一元二次方程的实际应用
一元二次方程与实际问题
一元二次方程与实际问题一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c是已知的实数常数。
它在数学中被广泛应用，尤其在解决实际问题时，具有重要的意义。
一元二次方程与实际问题的关联在于它可以描述许多物理、经济、工程和自然科学现象。
下面将介绍一些常见的实际问题，并用一元二次方程解决它们。
1. 自由落体问题：考虑一个物体从高度h自由落下，并以初速度为0的条件下落。
重力以加速度g=9.8m/s²的恒定速度使物体加速下落。
通过运用运动学公式，可以将物体的下落时间t与下落距离h之间的关系表示为：h=gt²/2。
整理得到ht²-2h=0，这是一个一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到物体下落的时间和下落的距离。
2. 抛物线轨迹问题：许多物理和运动问题都涉及抛物线轨迹。
例如，一个抛射物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
给定抛射角度θ和初速度v，可以得到抛射物体的运动轨迹方程y=x*tanθ - (g*x²) /(2v²*cos²θ)。
这是一个一元二次方程，其中x表示水平方向的距离，y表示竖直方向的高度。
通过解这个方程，可以计算出物体在不同时间和位置的高度。
3. 经济成本问题：一元二次方程也可以用于经济领域的成本分析。
例如，考虑一个企业的总成本函数C(x)=ax²+bx+c，其中x表示生产的数量，a、b、c是已知的实数常数。
通过求解C'(x)=0，即求解一阶导数为零的方程，可以找到企业的最低成本点。
这个点对应的x值就是企业的最优生产数量。
以上只是一些例子，实际应用一元二次方程的问题非常广泛。
通过将实际问题转化为数学模型，应用一元二次方程的解法，可以更好地理解和解决各种现实问题。
一元二次方程的解法及实际应用
一元二次方程的解法及实际应用一、引言在数学中，一元二次方程是一种常见的形式，它可以用来解决很多实际生活中的问题。
本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨一些实际应用。
二、一元二次方程的解法1. 标准形式一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0。
其中，a、b、c分别代表方程中的系数，且a ≠ 0。
2. 利用“求根公式”解方程一元二次方程可通过求根公式来解决。
求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
- 若b² - 4ac > 0，方程有两个不同实数根；- 若b² - 4ac = 0，方程有一个实数根，且为重根；- 若b² - 4ac < 0，方程无实数根，但可以有复数根。
三、实际应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动问题可以通过一元二次方程来建模和求解。
例如，当我们抛出一个物体时，可以通过解一元二次方程来计算物体的落地时间、最高高度等。
2. 金融领域一元二次方程在金融领域中也有实际应用。
例如，在债券定价中，可以使用一元二次方程来计算债券的到期回报率；在利润预测模型中，可以通过一元二次方程来估计销售量与利润之间的关系。
3. 工程建模在工程领域中，一元二次方程经常用于建立工程模型和解决实际问题。
例如，用于预测水位变化情况、建筑物的稳定性分析等。
4. 生活中的应用一元二次方程还广泛应用于我们的日常生活中，例如：- 菜价预测：可以使用一元二次方程拟合历史数据，预测未来的价格变动趋势；- 汽车刹车距离计算：根据实验数据构建一元二次方程，通过计算得到刹车距离；- 光学仪器矫正：利用一元二次方程来计算镜片的度数以及矫正度数；- 音乐振动学：通过一元二次方程来计算乐器的音调和共振频率。
四、结论一元二次方程作为数学中常见的形式，具有广泛的实际应用领域。
掌握一元二次方程的解法有助于我们在解决实际问题时提供更准确的结果。
一元二次方程的实际应用与解法
一元二次方程的实际应用与解法一元二次方程是数学中常见的一种类型方程，表达形式为ax^2 + bx + c = 0。
本文将介绍一元二次方程的实际应用以及解法。
一、一元二次方程的实际应用一元二次方程广泛应用于各个领域，特别是在物理学、工程学和经济学等实际问题的建模与求解中。
以下是一些常见的实际应用：1. 物体运动问题：对于抛体运动或自由落体运动等问题，可以通过一元二次方程来描述物体的运动轨迹。
例如，当我们知道一个物体的初速度、重力加速度和运动时间时，可以使用一元二次方程来求解物体的最终位置。
2. 地面覆盖问题：在城市规划中，经常需要考虑各类设施的地面覆盖范围。
通过一元二次方程可以描述设施的传播范围和受影响区域的大小。
例如，对于一个无线网络信号的传播范围，可以通过一元二次方程来计算无线信号的衰减程度和覆盖范围。
3. 财务问题：在经济学中，一元二次方程常应用于财务问题的建模与解决。
例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算某项投资的回报率和投资时间。
此外，一元二次方程也可用于计算生产成本与产量之间的关系等。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积，即可直接得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，从而得到x = 1和x = 3两个解。
2. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求根公式来计算。
根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，可以得到方程的解。
其中，a、b和c 分别代表方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
3. 完全平方式：当一元二次方程的解可以表示为一个完全平方数时，可以通过完全平方式求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而得到x = -3作为方程的解。
(完整版)一元二次方程应用题精选(附答案)
一元二次方程应用题精选1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部，求小路宽的宽度．分作为耕地要使耕地的面积是540m210、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?11、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？12、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
利用一元二次方程解决实际问题
(利用一元二次方程解决实际问题) 一元二次方程是一个形式如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
它的解可以通过使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。
利用一元二次方程，我们可以解决许多实际问题，如求解物体的运动轨迹、解决几何问题等等。
下面将通过几个实际问题的例子来说明如何利用一元二次方程解决实际问题。
例1：一个石头从100米高的地方自由落下，求石头落地时的速度和落地时间。
解：根据物体自由落体运动的规律，石头落地时的速度可以通过一元二次方程求解。
设石头落地时的速度为v，落地时间为t，则有以下等式：100 = 0.5 * g * t^2 （物体自由落体的位移公式）v = g * t （物体自由落体的速度公式）其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2。
将第二个等式代入第一个等式中，得到：100 = 0.5 * (v/t) * t^2200 = v * t将上述方程组代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：t^2 - (200/v) * t + 0 = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：t = (200/v)/2 = 100/v将t代入第二个等式中，得到：v = g * (100/v)v^2 = 100 * gv = √(100 * g) ≈ 31.3 m/s所以，石头落地时的速度约为31.3 m/s，落地时间为t = 100/v ≈ 3.2 s。
例2：一个花瓶从楼顶上掉下来，从花瓶掉到地面的时间为5秒，求楼顶的高度。
解：根据物体自由落体运动的规律，花瓶掉到地面的时间可以通过一元二次方程求解。
设楼顶的高度为h，则有以下等式：h = 0.5 * g * t^2其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2，t为花瓶掉到地面的时间，取5秒。
将上述方程代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：0.5 * g * t^2 - h = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：h = 0.5 * g * t^2 = 0.5 * 9.8 * 5^2 = 122.5 m所以，楼顶的高度为122.5米。
数学教案一元二次方程的应用(6篇)
数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一元二次方程应用题和答案
一元二次方程应用题部分一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；3.列:列代数式,列方程；4.解:解所列的方程；5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注：列方程解应用题的关键是: 找出等量关系；所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数（字母）表示，根据题目中提供的条件列出两个代数式，这两个代数式表示同一个量（这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数），用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。
二、《一元二次方程》，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型：一）求互相联系的两数(数与数字方面的应用题)：连续的整数：设其中一数为x ，另一数为x+1；（x-1，x ，x+1）。
连续的奇数：设其中一数为x ，另一数为x+2；（x-2，x ，x+2）。
连续的偶数：设其中一数为x ，另一数为x+2；（x-2，x ，x+2）。
和一定的两数（和为a ）：设其中一数为x ，另一数为a-x 差一定的两数（差为a ）：设其中一数为x ，另一数为x+a 积一定的两数（积为a ）：设其中一数为x ，另一数为a/x 商一定的两数（商为a ）：设其中一数为x ，另一数为ax （x/a ） 例：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。
解：设其中一数为x ，另一数为x+2， 依题意得：x （x+2）＝168 x 2+2x-168=0（x-12）（x+14）＝0 x 1=12，x 2 =－14当x ＝12时，另一数为14； 当x ＝-14时，另一数为-12.答：这两个偶数分别为12、14或-14、-12. 二）百分数应用题（含增长率方面的题型） 三）传染问题：（几何级数）传染源：1个【 每一轮1个可传染给x 个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x ）】 患者： 第一轮后：共（1+x ）个第二轮后：共（1+x ）•（1+x ），即（1+x ）2个第三轮后：共（1+x ）•（1+x ）•（1+x ），即（1+x ）3个 ……第n 轮后：共（1+x ）n个[注意：上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。
一次函数与一元二次方程的实际应用
一次函数与一元二次方程的实际应用一次函数和一元二次方程是数学中常见的数学概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将探讨一次函数和一元二次方程的实际应用，并分析其在不同领域中的具体应用案例。
一、一次函数的实际应用一次函数（线性函数）的一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
一次函数可以用来表达一些简单的线性关系，例如速度和时间、温度和时间等。
1. 金融领域：一次函数在金融领域中的应用非常广泛。
例如，银行的年利率计算中就使用了一次函数。
假设某银行的年利率是 5%，那么在一个存款周期（一年）内，存款金额 y 就是存款本金 x 乘以 1.05。
这个关系可以用一次函数形式表示为 y = 1.05x。
2. 经济领域：一次函数可以用来分析经济中的供求关系。
就业市场中，一个公司的雇员数量 y 可以表示为公司销售收入 x 的函数。
如果假设公司的销售收入每增加 100 万元，就需要雇佣 10 名雇员，那么这个关系可以用一次函数表示为 y = 0.1x。
这个函数可以帮助企业预测未来的人力资源需求。
3. 工程领域：一次函数在工程中也有广泛的应用。
例如，架设电线杆的成本可能与所用的原材料长度成正比。
假设每米原材料的成本为100 元，那么架设一根长度为 x 米的电线杆所需的成本 y 可以用一次函数表达为 y = 100x。
二、一元二次方程的实际应用一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
一元二次方程的实际应用非常广泛，例如经济学、物理学、工程学等领域。
1. 抛物线轨迹：抛物线是一元二次方程的图像，它在物理学中有着广泛的应用。
例如，一个抛体在自由落体运动中的轨迹可以用一元二次方程来描述。
假设一个物体从高度 H 抛掷，并以速度 V 抛出，那么物体的运动轨迹可以用一元二次方程 h = -g/2t^2 + Vt + H 来描述，其中g 是重力加速度， t 是时间， h 是物体的高度。
利用一元二次方程解决实际问题
利用一元二次方程解决实际问题一元二次方程是中学数学中的重要内容，它在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将通过具体的例子，介绍如何利用一元二次方程解决实际问题，并展示其实用性和重要性。
一、利用一元二次方程解决跳伞问题假设小明从飞机上跳伞，下降过程中受到空气阻力的影响，他的下降速度可以用一元二次方程来表示。
已知小明的初始高度为h0，下降过程中的时间为t，下降速度为v，空气阻力为k，可以得到如下一元二次方程：h(t) = h0 - v*t - k*t^2通过解这个一元二次方程，我们可以得到小明下降到地面的时间。
这个问题在实际生活中很有实用性，可以帮助判断跳伞过程中的安全性和合理性。
二、利用一元二次方程解决抛物线问题抛物线是一种常见的曲线形状，在实际问题中也经常出现。
例如，一个物体从离地面h0高度处以初速度v0水平抛出，受到重力的影响，可以用一元二次方程来表示其运动轨迹。
已知重力加速度为g，抛物线的方程可以表示为：h(t) = h0 + v0*t - 0.5*g*t^2通过解这个一元二次方程，我们可以得到物体落地的时间以及落地的位置。
这个问题在物理学中经常出现，也是解决实际问题的重要工具。
三、利用一元二次方程解决汽车行驶问题假设一辆汽车以初速度v0匀速行驶，经过t小时后速度增加了a，行驶的距离可以用一元二次方程来表示。
已知汽车的初始位置为s0，行驶的时间为t，行驶的距离为s，可以得到如下一元二次方程：s(t) = s0 + v0*t + 0.5*a*t^2通过解这个一元二次方程，我们可以得到汽车行驶的时间和行驶的距离。
这个问题在实际生活中很有实用性，可以帮助计算汽车行驶的时间和距离，以便合理安排行程。
总结通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在解决实际问题中的重要性和实用性。
利用一元二次方程，我们可以解决跳伞、抛物线和汽车行驶等各种实际问题，帮助我们做出合理的决策和计算。
因此，掌握一元二次方程的解法和应用是中学数学学习的重要内容，对中学生和他们的父母来说都具有重要的意义。
一元二次方程的实际应用教案
教学过程一、复习预习我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下：1. 用直接开平方法解方程，得方程的根为（）A. B.C. D.2. 方程的根是（）A．0 B．1 C．0，－1 D．0，13. 设的两根为，且＞，则＝。
4. 已知关于的方程的一个根是－2，那么＝。
5.＝今天我们将继续学习列方程解应用题。
大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200x2－30x+200=0解得:x2=20 x2=10答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。
二、知识讲解1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．2.数与数字的关系:两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字3.翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．4.增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的m(1+x)2＝n (m＜n).如果是下降率则为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的m(1－x)2＝n (m＞n).5.经济问题常用的公式：（1）利润=售价-进价；（2）售价=标价×折扣；（3）利润率=利润÷进价×100%.6.列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．考点/易错点1要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系.考点/易错点2由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的.三、例题精析【例题1】【题干】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.【答案】解:设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答:这两个月的平均增长率是10%.【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.【变式练习】【题干】某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率．【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为．根据题意，得．解这个方程，得，（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为．【解析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．【例题2】【题干】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？【答案】解:根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答:需要进货100件，每件商品应定价25元.【解析】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点,根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价-每件进价,建立等量关系.【例题3】【题干】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）【答案】解:设第一次存款时的年利率为x,则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.答:第一次存款的年利率约是2.04%.【解析】储蓄问题关键是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期数）,这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.【例题4】【题干】某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?【答案】解：设每张贺年卡应降价x元则（0.3-x）（500+）=120解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．【解析】本题是“每每问题”，得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点，根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．【变式练习】【题干】商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）【答案】解：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，即（元），则每天可销售商品30件，即（件）商场可获日盈利为（元）（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为元，则每件商品比130元高出元，每件可盈利元,每日销售商品为（件）依题意得方程整理，得即解得答：每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元．【解析】解与变化率有关的实际问题时：（1）注意变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．【例题5】【题干】如图，有一块长80cm，宽60cm的硬纸片，在四个角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.【答案】解：设截去的小正方形的边长为cm，则整理，得解得因为，所以不合题意，舍去所以答：截去的小正方形的边长为15cm【解析】用到的知识点是长方形的面积公式、解一元二次方程，注意把不合题意的解舍去．【例题6】【题干】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。
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小专题：一元二次方程的实际应用大全 题型一：传播问题 1.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( )
A.10只 B.11只 C.12只 D.13只 2.某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为_____.
3.某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌? (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 4.有人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信一个人要向几个人发送短信？
5.(襄阳中考)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感. (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 方法点拨：分裂问题与传播问题有不同（1）分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计在分裂总数中，若每一个细胞分裂成x个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为2x。（2）传播问题：传染源在传播过程中，原传染源计数在传染结果中，若每一个传染源每次传染x个个体，则第一次传染后感染个体总数为(1)x，第一次传染后感染个体总数为2(1)x。 题型二：增降率问题 1.(广东中考)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 2.某公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8%.该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万元.若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数.
3.( 2017四川巴中， 6分)巴中市某楼盘准备以每平方5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4050 元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率.
4.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.
(1)求每年市政府投资的增长率； (2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房. 5.（2017重庆，23，10分）（本小题满分10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一总分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m %，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2 m %，但销售均价比去年减少了m %．该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值． 6.（2017湖南常德，23，8分） 收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分．下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
甜甜： 妹妹： 请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？ （2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？ 方法点拨：若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．变化率问题中常用a（1±x）n=b，其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x是变化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.第三次的增长可用第二次增长(或降低)后的数量×(1±x)，不要计算a(1±x)3太复杂：最后的数量关系可能有多种：如第二次增长后是b，则a(1±x)2；若说三次总和为b则a+a(1±x)+a(1±x)2=b，第三次是第一、二次的总和等等，大家只要把握每次增长的算式就可以根据题意列出了； 题型三：几何图形问题 1. 为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的
宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平
2017年六一，我们共收到484元微信红包
2015年六一时，我们只共收到400元微信红包，
不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元 行四边形) 2.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么？ 3.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？ (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？ 4. 在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.
(1) 同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.
(2) (2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.
方法点拨：面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．
如推箱子法：变为 计算空白面积即可。
题型四:利润问题 1.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定： 如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵， 所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最 终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？ 2.（2017山东菏泽，19,7分）某玩具厂生产一种玩具，按照控制成本加捻促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天课多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
3. （2017四川眉山，24，9分）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
方法总结：常用数量关系 单间利润=售价减进价；单件利润×销售量=总利润；销售额-成本=总利润； 利润率=利润÷进价；售价=进价（1+利润率） 题型五：握手问题 1.(天津中考)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A.21x(x+1)=28 B.21x(x-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28 2.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )
A.x(x-1)=10 B.2)1(xx=10 C.x(x+1)=10 D.2)1(xx=10 3.是否存在一个凸多边形共有27条对角线，若存在，求这个多边形的边数；若不存在，请说明理由. 4.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
方法点拨：求循环问题的总次数分两种：两个元素为一次的单循环和两个元素为两次的双循环，在n个元素内，单循环的总次数是(1)2nn，双循环的总次数是(1)nn
题型六：数字问题 1.两个连续偶数的和为6，积为8，则这两个连续偶数是_____. 2.一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
3.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )
A.a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B.a2+(a+4)2=10a+a-4-4 C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D.a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4 4.一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
题型七：浓度问题 1.一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L
题型八：图表问题 1.（2017江苏淮安，26，10分）某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图像，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．