第六章 直方图
图像处理第六章
每一矩阵覆盖16个图像像素，每4个像素组成一个小单元。首先 计算每一个小单元的梯度，确定其方向。如对图中由ABCD四 个像素组成的小单元，按下述方法计算8个方向的差分值： G0 f ( A) f ( B ) [ f (C ) f ( D )]
G1 2[ f ( B ) f (C )] G2 f ( B ) f ( D ) [ f ( A) f (C )] G3 2[ f ( D ) f ( A)] G4 G0 G5 G1 G6 G2 G7 G3 取其中最大值的方向作为该小区域的梯度方向。在计算完这9个小区 域的方向后，就可计算这个16像素的图像区域中所有不同梯度方向 的数目，可取最大数目的梯度方向为该图像区域的方向。用此16像 素的图像区域为模板，在整个图像上平移计算，并进行分类，就可 得出整个图像的灰度梯度方向，就是整个图像的纹理信息。
上述4个统计参数为应用灰度共生矩阵进行纹理分析的主要参数， 可以组合起来，成为纹理分析的特征参数使用。还有一些从灰 度共生矩阵引导出来的参数可供纹理分析使用，如方差，逆差 距，和平均，和方差，和熵，差平均，差方差，差熵等。
通过观察 ( x, y )随哪个方向变化最慢，我们就可以知道纹理基 元有很大的可能是沿着这个方向排列的。这可通过对 ( x, y ) 的每一点求梯度方向来得到变化最慢的方向。 6.1.3 灰度分布统计特征
1. 灰度共生矩阵
由于纹理是由灰度分布在空间位置上反复出现而形成的，因而在图 像空间中相隔某距离的两像素间会存在一定的灰度关系，这种关系 被称为是图像中灰度的空间相关特征。而在灰度直方图中，因为各 个像素的灰度是独立地进行处理的，所以不能很好地反映纹理中灰 度级空间相关性的规律。于是人们自然地想到通过研究灰度的空间 相关性来描述纹理，这正是灰度共生矩阵的思想基础。
第六章《数据与统计图表》各节知识点及典型例题专题讲义
2015最新版第六章《数据与统计图表》各节知识点及典型例题专题讲义第一节、数据的收集与整理第二节、条形统计图和折线统计图第三节、扇形统计图第四节、频数与频率第五节、频数直方图章节知识框图【课本相关知识点】1、数据收集可以通过直接观察、测量、实验和调查等手段得到，也可以通过查阅文献资料、使用互联网查询等间接途径得到2、将数据分类、排序是整理数据的常用方法；当然分组、编码也是整理数据的常用方法。
3、人们根据研究自然现象或社会现象的需要，对所有的考察对象作调查，这种调查叫做全面调查。
4、抽样调查：人们在研究自然现象或社会现象时，往往会遇到不方便、不可能或不必要对所有的对象进行调查，而是从所有对象中抽取一部分作调查分析，这就是抽样调查。
特别注意：①抽样调查要具有广泛性（要具有相当的样本容量）和代表性（各个阶层或类型对象都要具有），即样本容量要恰当，因此对象不宜太少；②调查对象应随意抽取，即每个个体被选中的机会都相等。
5、在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体。
从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量。
样本的容量是不带单位的。
6、对数据收集和整理后，就可以制作统计表。
一个完整的统计表不能缺少标题（统计表的名称）、标目、数据（有单位要注明单位）以及制表日期【典型例题】【题型一】数据的收集方法例1、如果就下列情况进行统计，你准备采用哪种方式来收集数据？填在后面的横线上(1 )学校足球队队员的身高______________(2)每年到杭州西湖观光旅游的人数 _____________(3)A、B、C三种品牌电池的使用寿命 _____________(4)明天7时〜8时进入易初莲花超市的人数 ______________________【题型二】根据实际情况对数据进行整理例2、某乡镇企业生产部门有技术工人10人，生产部为了合理制定每月的生产定额，统计了这10人某月的加工零件个数如下：40, 80, 50, 75, 50, 70, 50, 40, 35, 50(1)为了使这组数据更为直观，你将怎样处理这组数据？(2 )若生产定额能够使大多数人都能完成即为合理的生产定额，假如你是生产部负责人，你认为每月的生产定额应定为多少比较合理？练习、(2011?南昌)以下是某省2010年教育发展情况有关数据：全省共有各级各类学校25000所，其中小学12500 所，初中2000所，髙中450所，其它学校10050所；全省共有在校学生995万人，其中小学440万人，初中200 万人，高中75万人，其它280万人；全省共有在职教师48万人，其中小学20万人，初中12万人，高中5万人，其它11万人.请将上述资料中的数据按下列步骤进行统计分析.(1 )整理数据：请设计一个统计表，将以上数据填入表格中.(2 )分析整理后的相关数据，小学、初中、高中三个学段的师生比，最小的是哪个学段？(师生比在校学生数)=在职教师: 【题型三】利用数据的收集与整理知识解决实际问题例3、 (2003?安徽)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基(1 )该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平•问风景区是怎样计算的？(2 )另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4% •问游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？【题型四】样本的选择例4、下列抽样调查中所选的样本合适吗？(1)张老师为了解全班50名学生对英语单词的掌握情况，抽查了5名学生进行检查(2)为了解我国中学多媒体的普及情况，在北京市做了抽样调查练习、某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( )A.在公园调查了1000名老年人的健康状况B.在医院调查了1000名老年人的健康状况C.调查了10名老年邻居的健康状况D.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况【题型五】总体、个体、样本及样本容量的区别例5、我市去年参加某次数学考试的人数为45368人，为了了解考生数学成绩情况，从中抽取了500名考生的数学成绩进行统计分析。
概率论与数理统计-第六章
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
第六章__概率分布
二、正态分布表的编制与使用
• （一）正态分布表的编制与结构
• 正态分布表的结构一般包括三栏
• 第一栏：Z分数单位；
• 第二栏：密度函数或比率数值（y）；
• 第三栏：概率值（p）。
• （二）正态分布表的使用
2
3
• 当g2=0时，正态分布的峰度；g2>0时，分布的峰度 比正态分布的峰度低阔；g2<0时，表明分布的峰度比 正态分布的峰度高狭。当N>1000时，g2值才比较可 靠。
• （三）累加次数曲线法
• 正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重
合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。
• 四、正态分布理论在测验中的应用
-0.84 -0.525 0 0.84 1.645 2.33
4.160 4.475 5.000 5.840 6.645 7.330
• （三）在能力分组或等级评定时确定人数
• ①将6个标准差除以分组的或等级的数目，做到Z
分数等距；
• ②查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等
距的情况下应有的比率； • ③将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分 组该有的人数。
• （二）二项分布
• 二项分布：试验仅有两种不同性质结果的概率分布。也称 两个对立事件的概率分布。
• 二项分布同二项定理有着密切的关系：
n 1 n1 n1 n1 n n (p+q)n =C0 p +C p q + +C pq +C n n n nq
x x n x (p +q)n = Cn pq n
2022年北师大版高中数学必修第一册培优第六章统计第3节第1课时从频数到频率 第2课时频率分布直方图
第六章 §3 3.1、2A 组·素养自测一、选择题1．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数1013x141513129第三组的频数和频率分别是( A ) A ．14和0.14 B ．0.14和14 C ．114和0.14D ．13和114[解析] x ＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝100－86＝14，第三组的频率为14100＝0.14．2.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)内的汽车有( C )A ．30辆B ．40辆C ．60辆D ．80辆[解析] 因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50,60)内的频率为0.3，所以有200×0.3＝60(辆)．3．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图．则根据折线图，下列结论错误的是(D)A．最高气温高于25 ℃的月份有3个B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D．最低气温低于0 ℃的月份有4个[解析]在A中，最高气温高于25 ℃的月份有3个，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0 ℃的月份有3个，故D错误．故选D．4．观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2 700,3 000)内的频率为(D)A．0.001 B．0.01C．0.003 D．0.3[解析]频率＝频率组距×组距，组距＝3 000－2 700＝300，频率组距＝0.001，∴频率＝0.001×300＝0.3．5．(多选)(2021·山东省济南市期中)如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图可知下列信息正确的有(BCD)A．家用电器部所得利润最高B．服装鞋帽和百货日杂共售出29 000元C．副食的销售额为该商场营业额的10%左右D．该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%[解析]由某商场一天营业额的扇形统计图，得：对于A，家用电器的销售额最高，但利润不一定最高，故A错误；副食的销售额占该商场营业额的比重为1－40%－30%－20%＝10%，副食的销售额为5 800元，所以服装鞋帽和百货日杂共售出(30%＋20%)×5 80010%＝29 000(元)，故B ，C 正确；对于D ，该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%，故D 正确．6．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.8，则估计样本中在[40,50)，[50,60)内的数据共有( B )A ．14个B ．15个C ．16个D ．17个[解析] ∵样本中数据在[20,60)内的频率为0.8，∴样本中数据在[20,60)内的频数为30×0.8 ＝24，∴样本中在[40,50)，[50,60)内的数据共有24－4－5＝15(个)．二、填空题7．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和14，则容量n ＝__144__，频率为16的乙组的频数x ＝__24__．[解析] 由题意得14＝36n ，所以n ＝36×4＝144，同理16＝x144，x ＝24．8．某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是__19__．[解析] 由扇形图可知：评价等级为A 的人数占总人数的38%，由此可知高一(1)班的50名学生中有50×38%＝19人在该等级中．9．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000)(单位：元)内的应抽取__40__人．[解析] 月收入在[3 000,4 000)的频率为1－(0.000 1＋0.000 25×2＋0.000 15＋0.000 05)×1 000＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)．三、解答题10．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ [解析] (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的， 因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08．又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本量，所以样本量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150．(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%．11．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段(单位：分)：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，然后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率；(2)补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)．[解析](1)根据各小组的频率之和等于1，可得第四小组的频率为1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3．(2)补全直方图如图．根据题意知，考试得60分及以上的分数在第三、四、五、六小组，频率之和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽取学生的成绩的及格率为75%，据此估计这次考试的及格率为75%．B组·素养提升一、选择题1．为了解某年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，结果如下(单位：cm)：149159142160156163145150148151156144148149153143168168152155在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4 cm，那么组数为(D)A．4 B．5C．6 D．7[解析]由于组距为4 cm，故可分组为142～146,146～150,150～154,154～158,158～162,162～166,166～170．2．某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76,78)，[78,80)，…，[84,86)．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是(D)A ．12B ．18C ．25D ．90[解析] 净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90．故选D ．3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( A )A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10[解析] 该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20．4．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b ]是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m ，该组直方图的高为h ，则|a －b |的值等于( B )A ．h ·mB ．m hC ．h mD ．与m ，h 无关[解析] 小长方形的高＝频率组距，|a －b |＝频率小长方形的高＝mh ．二、填空题5．如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70, 80)，[80,90)，[90, 100]，则图中x 的值是__0.018__．[解析]由图可知纵轴表示频率组距．故x＝0.1－0.054－0.010－0.006－0.006－0.006＝0.018．6．如图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的优秀率(120分及以上为优秀)为__30%__．[解析]优秀率为10×(0.022 5＋0.005＋0.002 5)＝0.3＝30%．7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数为__48__．[解析]前3个小组的频率和为1－0.037 5×5－0.012 5×5＝0.75．又因为前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第2小组的频率为26×0.75＝0.25．又知第2小组的频数为12，则120.25＝48，即为所抽样本的人数．三、解答题8．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？ (3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？[解析] (1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．即该校对50名学生进行了抽样调查． (2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，1850×100%＝36%．即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%． (3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%,200÷20%＝1 000(人)，850×1 000＝160(人)． 即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．9．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分100分)如下：56,58,62,63,63,65,66,68,69,71, 72,72,73,74,75,76,77,78,79，，90,95，由于保存不利，其中[80,90)内的成绩被墨水覆盖．根据该数据绘制的频率分布直方图(如图所示)也被墨水覆盖了部分区域．(1)求成绩在区间[50,60)内的频率及抽样人数；(2)求成绩在区间[80,90)内的频数，并计算频率分布直方图中区间[80,90)对应的小矩形的高；(3)试估计全班成绩在82分以下的学生比例．[解析] (1)易知成绩在区间[50,60)内的频率为0.008×10＝0.08，成绩在区间[50,60)内的频数为2，所以抽样人数为2＝25．0.08(2)成绩在区间[80,90)内的频数为25－21＝4；频率分布直方图中区间[80,90)对应的小矩形的高为425÷10＝0.016．(3)成绩在82分以下的学生比例为学生成绩不足82分的频率，设相应频率为b，学生成绩在[82,100)内的频率为0.016×(90－82)＋0.008×10＝0.208，则b＝1－0.208＝0.792，由此估计全班成绩在82分以下的学生约占79.2%．。
QC七大手法
四、制作对策前、对策后的效果确认时应注意以下三项：
1、柏拉图收集数据的期间和对象必须一样。
2、对季节性的变化应列入考虑。 3、对于对策以外的要因也必须加以注意，避免在解决主要因时影响了其 它要因的突然增加。
点检用查检表的主要功能是确认作业实施和机械整备的情形。例如图1-2-2 即是汽车定期保养点检表。 查检表并不限于表格方式的使用，也可以用 实体图形来记录。 三、查检表的制作方法 查检表的制作方法有以下四个步骤： 1、决定所要收集的数据及希望把握的项目 在决定所要收集的数据和期望的项目时，应该 由相关人员以过去的经验和知识来决定，最好 是部门的所有人员都参加，以免遗漏某些项目。 2、决定查检表的格式 查检表的格式要依据所要作层别分析的程度去设计一种记录和整理都很容易 而且适合自己使用的格式。
查检表统计完成可利用QC七大手法中的柏拉图加以整理，以便掌握问题的 重心。
五、检查表之注意事项
二、柏拉图
一、何谓柏拉图
所谓柏拉图,就是根据所收集的数据,以不良原因、不良状况、不良发生 位置或客户抱怨的种类、安全事故等不同区分标准，找出比率最大的 项目或原因并且以所构成的项目依照大小顺序排列，再加上累积值的 图形。由构成比率很容易了解问题的重点和影响的程度，以比例占最多 的项目着手进行改善，较为容易获得改善成果（图2-1-1）。 二、柏拉图的制作方法 柏拉图的制作方法可以分为以下几个 步骤： 1、决定不良的分类项目 分类的项目必须合乎问题的目的， 例如：机器在停机时，一定有某些 原因未能妥善解决，才会造成停机， 所以应针对停机时间的长短加以调查， 一样的原因对停机的次数和时间的长短会有不同的数据出现。 如何分类呢？ 一般的分类方法可先从结果分类着手，以便找出问题所在，然后才 进行原因别分类，这样将会有较佳的结果。分类时项目最好不要超
第六章 §4 4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数
4．2 分层随机抽样的均值与方差4．3 百分位数学习目标 1.理解分层随机抽样的均值与方差公式的推导过程，会求分层随机抽样的均值与方差.2.理解百分位数的统计含义，会求样本数据的p 分位数．知识点一 分层随机抽样的均值与方差分层随机抽样的均值设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x 1，x 2，…，x n 和w 1，w 2，…，w n ，则这个样本的平均数为w 1x 1＋w 2x 2＋…＋w n x n ＝∑i ＝1nw i x i分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为x 1，x 2，…，x n ，方差分别为s 21，s 22，…，s 2n ，相应的权重分别为w 1，w 2，…，w n ，则这个样本的方差为s 2＝∑i ＝1n w i ·[s 2i ＋(x i －x )2]，其中x 为样本平均数知识点二 百分位数 1．总体的p 分位数的概念：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p ∈(0,1)，总体的p 分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p . 2．四分位数：25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是14.因此这三个百分位数也称为总体的四分位数．3．计算一组n 个数据的p 分位数的一般步骤如下： 第一步，按从小到大排列原始数据； 第二步，计算i ＝n ×p ；第三步，若i 不是整数，大于i 的最小整数为j ，则p 分位数为第j 项数据；若i 是整数，则p 分位数为第i 项与第(i ＋1)项数据的平均数．1．样本数据分为两层，其中一层的平均数为96，另一层的平均数为98，则样本数据的平均数为96＋982＝97.( × )2．把一个样本分成两层，由每层数据的平均数和方差能求整个样本数据的平均数和方差．( × )3．50%分位数就是中位数．( √ )一、分层随机抽样的均值与方差的计算例1 (多选)某分层随机抽样中，有关数据如下：样本量 平均数 方差 第1层 45 4 2 第2层 35 8 1 第3层1063则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)( ) A ．第1,2层所有数据的均值为5.75 B ．第1,2层所有数据的方差为1.50 C ．第1,2,3层所有数据的均值约为7.68 D ．第1,2,3层所有数据的方差约为5.23 答案 AD解析 第1,2层所有数据的均值为：x12＝4545＋35×4＋3545＋35×8＝5.75，A 正确；第1,2层所有数据的方差为s 212＝4545＋35×[]2＋(4－5.75)2＋3545＋35×[]1＋(8－5.75)2＝5.5，B 不正确；第1,2,3层所有数据的均值为x ＝4590×4＋3590×8＋1090×6≈5.78，C 不正确；第1,2,3层所有数据的方差约为s 2＝4590×[]2＋(4－5.78)2＋3590×[]1＋(8－5.78)2＋1090×[]3＋(6－5.78)2≈5.23，D 正确．反思感悟 运用公式求分层随机抽样的均值与方差时要注意(1)清楚公式中各个符号的含义，避免代入数据混乱． (2)运算要格外仔细，并按要求保留有效小数．跟踪训练1 某培训机构在假期招收了A ，B 两个数学补习班，A 班10人，B 班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A 班的平均成绩为130分，方差为115，B 班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差． 解 依题意x A ＝130，s 2A ＝115， x B ＝110，s 2B ＝215，∴x ＝1010＋30×130＋3010＋30×110＝115，∴全体学生的平均分为115分． 全体学生成绩的方差为s 2＝w A [s 2A ＋(x A －x )2]＋w B [s 2B ＋(x B －x )2]＝1010＋30(115＋225)＋3010＋30(215＋25) ＝85＋180＝265.二、百分位数的计算及应用例2 (1)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为________，75%分位数为________，90%分位数为________． 答案 3 8 9.5解析 因为数据个数为10，而且10×25%＝2.5,10×75%＝7.5,10×90%＝9.所以该组数据的25%分位数为x 3＝3,75%分位数为x 8＝8,90%分位数为x 9＋x 102＝9＋102＝9.5.(2)某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．①求x ；②求抽取的x 人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；③以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“中国梦”的伟大构想的认知程度，并谈谈你的感想．解 ①第一组频率为0.01×5＝0.05， 所以x ＝50.05＝100.②由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x 人的年龄的50%分位数在[30,35)内，由30＋0.50－0.400.06≈32，所以抽取的x 人的年龄的50%分位数为32.③把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列： 88,90,92,92,95,96,96,97,98,99，计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为90＋922＝91，这10人成绩的平均数为110(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.评价：从20%分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高． 感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可． (学生)反思感悟(1)求百分位数时的注意点①一定要将数据按照从小到大的顺序排列； ②一定要确定i ＝np 的结果是否为整数． (2)由频率分布直方图求百分位数的方法①要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率． ②一般采用方程的思想，设出p 分位数，根据其意义列出方程并求解即可． 跟踪训练2 (1)数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0，9.1的30%分位数是________． 答案 8.4解析 因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.(2)一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的50%分位数为________．答案1009解析 样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的50%分位数在[10,14)内，估计此样本数据的50%分位数为10＋0.10.36×4＝1009.1．一组数据的中位数相当于是( ) A ．25%分位数 B ．50%分位数 C ．75%分位数 D ．95%分位数答案 B2．某单位共有员工100人，其中有年轻人20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为( ) A ．5万元 B ．8万元 C ．6.5万元 D ．7.4万元 答案 D解析 由题意可知x ＝20100×5＋80100×8＝7.4(万元)．3．一组数据为6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36，则这组数据的一个四分位数是15，则它是( ) A ．15%分位数B ．25%分位数C ．50%分位数D ．75%分位数答案 B解析 将数据由小到大排列的结果： 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49，一共11项．由11×25%＝2.75，故25%分位数是15.4．900,920,920,930,930的20%分位数是________． 答案 910解析 因为5×20%＝1，所以该组数据的20%分位数是900＋9202＝910.5．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2018年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市的房价的方差为________． 答案 118.52解析 设二线城市的房价的方差为s 2，由题意可知20＝11＋3＋6[s 2＋(1.2－2.4)2]＋31＋3＋6[10＋(1.2－1.8)2]＋61＋3＋6[8＋(1.2－0.8)2]，解得s 2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.1．知识清单：(1)分层随机抽样的均值与方差． (2)百分位数．2．方法归纳：数据分析．3．常见误区：求百分位数时，未排序导致错误．1．有两种糖块，A 种糖块18元/千克，B 种糖块24元/千克，超市计划把A ，B 两种糖块按照1∶2的比例混合出售，则合理的价格应为( ) A ．18元/千克 B ．24元/千克 C ．21元/千克 D ．22元/千克答案 D解析 x ＝11＋2×18＋21＋2×24＝22(元/千克)．2．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是( ) A ．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B ．把这100个数据按从小到大排列后，9.3是第75个数据C ．把这100个数据按从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D ．把这100个数据按从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数 答案 C解析 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数，是9.3.3．已知一组数据：125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126.则这组数据的25%分位数和80%分位数分别是( ) A ．125,128 B ．124,128 C ．125,129 D ．125,128.5答案 D解析 把这15个数据按从小到大排序，可得121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128, 129,129,130，由25%×15＝3.75,80%×15＝12，可知数据的25%分位数为第4项数据为125, 80%分位数为第12项与第13项数据的平均数，即12×(128＋129)＝128.5.4.(多选)某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取80名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm ，方差为2.1；抽取70名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm ，方差为3.则( ) A ．该校高一学生的平均身高约为166.4 B ．该校高一学生的平均身高约为168.2 C ．该校高一学生身高的方差约为2.5 D ．该校高一学生身高的方差约为19.3 答案 AD解析 设样本中男、女的平均数分别为x ，y ，由题意可知，x ＝170.2，y ＝162.0且M ＝320，N ＝280， 所以样本平均数w ＝M M ＋N x ＋N M ＋N y ＝320320＋280×170.2＋280320＋280×162.0≈166.4(cm)，样本方差s 2＝320320＋280·[]2.1＋(170.2－166.4)2＋280320＋280·[]3＋(162.0－166.4)2≈19.3，故该校高一学生的平均身高约为166.4 cm ，方差约为19.3.5．从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)， 152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171，x, 174, 175.若样本数据的90%分位数是173，则x 的值为( ) A ．171 B ．172 C ．173 D ．174 答案 B解析 因为20×90%＝18，所以90%分位数是第18项和第19项数据的平均数，即12(x ＋174)＝173，所以x ＝172.6．从某城市随机抽取14台自动售货机，对其销售额进行统计，数据如下：8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,31,34,42,43.则这14台自动售货机的销售额的50%,80%分位数分别为________，________. 答案 23 34解析 把14台自动售货机的销售额按从小到大排序，得8,8,10,12,20,22,23,23,31,32,34,34,42, 43.因为14×50%＝7,14×80%＝11.2，所以50%分位数是第7项和第8项数据的平均数，即12×(23＋23)＝23,80%分位数是第12项数据34.7．某学校统计教师职称及年龄，其中高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校高级职称教师的平均年龄为________岁． 答案 45解析 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为x 高＝3×58＋5×40＋2×383＋5＋2＝45.8．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一抽取的样本量为________；高一和高二数学竞赛的平均分约为________． 答案 90 84.375解析 由题意可得高一年级抽取的样本量为160450＋350×450＝90，高二年级抽取的样本量为160450＋350×350＝70.高一和高二数学竞赛的平均分约为w ＝9090＋70×80＋7090＋70×90＝84.375(分)．9．某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组806求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差． 解 根据题意，全班平均成绩 x ＝90×2040＋80×2040＝85，第一组的平均数x 1＝90，方差为s 21＝16. 第二组的平均数x 2＝80，方差为s 22＝36. 则该班学生的方差s 2＝2040[s 21＋(x 1－x )2]＋2040[s 22＋(x 2－x )2]＝12[16＋(90－85)2]＋12[36＋(80－85)2]＝51. ∴s ＝51.综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和51.10．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图．(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数； (3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考．解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20.(3)设分数的15%分位数为x ，分数小于50的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x ∈[50,60)，则0.1＋(x －50)×0.01＝0.15， 解得x ＝55，则本次考试的及格分数线为55分．11．利用分层随机抽样抽得A ，B 两组数据，其平均数分别是x A ＝2.3，x B ＝2.8，这两组数据的平均数x ＝2.4，则A 组数据在两组数据中的权重w A 为( ) A.15 B.45 C.23 D.13 答案 B解析 由x ＝w A x A ＋w B x B 可得2.4＝w A ×2.3＋(1－w A )×2.8，解得w A ＝45.12．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C ．甲的成绩的80%分位数等于乙的成绩的80%分位数D ．甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 答案 BCD解析 由图可得，x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6，x乙＝3×5＋6＋95＝6，A 项错误，B 项正确； 甲的成绩的80%分位数为7＋82＝7.5，乙的成绩的80%分位数6＋92＝7.5，所以二者相等，所以C 项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D 项正确．13．已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________． 答案 8.6解析 由于30×60%＝18，设第19个数据为x ，则7.8＋x2＝8.2，解得x ＝8.6，即第19个数据是8.6.14．某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为x ＝3小时，方差为s 2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为x 1＝2.6，x 2＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s 21＝1，s 22＝2，s 23＝3，则高三学生每天读书时间的平均数x 3＝________. 答案 3.3解析 由s 2＝w 1[s 21＋(x 1－x )2]＋w 2[s 22＋(x 2－x )2]＋w 3[s 23＋(x 3－x )2]可得，2.003＝8002 000[1＋(2.6－3)2]＋6002 000[2＋(3.2－3)2]＋6002 000[3＋(x 3－3)2]， 解得x 3＝3.3或2.7. 又x ＝3，∴x 3＝3.3.15．某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：(1)这批小龙虾的重量的10%分位数与90%分位数分别是________． (2)若该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：等级 三等品 二等品 一等品 重量(克)[5,25)[25,45)[45,55]则这批小龙虾划分为________等品比较合理． 答案 (1)10,45 (2)二解析 (1)因为40×10%＝4，所以10%分位数为第4项与第5项的平均数，在[5,15)范围内约为5＋152＝10，因为40×90%＝36，所以90%分位数为第36项与第37项的平均数，在[35,55]范围内，约为35＋552＝45，所以估计这批小龙虾重量的10%分位数为10,90%分位数为45.(2)这批小龙虾的重量集中在[10,45]范围内，所以划为二等品比较合理．16.为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100支日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：天数 151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390日光灯数 1111820251672(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？ (注 2 128.59≈46)解 (1)各组的平均值分别为165.5,195.5,225.5,255.5,285.5,315.5,345.5,375.5，由此可估计这种日光灯的平均使用寿命为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4(天)． (2)s 2＝1100[1×(165.5－268.4)2＋11×(195.5－268.4)2＋18×(225.5－268.4)2＋20×(255.5－268.4)2＋25×(285.5－268.4)2＋16×(315.5－268.4)2＋7×(345.5－268.4)2＋2×(375.5－268.4)2]＝2 128.59，故标准差s＝ 2 128.59≈46(天)．由上可知，这种日光灯的平均使用寿命为268.4天，标准差约为46天，故可在222天到314天内统一更换较合适．。
高中地理人教版(2019)必修第一册第六章 章末总结课件
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措施
举例
灾前 在洪涝、台风多发地区，居民 东南沿海地区夏秋季台风多
准备 应及时关注天气预报及灾害预 发，居民要多关注天气预报
警信息，做好灾前准备
地震多发区居民要准备应急
地震、滑坡、泥石流等地质灾 救援包，牢记地震撤离路线
害往往是突发的，较难准确预 和附近应急避难场所位置，
测，但做好灾前准备也能够在 经常参加地震演习活动，树
还是“面”，如果是“点”则选用全球卫星导航系统，如果是“面”
则选用遥感或地理信息系统。
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(2)“想”与“看”区分遥感或地理信息系统
地理信息系统是地图的延伸，主要功能是进行空间数据的分析和处
理。对“事象”的发展变化进行预测、评估，需要计算、思考，即
“想”；凡是需要“想”的就是地理信息系统。遥感是人的视力的
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(1)除此图反映的方式外，类似的防御措施还有哪些？
改变财物特性，提高抗灾性能；改变地表环境，防止或减轻自然灾
害的强度。 (2)预防材料一中的自然灾害，你认为还可采取哪些非工程性措施？
加强研究，建立灾情监测预警系统；加强管理，建立健全减灾工作
的政策法规体系；提高公众的环保意识和防灾减灾意识，加强逃生
D．①—乙 ②—甲 ③—丙
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(2)如果用遥感技术来监测火灾，可以( )
A．预测引起火灾的原因
B．预测森林火灾的发生地点
C．预测森林火灾所造成的后果
D．及时探知火灾地点和范围
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(3)利用遥感技术可以直接( )
A．分析旱灾损失
北师大版(2024)数学七年级上册 第六章 数据的收集与整理 3 数据的表示 第2课时 频数直方图
(3)2400×46 ＝552(人)，答：该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生约有 552 人 200
A．最喜欢篮球的人数最多 B．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍 C．全班共有50名学生 D．最喜欢田径的人数占总人数的10%
知识点2：绘制频数直方图 4．一次数学竞赛成绩(整数)进行整理后，分为五组，绘成频数分布直方图，从 左到右前四组所占的百分比分别是3%，14%，40%，27%，则最后一组所占的百 分比为( C ) A．34% B．15% C．16% D．26%
数第2课时 频数直方图
知识点1：条形统计图 1．(2023·乐山)乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组 织七年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进 行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计七年级 愿意去“沫若故居”的学生人数为( C ) A．100 B．150 C．200 D．400
(1)请把频数分布直方图补充完整；(画图后请标注相应数据) (2)扇形统计图中“C”所对应的圆心角的度数等于__1_2_6_°__； (3)该校共有2400名学生，请你估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人 数．
解：(1)被调查的总人数为 20÷10% ＝200(人)，D 活动人数为 200－(24＋20＋70＋46) ＝40(人)，补全图形如下：
2．下列根据条形统计图所得的信息，正确的是( C ) A．七年级学生最多 B．九年级的男生人数是女生人数的两倍 C．九年级女生比男生多 D．八年级的学生比九年级多
3．某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查，并 将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，由图可知，下列结论正确的是 ( C)
第六章概率分布2-二项分布、样本分布
抽样图示
抽样图示
回顾直方图、正态分布、近似正态
概率直方图——正态曲线
把一枚硬币抛100次，可能的型式有多少种？出现其中一种型 式的先验概率是多少？怎么计算？
正态近似：每个人都相信【正态近似】，试验者想这 是一个数学定理，数学家想这是一个试验事实。—— G.Lippman法国物理学家(1845-1921)
χ2分布为正偏态分布，自由度越小，偏 斜度越大，当自由度无限增大时，χ2分 布趋于正态分布
在统计检验中，χ2是计数资料分析常用 的统计检验方法。
189页， χ2的和服从自由度的和的χ2分 布
样本分布之四——F分布
F分布是由美国统计学家斯纳德克 （G.W.Snedecor）提出的一种分布。
概率P（A）的数学定义
P(A) Lim n N N
概率的运算规则
概率运算（n个事件同时发生） 加法：互不相容事件
乘法：互相独立的事件
互不相容事件和互斥事件
正态分布
概率密度函数式 正态分布图形态、构成、概率分布特点 正态分布的应用
总体——样本——样本点 正态分布——标准量尺 统一度量衡目的是什么——公平与效率
频率：FN(A)=n/N 概率：当观测次数N趋近于无穷大＋∞时，
FN(A)趋近于一个稳定的数值，我们把它叫做 事件A发生的概率P（A）。
显然，如果对于事件A，经过无穷大＋∞的观察， 果然存在一个P（A）值，那么这个值是由随机事 件本身客观的属性决定的。
在事件A发生的条件稳定的话，它的发生只有唯一 一个P（A）值与它对应。
正态分布曲线下，标准差和概率有一定的数量关系。
正态分布表包括三个部分内容：Z分数、y值和p值。
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第六章直方图第六章直方图(Histogram)一、前言现场工作人员经常都要面对钱大堆的数据,这些数据是制程中抽测或查检所得的某项产品之质量特性记录;而一天中可能所记录的数据有数百个之多,它们到底能提供我们什么情况呢?如果我们能应用直方图的手法将这些数据加以事理,则制程的质量散布的状态、问题点所在及制程能力等,均呈现在我们的眼前。
我们即可得利用这些情报来掌握问题点以进行改善对策。
二、何谓直方图为要容易的看出如长度、重量、时间、硬度等计量值的数据之分配情形,所用来表示的图形。
直方形是将所收集的测定值或数据之全距分为几个相等的区作为横轴,并将各区间内之测定值或所出现次数累积而成的面积,用柱子排起来的图形,帮我们亦称之为柱状图。
三、直方图之制作<例>某厂之成品重量规格为130至190,今按随几抽测方式抽取200个样本,其篝量测定值如表,试制作直方图。
品管七大手法1111111111113—1制作次数分配表(1) 由全体数据中找出最大值与最小值。
从数据中,各行之数据分别选出最大值L及最小值S。
(2) 求出所有数据中之最磊值与最小值班室(即全距),由L及S列中,可知所有数据中最大为170,最小为124所以全距=170-124=46(3) 决定组数组数过少,固可得到相当简单之表格,但已失却次数分配之本质;组数过多,固然表列立尽,但无法达到简化的目的。
(巽常值应先除去再分组),因此,次数分组不宜太多,亦不宜太少,一般可用数学家史特吉斯(Sturges)提出之公式,测定次数n来计算组数k,其公式为:例如:n=50 则k=1+3.32log50=1+3.32(1.7)=6.6即约可分为6组或7组。
一般对数据之分组可参照下表:本例之数据200个,将其分为12组。
(4) 决定组距:组距=全距/组数=46/12=4为便于计算平均数与标准差,组距常取为5的倍数或10的倍数,或2的倍数。
(5) 决定各组之上下组界最小一组的下组界=最小一组的上组界=下组界+组距=123.5+4 =127.5第二组的下组界为127.5; 上组界为127.5+4 =131.5第三组的下组界为131.5; 上组界为131.5+4 =135.5依此类推,计算至最大一组之组界。
(6) 计算各组和组中点各组的组中点第一组之组中点第二点之组中点= 125.5+4 = 129.5第三组之组中点= 129.5+4 = 133.5依此类推,计算至最大一组之组中点。
(7) 作次数分配表(a) 将所有数据,依其数值大小书记于各组之组界内,并计算出其次数。
(b) 将次数栏之次数相加,并以测定值之个数校核之。
表中之次数总和与测定值之个数应相同。
3—2制作直方图(1) 将次数分配表图表化,以横思表示重量的变化,纵轴表数。
(2) 横轴及纵轴各取适当的单位长度。
再将各组之组界分别标在横轴上,各组界应为等距离。
(3) 以各组内之次数为高,各组之组距为底。
在每一组上变成一矩形,则完成直方图。
(4) 在图的右上角记入数据总数n及数据履历,并划出规格的上限及下限。
四、直方图常见之形态4—1正常形说明:中间高、两边低、有集中边势。
结论:左右对称分配(常态分配)、显示制程在正常运动下。
品管七大手法【图略】4—2缺齿型(凹凸不平型)【图略】说明:高低不一,有缺齿情形。
不正常的分配,系因测定值或换算方法有偏差,次数分配不妥当所形成。
结论:检查员对对测定值有偏好现象,如对5,10之数字偏好;或是假造数据。
测量仪器不精密或组数的宽度不是位数时,亦有此种情形。
4—3偏态形【图略】说明:高处偏,向一边,另一边低,拖长尾巴。
可分偏右型,偏左型。
为偏态分配偏右型:例如微量成分的含有率等,不能取到某值以下的值1时,所出现的形态。
偏左型:例如成分含有高纯度的含有率等能取到某例值以上的值时,就会再现的形态。
结论:尾巴拖长时,应检讨是否在技术上能够接受。
工具磨损或松动时,亦有此种情形发生4—4绝壁型(切边型、脚裂型)【图略】说明:有一端被切断。
结论:原因为数据以过全检过或制程本身有以过全检,过会出现的形状。
若剔除某规格以上时,则切边在靠近右边形成。
4—5变仑型二山型)【图略】说明:有两个高峰出现,。
结论:有两种分配相混合,例如两台机台或两种不同原料间有差巽时,会出现此种形状,因测定值受不同的原因影响,应予层别后再直方图。
4—6离峊型(二山脱离型)【图略】说明:在右端或左端形成小峊。
结论:测定有错误、工程调节错误或使用不同原料所引起。
一定有巽常原因存在,只要去除,即可制出合乎规格的制品4—7高原型说明: 形状高原状。
结论: 不同平均值的分配混在一起, 应层别之后再作直方图比较。
五、直方图之应用5—1 测知制程能力, 作为制程改善的依据自制程中所搜集而得之数据, 如整理成为次分配表, 再绘以直方图, 则可以由其集中与分散情形来看出制程的好坏。
直方图的重点乃为平均数所在, 经修匀后之分配如为常态分配, 则自弯曲点中引一条横轴之并行线, 可求得表现差异性的标准差s。
良好的制程, 平均数接近规格中心, 标准差愈小愈佳。
制程精密度Cr (Capability of Precision )之求法:(a) 两侧规格(b) 单侧规格(i)上限规格(ii)下限规格5—2 计算产品不良率品管圈活动常需计算改善活动前、后之不良率, 以比较有无改善成果。
其不良率可直接自次数分配表计算出来, 亦可自直方图计算出来。
例如某种产品384件之厚度的直方图如图,其规格订为65±5(mm)。
由图与规格界限比较, 可知在规格下限以下有25件, 超出规格上限的有1件, 计26件, 占384件之6.77%, 即不良率为6.77%。
5—3 调查是否混入两个以上不同群体如果直方图呈变型态, 可能混合了两个不同群体, 亦即制程为两种不同群体, 如两台不同机器所制造出来的产品, 或使用两种不同的材料, 或两个不同的操作员, 或两个不同班, 或两个生产线等生产出来的制品混在一起。
此时, 需将其层别, 即不同之机器、材料、操作员、班别、生产线制造出来的制品不摆在一起、以便趁早发现造成不良的原因。
5—4 测知有无假数据绝壁型的直方图往往是因为工程能力不够, 但为求产品合乎规格, 而实行全数检验所常见的型态。
下图有极少部份低于规格界限, 是因测定误差或检查错误所道致。
据说某轮胎厂厂房座落水沟旁, 检验员检验结果, 如发现不合格之制品, 就将其抛入河里去, 最后这家厂商就这样抛倒闭了。
当时主如果知道利用直方图查看有无假数据, 该厂可能就不致倒是了。
5—5 测知分配型态(参阅第四节)由直方图之形状能知道制程异常与否。
5—6 籍以订定规格界限未订出规格界限之前, 得根据收集而得的数据编成次数分配表, 测验次数分配是否为常态分配(使用卡方适合度检定, 或利用常态机率纸) , 如为常态分配, 便可据以计算平均数与标准差, 平均数减去4倍标准差得规格下限, 平均数加上4倍标准差得规格上限, 或按实际需要而订定。
5—7 与规格或标准值比较要明了制程能力的好坏, 必需与规格或标准比较才可显现出来, 一般, 我们总希望制程能力(直方图)在规格界限内, 且最好制程的平均值与规格的中心相一致。
(1) 合乎规格(a) 理想型制程能力在规格界限内, 且平均值与规格中心一致, 平均值加减4倍标准差为规格界限。
制程稍有变大或变小都不会超过规格值, 是一种最理想的直方图。
表示制品良好, 能力足够。
(b) 一侧无余裕制品偏一边, 而另一边还有余裕很多, 若制程再变大(或变小)很可能会有不良发生, 必需设法使制品中心值与规格中心值吻合才好。
(C) 两侧无余裕制品的最大值与最小值均在规格内, 但都在规格上下限两端, 也表示其中心值与规格中心值吻合, 虽没有不良品发生, 但若制程稍有变动, 就会有不良品产生之危险, 要设法提高制品的精度才好。
(d) 余裕太多实际制程在规格界限内, 但变尾距规格界限太远。
亦即产品质量均匀, 变异小。
如果此种情形是因增加成本而得到, 对公司而言并非好现象, 故可考虑缩小规格界限或放松质量变异, 以降低成本、减少浪费。
(2) 不合乎规格(a) 平均值偏差(或偏右)如果平均值偏向规格下限并伸展至规格下限左边, 或偏向规格上限并伸展至规格上限的右边, 但制品呈常态分配, 此即表示平均位置的偏差, 应针对固定的设备、机器、原料等方向去追查。
(b) 分散度过大实际制品的最大值与最小值均超过规格值, 有不良品发生(斜线部份), 表示标准太大, 制程能力不足, 应针对变动的人员、方法等方向去追查, 要设法使产品的变异缩小; 或是规格订得太严, 应放宽规格。
(c) 完全在规格外表示制品之生产完全没有依照规格去考虑; 或规格订得不合理, 根本无法达到规格。
5—8 分析所设计的管制界限可否用于管制制程计量值管制图如管制图, 当s未知, 以作为中心线, 作为管制上限, 作为管制图下限, 以为设计的管制界限。
当每天计算结果的与R点绘在设计管制界限内, 若未呈现任何规则, 一般即可将管制界限延长以为实际制程管制。
但如原来订有规格界限, 应将所搜集的数据, 作次数分配表, 并绘成直方图, 此直方图如能在规格界限内, 始将管制界限延长, 作为管制制程。
5—9 改善前后之比较欲了解改善后是否获得期待中的成果, 可分别作改善前及改善后之直方图来比较。
六、直方图之使用注意事项6—1 异常值应除去后再分组。
6—2 对于从样本测定值推测群体形态, 直方图是简单有效的方法。
6—3 所取得的数据之履历应详细(如时间、原料、测定者、设备、环境条件)。
6—4 在进行制程管理及分析改善时, 可利用层别法, 将更容易找出问题的微结点, 对于质量的改善有事半功倍的效果。
(参阅层别法)。