对数模型的解释
计量经济学第五讲---模型函数形式
Prob. 0.0000 0.0000 5.468946 0.086294 -9.94267 -9.84926 81786.04 0.000000
ˆ 5.317 0.0098t ln Y t
斜率0.0098表示，平均而言， se (0.000608 )(0.0000343 ) Y的年增长率为0.98％。
每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13 个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺 乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。 另外，r2＝0.9， 表明logX解释了变量logY的90％的变 动。
13
第5章
经济学的弹性：
以价格弹性为例： 价格弹性的准确定义是需求量变动的百分比除以价格变动的百分 比。 价格变动一个百分点，引起需求量变动超过一个百分点，则该物 品就富有价格需求弹性；需求变动量不到一个百分点，则缺乏价 格需求弹性；需求变动量等于一个百分点，则该物品拥有单位需 求价格弹性。
S.D. dependent var
Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
20.51101
2.260832 2.354245 23141.80 0.000000
S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood
2642.152 134.6207
Mean dependent var S.D. dependent var
S.E. of regression
Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
线性与对数模型比较分析
实验报告——线性模型与对数模型举例分析、实验目的本实验的目的在于研究GNP 与货币是否有关系，若有关系有怎样的数量关系，用哪种模型来描述二者之间关系较为合适。
下面根据GNP/货币供给数据,得到的回归结果(Y=GNP ，X= 货币供给）:年GNP（ 10亿美元）M 2 年GNP（10 亿美元）M 2 1973 1359.3 861.0 1981 3052.6 1795.5 1974 1472.8 908.519823166.0 1954.0 1975 1598.4 1023.2 1983 3405.7 2185.2 1976 1782.8 1163.7 1984 3772.2 2363.61977 1990.51286.71985 4014.9 2562.61978 2249.7 1389.0 1986 4240.3 2807.7 1979 2508.2 1500.2 1987 4526.7 2901.0 1980 2732.0 1633.1 平均值2791.47 1755.70模型截距斜率2r0.9926双对数0.5531 0.9882t=(3.1652 )41.889对数- 线性 6.8616 0.00057 0.9493 增长模型）t= (100.05 )15.597线性- 对数-16329.0 2584.8 0.9832t= ( -23.494 )27.549线性101.20 1.5323 0.9915 LIV 模型）t= (1.369 )38.867a. 解释每个模型斜率的意义。
1. 双对数模型中斜率0.9882表示，货币供给每提高1个百分点，GNP 平均增加约0.98 个百分点。
2. 对数―线性模型中的斜率0.00057 表示，货币供给每增加1（10 亿）美元，GNP 将以0.057% 的速度增长。
3. 线性―对数模型中的斜率2584.8 表示，货币供给每提高1 个百分点，GNP 将增加25.848（10 亿）美元。
计量经济学第四章非线性模型
量 经
令Zi X i (i 1,2,3)
济 学
则原模型转换为 Yi b0 b1Z1 b2Z2 b3Z3 i
利用已知的数据，对上面的三元线性回归模型进行估计， 可得到下面的结果
7
Yˆi 14.1767 0.6348Z1 0.0130Z2 0.00009Z3
计
量 或 Yˆi 14.1767 0.6348X 0.0130X 2 0.00009X 3
经
济
t
(13.2837) (-13.1501) (15.8968)
学
R2 0.9984
8
4.1.2 双曲线模型
一般形式：
Yi
b0
b1 Xi
i
计
量 经
转换：
令Zi
1 Xi
济
学
则模型转换为一元线性回归模型
Yi b0 b1Zi i
9
双曲线模型的特点：
随着自变量增大，因变量逐渐接近其渐近线 Yi b0
3
4.1 直接代换法
适用范围：被解释变量和解释变量非线性，被 解释变量与参数线性的非线性模型。
计 量 经 下面介绍在研究现实经济问题中常见的这类非线性模型： 济 多项式模型、双曲线模型和对数模型。 学
4
4.1.1 多项式模型
多项式模型的一般形式： Yi b0 b1X b2 X 2 L bk X k i
19.3
22.6
量
24
经
24.4
济
25.7
学
26
27.4
29.7
35
42
总产量X (万吨) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
绘制总成本和总产量的散 点图，可以看出它们呈现 曲线变化趋势
高考数学必修知识讲解几类不同增长的函数模型提高
几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数(1)xy a a =>(0)y x αα=>()0,+∞αa x x a x αx a x α0x 0x x >xa >x αlog a y x =x x log a x x αlog a x x α0x 0x x >log a x x α<()0,+∞(1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>x (1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>0x 0x x >log .xa x x a α<<(0)y kx b k =+>(0)y kx b k =+<2(0)y ax bx c a =++<．（3）指数函数模型（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较，，的大小．【解析】作出函数，，的图象（如下图所示）．由二分法可得，方程的解为x=0.5，方程的近似解为x=0.64118574，方程的近似解为x=0.587774756．由图象及上述近似解可知，当0＜x ＜0.5时，；当x=0.5时，；当0.5＜x ＜0.587774756时，；2(0)y ax bx c a =++>()x f x ab c =+1b >01b <<()log a f x m x n =+1a >01a <<(0)ky k x=≠0k >(),0-∞()0,+∞0k <(),0-∞()0,+∞12log x 12x 12x⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =12y x =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212log x x =12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当x=0.587774756时，；当0.587774756＜x ＜0.64118574时，；当x=0.64118574时，；当x ＞0.64118574时，．【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x （0＜a ＜1）、y=log a x（0＜a ＜1）和y=x n （n ＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=log a x （0＜a ＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=a x （0＜a ＜1）与y=x n （n ＜0）的衰减速度．而y=a x （0＜a ＜1），y=a n （n ＜0）都是在正值范围内衰减，随着x 的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=a n （n ＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有x n ＞a x ＞log a x ．举一反三：【变式1】 比较、、的大小．【答案】【解析】分别画出的图象，可得结论．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足，其中，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【答案】9【解析】由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以，解得a ＝1，b ＝8.所以，其中.令f (n )＝8A ，得，解得，即，所以n ＝9.11221log 2xx x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13x⎛⎫⎪⎝⎭13x 13log (1)x x >13x >13x⎛⎫⎪⎝⎭13log x>13131(,,log 3xy y x y x ===9()nAf n a bt=+232t -=99314AA a b A A a b ⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩9()18n A f n t =+⨯223t =-9818nA A t =+⨯164nt =62122364n --==答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例3】【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】 函数故选 D ．【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．【解析】（1）由题意得，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50．又∵x ＞0，∴0＜x≤50．（2）设这100万人农民的人均年收入为y 元，则，即，0＜x≤50．当0＜25(a+1)≤50且a ＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y 取最大值．当25(a+1)＞50即a ＞1时，y 在（0，5]上单调递增，∴当x=50时，y 取最大值．答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这10022(01)()(12)t S t t ≤≤=⎪+<≤⎪⎩23000(100)(11003000100xx -⨯+≥⨯23000(100)(1)3000100100xx ax y -⨯++=603000(1)300000100x a x -+++=223[25(1)]3000375(1)5y x a a =--++++万人的人均年收入最大．【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b （k≠0）；二次函数型：g (x)=ax 2+bx+c （a≠0）；幂函数型：；指数函数型：m (x)=ab x +c ．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数． 设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直角坐标系（如右图），可得A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）．（1）对于直线，将B 、C 两点的坐标代入，有，，解得k=0.1，b=1，故．将A 、D 两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数，将A 、B 、C 三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x 2+0.35x+0.7．将D 点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型，将A 、B 两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，．解得a≈0.48，b≈0.52．故．将C 、D 两点的坐标代入，得，与实际误差为0.05；h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型m(x)=ab x +c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab 2+c=1.2，m (3)=ab 3+c=1.3．解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x +1.4．将D 点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x +1.4比较接近客观实际．选用y=a·b x +c 模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例4】12()h x ax b =+()(0)f x kx b k =+≠(2)2 1.2f k b =+=(3)3 1.3f k b =+=()0.11f x x =+2()(0)g x ax bx c a =++≠12()h x ax b =+(2) 1.2h b =+=12()0.480.52h x x =+(3)0.480.52 1.35h =+≈【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的面积为y ，则函数y = f (x ) 的图象大致为（ ）．【答案】D【解析】设某山区原有绿色植被为，则经过第一年增长后面积为，经过第二年增长后面积为，…，经过x 年绿色植被的面积为，是指数型函数，故选D ．【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x （x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y （单位：元）．【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．【答案】【解析】由题意可知：①当x ∈[0，5]时f （x ）=1.2x②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；即：当x ∈（5，6]时f （x ）=1.2×5+（x －5）×3.6=3.6x －12③当x ∈（6，7]时f （x ）=1.2×5+1×3.6+（x －6）×6=6x －26.4∴【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．例4．（2016春 江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），a (110.4%)a +2(110.4%)a +(110.4%)xa +1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）【思路点拨】（1）设每年还款x 元，由题意可得，从而解x ；（2）设每年还款y 元，由题意可得，从而解y ．【答案】（1）12245；（2）12330【解析】（1）设每年还款x 元，则，即，解得，；（2）设每年还款y 元，则，即，则．【总结升华】上述公式是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y =a (1+xr )．其中a 为本金，r 为每一期的利率，x 为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式；（2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．【答案】（1）；（2）9元或10元．【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n 取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即且510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 510 1.510450.05x x ⨯=+⋅105 1.512245()12.25x ⨯=≈元5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 105101.04110 1.04 1.041y -⨯=-510 1.48020.0412330()0.4802y ⨯⨯≈≈元(1r)xy a =+(10080)(110%)(20) 1.1nnn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥．（1）设未赠礼品时的销售量为m 件，则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1+10%)n ；利润．（2）令，即，解得n≤9．所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9=y 10，令，即，解得n≥8．所以y 9=y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例6】例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S 成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时，；当时，．【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：总的淋雨量为：，即（Ⅱ）①当即时120n n y y ++-≥(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥1(19) 1.1(20) 1.10n n n m n m +-⋅⋅--⋅⋅≥120n n y y ++-≥12(19) 1.1(18) 1.10n n n m n m ++-⋅⋅--⋅⋅≥v c -11012325(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩10v =min 3202y c =-v c =min 50y c=131||1022v c ⨯-+10031||202y v c v ⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦5(103)c y v -∴=5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩1030,c ->1003c <≤在上单调递减时，最小，．②当即时在上单调递减，在上单调递增．当时，最小，．答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．y (]0,10v ∈10v ∴=y min 3202y c =-1030,c -<1053c <≤y (0,)v c ∈(,10)v c ∈v c =y min 50y c=1003c <≤10v =min 3202y c =-1053c <≤v c =min 50y c=。
半对数模型参数β1解释
在半对数模型ln Y = β0 + β1X + ε中，参数β1 的含义是：
β1：解释变量X 的系数，表示当解释变量X 发生一个单位变动时，被解释变量Y 的相对变化率。
具体来说，当X 增加 1 个单位时，Y 的变化量为β1 个单位。
如果β1 为正数，表示X 和Y 之间存在正相关关系；如果β1 为负数，表示X 和Y 之间存在负相关关系。
在半对数模型ln Y = β0 + β1X + ε中，β1 是一个重要的参数，它衡量了解释变量X 对被解释变量Y 的影响程度。
β0 是截距项，表示当X 为0 时，Y 的取值。
β0 的值通常表示为自然对数的底数e 的幂。
ε是误差项，表示模型未能解释的随机误差。
在半对数模型中，β1 是斜率，表示X 对Y 的影响程度。
β1 的绝对值越大，表示X 对Y 的影响越强。
β1 的符号表示X 和Y 之间的关系是正相关还是负相关。
如果β1 大于0，表示X 和Y 之间是正相关关系，即X 增加，Y 也会增加。
如果β1 小于0，表示X 和Y 之间是负相关关系，即X 增加，Y 会减少。
在实际应用中，半对数模型常常用于研究变量之间的弹性关系，例如价格弹性、收入弹性等。
半对数模型系数的经济含义
半对数模型是一种常用的经济学模型，它可以用来描述和解释经济变量之间的关系。
在半对数模型中，系数的经济含义如下：
1. 斜率系数：斜率系数表示当自变量增加一个单位时，因变量平均增加的百分比数。
如果斜率系数为正，表示随着自变量的增加，因变量的增长速度加快；如果斜率系数为负，则表示随着自变量的增加，因变量的增长速度减缓或下降。
2. 常数项系数：常数项系数表示因变量的截距，即在自变量为0时，因变量的值。
如果常数项系数为正，则表示因变量在自变量为0时呈现增长趋势；如果常数项系数为负，则表示因变量在自变量为0时呈现下降趋势。
3. 截距系数：截距系数表示当自变量为0时，因变量的值。
如果截距系数为正，则表示因变量在自变量为0时呈现增长趋势；如果截距系数为负，则表示因变量在自变量为0时呈现下降趋势。
4. 斜率系数和截距系数：如果半对数模型中只有一个系数，那么这个系数同时表示斜率系数和截距系数。
需要注意的是，半对数模型中的系数只是对经济现象的描述，并不能说明其产生的原因。
因此，在使用半对数模型时，需要结合实际情况进行分析和解释。
经济计量学第五讲 回归方程的函数形式
双曲函数模型的一个显著特征是，当X无限 增大时，Y将逐渐接近于B1(渐进值或极值)。可以
用双曲函数模型来描述平均成本曲线、恩格尔消
费曲线和菲利普斯曲线等领域的情况。
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第六节 多项式回归模型
下述模型称为多项式回归模型：
Yi B1 B2 X i B3 X B4 X ui
Yi B1 B2 ln X i ui
B2的含义为：X的相对变化引起的Y的绝对量变 化量；即表示自变量的一个单位相对增量引起因变量 平均的绝对增量。
Y B2 (X / X )
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第五节 双曲函数模型
下述模型称为双曲函数模型：
Yi B1 B2 1 Xi ui
2 i 3 i
多项式回归模型在生产与成本函数领域应用广
泛。在多项式回归模型中，等式右边虽然只有一个 解释变量，但却以不同的次幂出现，因此可以把它
们看做是多元回归模型中的不同解释变量。
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我们通过观察散点图，认为需求量和价格之间是近似
的线性关系，因此建立两变量线性回归模型来研究需 求量和价格之间的关系。 若需求量和价格之间的关系不是线性关系而是指 数形式，则我们就需要建立下面的模型来描述需求量
和价格之间的关系，即：
Yi AX
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B i
(1)
第一节 双对数模型（2）
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第三节 多元对数线性回归模型（4）
例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对 数模型的结果如下：
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第四节 半对数模型（1）
下述模型称为半对数模型或对数—线性模型：
线性回归模型的扩展
第四节：双曲函数模型
双曲函数模型： Y=b0+b1(1/X)+u 参数线性 变量非线性（X以倒数形式进入模型） 特征：X无限增大时，1/X趋近于0，Y逐渐
接近b0渐近值。
双曲函数模型
平均固定成本 恩格尔消费曲线 菲利普斯曲线
例：美国菲利普斯曲线
数据：美国1958~1969年间小时收入指数 （Y）和城市失业率（X）
在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系 数度量了在其他变量保持不变的条件下， 因变量对某一个解释变量的偏弹性。
例：柯布—道格拉斯生产函数
lnY= b0 +b1lnX1+ b2lnX2+u 令X1表示劳动投入，X2表示资本投入 柯布—道格拉斯生产函数（C-D函数） Y：1955~1974年间墨西哥产出（GDP，百
双对数线性模型
双对数模型特性：斜率b1度量了Y对X的弹 性，即给X一个很小的变动所引起Y变动的 百分比。
弹性=Y变动百分比/X变动百分比 双对数模型又称为不变弹性模型
例：对《widget》教科书的需求
二、双对数模型的假设检验
在随机误差项u满足假定的情形下，线性模 型与双对数模型的假设检验方法相同。
的绝对变化所引起的被解释变量的相对变 动
线性趋势模型
Yt= b0 + b1t+u 将因变量对时间t回归，其中t 按时间先后顺
序计算，这类模型称为线性趋势模型。
时间t称为趋势变量 若斜率为正，则称Y有向上的趋势； 若斜率为负，则称Y有向下的趋势
例：美国为偿付消费者信贷
Yt= 98084 + 35289t se=(23095) (2540.1) t=(4.247) (13.893) R2 =0.9369 因变量不同，不能比较R2
计量经济学
计量经济学第六章6.1 解释概念（1）双对数模型 （2）对数-线性模型 （3）线性-对数模型 （4）多项式回归（5）标准化变量 （6）边际效应 （7）弹性 （8）瞬时增长率 答：（1）双对数模型是一种广泛应用的函数形式，模型中的因变量和自变量都以对数度量，比如设定一个双对数模型12ln ln Y X u ββ=++（2）对数线性模型是指因变量取对数、解释变量为原有形式的模型。
比如：12log()wage educ u ββ=++。
（3）线性对数模型是指因变量为原有形式，解释变量取对数的模型。
比如：12ln Y X u ββ=++（4）多项式回归模型中解释变量并不都是以线性的形式出现，多项式是由常数和一个或多个解释变量及其正整数次幂构成的表达式。
多项式回归模型的一般函数形式表示为21123k k Y X X X u ββββ-=+++++（5）标准化变量是标准化变量就是将变量减去其均值并除以其标准差。
（6）边际效应是指一单位变量X 的变化所引起的变量Y 的单位变化。
（7）弹性是指一个变量变动的百分比相应于另一变量变动的百分比来反应变量之间的变动的灵敏程度。
（8）瞬时增长率是指仅当时间变动很小时，才近似等于因变量的相对变化。
6.2 考虑双对数模型12ln ln Y X u ββ=++分别描绘出21β=，21β>，201β<<，21β=-，21β<-，210β-<<时表现Y 与X 之间关系的曲线。
答：当21β=时，Y 和X 对应的是曲线是：当21β>时，对应的曲线是：201β<<时：21β=-时，Y 和X 对应的图形为：21β<-时，对应的函数为：210β-<<时，Y 和X的曲线为：6.3 在研究生产函数时，我们得到如下结果2ln 8.570.460ln 1.285ln 0.272(4.2)(0.025)(0.347)(0.041)360.889K L t se n R θ=-+++===其中θ为产量，K 为资本，L 为劳动时数，t 为时间变量。
W-计量经济学公式概念
计量经济学概念公式第1章一、数据类型：截面、时间序列、面板1. 横截面数据（cross-sectional data set）定义：对给定的某个时间点的个人、家庭、企业、城市、洲、国家或者一系列其他单位采集的样本所构成的数据集。
常被用于劳动经济学、健康经济学和农村经济学中。
重要特征：数据假定是从总体中通过随机抽样而得到。
2. 时间序列数据（time series data）定义：在不同时间点上收集到的数据，这类数据反映了某一事物、现象等随时间的变化状态或程度。
如我国国内生产总值从1949到2015的变化就是时间序列数据。
3. 面板或纵列数据（panel data）定义：由数据集中每个横截面单位的一个时间序列组成与混合横截面数据区别：面板数据的同一横截面数据单位都被跟踪了一段特定的时期。
面板数据前后年份的样本是相同的，具有可比性。
但是混合横截面数据前后年份的样本很可能大部分不相同，不具有可比性。
面板数据的优点：对同一单位的多次观测，使我们能控制观测单位的某些观测不到的特征使我们能研究决策行为或结果中滞后的重要性。
四、用数据度量因果效应，其他条件不变的概念1. 因果效应经济学家的目标就是要推定一个变量对另一个变量具有因果关系我们希望去解释：什么导致一些事情发生？是这个因素还是那个因素？假设在现实世界中，X（自变量，一个可能的原因）确实是Y（因变量，被解释的变量），那我们就能预见数据分析支持以下假设：如果X的数值增加，Y 的数值也增加。
但由于存在误差或数据不足，统计检验可能出错或被错误地解释。
2. 其他条件不变（ceteris paribus ）意味着“其他（相关）因素保持不变”。
在因果关系中，其他条件不变是具有重要作用的。
多元回归中，所得到的“其他因素不变的效应”，并非是通过在实际抽样中，固定其他因素不变。
多元回归分析的优势，在于它使我们能在非实验环境中去做自然科学家在受控实验中所能做的事情：保持其它因素不变。
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对数模型的解释
对数模型是一种用来描述连续变量的数学模型,通常用于经济学、社会科学和物理学等领域。
对数模型中的变量通常是实数,但是我们可以使用虚数来表示它
们的对数。
虚数是一个复数,它可以表示两个实数的和。
例如,对于价格变量 x,我们可以使用对数模型表示为:
log(x) = k1 + k2*log(c)
其中 log 表示对数,x 表示价格,c 表示常数(也称为调整价格),k1 和 k2 分别表示价格对数的导数。
对数模型可以帮助我们描述连续变量之间的关系,特别是当变量
之间有函数关系时。
例如,如果我们想要描述股票价格和销售额之间
的关系,我们可以使用对数模型来描述这两种变量之间的关系。
通过
对数模型进行分析,我们可以发现股票价格和销售额之间存在一种线
性关系,即股票价格 = 的销售额 * 调整价格。
对数模型在很多领域中都有广泛的应用,例如经济学、社会科学
和物理学等。
可以用来描述不同变量之间的关系,并帮助我们进行数
据分析和预测。