点集与数集的表示方法(一)
课时2 集合的表示方法(26页)
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,
≠ 0,
即
= (-8)2 -4 × × 16 < 0,
解得k>1.
综上,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.
当堂检测
1.已知集合A= {x∈N|x<6},则下列关系式不成立的是 (
延伸探究 若把【例 3】中的集合改为 A= (x,y) = 2 ,哪
位同学解答正确?
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
典型例题
探究三：集合表示方法的选择与转换
例4用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组
2-3 = 14,
的解组成的集合;
3 + 2 = 8
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
分析:依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
典型例题
= 4,
2-3 = 14,
解:(1)解方程组
得
= -2,
3 + 2 = 8,
故该集合用列举法可表示为{(4,-2)}.
2-3 = 14,
该集合也可用描述法表示为 (,)
提示:它们是互不相同的集合.
①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值的集合,所以{x|y=x2+1}=R;
②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值的集合,因为y≥1,所以
{y|y=x2+1}={y|y≥1};
高中数学_集合
集合知识图谱集合的概念与表示知识精讲一、集合的概念1.概念一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.集合常用大写字母 A B C ，，．．．表示；元素常用小写字母 a b c ，，．．．表示．2.元素与集合的关系关系记作读作a 是集合A 的元素a A ∈a 属于A a 不是集合A 的元素a A∉a 不属于A3.空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.例如把方程12x x +=+的解构成一个集合，则这个集合是空集.4.集合的性质（1）确定性：集合的元素，必须是确定的．对于任意一个元素，都能明确判断出它是或不是某个集合的元素.（2）互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现．（3）无序性：集合中的元素没有先后顺序．如集合{},,a b c 与{},,c a b 表示同一集合．5.常用数集为了书写和应用的方便，规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集（1）非负整数集（自然数集）记作N .（2）正整数集记作*N （或N +）.（3）整数集记作Z .（4）有理数集记作Q .（5）实数集记作R .6.集合的分类二、集合的表示方法1.列举法：将集合中元素一一列举出来，例如{}1234，，，；2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，例如(){}21x y y x =-，；3.维恩（Venn ）图法：画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合，如表示集合{}123，，.三点剖析一.注意事项：1.a 与{}a 不相同，前者是元素，后者是集合，它们的关系是{}a a ∈.2.用描述法时，要会区分数集与点集，例如集合{}2320x x x -+=，其中元素是方程2320x x -+=的解；集合(){},320x y x y +-=表示直线320x y +-=上所有的点构成的集合.3.0、{}0、∅、{}∅的关系.数0不是集合；{}0是含一个元素0的集合；∅是不含任何元素的集合；{}∅是以∅为元素的集合.集合的概念例题1、已知集合A ={x |x 2-1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A ；②{-1}∈A ；③∅⊆A ；④{1，-1}⊆A ．A.1个B.2个C.3个D.4个例题2、下列判断正确的是（）A.0∉NB.1∈{x |（x -1）（x +2）=0}C.N *∈ZD.0={0}例题3、设不等式3-20x ＜的解集为M ，下列正确的是（）A.0,2M M ∈∈B.0,2M M ∉∈C.0,2M M ∈∉D.0,2M M∉∉随练1、下列说法正确的是（）A.-1N∈ B.2∈QC.π∉RD.∅⊆Z集合的性质例题1、下列每组对象能构成集合的是（）A.铜仁一中“迎国庆，大合唱”比赛中，唱的非常好的班级B.“文明在行动，满意在铜中”专项活动中，表现好的学生C.高一（16）班，年龄大于15岁的同学D.铜仁一中校园内，美丽的小鸟例题2、设集合{1,4,5}A =，若a A ∈，5a A -∈，那么a 的值为（）A.1B.4C.1或4D.0例题3、含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2,,0{}a a b +，则20132014_____a b +=．随练1、已知2是集合{0，a ，a 2－3a ＋2}中的元素，则实数a 为________．随练2、若2,{}3,4A =，},{,|,B x x n m m n A m n ==∙∈≠，则集合B 的元素个数为（）A.5B.4C.3D.2集合的表示方法例题1、集合{x|x 2-1=0}可以表示为（）A.{-1，1}B.{1}C.{-1}D.∅例题2、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A.3B.6C.8D.10例题3、定义集合A 、B 的一种运算：1212{|}*A B x x x x x A x B +∈==∈，，，若{}{1}2312A B ==，，，，，则*A B 中的所有元素之和为（）A.21B.18C.14D.9随练1、集合-2}3{|x N x ∈＜，用列举法表示是（）A.0,1,2{,3,4} B.1,2,{3,4} C.0,1,2,{3,4,5} D.1,2,3{,4,5}随练2、定义A-B={x|x ∈A 且x ∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N-M=（）A.MB.NC.{1，4，5}D.{6}集合之间的关系知识精讲一、子集与真子集1.子集（1）对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”.即若对任意的x A ∈，都有x B ∈，则称A 是B 的子集.（2）如果集合P 中存在着不属于集合Q 的元素，那么集合P 不包含于Q ，或Q 不包含P .记作P ⊈Q 或Q ⊉P.规定：空集是任意集合的子集.2.集合的相等一般地，如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的每一个元素都是集合A 的元素，那么我们就说集合A 等于集合B ，记做A B=即如果A B ⊆，又B A ⊆，则A B =；反之，如果A B =，则A B ⊆，且B A ⊆.3.真子集若A B ⊆，且A B ≠，则称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠或B A ⊃≠，读作“A 真包含于B ”，或“B 真包含A ”.4.子集个数若集合A 含有n 个元素，则：（1）A 的子集有2n 个；（2）A 的真子集有21n －个；（3）A 的非空子集有21n －个；（4）A 的非空真子集有22n -个．二、维恩图表示子集如图表示A B ⊆，C B Ú.三点剖析一.注意事项1.集合也可以作为元素，例如{1}{,{1},{2},{1,2}}∈∅；2.元素属于集合用“∈”；集合包含于集合用“⊆”.3.任意集合A 都是它本身的子集，即A A ⊆.二.方法点拨1.一般地，设(){}A x p x =，(){}B x q x =.若()p x 能推出()q x （记作()()p x q x ⇒），则A B ⊆；反之，若A B ⊆，则()()p x q x ⇒.例如集合{}3A x x =>，{}2B x x =>.可判断出“3x >”⇒“2x >”（若3x >，必有2x >），则A 是B 的子集，即A B ⊆.判断集合间的关系（包含或相等）例题1、含有三个实数的集合既可表示成{a ，ba，1}，又可表示成{a 2，a +b ，0}，则a +b =．例题2、下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A.M ={3，6}，N ={（3，6）}B.M ={π}，N ={3.1415926}C.M ={x |13,x x R <<∈}，N ={2}D.{5}{1,,|5M N ππ==，，，子集与真子集例题1、已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为（）A.6B.5C.4D.3例题2、已知集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，若B A Ü，则实数m 的取值集合是（）A.11{,}23- B.1{}2- C.1{}3D.11{,0,}23-例题3、已知集合A 满足{1,3}{1,3,5,7,9}A ⊆⊆，则满足条件的集合A 有（）A.4个 B.8个C.7个D.6个随练1、已知集合A ＝{x|x ＞－1}，则下列选项正确的是（）A.0A ⊆B.{0}A ⊆C.Aφ∈ D.{0}∈A随练2、设集合2{|}202|5{}0A x x x B x x =+=﹣﹣＜，﹣＞，则集合A 与B 的关系是（）A.B ⊆AB.B ⊇AC.B A∈ D.A B∈随练3、集合A={-1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有（）A.2个B.4个C.6个D.8个随练4、下列关系中正确的个数为（）①0∈0；②∅⊈{0}；③{0，1}⊆{0，1}；④{a ，b}＝{b ，a}．A.1 B.2 C.3 D.4随练5、己知集合{1,2,3},{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈+∈，则集合B 的真子集的个数为（）A.4B.7C.8D.16集合的运算知识精讲一．交集1.定义：一般地，对于两个给定的集合A ，B ，由属于集合A 又属于集合B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{}|.A B x x A x B =∈∈ 且例如：{}{}{}23,5,7,115,6,7,8,95,7= ，.用维恩图表示，图中阴影部分即为A ，B 的交集.2.交集的性质（1）A B B A = ；（2）A A A = ；（3）A A ∅=∅=∅ ；（4）如果A B ⊆，则A B A = .（5）A B A ⊆ ，A B B ⊆ .二．并集1.定义：一般地，对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A B（读作“A 并B ”），即{}|.A B x x A x B =∈∈ 或例如：{}{}{}1,2,33,4,51,2,3,4,5= 用维恩图表示，图中阴影部分即为A ，B 的并集.2.并集的性质（1）A B B A = ；（2）A A A = ；（3）A A A ∅=∅= ；（4）如果A B ⊆，则A B B = .三．补集1．全集在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示.例如，我们在研究数集时，常常把实数集R 作为全集.如果我们讨论的数仅限为自然数，我们可取自然数集N 为全集.2.补集如果给定的集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作U A ð，读作“A 在U 中的补集”.即{}|,.U A x x U x A =∈∉且ð全集通常用矩形区域表示.全集与它的任意一个真子集之间的关系，可用维恩图表示，如下图：3.补集的性质（1）U A A U = ð；（2）U A A =∅ ð；三点剖析一．必备公式（1）A A A = ，A ∅=∅ ，A B B A = ；（2）,A A A B B A ∅== ；（3）()()A B A B ⊆ ；（4）A B A B A ⊆⇔= ；A B A B B ⊆⇔= ；（5）()()A B C A B C = ；()()A B C A B C = ；（6）()()()A B C A C B C = ；()()()A B C A C B C = ；（7）()()()U UU B A B A = 痧；()()()U U U B A B A = 痧；（8）()()()().card A B card A card B card A B =+- （card 表示集合中元素的个数）二．方法点拨1.数轴在集合运算中的应用为了使集合的交、并、补关系直观形象地显示而利于运算，常利于数轴解决有关问题.例如已知全集U =R ，{}0A x x =≤，{}1B x x =≥，求集合()U A B ð.可先把A B 在数轴上表示出来，然后观察出其补集范围.2.Venn 图的运用进行较为复杂的交并补运算时，可用Venn 图讨论集合的关系，具有化抽象为具体的功能.3.补集思想当“正面”解决比较困难时，可以考虑问题的“反面”，最后去“补集”即可.例如已知集合{}24260A x x mx m =-++=，{}0B x x =<，若A B ≠∅ ，求实数m 的取值范围.此题可先求出当A B =∅ 时m 的范围，然后再取补集.集合的简单运算例题1、设集合A ＝{x ∈Z|（x －4）（x ＋1）＜0}，B ＝{2，3，4}，则A∩B ＝（）A.（2，4） B.{2，4} C.{3} D.{2，3}例题2、已知集合A ＝{1，2}，集合B 满足A ∪B ＝A ，则集合B 有________个．例题3、已知集合2{(,)|}A x y y x ==，{(,)|||}B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4随练1、已知集合A ＝{y|y ＝x 2＋1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x ＋1，x ∈R}，则A∩B ＝（）A.{1，2} B.{y|y ＝1或2}C.01(,)12x x x y y y ⎧==⎫⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎬==⎩⎩⎪⎭⎩或 D.{y|y≥1}随练2、已知集合M ＝{0，1}，N ＝{0，2，3}，则N∩M ＝（）A.{2}B.{1}C.{0}D.{0，1}集合的综合运算例题1、有15人进了家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种均没买的有人．例题2、已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，M ＝{0，1，2}，N ＝{2，3}，则（()U M N = ð（）A.{2}B.{3}C.{2，3，4}D.{0，1，2，3，4}例题3、已知集合P ={x ǀx -1≤0}，Q ={x ǀ0＜x ≤2}，则（C R P ）∩Q =（）A.（0，1）B.（0.2]C.[1，2]D.（1，2]随练1、设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}M =，{2,5}N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（）A.{5}B.{1,3}C.{2,4}D.{2,34}，随练2、已知集合2{|0}A x x x =-=，集合{|13}B x N x +=∈-<≤，则下列结论正确的是（）A.1()A B ⊆B.1()A B ∈C.A B =∅D.A B B= 集合新定义问题例题1、定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为（）A.0B.2C.3D.6例题2、对于集合A ，B ，定义运算：{}|A B x x A x B -=∈∉且，()()A B A B B A ∆=-- ．若{}1,2A =，{}|||2,B x x x Z =<∈，则A B ∆=________．例题3、已知集合M ＝{x ∈N*|1≤x≤15}，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②A 1∪A 2∪A 3＝M ；集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i （i ＝1，2，3），则X 1＋X 2＋X 3的值不可能为（）A.37B.39C.48D.57随练1、定义集合运算：A ⊙{|}B z z x x y x A y B ==+∈∈（），，，设集合{}{0}123A B ==，，，，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（）A.0B.5C.6D.7拓展1、（2014A={x ∈N|1＜x≤2}，则（）A.1∈AB.2AC.π∈AD.2∈A2、方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是（）A.{11}（，）B.{1}1， C.11（，） D.{}13、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（）A.1B.2C.3D.44、已知集合13{23}A m =+，，，集合2{}3B m =，．若B A ⊆，则实数m =．5、集合C ＝{（x ，y ）|y －x ＝0}，集合11{(,)|}222y x D x y y x⎧=+⎪=⎨⎪=-⎩，则集合C ，D 之间的关系为（）A.D ∈CB.C ∈DC.C ⊆DD.D ⊆C6、设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅ ，则实数的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.)1,(--∞ C.[1,)-+∞ D.[1,)+∞7、已知集合2{|}{|}44A x x x R B x x x Z =≤∈=∈，，，，则A B ⋂（）A.02（，）B.[0]2，C.{012}，， D.{0}2，8、设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，4}，B ＝{1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A.{4}B.{2，4}C.{4，5}D.{1，3，4}9、设集合{|4A x x =≤﹣或}{||21}3|x B x x ≥=≤，﹣，则等于R A B ⋂（）ð（）A.[2]4，B.[22﹣，）C.24∞⋃+∞（﹣，）（，）D.42∞⋃+∞（﹣，﹣）（﹣，）10、已知全集U 为R ，集合A ＝{x|0＜x≤2}，B ＝{x|x ＜－3或x ＞1}．求：（1）A∩B ；（2）∁U A∩∁U B ；（3）∁U （A ∪B ）．。
第1章1(1).1第2课时集合的表示 学案
第2课时集合的表示学习任务核心素养1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》(作者罗贯中)、《水浒传》(作者施耐庵)、《西游记》(作者吴承恩)、《红楼梦》(作者曹雪芹、高鹗)．四大名著是中国古典文学的精品，承载着中国文化的精髓．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？知识点1列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．1.方程x2＝4的解集用列举法表示为()A．{(－2,2)} B．{－2,2}C．{－2} D．{2}B[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？(1)满足x<1的所有实数组成的集合A；(2)所有有理数组成的集合Q.知识点2描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？[提示] (1)元素的共同特征为x ∈R ，且x <5. (2){x |x <5，x ∈R }．用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键是代表元素．如{x |x >3，x ∈R }是数集，{(x ，y )|y ＝x ＋1}是点集．2.(1)用描述法表示函数y ＝3x ＋1图象上的所有点的是( )A ．{x |y ＝3x ＋1}B ．{y |y ＝3x ＋1}C ．{(x ，y )|y ＝3x ＋1}D ．{y ＝3x ＋1}(2)用描述法表示不等式4x －5<7的解集为________．(1)C (2){x |x <3} [(1)该集合是点集，故可表示为{(x ，y )|y ＝3x ＋1}，选C. (2)用描述法可表示为{x |x <3}．]类型1 用列举法表示集合【例1】 (对接教材P 3例题)用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A ； (2)小于8的质数组成的集合B ；(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D . [解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A ＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7， 所以B ＝{2,3,5,7}．(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32，所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，32.(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)， 所以D ＝{(1,4)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．提醒：花括号“{ }”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R 不能表示成{R }．[跟进训练]1．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ； (2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N .[解] (1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素有－2，－1,0,1,2，故A ＝{－2， －1,0,1,2}．(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解为x ＝2或x ＝3， ∴M ＝{2,3}．(3)解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴B ＝{(3,2)}． (4)15的正约数有1,3,5,15，故N ＝{1,3,5,15}． 类型2 用描述法表示集合 【例2】 用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． [解] (1){x ∈R |1<x <10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x ，y )|x <0，且y >0}． (3){x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．描述法表示集合的2个步骤提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．[跟进训练]2．用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x 轴上的点组成的集合；(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；(3)使函数y＝2x－1有意义的实数x组成的集合．[解](1){(x，y)|x∈R，y＝0}．(2){(x，y)|y＝x2－4}．(3){x|x≠1}．类型3集合表示方法的综合应用【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．明确集合A的含义，由此转化成代数问题，即方程解的个数问题．[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．[解]由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点．2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程，而分为k＝0和k≠0两种情况进行讨论，从而做到不重不漏．3．解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．[跟进训练]3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ＝0或a ≥14 [当a ＝0时，方程有实数解x ＝－1，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝1－4a ≤0，解得a ≥14.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a ＝0或a ≥14.]1．集合{x ∈N |x －3<2}的另一种表示法是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}A [{x ∈N |x －3<2}＝{x ∈N |x <5}＝{0,1,2,3,4}．故选A.] 2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( ) A ．{x |－3<x <11，x ∈Z }B ．{x |－3<x <11}C ．{x |－3<x <11，x ＝2k }D ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D ，故选D.]3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}D [由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，y ＝－2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．] 4．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________． {－1,0,1,2} {x |－2<x <3，且x ∈Z } [大于－2小于3的整数为－1,0,1,2，故用列举法表示为{－1,0,1,2}，用描述法表示为{x |－2<x <3，且x ∈Z }．]5．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，用列举法表示集合A 为________． {－1,4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4， ∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？ [提示] 列举法和描述法．2．集合{x |y ＝x ＋1，x ∈R }，{y |y ＝x ＋1，x ∈R }，{(x ，y )|y ＝x ＋1}的含义有什么不同？[提示](1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1上的点(x，y)组成的集合．。
1.1集合及其表示方法
∉
填空： 例2.用∈ 或 ∉填空： 用 (1) 0____{0} ; (2) 0____ Ø ; (3) 0____N ; (4) -1____Z ; (5) π____Q ; (6) 0____N* .
例3． 用适当的方法表示集合： (1) |x|<5的所有整数； (2) 所有奇数构成的集合； (3) 方程(x-1)(x2+x-2)=0的解的集合； (4) 直角坐标平面上第三象限的点； (5) 函数y=|x|-3的所有函数值组成的集合.
，（0 分别与集合A={x|y=x 例4.判断元素 0，1，（0，1）分别与集合A={x|y=x2 +1}, 4.判断元素 +1}之间的关系 之间的关系。 B={y|y=x2 +1}, C={(x,y)|y=x2 +1}之间的关系。
的取值范围. 例5.已知 A={ , x2-x}, 求x的取值范围. 5.已知 A={2x },
记作“a ∈ A”，读作“a属于A”
如果a不是集合 的元素 如果 不是集合A的元素 不是集合
记作“a ∉ A”，读作“a不属于A”
2．集合元素的三个特性： (1)确定性：元素与集合的从属关系是明确的；
(a ∈ A, a ∉ A二者必居其一)
元素的属性是明确的（不能模棱两可） (2)互异性：集合中的元素是互不相同的； （即一个给定的集合中的任何两个元素 都是不同的对象） (3)无序性：不考虑元素之间的顺序.
3．集合的分类： （1）有限集：只含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合； （3）空集： 不含任何元素的集合。 记作: Ø 另外， 另外，根据集合元素的类型可以 把集合分成数集、点集等 把集合分成数集、
4．集合的表示方法： (1)列举法：将集合中的元素一一列出(不考 虑元素的顺序)，元素之间用逗号隔开， 并且写在大括号内。 (2)描述法：在大括号内先写出这个集合的 元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线 后面写出集合中元素所共同具有的特性
【高考调研】高一数学(人教A版必修一)课件：集合的含义与表示_1
要点4 非空集合的分类 有限集：含有 有限 个元素； 无限集：含有 无限 个元素．
1．“列举法只能表示有限集”对吗？ 答：不对．当构成集合的元素有明显规律时，可用列举法， 如{1,2,3,4,5，…}．
2．下列表示法： ①Q＝{全体有理数}；②R＝{实数集}是否正确？
答：不正确．①应为Q＝{x|x为有理数}＝{有理数}； ②应为R＝{x|x为实数}＝{实数}． 3．集合{x∈N|x3＝x}与集合{－1,0,1}相等吗？
(3)用于描述的语句力求简明、准确；多层描述时，应当准 确使用“且”、“或”．
思考题2 下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋ 1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？
【解析】 (1)由于三个集合的代表元素代表的对象互不相 同．∴它们是互不相同的集合．
答案 C
2．已知集合A＝{x|－1<x< 3，x∈Z}，则一定有( )
A．－1∈A
B.Байду номын сангаас2∈A
C．0∈A
D．0∉A
答案 C
3．(2013·江西)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个
元素，则a＝( )
A．4
B．2
C．0
D．0或4
答案 A
解析 由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时， 方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不 合题意舍去)．
答案 {1,2,5}
6．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则3____A,0____A，－ 1____A，－7____A.
答案 ∉ ∉ ∉ ∈
课时作业（二）
人教版-高一-数学-1.集合的含义与表示
集合的含义与表示一、知识概括1、集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），通常用小写拉丁字母a,b,c ,…表示。
把一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C ，…表示。
集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义概念。
某些教材中对集合的描述是：指定的某些对象的全体称为集合。
其中，注意理解（1）指定即说明某些对象具有共同的特征或共同的属性，说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准，而不是随意组合。
（2）对象在不同的集合中，应有不同的内涵。
在不同的集合中，元素还可能是人、物、质点或抽象事物等。
（3）全体说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列要求，没有一定的顺序关系。
【注】（1）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
（2）构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任何确定的对象。
2、集合元素的特性集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。
（1）确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。
如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不够明确，而“身高超过170cm 的同学”这一组对象可以构成一个集合。
（2）互异性集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次。
如方程0122=+-x x 的解构成的集合是{1}，而不能写成{1,1}（3）无序性集合中元素的排列次序无先后之分，如集合{1,2}和{2,1}是同一个集合。
3、集合与元素的关系元素与集合有属于（∈）和不属于（∉）两种关系。
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。
22人教A版新教材数学必修第一册课件--集合的表示法
“ | ”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合中元素 的取值范
围 需写明确，但若从上下文的关系看， ∈ 是明确的，则 ∈ 可以
省略，只写元素 .
1. 用描述法表示下列集合：
（1） 被3除余2的正整数组成的集合 ；
解题感悟
用列举法表示集合的步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定
要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如 {(2,3), (5, −1)} .
1. 用列举法表示下列集合：
= {| = 2 + 1} ；
= {(, )| = 2 + 1} .
问：
（1） 它们是不是相同的集合？
[答案] 不是.在 、、 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，
但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
（2） 它们各自的含义是什么？
[答案] 集合 的代表元素是 , 满足 = 2 + 1,
[答案] 可以表示成 {(, )| ± = 0} ．
（4） 正奇数集 .
[答案] 设 ∈ ，故全体奇数可用式子 = 2 + 1 ， ∈ 表示，但此题
要求为正奇数，故 ∈ ，所以正奇数集 = {| = 2 + 1, ∈ } .
解题感悟
描述法的一般形式为 { ∈ ∣ ()} ，其中的 表示集合中的代表元素，
9
8
围是 {| ≥ 或 = 0} .
集合
集合集合的基本概念1.集合的定义：由一些确定的、互异的对象构成的一个整体就叫做集合。
简称集。
2.元素：集合里的各个对象叫做这个集合的元素。
3.元素的四个属性：确定性、互异性、无序性、任意性。
4.有限集：含有有限个元素的集合。
5.无限集：含有无限个元素的集合。
6.空集：不含有任何元素的集合。
（即元素个数为0，是有限集）。
7.单元素集：仅含有一个元素的集合。
8.点集：集合中的元素全部由点组成。
9.数集：集合中的元素全部由数组成。
10.解集：由方程或方程组、不等式或不等式组的解作为元素构成的集合集合的表示方法11.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
12.列举法有三种形式：﹝1﹞是有限集而元素个数较少，如由0、2、-3、5组成的集合可表示为{0，2，-3，5}； ﹝2﹞是有限集但元素个数较多，如由从50到100的所有整数组成的集合可表示为{50，51，52，53，…，98，99，100}；﹝3﹞是无限集且元素离散，如由所有的正偶数组成的集合可表示为{2，4，6，8，……}13.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
14.描述法有两种表述形式：﹝1﹞数式形式 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，可表示为 {x │x-3＞2}；由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合，可表示为{（x ，y ）│ y=x+1 }。
﹝2﹞语言形式 如由所有直角三角形组成的集合，可表示为{直角三角形}；由所有小于6的正整数组成的集合，可表示为 {小于6的正整数}15.集合的字母表示：通常用大写的拉丁字母A 、B 、C 、D 、…表示集合。
如A={-1，1，0，34}、B={斜三角形}。
16.元素的字母表示：通常用小写的拉丁字母a 、b 、c 、d 、…表示元素。
17.空集的符号表示：φ或{ }。
特别注意的是{φ}不是空集，而是一个单元素集合。
18.属于符号：∈ 如-1 ∈A 、1 ∈A 、34 ∈A19.不属于符号：∈ 如2 ∈A 、1.5 ∈A特殊数集的字母符号20.自然数集：N （全体自然数的集合）21.整数集：Z （全体整数的集合）22.有理数集：Q （全体有理数的集合）23.实数集：R （全体实数的集合）24.复数集：C （全体复数的集合）集合间的关系1.子集：集合与集合之间的“包含”关系。
高三一轮复习集合知识点和题型
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。
知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。
设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性： 给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。
也就是说集合中的元素是不重复出现的。
集合中相同的元素只能算是一个。
（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。
特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。
如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。
知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。
还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。
数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的， 这些常用数集及记法如下： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。
（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。
知识点5.集合的表示方法 （1）自然语言 （2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。
第二课时 集合的表示课件
[方法技巧]
描述法表示集合的步骤
(1)确定集合中元素的特征；
(2)给出其满足的性质； (3)根据描述法的形式写出其满足的集合．
[对点练清] 1．已知集合 M＝{y|y＝x2}，用自然语言描述 M 应为( )
A．函数 y＝x2 的值域 B．函数 y＝x2 的定义域 C．函数 y＝x2 的图象上的点组成的集合 D．以上说法都不对
[方法技巧] 选用列举法或描述法表示集合的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列 举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素 个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用 列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表 示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找 或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
n∈N }．
(3)设偶数为 x，则 x＝2n，n∈Z .但元素是 2,4,6,8,10，所以 x＝2n，
n≤5，n∈N *.所以 C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N *}． (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，
即 x＜0，y＞0，故第二象限内的点的集合为 D＝{(x，y)|x＜0，y＞0}．
(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字 母，需对新字母说明其含义或取值范围．
(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的 内容都要写在集合内．
[典例 2] 用描述法表示下列集合： (1)不等式 2x－3＜1 的解组成的集合 A； (2)被 3 除余 2 的正整数的集合 B； (3)C＝{2,4,6,8,10}； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合 D.
[对 31 天的月份的全体；
(2)大于 3.1 小于 12.8 的整数的全体；
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点集与数集的表示方法(一)
点集与数集的表示方法
在数学领域中，点集和数集是我们经常遇到的概念。
它们在数学
模型、数据结构和算法等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍点集
和数集的表示方法。
1. 点集的表示方法
点集是由一组点组成的集合，每个点可以是二维坐标中的一个点，也可以是多维空间中的一个点。
以下是几种常见的点集表示方法：•显式法表示：显式法表示是通过列举所有的点来表示点集。
例如，对于一个二维平面上的点集，可以通过列举所有的
坐标对来表示。
例如，点集{(-1, 2), (3, -4), (0, 0)}可以用
显式法表示为：{(-1, 2), (3, -4), (0, 0)}。
•隐式法表示：隐式法表示是通过一定的条件来表示点集。
例如，可以通过一个方程来表示一个平面上的点集。
例如，
一个以原点为中心，半径为5的圆可以用隐式法表示为：x^2 +
y^2 = 25。
•参数方程表示：参数方程表示是通过参数的取值范围来表示点集。
例如，可以用参数t表示一个曲线上的点集。
例如，
一个以原点为起点的单位圆可以用参数方程表示为：{ (cos(t),
sin(t)) | 0 <= t <= 2π }。
2. 数集的表示方法
数集是由一组数字组成的集合，它可以是有限的也可以是无限的。
以下是几种常见的数集表示方法：
•列举法表示：列举法表示是通过列举所有的数字来表示数集。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}可以用列举法表示为：{1,
2, 3, 4, 5}。
•描述法表示：描述法表示是通过一定的条件来表示数集。
例如，可以用描述法表示一个正整数的数集，即所有大于0
且为整数的数字集合，可以表示为：{ n | n > 0, n ∈ Z }。
•区间法表示：区间法表示是通过给定一个起始点和一个终止点来表示连续的数集。
例如，可以用区间法表示一个介于
2到5之间的实数数集，可以表示为：[2, 5]。
•集合法表示：集合法表示是通过另一个集合来定义数集。
例如，可以用集合法表示一个正偶数的数集，即所有大于0
且为偶数的数字集合可以表示为：{ 2n | n > 0, n ∈ Z }。
以上是常见的点集和数集的表示方法。
不同的表示方法有不同的
适用场景和优缺点，根据具体的问题和要求选择合适的表示方法是十
分重要的。
参考资料： - 苏教版高中数学(文科)必修一下册, 第10章函数 - 维基百科 - 集合 (数学)。