，即当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥0时有唯一解，则当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤a 时需无解，当a ∈-2,0 ，且x ≤a 时，由函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在2a ,1a上单调递减，在3a ,2a上单调递增，同理可得：x ≤a 时，g x 图象为双曲线x 2a 24-y 2a 2=1左支的x 轴上方部分向左平移a2所得，g x 部分的渐近线方程为y =-2x +a 2，其斜率为-2，又a ∈-2,0 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x <2a 时的斜率a ∈-2,0 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在-∞,a 上单调递减，故有1a >a 3a<a，解得-3<a <-1，故-3<a <-1符合要求；综上所述，a ∈-3,-1 ∪1,3 .故答案为：-3,-1 ∪1,3 .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数f x 的零点问题转化为函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.19.3【分析】利用分段函数的形式可求f 3 .【解析】因为f x =x ,x >01,x ≤0, 故f 3 =3，故答案为：3.20.(1)-2(2)证明见解析(3)b ≥-23【分析】(1)求出f x min =2+a 后根据f (x )≥0可求a 的最小值；(2)设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，可证P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n 也在函数的图像上，从而可证对称性；(3)根据题设可判断f 1 =-2即a =-2，再根据f (x )>-2在1,2 上恒成立可求得b ≥-23.【解析】(1)b =0时，f x =ln x2-x+ax ，其中x ∈0,2 ，则f x =1x +12-x =2x 2-x+a ,x ∈0,2 ，因为x 2-x ≤2-x +x 2 2=1，当且仅当x =1时等号成立，故f x min =2+a ，而f x ≥0成立，故a +2≥0即a ≥-2，所以a 的最小值为-2.，(2)f x =ln x2-x+ax +b x -1 3的定义域为0,2 ，设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n ，因为P m ,n 在y =f x 图象上，故n =ln m2-m+am +b m -1 3，而f 2-m =ln 2-m m +a 2-m +b 2-m -1 3=-ln m2-m +am +b m -1 3 +2a ，=-n +2a ，所以Q 2-m ,2a -n 也在y =f x 图象上，由P 的任意性可得y =f x 图象为中心对称图形，且对称中心为1,a .(3)因为f x >-2当且仅当1<x<2，故x=1为f x =-2的一个解，所以f1 =-2即a=-2，先考虑1<x<2时，f x >-2恒成立.此时f x >-2即为lnx2-x+21-x+b x-13>0在1,2上恒成立，设t=x-1∈0,1，则ln t+11-t-2t+bt3>0在0,1上恒成立，设g t =ln t+11-t-2t+bt3,t∈0,1，则g t =21-t2-2+3bt2=t2-3bt2+2+3b1-t2，当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，故g t >0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当-23≤b<0时，-3bt2+2+3b≥2+3b≥0，故g t ≥0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当b<-23，则当0<t<1+23b<1时，g t <0故在0,1+2 3b上g t 为减函数，故g t <g0 =0，不合题意，舍；综上，f x >-2在1,2上恒成立时b≥-2 3 .而当b≥-23时，而b≥-23时，由上述过程可得g t 在0,1递增，故g t >0的解为0,1，即f x >-2的解为1,2.综上，b≥-2 3 .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.21.(1)e-1x-y-1=0(2)1,+∞【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；(2)解法一：求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f (x)=e x-a有零点，可得a>0，进而利用导数求f x 的单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可.【解析】(1)当a=1时，则f(x)=e x-x-1，f (x)=e x-1，可得f(1)=e-2，f (1)=e-1，即切点坐标为1,e-2，切线斜率k=e-1，所以切线方程为y-e-2=e-1x-1，即e-1x-y-1=0.(2)解法一：因为f(x)的定义域为R，且f (x)=e x-a，若a≤0，则f (x)≥0对任意x∈R恒成立，可知f (x )在R 上单调递增，无极值，不合题意；若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，则g a =2a +1a>0，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ ；解法二：因为f (x )的定义域为R ，且f (x )=e x -a ，若f (x )有极小值，则f (x )=e x -a 有零点，令f (x )=e x -a =0，可得e x =a ，可知y =e x 与y =a 有交点，则a >0，若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，符合题意，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，因为则y =a 2,y =ln a -1在0,+∞ 内单调递增，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ .22.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x >1时，e x -1-2x +1+ln x >0即可.【解析】(1)f (x )定义域为(0,+∞)，f (x )=a -1x =ax -1x当a ≤0时，f (x )=ax -1x <0，故f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，x ∈1a,+∞ 时，f (x )>0，f (x )单调递增，当x ∈0,1a时，f (x )<0，f (x )单调递减.综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,+∞)上单调递减；a >0时，f (x )在1a ,+∞ 上单调递增，在0,1a上单调递减.(2)a ≤2，且x >1时，e x -1-f (x )=e x -1-a (x -1)+ln x -1≥e x -1-2x +1+ln x ，令g (x )=e x -1-2x +1+ln x (x >1)，下证g (x )>0即可.g (x )=e x -1-2+1x ，再令h (x )=g (x )，则h (x )=e x -1-1x2，显然h (x )在(1,+∞)上递增，则h (x )>h (1)=e 0-1=0，即g (x )=h (x )在(1,+∞)上递增，故g (x)>g (1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，问题得证23.(1)极小值为0，无极大值.(2)a≤-12【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数，就a≤-12、-12<a<0、a≥0分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】(1)当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，故f (x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-11+x+1，因为y=2ln(1+x),y=-11+x+1在-1,+∞上为增函数，故f (x)在-1,+∞上为增函数，而f (0)=0，故当-1<x<0时，f (x)<0，当x>0时，f (x)>0，故f x 在x=0处取极小值且极小值为f0 =0，无极大值.(2)f x =-a ln1+x+1-ax1+x-1=-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，设s x =-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，则s x =-ax+1-a+11+x2=-a x+1+a+11+x2=-ax+2a+11+x2，当a≤-12时，sx >0，故s x 在0,+∞上为增函数，故s x >s0 =0，即f x >0，所以f x 在0,+∞上为增函数，故f x ≥f0 =0.当-12<a<0时，当0<x<-2a+1a时，sx <0，故s x 在0,-2a+1 a上为减函数，故在0,-2a+1a上s x <s0 ，即在0,-2a+1 a上f x <0即f x 为减函数，故在0,-2a+1 a上f x <f0 =0，不合题意，舍.当a≥0，此时s x <0在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上f x <f0 =0恒成立，不合题意，舍；综上，a≤-1 2 .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.24.(1)单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)证明见解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；(2)写出切线方程y-f(t)=1+k1+t(x-t)(t>0)，将(0,0)代入再设新函数F(t)=ln(1+t)-t1+t，利用导数研究其零点即可；(3)分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S ABO 得到13ln (1+t )-2t -15t1+t=0，再设新函数h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)研究其零点即可.【解析】(1)f (x )=x -ln (1+x ),f (x )=1-11+x =x1+x(x >-1)，当x ∈-1,0 时，f x <0；当x ∈0,+∞ ，f x >0；∴f (x )在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.则f (x )的单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)f (x )=1+k 1+x ，切线l 的斜率为1+k1+t，则切线方程为y -f (t )=1+k1+t (x -t )(t >0)，将(0,0)代入则-f (t )=-t 1+k 1+t,f (t )=t 1+k1+t ，即t +k ln (1+t )=t +t k 1+t ，则ln (1+t )=t 1+t ，ln (1+t )-t1+t =0，令F (t )=ln (1+t )-t1+t，假设l 过(0,0)，则F (t )在t ∈(0,+∞)存在零点.F (t )=11+t -1+t -t (1+t )2=t(1+t )2>0，∴F (t )在(0,+∞)上单调递增，F (t )>F (0)=0，∴F (t )在(0,+∞)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).(3)k =1时，f (x )=x +ln (1+x ),f (x )=1+11+x =x +21+x>0.S △ACO =12tf (t )，设l 与y 轴交点B 为(0,q )，t >0时，若q <0，则此时l 与f (x )必有交点，与切线定义矛盾.由(2)知q ≠0.所以q >0，则切线l 的方程为y -t -ln t +1 =1+11+t x -t ，令x =0，则y =q =y =ln (1+t )-tt +1.∵2S △ACO =15S ABO ，则2tf (t )=15t ln (1+t )-t t +1，∴13ln (1+t )-2t -15t 1+t =0，记h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)，∴满足条件的A 有几个即h (t )有几个零点.h(t )=131+t -2-15(t +1)2=13t +13-2t 2+2t +1 -15(t +1)2=2t 2+9t -4(t +1)2=(-2t +1)(t -4)(t +1)2，当t ∈0,12 时，h t <0，此时h t 单调递减；当t ∈12,4 时，h t >0，此时h t 单调递增；当t ∈4,+∞ 时，h t <0，此时h t 单调递减；因为h (0)=0,h 120,h (4)=13ln5-20 13×1.6-20=0.8>0，h (24)=13ln25-48-15×2425=26ln5-48-725<26×1.61-48-725=-20.54<0，所以由零点存在性定理及h (t )的单调性，h (t )在12,4 上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h (t )有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.25.(1)y =x -1(2)2(3)证明过程见解析【分析】(1)直接使用导数的几何意义；(2)先由题设条件得到a =2，再证明a =2时条件满足；(3)先确定f x 的单调性，再对x 1,x 2分类讨论.【解析】(1)由于f x =x ln x ，故f x =ln x +1.所以f 1 =0，f 1 =1，所以所求的切线经过1,0 ，且斜率为1，故其方程为y =x -1.(2)设h t =t -1-ln t ，则h t =1-1t =t -1t，从而当0<t <1时h t <0，当t >1时h t >0.所以h t 在0,1 上递减，在1,+∞ 上递增，这就说明h t ≥h 1 ，即t -1≥ln t ，且等号成立当且仅当t =1.设g t =a t -1 -2ln t ，则f x -a x -x =x ln x -a x -x =x a 1x -1-2ln 1x=x ⋅g 1x.当x ∈0,+∞ 时，1x的取值范围是0,+∞ ，所以命题等价于对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0.一方面，若对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0，则对t ∈0,+∞ 有0≤g t =a t -1 -2ln t =a t -1 +2ln 1t ≤a t -1 +21t -1 =at +2t-a -2，取t =2，得0≤a -1，故a ≥1>0.再取t =2a ，得0≤a ⋅2a +2a 2-a -2=22a -a -2=-a -2 2，所以a =2.另一方面，若a =2，则对任意t ∈0,+∞ 都有g t =2t -1 -2ln t =2h t ≥0，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是2 .(3)先证明一个结论：对0<a -ab-1 1-a b+ln a =1+ln a ，所以ln a +11e时f x >0.所以f x 在0,1e 上递减，在1e,+∞ 上递增.不妨设x 1≤x 2，下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一：当1e≤x 1≤x 2<1时，有f x 1 -f x 2 =f x 2 -f x 1 <ln x 2+1 x 2-x 1 <x 2-x 1<x 2-x 1，结论成立；情况二：当0<x 1≤x 2≤1e时，有f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2.对任意的c ∈0,1e，设φx =x ln x -c ln c -c -x ，则φx =ln x +1+12c -x.由于φx 单调递增，且有φ c 2e1+12c=ln c2e1+12c+1+12c -c2e1+12c<ln1e1+12c+1+12c -c2=-1-12c +1+12c=0，且当x ≥c -14ln 2c-1 2，x >c 2时，由12c -x≥ln 2c -1可知φ x =ln x +1+12c -x >ln c 2+1+12c -x =12c -x-ln 2c -1 ≥0.所以φ x 在0,c 上存在零点x 0，再结合φ x 单调递增，即知0<x <x 0时φ x <0，x 0<x <c 时φ x >0.故φx 在0,x 0 上递减，在x 0,c 上递增.①当x 0≤x ≤c 时，有φx ≤φc =0；②当0<x <x 0时，由于c ln 1c =-2f c ≤-2f 1e =2e <1，故我们可以取q ∈c ln 1c,1 .从而当0<x <c1-q 2时，由c -x >q c ，可得φx =x ln x -c ln c -c -x <-c ln c -c -x <-c ln c -q c =c c ln 1c-q <0.再根据φx 在0,x 0 上递减，即知对0<x <x 0都有φx <0；综合①②可知对任意0<x ≤c ，都有φx ≤0，即φx =x ln x -c ln c -c -x ≤0.根据c ∈0,1e和0<x ≤c 的任意性，取c =x 2，x =x 1，就得到x 1ln x 1-x 2ln x 2-x 2-x 1≤0.所以f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2≤x 2-x 1.情况三：当0<x 1≤1e ≤x 2<1时，根据情况一和情况二的讨论，可得f x 1 -f 1e≤1e -x 1≤x 2-x 1，f 1e -f x 2 ≤x 2-1e ≤x 2-x 1.而根据f x 的单调性，知f x 1 -f x 2 ≤f x 1 -f 1e 或f x 1 -f x 2 ≤f 1e-f x 2 .故一定有f x 1 -f x 2 ≤x 2-x 1成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合f x 的单调性进行分类讨论.26.(1)x |1<x <2(2)a >1【分析】(1)求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围．【解析】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ，故log a 4=2，故a 2=4即a =2(负的舍去)，而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数，故f 2x -2 <f x ，故0<2x -2<x 即1<x <2，故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，故2f ax =f x +1 +f x +2 有解，故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ，因为a >0,a ≠1，故x >0，故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解，由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解，令t =1x ∈0,+∞ ，而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ，故a 2>1即a >1.27.(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【解析】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -0 2=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x 2=1x 2即x =1时取等号，故对于点M 0,0 ，存在点P 1,1 ，使得该点是M 0,0 在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x -1)2+e x -0 2=(x -1)2+e 2x ，则s x =2x -1 +2e 2x ，因为y =2x -1 ,y =2e 2x 均为R 上单调递增函数，则s x =2x -1 +2e 2x 在R 上为严格增函数，而s 0 =0，故当x <0时，s x <0，当x >0时，s x >0，故s x min =s 0 =2，此时P 0,1 ，而f x =e x ,k =f 0 =1，故f x 在点P 处的切线方程为y =x +1.而k MP =0-11-0=-1，故k MP ⋅k =-1，故直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直．(3)设s 1x =(x -t +1)2+f x -f t +g t 2，s 2x =(x -t -1)2+f x -f t -g t 2，而s 1x =2(x -t +1)+2f x -f t +g t f x ，s 2x =2(x -t -1)+2f x -f t -g t f x ，若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，设P x 0,y 0 ，则x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则x 0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，即s 1 x 0 =2x 0-t +1 +2f x 0 f x 0 -f (t )+g (t ) =0①s 2 x 0 =2x 0-t -1 +2f x 0 f x 0 -f (t )-g (t ) =0②由①②相等得4+4g (t )⋅f x 0 =0，即1+f x 0 g (t )=0，即f x 0 =-1g (t )，又因为函数g (x )在定义域R 上恒正，则f x 0 =-1g (t )<0恒成立，接下来证明x 0=t ，因为x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，则s 1x 0 ≤s (t ),s 2x 0 ≤s (t )，即x 0-t +1 2+f x 0 -f t +g t 2≤1+g t 2，③x 0-t -12+f x 0 -f t -g t 2≤1+g t 2，④③+④得2x 0-t 2+2+2f x 0 -f (t ) 2+2g 2(t )≤2+2g 2(t )即x 0-t 2+f x 0 -f t 2≤0，因为x 0-t 2≥0,f x 0 -f t 2≥0则x 0-t =0f x 0 -f t =0，解得x 0=t ，则f t =-1g (t )<0恒成立，因为t 的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.。

三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

高中高考数学函数与导数分类汇编文.docx

2011-2019新课标文科高考《函数与导数》一、选择题【 2019 新课标10.20.3）】 3．已知a log20.2, b 2 ,c0.2 ，则（A ．a b cB ．a c b C．c a b 【答案】 B【 2019 新课标1sin x x】 5．函数 f(x)=2在 [ —π，π］的图像大致为cos x xA ．B ．C． D ．【答案】D【 2019新课标 2 】 6．设 f(x) 为奇函数，且当xx≥０时， f(x)= e 1，则当x1x xA ．eB ．e1C ．e1【答案】D【2019 新课标 2 】 10．曲线 y=2sinx+cosx 在点 ( π，–1)处的切线方程为（A ．x y 1 0 B ．2 x y 2 1 0 C．2 x y 2 1 0 D ．x y 1 0【答案】 Cy x x x1, ae 处的切线方程【 2019新课标3】 7.已知曲线a在点e lnA. a e, b1B. a e, b 1C. a e 1 ,b 1【答案】C【详解】f x 是 R 的偶函数，f log 31f log 3 4 ．43 f x 在 (0， +∞）单调递减， f log 3 42，又 log 3 4 1 2 23 21f 22f 23f log 3，故选 C ．4【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题力．【 2018 新课标 1 】6 ．设函数3 2f ( x) x ( a 1) xax . 若 f ( x) 为奇函数，处的切线方程为（）A ． y2 x B ． yxC ． y2 x D ．【答案】 D【 2018 新课标】 12．设函数A ． (, 1] B ．【答案】 D2 x,x ≤ 0, 1) f (2f ( x )则满足 f (x1,x 0,(0,)C ． ( 1,0)D ．xx【 2018 新课标 2 】 3．函数ee）f (x )x 2的图象大致为（【 2018 新课标 3 】 9．函数y x4x2 2 的图像大致为（）【答案】 D【 2017 新课标 1 】 9．已知函数 f ( x )ln x ln(2x)，则（C）A ． f ( x)在（ 0,2）单调递增B ．f (x )在（ 0,2 ）单C． y= f (x )的图像关于直线x=1 对称 D ． y= f (x)的图像关【 2017 新课标 2 】 8. 函数f ( x)ln( x 2的单调递增区间是（2 x 8)A.(-,-2)B. (-,-1)C.(1, +)D. (4, +)2【解析】由 x ﹣ 2x﹣ 8＞ 0 得： x∈（﹣∞，﹣ 2）∪（ 4， +∞），令 t=x2﹣ 2x ﹣ 8，则 y=lnt ，∵ x∈（﹣∞，﹣ 2）时， t=x2﹣ 2x ﹣ 8为减x ∈（ 4 ， +∞）时， t=x 2﹣ 2x ﹣ 8 为增函数；y=lnt 为增函数，故函数 f （ x） =ln （ x2﹣ 2x ﹣ 8）的单调递增区间是（4， +∞），故选：【 2017 新课标 3 】 7. 函数y1x sin x的部分图像大致为（D 2xB ．C．【 2017 新课标 3 】 12. 已知函数2x 1x 1f ( x ) x 2 x a(e e ) 有唯一111A B C D 1【 2016新 1 】（ 12）若函数 f ( x)x -1a sin x 在, sin2 x3是（C）（ A ）1,1 （B）1,111（ D ）1（ C）3,1,333y=10 lg【 2016新 2 】10. 下列函数中，其定域和域分与函数（ D）（ A ） y=x（ B） y=lg xx（ D ）y （ C） y=2【解析】 y 10lg x x ，定域与域均0,，只有 D 足，故【 2016新 2 】 12. 已知函数f(x) （ x∈ R）足 f(x)=f(2-x)，若函数m交点（ x1,y 1）， (x2,y2 )，⋯，（x m,y m），x i =（B）i 1(A)0(B)m(C) 2m(D) 4m 【解析】因 y f ( x), y| x 2 2 x 3| 都关于x 1 称，所以它交点偶数，其和2mm ，当 m 奇数，其和m11 m ，222421【 2016新 3 】（ 7）已知a 2 3 , b33 , c 25 3，（A）(A)b<a<c(B) a<b<c(C) b<c<a(D) c<a<b 【2016 新 3 】（ 4）某旅游城市向游客介本地的气温情况，制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达 .中 A 点表示十月的平均最高气温15℃， B 点表示四月的平均最低气温5℃ .下面叙述不正确的是（ D ）（ A ）各月的平均最低气温都在0℃以上（ B ）七月的平均温差比一月的平均温差大1B. (,1(1,) C. (11) D.A. ( ,1))3,333[解析 ] 因为函数 f ( x)ln(1x )12 , 是偶函数， x[ 0,)时函x1f ( x) f ( 2 x 1)x 2 x1,2(2 x211.故x1) , 解得x3【 2015新课标 2 】 11.如图，长方形的边AB=2 ， BC=1,O是 AB 的中P 沿着边 BC,CD, 与 DA 运动，记∠ BOP=x ，将动点P 到 A,B 两点的距和表示为函数 f （x ），则 f(x) 的图像大致为（B）Y Y Y2222O ππ3π πX O ππ3π πππ 3 ππXXO424424244CA B[解析 ] 如图，当点P 在 BC 上时，∵DBOP= x,PB=tan x,PA=4+ t2时取得最大值 15 PA+ PB= tan x + 4 + tan x ,当x4定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB< 15 B.，以 A .又函数【 2014 新课标 1 】5. 设函数 f ( x ), g( x ) 的定义域为R ，且 f (x )是奇函列结论中正确的是（C）A. f ( x) g ( x) 是偶函数B.| f ( x) | g ( x) 是奇函数C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数D.| f ( x) g ( x ) | 是奇函数【参考答案】：设 F ( x) f ( x) g ( x) ，则 F ( x) f ( x) g ( x) ，∵当 a 0时， x,20; x2,0 , f ( x) 0; x0, , f ( x)aa要使 f ( x) 有唯一的零点24 ，a x0且 x0＞0，只需 f (2) 0 ，即aa[解析 2]由已知a0 ， f ( x )=ax32有唯一的正零点，等价于3 x11，则问题又等价于a33t有唯一的正零根有唯一的正零根，令 t tx有唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记f (t)33t ， f (t )2 t3tt, 1 , f (t)0; t1,1, f (t )0; ， t1,, f (t )0，正零根，只需a f ( 1) 2 ，选C【 2014新课标 2 】 3. 函数f x在 x x0处导数存在，若p : f( x0 )点，则（C）（ A ）p是q的充分必要条件（ B ）p是q的充分条件，但不是（ C）p是q的必要条件，但不是q 的充分条件（ D ）p既不是q的充分条件，也不是q 的必要条件【 2014新课标 2 】（ 11）若函数 f ( x)kx ln x 在区间（1，+）单调（ D ）（ A ）, 2（B）, 1（C）2,（D）1,【 2013 新课标 1 】 12．已知函数f(x) ＝20,若x 2 x, xln( x1), x0.|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( D )．A ． ( －∞， 0)B ． (－∞， 1)C ． [ － 2,1]D ． [ － 2,0]【解析】可画出|f(x)| 的图象如图所示．当 a＞ 0 时， y＝ ax 与 y ＝ |f(x)| 恒有公共点，所以排除B， C；【 2013 新课标 2 】 11．已知函数3 2f(x) ＝ x ＋ ax ＋ bx ＋ c ，下列结论中错误A ． ? x 0 ∈ R ， f(x 0)＝ 0B ．函数 y ＝ f(x) 的图像是中心对称图形C ．若 x 0 是 f(x) 的极小值点，则 f(x) 在区间 ( －∞， x 0)单调递减D ．若 x 0 是 f(x) 的极值点，则 f ′0 )＝ 0(x [解析 ] 若 x 0 是 f(x) 的极小值点，则 y ＝ f(x) 的图像大致如下图所示，则在 (－∞， x 0)上不单调，故C 不正确．【 2013 新课标 2 】 12. 若存在正数 x 使 2x(x － a)＜ 1 成立，则 a 的取值范围是 ( D)．A ． ( －∞，＋ ∞ )B ． (－ 2，＋ ∞ )C ． (0，＋ ∞ )D ． (－ 1，＋ ∞）1xx[解析 ] 由题意可得， a x1，该函数2(x ＞ 0)．令 f(x) ＝ x2可知 f(x) 的值域为 (－ 1，＋ ∞），故 a ＞－ 1 时，存在正数 x 使原不等式成【 2012 新课标 1 】 11．当 0< x ≤1xlog a x ，则 a 的取值范围是时， 42A ． (0 ，2) B ． ( 222， 1)C ． (1 ， 2 )D ． ( 2 ， 2)a1[解析 ] ：由指数函数与对数函数的图像知11，解得 0alog a4 22【 2012 新课标 2 】 2．函数 yx1( x1)的反函数为（A）21( x 0)B ． y x221( x 0)DA ． y x 1( x 1) C ． yx【解析】由yx1x12x21，而 x1，故 yyy21( x0) ，故选答案Ay x1【 2012新课标 2 】 11．已知x ln， y log 5 2 ，z e 2 ，则（【 2011新课标1】 (5) 下面四个条件中，使a b 成立的充分而不必要的条2233（ A ）a＞b 1（ B ）a＞b 1（ C）a＞b（ D ）a＞b【解析】即寻找命题P ,使 P a b ,且 a b 推不出 P ,逐项验证知可【 2011 新课标1】(10)设 f( x ) 是周期为2的奇函数，当0x 1 时，f (（A）(A) -1(B)11(D)1 24(C)24【解析】由f( x ) 是周期为 2 的奇函数 ,利用周期性和奇偶性得:f (5f (5f (111(111 )2)) f ( )2)2 222222【 2011新课标2】 3．下列函数中，既是偶函数又在（ 0，+）单调递增A ．y x3B ．y | x | 1C ．y x21D ．y 2 [解析 ] 可以直接判断： A 是奇函数， B 是偶函数，又是（0， +∞）的【 2011新课标2】 10．在下列区间中，函数f(x)=e x+4x-3 的零点所在的A ．(1,0)B．(0,1)C．(1,1) D ．(1,3)444224[解析 ] ：只需验证端点值，凡端点值异号就是答案. 故选 C.【 2011新课标2】 12．已知函数y = f (x) 的周期为2，当 x ∈ [-1,1] 时 f 的图像与函数y = |lgx| 的图像的交点共有（A）A ． 10 个B． 9 个C． 8 个 D ． 1 个[解析 ] ：本题可用图像法解，易知共10 个交点，故选 A.1二、填空题【 2019 新课标 1 】 13．曲线y 3(x 2x) e x在点(0,0)处的切线方程为【答案】y=3x【 2018新课标1】 13．已知函数 f ( x )log 2 ( x 2a) .若 f (3) 1 ，则 a 【答案】 -7【 2018新课标2】 13．曲线y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_____【答案】 y=2x –2【 2018新课标3】 16．已知函数f x ln12x 1 ， f a 4 ，x【答案】 -2【 2016新课标3】（ 16）已知 f (x) 为偶函数，当x0 时， f ( x)x e(1,2) 处的切线方程式__ y 2 x ________【 2015新课标1】（ 14）已知函数f(x)=ax 3 +x+1的图像在点（1， f(1) a= 1.【 2015新课标2】（ 13）已知函数 f (x)ax 3 2 x的图像过点（ - 1,【 2015新课标2】（ 16）已知曲线y x ln x 在点（1,1）处的切线与曲y ax 2(a2)x1相切，则 a8。

高考数学专题汇编函数填空题二试题

函数填空题二制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日1. 函数42)(,4341ln )(2+-=+-=bx x x g xx x x f ，假设对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，那么实数b 的取值范围为_______214≥b 解析：即min min )()(x g x f ≥，求导易得21)1()(min ==f x f ，)(x g 对称轴是b x = 当1≤b 时，)(x g 增，492125)1()(min≥⇒≤-==b b g x g 矛盾；当21<⇒≤-==b b b g x g ；当2≥b 时，)(x g 减，8152148)2()(min ≥⇒≤-==b b g x g 2≥⇒b 2. 关于x 的不等式kx x x x ≥-++3922在]5,1[上恒成立，那么实数k 的取值范围是____]6,(-∞解析：39-++≤x xx k ，显然3=x 时，右边取最小值 3. 假如函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间)4,1(上为减函数，在),6(+∞上为增函数，那么实数a 的取值范围是_________]7,5[ 解析：0)6(',0)4(',0)1('≥≤≤f f f4. 假设关于x 的方程021=--a a x 有两个相异的实根，那么实数a 的取值范围是____)21,0(解析：数形结合a a x21=-，对a 分10<<a 和1>a 讨论 5. 函数f (x )＝xx ＋a，假设函数y ＝f (x ＋2)－1为奇函数，那么实数a ＝________－2解析：ax aa x x x f ++-=-+++=-+21221)2(，显然2-=a 有人说0=a 可以吗？不行！此时，)0(1)(≠=x x f ，显然y ＝f (x ＋2)－1定义域不关于原点对称！6. 可导函数()()f x x R ∈的导函数()f x '()()f x f x '>满足，那么当0a >时，()f a 和(0)a e f 〔e 是自然对数的底数〕大小关系为 )0()(f e a f a >解析：构造函数0)())()('()(',)()(2>-==x x x e x f x f e x F e x f x F ，)(x F 增，)0()0()(0f ef e a f a=> 7. 假设对任意的D x ∈，均有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，那么称函数)(x f 为函数)(1x f 到函数)(2x f 在区间D上的“折中函数〞.函数x x x h x g x k x f ln )1()(,0)(,1)1()(+==--=且)(x f 是)(x g 到)(x h 在区间]2,1[e 上的“折中函数〞，那么实数k 的值是_______2解析：即要求x x x k ln )1(1)1(0+≤--≤在]2,1[e 恒成立.对于左边：1=x 时，2≥k ，e x 2=时，e k 211+≥，故2≥k ；右边：xx x k 1ln )1(1++≤-，对右边函数求导后得增函数，那么211≤⇒≤-k k ，综上，2=k8. 函数2ln )(x x a x f -=，假设对区间〔0，1〕内任取两个不等的实数q p ,，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，那么实数a 的取值范围是_________),10[+∞解析：0)1()1()]1()1([)]1()1([>+-++-+-+-+q p q q f p p f ，故x x f x g -=)()(是〔1,2〕上增函数，012)('≥--=x xax g 在〔1,2〕上恒成立，那么x x a +≥22 9. 定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()xf x ag x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，那么使数列{}n a 的前n 项和n S 不超过1516的最大自然数n 的值是 4解析：x a x g x f x F ==)()()(单调递减，(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-10<<⇒a 10. 函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1x ＋1) x ≥0，(12)x－1 x ＜0．假设f (3－2a 2)＞f (a )，那么实数a 的取值范围是 123>-<a a 或解析：不需讨论223a -，a 的正负性，可以观察出)(x f 是减函数，那么a a <-223 函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出以下四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为____________．①②③④ 解析：令)(x f t =，画出1-=x t 和2t t k -=图象11. 设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当2x S x S ∈∈时，有，给出如下三个命题：①假①②④设{}1,1m S ==则；②假设11,1;24m l =-≤≤则③假设1,02l m =-≤≤则；其中正确的命题为 ①②③解析：①1],1[11222≤⇒≤⇒⊆≤≤⇒≤≤l l l l l x l x ，而1≥l ，故1=l ②l x ≤≤-21，假设2121≤≤-l ，那么;41],21[4102≥⇒-⊆≤≤l l x 假设21≥l ，那么1],21[022≤⇒-⊆≤≤l l l x ③21≤≤x m ，假设0>m ，那么]21,[4122m x m ⊆≤≤， 12≥⇒≥m m m 矛盾，假设021≤≤-m ，那么]21,[4102m x ⊆≤≤，成立；假设21-<m ，那么212221]21,[0222-<≤-⇒≤⇒⊆≤≤m m m m x ，综上，022≤≤-m12. 函数12)(,1)(332++-=++=a a x x g a x x x f ，假设存在 )1(,1,21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a a ξξ，使得9|)()(|21≤-ξξg f ，那么a 的取值范围是 (]4,1解析：即9)()(921≤-≤-ξξf f ，min max )()(9x g x f -≤-，且9)()(max min ≤-x g x f 13. 1()|1|1f x x =--，且关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有*()k k N ∈个根，那么这k 个根的和可能是 .〔请写出所有可能值〕2、3、4、5、6、7、8解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=1,11,21)(x xx x x f ，画图14. 函数()213,04,0ax x x f x xx ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩，假设方程()4f x =有两个不等的实根，那么实数a 的取值范围___________141827a ora ><- 解析：即4312=-+x x ax 只有一个非零根，x xx a 34123++-=，令t x =1，那么 0)3)(13()('),(3423=-+-==++-=t t t g t g t t t a15. 函数111)(2+++=x ax x x f (a ∈R)，假设对于任意的x ∈N *，3)(≥x f 恒成立，那么a 的取值范围是 .8[,)3-+∞解析：即08)3(2≥+-+x a x 对x ∈N *恒成立，别离变量)8(3xx a +-≥-恒成立，当;3,68,2-≥=+=a x x x 当38,3-≥=a x ，故38-≥a 16. 对于实数x ，][x 称为取整函数或者高斯函数，亦即][x 是不超过x 的最大整数.例如：2]3.2[=.直角坐标平面内，假设),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ，那么 22y x +的取值范围是 )20,10[)5,1(⋃解析：因Z y x ∈--]1[],1[，又4]1[]1[22=-+-y x ，所以⎩⎨⎧±=-=-2]1[0]1[y x 或者⎩⎨⎧=-±=-0]1[2]1[y x ，那么⎩⎨⎧-===1][3][1][y y x 或，或者⎩⎨⎧=-==1][1][3][y x x 或⎩⎨⎧<≤<≤<≤⇒01-4321y y x 或或者…. 数形结合即可17. 设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,那么满足2()()1005x f x f x +=-的所有x 之和为 2021解析：显然10052-+=x x x 或者010052=-++x x x ，然后用韦达定理即可18. 定义在R 上的函数()f x ，满足对任意,a b R ∈，都有22()()2()f a b f a f b +=+成立，那么(2011)f = 0或者22011解析：令,0==b a 0)0(=f ；令)(2)(,022b f b f a ==，令1=b ，那么0)1(=f 或者21)1(=f 当0)1(=f 时，令1=b ，那么)()1(a f a f =+，显然0)2011(=f 当21)1(=f 时，令1=b ，那么21)()1(+=+a f a f ，22011201021)1()2011(=⨯+=f f 19. 设函数2()21f x x x =+-，假设1,a b <<-且()(),f a f b =那么ab a b ++的取值范围为〔-1,1〕1,a b <<-结合图象知，131-<<<<-b x a那么)12(1222-+-=-+b b a a 2202)(22222-+-=+⇒=-+++⇒b a b a b a b aab a b ++2)(222222b a b a ab --=-+-=，而02<-<-b a ，4)(02<-=f ，满足题意；当0>a 时，如图，极小值点20)2(=⇒=a af21. 函数f (x)=x 2+2x+1，假设存在t ，当x∈[1，m]时，f (x+t)≤x 恒成立，那么实数m 的最大值为 4解析：数形结合)(t x f +是由)(x f要使得f (x+t)≤x在x∈[1，m]上恒成立，那么尽量向右挪动，当)(t x f +与x y =左交点横坐标为1的时候，此时m 最大.0 022. 周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 的最小正周期为3，,2)1(<f m m f 则,)2(=的取值范围为 _____),2(+∞- 解析：2)1()2()2(->-=--=f f f23. 设函数()y f x =在(),-∞+∞上满足()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+，且在闭区间[]0,7上，()0f x =仅有两个根1x =和3x =，那么方程()0f x =在闭区间[]2011,2011-上根的个数有 ________805解析：⇒+=-)4()(x f x f 对称轴2=x ，⇒+=-)10()4(x f x f 对称轴7=x 同时，()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+⇒+=⇒)10()(x f x f 周期10=T画草图，2021]上有201个周期一共有402个根，在[2021,2021]上有1个根，在]0,2010[-有201个周期，一共有402个根，而]2010,2011[--与]0,1[-一样无根，一共有805个根24. 函数是定义在(0,)+∞上的单调增函数，当n *∈N 时，()f n *∈N ，假设[()]3f f n n =，那么f (5)的值等于 8解析：令3)]1([,1==f f n ，假设1)1(=f ，那么1)1()]1([==f f f ，与3)]1([=f f 矛盾；故1)1(>f ，而)1()]1([3f f f >=，且()f n *∈N ，那么2)1(=f ，那么3)]1([)2(==f f f ，6)]2([)3(==f f f ，9)]3([)6(==f f f ，那么由递增知 9)6()5()4()3(6=<<<=f f f f ，那么8)5(,7)4(==f f25. 二次函数c bx ax x f ++=2)(导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，那么)0(')1(f f 的最小值为_____________2 解析：,0)0(',2)('>=+=b f b ax x f 因为对任意实数x 都有0)(≥x f ，所以0)0(≥=c f ，0>a ，042≤-=∆ac b ，即ac b 42≤，所以c a ,同为正实数，所以2421211)0(')1(2=+≥+≥++=++=bb b ac b c a b c b a f f ，当且仅当c a b 22==时取等号.26. 设,0>a 函数x a x x f 2)(+=，x x x g ln )(-=，假设对任意的],1[,21e x x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，那么实数a 的取值范围为_______________ 2-≥e a解析：因为)()(21x g x f ≥，所以xa x x f 2)(+=在],1[e 上最小值大于等于)(x g 的最大值，又因为0111)('≥-=-=xx x x g ，所以)(x g 在],1[e 上递增，所以1)(max -=e x g ，又①e a ≥时，)(x f 在],1[e 上递减，所以1)(2min->+=e ea e x f ，故e a ≥；②10≤<a 时，)(x f 在],1[e 上递增，所以,1)(2min a x f +=故112-≥+e a ，2-≥e a ，此时12≤≤-a e ；③e a <<1时，a x f 2)(min =，所以12-≥e a ，即21-≥e a ，所以e a <<1，综上得实数a 的取值范围是2-≥e a27. 定义在),0(+∞上的函数)(x f 的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，假设两正数y x ,满足1)(≥+y x f ，那么33++x y 的取值范围是_______________)37,73( 解析：)(x f 在),0(+∞上单调递减，)4(1)(f y x f =≥+，40≤+<y x ，利用斜率数形结合可得.28. 函数)*,()2()(,342)(22222Z b N a x a x x g x b b ax x f ∈∈-=⋅-+--=，假设存在0x ，使)(0x f 为)(x f 的最小值，)(0x g 为)(x g 的最大值，那么此时数对),(b a 为____________〔1,2〕.解析：因为)(x f 是开口向上的抛物线，函数取最小值时x a x x g ab b x 23'2044)(,34+-=-+-=，令0)('=x g ，那么a x x ±==,0，所以a x =0，即2234ab b =-+-，又因为0342>-+-b b ，所以31<<b ，故1,2==a b29. t 为常数，函数|13|)(3+--=t x x x f 在区间]1,2[-上的最大值为2，那么实数=t ______1解析：令13)(3+--=t x x x g ，那么33)('2-=x x g =0， 1,1=-=x x ，所以)1(|1|||1)2(f t t f =+=--=-，|3|)1(t f -=-，又)(x f 在]1,2[-上的最大值2，故⎩⎨⎧≤-=+2|3|2|1|t t 或者⎩⎨⎧≤+=-2|1|2|3|t t 所以1=t 法二：33|31|22312x x t x x t --+≤⇒-≤--+≤别离变量后求最值30. 函数],[,2)(2b a x x x x f ∈-=的值域为]3,1[-，那么a b -的取值范围是___________]4,2[解析：x x x f 2)(2-= 是开口向上的抛物线，当1-=x 或者3=x 时，3)(=x f ，当1=x 时1)(-=x f ，所以)(x f 的值域是]3,1[-时，定义域中一定包含,1=x 同时1-=x 或者3=x 至少包含一个值，所以]4,2[∈-a b31. 函数12||4-+=x y 的定义域为),](,[Z b a b a ∈，值域为]1,0[，那么满足条件的整数对),(b a 一共有___________个 5个解析：202241≤≤⇒≤+≤x x ，只要使得2≤x 的区间都可以，于是有]1,2[],0,2[],2,0[],2,1[],2,2[----32. 假设不等式4|4|32-≥-+ax x x x 对于)6,0(∈x 恒成立，那么实数a 的取值范围是________]4,(-∞.解析：|4|42-++≤x x x a 的最小值，当20≤<x 时，2244|4|4x xx x x x -++=-++，在]2,0(上递减，所以|4|42-++x x x 最小值是4；当62<≤x 时，442-++x x x 在)6,2[上递增，所以|4|42-++x xx 最小值是4，所以4≤a32. 函数|1|||)(-+=x x x f ，假设a x f x g -=)()(的零点个数不为0，那么实数a 的最小值是______1 解析：数形结合33. 定义在R 上的单调函数)(x f 满足3log )3(2=f ，且对任意的R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，假设0)293()3(<--+⋅x x x f k f 对任意的R x ∈恒成立，那么实数k 的取值范围是_____________)221,(+--∞解析：令0)0(,0===f y x ，再令x y -=得奇函数，又3log )3(2=f >0，)0()3(f f >，由)(x f 是单调函数，知增函数，1323-+<x xk ，而1323-+xx的最小值为122- 34. 假设函数tx x x f 213)(-+=*)*,(N x N t ∈∈的最大值是正整数M ，那么M =_______7解析：因为**,N x N t ∈∈，所以函数取最大值M 时tx 213-也是正整数，那么1213=-tx 或者9213=-tx ，那么当1213=-tx 时，16)(,6+==tx f t x ，故1=t 时，7)(max =x f ；当9213=-tx ，32)(+=tx f ，所以1=t 时5)(max =x f 35. 设集合3|4M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，1|3N x n x n ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，且集合,M N 都是集合[]0,1的子集，定义b a -为集合[],a b 的长度，求集合MN 长度的最小值________121 解析：集合M 的区间长度是43，集合N 的区间长度是31，要使得M N 区间长度最小，必须使得集合N M ,尽可能分别向0,1靠近，即最大限度拉开它们间隔，左边区间的左端点=0，右边区间的右端点=1，可以分M ,N 分别左右位置讨论，结果显然一样，因为它们相对位置是不变的.36. 函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。

2014年高考数学(理)试题分项版解析：专题02 函数(分类汇编)Word版含解析

1. 【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （） A.21 B. 23 C.0 D.21-2. 【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+3. 【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）4. 【2014高考福建卷第7题】已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,15. 【2014高考湖北卷理第10题】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-6. 【2014高考湖北卷理第14题】设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数. （1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；（2）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）故可以选择)0()(>=x x x f .7. 【2014高考湖南卷第3题】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 38. 【2014高考湖南卷第8题】某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q + B.(1)(1)12p q ++-19. 【2014高考湖南卷第10题】已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（） A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee -10. 【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .11. 【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．12. 【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞13. 【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （）A.1B. 2C. 3D. -114. 【2014辽宁高考理第3题】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>15. 【2014辽宁高考理第12题】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（） A ．12 B ．14 C ．12π D ．1816. 【2014全国1高考理第3题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数17. 【2014全国2高考理第15题】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.18. 【2014山东高考理第3题】函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（）A. )21,0(B. ),2(+∞C. ),2()21,0(+∞D. ),2[]21,0(+∞19. 【2014山东高考理第8题】已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（） A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,)+∞ 【答案】B【解析】由已知，函数()|2|1,()f x x g x kx =-+=的图象有两个公共点，画图可知当直线介于121:,:2l y x l y x ==之间时，符合题意，故选B .考点：函数与方程，函数的图象.20.【2014四川高考理第9题】已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-.现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ≥.其中的所有正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.21. 【2014四川高考理第12题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = .22. 【2014浙江高考理第6题】已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c23. 【2014浙江高考理第7题】在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（）答案：Ｄ解析：函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案Ａ没有幂函数图像，答案Ｂ()0a y x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案Ｃ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案Ｄ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选Ｄ考点：函数图像.24. 【2014浙江高考理第15题】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______25. 【2014重庆高考理第12题】函数2()log )f x x =的最小值为_________.26. 【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =27. 【2014陕西高考理第11题】已知,lg ,24a x a ==则x =________.28. 【2014天津高考理第4题】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（）（A ）()0,+¥（B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?29. 【2014天津高考理第14题】已知函数()23f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()()0,19,+∞．30. 【2014大纲高考理第12题】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--。

高考数学《函数-填空题》专题复习

第二章函数考试内容：映射.函数.函数的单调性.奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用． 1．（2007北京理)已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是． 2．（2007北京文)已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．3．(2007海南、宁夏理)设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a 1- ．4．(2007海南、宁夏文)设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = -1 ．5. （2007湖北理）已知函数y=2x-a 的反函数是y=bx+3,则 a= 6 ;b=21.6．（2007江西文）已知函数y ＝f(x)存在反函数y ＝f －1(x)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象经过点(3，1)，则函数y ＝f －1(x)的图象必经过点 (14)，． 7．（2007辽宁文）已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= 1 ．8．（2007辽宁理）已知函数2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a = -1 ．x1 2 3 ()f x 131x1 2 3 ()g x321 x 123 ()f x2 1 1 x 1 23 ()f x32 19．（2007山东文）设函数1()f x =21323()()x f x x f x x -==，，，则123(((2007)))f f f =12007．10.（2007上海理）函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f）（11≠-x x x．11.（2007上海文）函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f )0(11≠+x x．12.（2007四川理）若函数f (x )=e -(m -u )2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数，则m +u = 1 .13.（2007浙江文）函数)R x (1x x y 22∈+=的值域是_____[0，1)_________．14.（2007全国Ⅰ文、理）函数y=f(x)的图像与函数y =log 3x (x >0)的图像关于直线y=x 对称，则f (x )= 3()xx ∈R15.（2007上海理）方程 96370x x -•-=的解是 7log 3．16.（2007上海文）方程9131=-x 的解是 1-=x ．17.（2007上海理）函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 {}34≠<x x x 且18．（2007江西理）设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为 [5)+，∞ ．19．（2007山东文）函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 1 ．20.（2007山东理）函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0,则nm 21+的最小值为 8 .21.（2007重庆理）若函数f(x) = 1222--+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为___[]10-，____.22.（2007重庆文）函数452222)(+++-=x x x x x f 的最小值为 1+22 。

高考数学函数填空拔高100题学生.docx

函数填空100题1-已知］•・ = /+加通过点(1, 2),与y - -x12x有一个交点，交点横坐标为？q，设y =■ ayr与¥ = —-F 2x所围成的面积为S ,贝】J S取得最小值■ ■为____________________ .2.如图是y = /(x)的导函数的图像，现有四种说法：②x = -l是/(劝的极小值点；③f(x)在(2,4)上是减函数，在(-1,2)上是增函数；④x = 2是/(x)的极小值点；以上正确的序号为3.己知函数f(x) =e x—x- 1,其中&H0.若对一切xGR, f(方20恒成立，则日的取值集合______________ .y _ 1 ］ V 丫 V O4.定义在(0g：上的函数/(兀)满足：①当从［1,3)时，/(x)= o ~ 一〜②3- x, 2 < x < 3,/(3x) = 3f(x),设关于兀的函数F(兀)=f(x)-1的零点从小到大依次记为若,尢2，兀,…，则兀］+七+花= _________ .5.已知函数f (x) =e iix—x-1,其中aHO.若对一切xER, f(x)$0恒成立，则Q的取值集合 ______________ •6. 设定义在/?上的函数/(x)满足/(»•./(斗2) =201 ,若/(1) = 2 ,则/(99)= ________ ・2kx , x<l,7. 设函数f(x) = 1 则满足/(%) < 2的x 的取值范围是 _____ . |^1 -log 2x, x>L8. 定义在实数集R 上的函数/(x),如果存在函数g(x) = Ax+B (A 、B 为常数)，使得f(x)>g(x)对一切实数x 都成立，那么称g(x)为函数/(兀)的一个承托函数.给出如下四个结论：① 对于给定的函数/(%)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；② 定义域和值域都是R 的函数/(x)不存在承托函数;③g(x) = 2x 为函数/(x) = \3x\的一个承托函数;④g(x) = ^x 为函数/(%) = %2的一个承托函数. 其中所有正确结论的序号是10. 已知/(兀)=一(兀-I)?+加，g(x) = xe\ w w R ，使得/(西)》^(兀2)成立，则实数加的取值范围是 ______ .e x-i x >011. 己知函数/(x) = < r J 若关于X 的方程/(x)= x-a 有三个不同的实-x^-2x x<0根，则实数d 的取值范围是•12. 设加为不小于2的正整数，对任意HG Z ,若n = qm+r (其中q, r G Z ,且 0^r<m),则记九(对=厂，如4 ,厶⑻=2.下列关于该映射九：Z T Z 的命题中，正确的是. ① 若&, beZ '则 f m (a+b) = f m (a) + 九(b)② 若 a, b , kWL,且 f m (a) = f m (b)，则 f in (ka) = f ni (kb)③ 若 a ，b , c, dwZ,且九, Z n (c) = f m (d),则九 @ + ©=亢5 + “④ 若a, b, c, dwZ,且f tn (a) = f m (b)t f m (c) = f m (d)9 则f m (ac) = f m (bd). 13 .已知定义在R 上的函数y = /(x)存在零点，且对任意m, R 都满足/[m/(m) + /(/!)] = /2(m) + 77. 若关于兀的方程I /[/W]-31= 1 -log, x{a >0,1)恰有三个不同的根，则实数Q 的取值范围是■9. x-l -2 设 f (x) = v J 1 + x 2 1*1 W 〉1 则 f[f(»—14.关于x方程一-x = lnx有唯一的解，则实数d的取值范围是_________ •a15.已知函数/d) = (p-")e=W0, gd)»3 + 2£,若函数g(兀)恰有两个不同的~x^ + 4x + 3, x >(X零点，则实数£的取值范围为______ .16.对于两个图形耳,耳,我们将图形百上的任意一点与图形坊上的任意一点间的距离屮的最小值，叫做图形斤与图形代的距离.若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数” •给出下列儿对函数，其中互为“可及函数”的是 ______ .(写出所有正确命题的编号).①f(x) = cosx,g(x) = 2；②f(x) = e x, g(x) = x；③/(x) = log2(x2一2兀 + 5), g(兀)=sin彳兀；2④/(x)=兀 + 一， g(x) = lnx+2；x⑤/(兀)=丁4_兀2 ,呂(兀)=£兀+芋.4 417.已知函数= 有三个零点，则实数加的取值范围为.x+2m18 •已知函数f(x) = \nx —— (m G R)在区间[1,可上取得最小值4,则m =x19.函数/(x) = log, (x2-6x + 5)的单调递减区间是___________ .220.若函数/(X)= X3+3X对任意的m G [-2,2],f(mx-2) + f(x) < 0恒成立,则XG _____ •, I a2 -ba/ x z 、21.对于实数°和b,定义运算“，设.幷)=佗—1*)坯1 )[b^ - cib. a > b且关于X的方程为f (£) = G R)恰有三个互不相等的实数根兀[,兀2，兀3，则州兀2兀3的取值范围是__________ .22. 定义在/?上的函数/（兀）满足：/（1） = 1,且对于任意的xeR,都有广（兀）< 丄, 则不等式/（10g 2 X ）>1°02；+1的解集为 __________________23. 已知函数/（劝的定义域［-1, 5］,部分对应值如表,/（兀）的导函数y = f （x ）的图象如图所示，下列关于函数于（兀）的命题； ② 函数/*（兀）在［0, 2］上是减函数;③ 如果当xe ［-l,r ］时，/（兀）的最大值是2,那么t 的最大值为4；④ 当1 <a<2时，函数y = f （x ）-a 最多有4个零点.其中正确命题的序号是 ____________ .24. 已知函数/（对』（牛-“0，兀*0,蛉）=/（兀）+ 2「若函数&（力恰有两个不同的一 jr +4x + 3,x>0、零点,则实数£的取值范围为 _______ ・25. 若存在实常数£和〃，使得函数/（切和&（兀）对其定义域上的任意实数*分别满足: M n kx+b 和g （x ） <kx+b ,则称直线l ：y = kx + b 为/（x ）和g （兀）的“隔离直线”.2已知函数于（兀）=兀T 和函数g&） = 21n 兀,那么函数于（兀）和函数g （兀）的隔离直线方程为 _ .26. 设函数 f （x ） = a x + b x - c x ,其中 c> a>O,c> b>0 .（1）记集合M =｛（d,/?,c ）|o,b,c 个能构成一个三角形的三边长，且a = b ］,则（d,/?,c ） wM 所对应的/（%）的零点的取值集合为 ______ ；（2）若a,b,c 是AABC 的三边长，则下列结论正确的是 ______ （写出所有正确结论的序号）.X -10 2 4 5 F(x)1 2 1. 5 2 1①函数/（兀）的值域为［1, 2］；①对于区间（Y0,1）内的任意X，总有/（X）> 0成立;②存在实数X,使得a\b\c x不能同时成为任意一个三角形的三条边长;③若C4CB<0,则存在实数XG(1,2),使 /(%) = 0 .(琨不:AB = CB-CA)（第（1）空2分，第（2）空3分）1-| X-1|5XG[0,2J 27.己知函数/（%）= < ^/(X-2),XG(2,+QC)k若x〉0时，/（%）<-恒成立，则实X数k 的取值范围是 _____28..给出下列命题：① 已知线性回归方程$ = 3 + 2x,当变量兀增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；②在进制计算中，100⑵=11⑶；③ 若g 〜NW 1),且 P(0<^<3) = 0.4,则 P(^>6) = 0.1；④“ a = （/-兀加”是“函数y = cos 2 （ax ） - sin 2 （ax ）的最小正周期为4”的充要条件；为m,贝ij M+m=4027,其中正确命题的个数是 ____ 个。

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2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）14.将直线1:10lxy、2:0lnxyn、3:0lxnyn（*nN，2n）
围成的三角形面积记为nS，则limnnS 12 。
解析：B)1,1(nnnn 所以BO⊥AC，

n
S
=

)1(21)2221(221nnn

所以limnnS12
（2010上海文数）9.函数3()log(3)fxx的反函数的图像与y轴的交点坐标是 (0,2) 。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数3()log(3)fxx的反函数为33xy，另x=0，有y=-2

法二：函数3()log(3)fxx图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log(3)fxx的反
函数的图像与y轴的交点为（0，-2）

（2010湖南文数）10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次
试点的加入量可以是 g

【答案】171.8或148.2

【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为
110＋（210－110）0.618＝171.8
或 210－（210－110）0.618＝148.2
【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。

（2010陕西文数）13.已知函数f（x）＝232,1,,1,xxxaxx若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .
解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
（2010重庆文数）(12)已知0t，则函数241ttyt的最小值为____________ .

解析：241142(0)ttyttttQ，当且仅当1t时，min2y
（2010浙江文数）（16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，
七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售
总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值。
答案：20

（2010重庆理数）（15）已知函数fx满足：114f，4,fxfyfxyfxyxyR，
则2010f=_____________.
解析：取x=1 y=0得21)0(f
法一：通过计算)........4(),3(),2(fff，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故2010f=f(0)= 21

（2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-1x,对任意x[1,），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取
值范围是________
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知f（x）为增函数且m≠0
若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。

M<0，时有22111102()012mmxmxmxmxmxxmxm•因为22yx在[1,)x上

的最小值为2，所以1+212m即2m>1,解得m<-1.
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求
解。

（2010天津理数）（16）设函数2()1fxx，对任意2,3x，
2
4()(1)4()xfmfxfxfmm





恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得22222214(1)(1)14(1)xmxxmm在3[,)2x上恒定成立，即
2
22

13241mmxx在3
[,)2x
上恒成立。

当32x时函数2321yxx取得最小值53，所以221543mm，即22(31)(43)0mm，解

得32m或32m
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求
解

（2010广东理数）9. 函数()fx=lg(x-2)的定义域是 .
9． (1,+∞) ．∵10x，∴1x．

（2010广东文数）

（2010全国卷1理数）(15)直线1y与曲线2yxxa有四个交点，则a的取值范围
是 .
（2010湖南理数）14．过抛物线22(0)xpyp＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,AB两点，
,AB
在x轴上的正射影分别为,DC．若梯形ABCD的面积为122，则p ．

3. （2010福建理数）15．已知定义域为0（，）的函数f(x)满足：①对任意x0（，），恒有
f(2x)=2f(x)
成立；当x]（1，2时，f(x)=2-x。给出如下结论：
①对任意mZ，有mf(2)=0；②函数f(x)的值域为[0，）；③存在nZ，使得nf(2+1)=9；④“函
数f(x)在区间(,)ab上单调递减”的充要条件是 “存在Zk，使得
1(,)(2,2)kkab


”。
其中所有正确结论的序号是。
【答案】①②④

【解析】对①，因为m2>0，所以mf(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。
【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。

4 . （2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

5. （2010江苏卷）11、已知函数21,0()1,0xxfxx,则满足不等式2(1)(2)fxfx的x的范围是__▲___。

[解析] 考查分段函数的单调性。2212(1,21)10xxxx
6. （2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，
记2(S梯形的周长）梯形的面积,则S的最小值是____▲____。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为x，则：222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx

（方法一）利用导数求函数最小值。
224(3)()13xSxx，22
22
4(26)(1)(3)(2)()(1)3xxxxSxx






22
2222
4(26)(1)(3)(2)42(31)(3)(1)(1)33xxxxxxxx





1
()0,01,3Sxxx
，

当1(0,]3x时，()0,Sx递减；当1[,1)3x时，()0,Sx递增；

故当13x时，S的最小值是3233。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令1113,(2,3),(,)32xttt，则：2224418668331tStttt
故当131,83xt时，S的最小值是3233。