线性与对数模型比较分析
第13章 SPSS的对数线性模型
精通SPSS统计分析
13.4.2 Logit模型的应用实例
本例还是以“度假村调查表”数据文件为例，只是该例多加一项“选择因素”即 是这些游客选择这里度假的因素，它包含两个因素：“1”代表这里的距离；“2”代表 这里的风景。现要求分析这些游客选择这里是否会受到年龄的影响。
本例对某度假村游客进行调查，希望使用饱和模型对这些游客进行分析。
精通SPSS统计分析
13.2.4 饱和模型应用实例
非饱和层次模型是在饱和模型上建立起来的简约模型。非饱和层次模型建立的基 本原则是，认为模型中的低阶段效应应是由高阶效应派生出来的。如果模型中的高阶 效应应是显著的，那么相应的所有低阶效应也均是显著的。如果一个低阶效应不显著， 则与其相应的其他高阶效应也会不显著。剔除模型中不显著效应时，应从最高除开始， 按照由高阶至低阶顺序依次分层地剔除，直到没有可剔除的效应为止，最终得到简约 的非饱和层次模型。行分析。
4.单项效应检验
通过主效应检验和交互效应检验能得到这些效应总体上是否显著的结论。与多元 线性回归分析中回归方程的显著性检验相类似，如果某因素的效应在总体上是显著的， 并不意味着它所有类别的效应都显著，也无法得知究竟哪个类别的效应显著。单项效 应检验正是要对各因素中各类别的效应进行逐一检验。
对数线性模型
此模型包括主效应、因素A与B的交互作用，称为饱和模 型(saturated model)。
如果模型中的交互项为0，则模型为
此 模型称为不饱和模型(unsaturated model)或简约模 型(reduced model)。
在对数线性模型中，通过交互效应项反映各因素是否有关 及其效应大小。
•对数线性模型不区分各因素为因变量和自变量，综合考虑
通过迭代法估计一组参数（0， 1 ， 2 ….. m），使L达 到最大。
4.模型及自变量的统计检验 （1）模型检验（拟合优度检验）：当P>0.05，说明可以
接受拟合的模型。
•似然比检验（the likelihood ratio test）
•Pearson卡方检验
评价模型拟和的好坏：大多数单元格的标准化残差或调整 残差的 绝对值小于2。
四种独立性间的关系
•若A、B、C相互独立，则一定有A与B、C联合独立，B与A、
C联合独立，且C与A、B联合独立。
•若C与A、B联合独立，则一定有C与A、C与B边际独立，并 有给定A，C与B条件独立；给定B，C与A条件独立。 •注意：若A、B条件独立，则不一定有A、B边际独立；A、 B边际独立；也不一定有A、B条件独立。
结论：
生育史与工作姿势无关，与是否子宫后倾也无关，但工 作姿势(是坐姿还是立姿)与子宫是否后倾有关，不过这种 关系不受生育史状态影响(即有、无生育史并不影响工作 姿势与子宫后倾的关系)。
变量间的四种独立性
• 边际独立(marginally independent)：不考虑 A的影响下，
X与Y对给定Z条件独立，此资料属于条件独立模型（XZ，YZ）。
ORXY=(7/42)/(76/849)=1.86
第三章 线性回归模型的
例3.2 需求方程 我们可以将需求模型建立成双对数的形式，从而 估计需求弹性。 模型设为： lnQ = b0 + b1 ln P+ b2 lnI＋b3 ln Pr＋u 其中， Q 是每天的咖啡销售 I是收入 P 是咖啡每磅的价格 Pr 是相关产品——茶叶每磅的价格
估计结果为： lnQ=0.78 -0.25lnP +0.6I＋ 0.38lnPr t (51.1) (-5.12) (15.12) (3.25) 解释： （1）自价格弹性 是 -.25，表明保持其他不变， 如果价格增加1%，需求量将减少0.25%。这是缺乏 弹性的——弹性的绝对值小于1 （2）收入弹性是0.6 （3）交叉价格弹性是.38，表明保持其他不变， 如果茶叶的价格增加1%，咖啡的需求量增加0.38%。 注： 如果交叉弹性是正的，表明它们是替代品； 如果交叉弹性是负的，表明它们是互补的。
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来完 成的。根据这些因素的属性类型，构造只取“0” 或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量 dummy 虚拟变量（dummy 虚拟变量 variables），记为D。 variables 例如，反映文化程度的虚拟变量可取为： 例如，反映文化程度的虚拟变量可取为 1， D= 0， 非本科学历 本科学历
参数的含义： 参数的含义：
β
j
∂Y = ∂ ln X
j
∂Y = ＝或 ∂X j X j
∆Y ∆X j X j
度量了在给定解释变量(X)的相对变化时， 度量了在给定解释变量(X)的相对变化时，Y的 (X)的相对变化时 绝对变化。 绝对变化。
例3.4货币供给的增长率对GNP的影响模型为： GNP = b 0 + b 1 lnM + u 斜率b1度量对M的相对变化，GNP的绝对变化— —M变化1%，GNP的绝对变化量为b1/100。 例如：b1=2000，说明货币供给增加1% ，将使 GNP 增加2000/100 = $20 billion.
数据取对数的意义
数据取对数的意义数据取对数是一种常见的数据处理方法，它可以将原始数据转化为对数值，以便更好地分析和解释数据。
数据取对数的意义主要体现在以下几个方面：1. 数据压缩和范围缩放：对于数据范围较大的情况，取对数可以将数据进行压缩，使得数据的变化范围减小，更加便于观察和比较。
例如，某个指标的取值范围从1到1000，取对数后，变为0到3，范围缩小了很多，更容易进行数据分析和比较。
2. 强调变化率：对数值的变化具有一定的特性，即对数值的变化量与原始值的比例相关。
因此，取对数可以帮助我们更好地理解和分析数据的变化率。
例如，某个指标在两个时间点的取值分别为100和1000，看似变化了900，但如果取对数后，变为2和3，表示变化率为1倍，更能凸显变化的相对大小。
3. 抑制极端值的影响：在一些数据分析中，极端值（outlier）可能对结果产生较大的影响，使得结果失真。
取对数可以减小极端值的影响，使得数据更加平滑，更能反映整体的趋势。
例如，某个指标的取值范围从1到1000，但其中有一个极端值为10000，取对数后，极端值变为4，对整体数据的影响减小了很多。
4. 线性化处理：在一些数据分析和建模中，线性模型是常用的方法之一。
而取对数可以将非线性关系转化为线性关系，使得数据更适合线性模型的分析。
例如，某个指标的取值与时间呈指数关系，取对数后，变为线性关系，更便于线性模型的建模和分析。
需要注意的是，数据取对数并不适用于所有情况，需要根据具体的数据和分析目的来决定是否使用。
在实际应用中，需要考虑数据的性质、分布特点以及分析目的等因素，综合判断是否使用数据取对数的方法。
总结起来，数据取对数的意义主要包括数据压缩和范围缩放、强调变化率、抑制极端值的影响以及线性化处理。
通过取对数，可以更好地分析和解释数据，提取其中的有用信息，为后续的数据分析和建模提供支持。
回归分析中的线性与非线性模型选择
回归分析中的线性与非线性模型选择回归分析作为一种常用的数据分析方法，可以用来研究自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，模型的选择是一个关键问题，决定了最终结果的准确性和可解释性。
线性和非线性模型是两种常见的选择，本文将讨论线性和非线性模型在回归分析中的选择问题，并探讨如何判断何时使用线性模型和何时使用非线性模型。
一、线性模型线性模型是回归分析中最基本的模型，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。
线性模型的数学形式可以表示为：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn+ ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。
线性模型的优点是简单、易于解释和计算，模型的形式清晰。
在一些数据集合具有线性关系的情况下，线性模型可以得到较好的拟合效果。
但是，在实际问题中，自变量与因变量之间的关系往往是复杂的，可能存在非线性关系。
二、非线性模型非线性模型是考虑了自变量与因变量之间的非线性关系的模型。
非线性模型的数学形式可以是多项式形式、指数形式、对数形式等。
在回归分析中，选择合适的非线性模型是一个挑战。
一种常见的方法是通过观察自变量与因变量的散点图来判断是否需要使用非线性模型。
如果散点图呈现出明显的非线性趋势，那么使用非线性模型可能会得到更好的拟合效果。
此外，可以使用统计方法来判断是否需要使用非线性模型，例如利用残差分析、F检验、信息准则等。
三、线性与非线性模型的选择在实际应用中，选择线性模型还是非线性模型需要综合考虑多个因素。
以下是一些建议：1. 数据的线性性：观察数据集合自变量与因变量的散点图，判断是否存在明显的非线性趋势。
如果散点图呈现出明显的非线性关系，那么考虑使用非线性模型。
2. 拟合效果：比较线性模型和非线性模型的拟合效果。
可以使用拟合优度指标（如R方值）来评估模型的拟合程度，选择拟合效果较好的模型。
3. 解释性：考虑模型的解释性和可解释性。
08列联表卡方检验和对数线性模型
R
交互作用 高维表
例1.2 （性别，观点和收入）
6
8.4 Poisson对数线性模型
Poisson 对数线性模型
每个格子出现的频数服从Poisson分布 例8.1（acc2.sav/txt） 模型 广义线性模型（Generalized Linear Model）
自变量：Y 解释变量：X 联系函数（Link Function）
u=E(Y) g(u)
7
一些例子
线性回归：g(u)=u Logistic 回归：g(u)=log[u/(1-u)] Poisson 对数线性模型:g(u)=log(u)
软件实现
SPSS
Data Weight Cases Do not weight cases Analyze Generalized Linear Models
30度
8.2 二维列联表的检验
观点和收入） 例1.2 （观点和收入） 零假设
这两个变量不相关，ห้องสมุดไป่ตู้立
检验统计量
Pearson 卡方检验 似然比卡方检验 Fisher 精确检验：超几何分布
3
软件实现
SPSS
Analyze Descriptive Statistics Crosstabs
Opinion Row(s) Income Column(s) Exact Exact Statistics Chi-square
R
8
讨论
Poisson 分布 模型诊断
拟和优度（Goodness-of-fit） 残差分析（Residual analysis）
模型选择
层次模型（Hierarchical model）
饱和模型（Saturated model ） 简约模型（Parsimonious models ）
8-2第2课时 一元线性回归模型的综合问题(教学课件) 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
由题意知lg lg
ห้องสมุดไป่ตู้
300＝klg 200＝klg
300＋b 2 000＋b，
解得k＝－14 b＝285，
所以 lg f＝－14lg W＋285，
25
1
所以f关于W的函数解析式为f＝10 8 W 4 .
03 残差平方和与决定系数R2
问题3 例2中给出了两个模型，那么如何比较这两个模型的拟合效果？ 提示 残差平方和、决定系数.
(2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产 生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的 影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2， 且 I11＋I42＝1010.已知点P的声音能量等于声音 能量I1与I2之和，请根据(1)中的经验回归方 程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并 说明理由.
点P的声音能量I＝I1＋I2， ∵I11＋I42＝1010， ∴I＝I1＋I2＝10－10·I11＋I42(I1＋I2)＝10－10· 5＋II21＋4II21≥9×10－10(当且仅当II21＝4II21，即 I2＝2I1 时等号成立)， 根据(1)中的经验回归方程，点 P 的声音强度 D 的最小预测值为D^ ＝ 10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60，
量 I 的经验回归方程D^ ＝a^ ＋b^ ·lg I；
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v^ ＝
n
ui－ u vi－ v
i＝1
α^ ＋β^ u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^ ＝
，α^ ＝ v
n
ui－ u 2
i＝1
－β^ ·u .
由Wi＝lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，
对数线性模型和泊松回归模型的应用
对数线性模型和泊松回归模型的应用一、引言在机器学习领域，模型是一种用来预测或解决某个问题的数学方法和工具，数线性模型和泊松回归模型就是其中比较典型的两种模型。
它们可以应用于很多领域，如金融、医疗、经济等。
本文将分别介绍这两种模型的应用及其优缺点。
二、对数线性模型1.定义与基本形式对数线性模型（Logistic Regression）是一种广泛应用于分类问题的统计学习方法。
它将线性回归模型通过一个sigmoid函数映射到(0,1)区间内，在这个区间内产生概率输出。
sigmoid函数的公式如下：y = 1 / (1 + e^(-z))其中，z为线性函数的输出值，可以写成如下形式：z = w1x1 + w2x2 + ... + wmxmx1~xm就是我们所使用的特征，w1~wm是对应的权重，y就是当前样本属于分类的概率。
2.应用场景与优缺点对数线性模型在应对二元分类问题时通常效果不错，可以应用于各种领域，如广告点击率的预测、垃圾邮件的过滤和疾病诊断等。
另外，对数线性模型不需要过多的数据预处理，且易于实现和理解。
不过，对数线性模型只能处理线性可分问题，对于非线性情况无法处理。
同时，容易出现过拟合问题，需要人工干预调整模型，而且不同的领域可能需要不同的特征选择，这也需要进行人工选择。
三、泊松回归模型1.定义与基本形式泊松回归模型（Poisson Regression）是应用于计数特征的回归分析工具。
类比于线性回归模型，泊松回归模型中每一个自变量都是一个观测数值，而因变量是一个计数变量。
泊松回归模型的基本形式为：λ = e^(α+βx1+βx2+....+βxn)其中，λ是因变量的期望值，α是截距，β是对应的系数，x1~xn是自变量。
2.应用场景和优缺点泊松回归模型通常用于处理计数特征的数据，如文档中出现的某个词的次数，疾病的发病率等。
它还可以用于处理计数响应数据，如人口普查数据中的人口数、公司的营业额等等。
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实验报告——线性模型与对数模型举例分析、实验目的本实验的目的在于研究GNP 与货币是否有关系，若有关系有怎样的数量关系，用哪种模型来描述二者之间关系较为合适。
下面根据GNP/货币供给数据,得到的回归结果(Y=GNP ，X= 货币供给）:年GNP（ 10亿美元）M 2 年GNP（10 亿美元）M 2 1973 1359.3 861.0 1981 3052.6 1795.5 1974 1472.8 908.519823166.0 1954.0 1975 1598.4 1023.2 1983 3405.7 2185.2 1976 1782.8 1163.7 1984 3772.2 2363.61977 1990.51286.71985 4014.9 2562.61978 2249.7 1389.0 1986 4240.3 2807.7 1979 2508.2 1500.2 1987 4526.7 2901.0 1980 2732.0 1633.1 平均值2791.47 1755.70模型截距斜率2r0.9926双对数0.5531 0.9882t=(3.1652 )41.889对数- 线性 6.8616 0.00057 0.9493 增长模型）t= (100.05 )15.597线性- 对数-16329.0 2584.8 0.9832t= ( -23.494 )27.549线性101.20 1.5323 0.9915 LIV 模型）t= (1.369 )38.867a. 解释每个模型斜率的意义。
1. 双对数模型中斜率0.9882表示，货币供给每提高1个百分点，GNP 平均增加约0.98 个百分点。
2. 对数―线性模型中的斜率0.00057 表示，货币供给每增加1（10 亿）美元，GNP 将以0.057% 的速度增长。
3. 线性―对数模型中的斜率2584.8 表示，货币供给每提高1 个百分点，GNP 将增加25.848（10 亿）美元。
4.线性模型中的斜率1.5323表示，货币供给每增加1 （10亿）美元，GNP将增加1.53 （10亿）美元。
b.估计每个模型GNP对货币供给的弹性，并解释。
分别用E1，E2，E3，E4 表示四个模型中GNP 对货币供给的弹性。
△ Y/Y 100 △ X/X 1001•对于双对数模型,lnY= a + 3 lnX△ Y/Y 100 △ X/X 100所以 E j =0.9882 2•对于对数一线性模型lnY= a + 3 X△ Y/Y 100△ Y/YE ==X = 3 X △ X/X 100△ X由此可知：对于对数一线性模型中 GNP 对货币供给的弹性是随着X(货币供给)的变化而变化的，为此可以通过 X 的样本均值来计算平均弹性。
所以E 2= 3 X =0.00057 X 1755.70=1.003•对于线性一对数模型Y= a + 3 lnX△ Y/Y 100△ Y 1 1E === 3△ X/X 100 △ X/X Y Y由此可知：对于线性一对数模型中 GNP 对货币供给的弹性是随着Y(GNP)的变化而变化的，为此可以通过Y 的样本均值来计算平均弹性。
1所以E 3= 3 一 =2584.8/2791.47=0.926Y△ Y X X=3△ X Y Y 由此可知：对于线性模型中 GNP 对货币供给的弹性是随着X(货币供给),Y(GNP)的共同变化而变化的，为此可以通过X 与Y 的样本均值来计算平均弹性 .所以XE 4= 3 — =1.5323 X 1755.667/ 2791.47=0.964YC.所有的 2 r 值可直接比较吗？如果不能，哪些可以直接进行比较答:所有的r 2值不能直接进行比较，因为四个模型的被解释变量并不相同 .双对数模型与对数一线性模型可以进行比较。
线性一对数模型与线性模型进行比较。
d.你选择哪个模型？在选择模型时，考虑了哪些指标？ 1. lnY 对lnX 的回归4.对于线性模型Y= a + 3 X △ Y/Y 100E =-△ X/X 100LnY = 0.5531+0.9882 InXDepe nde nt Variable: LOG(GNP)Method: Least SquaresDate: 05/26/10 Time: 20:35Sample: 1973 1987In cluded observatio ns: 15Variable Coefficie nt Std. Error t-Statistic Prob.C 0.553118 0.174752 3.165156 0.0075LOG(M2) 0.988224 0.023592 41.88869 0.0000R-squared 0.992646 Mean depe ndent var 7.863176Adjusted R-squared 0.992080 S.D.dependent var 0.399117S.E. of regressi on 0.035519 Akaike info criterion -3.713914Sum squared resid 0.016401 Schwarz criteri on -3.619508Log likelihood 29.85436 Hannan-Quinn criter. -3.714920F-statistic 1754.662 Durbin-Wats on stat 0.787478Prob(F-statistic) 0.000000在显著性水平a =0.05 ,查表得自由度n=n-2=13 的临界值t0.025(13)=2.160,t( 3 )= 41.889> t0.025 (13)=2.160,说明在95%的置信水平下，解释变量InX通过了显著性检验，即InX 对InY有显著影响。
2. lnY对X的回归lnY =6.8616+0.00057 XDepe nde nt Variable: LOG(GNP)Method: Least SquaresDate: 05/26/10 Time: 20:39Sample: 1973 1987In cluded observatio ns: 15Variable Coefficie nt Std. Error t-Statistic Prob.C 6.861568 0.068584 100.0457 0.0000M2 0.000571 3.66E-05 15.59749 0.0000R-squared 0.949275 Mean depe ndent var 7.863176Adjusted R-squared 0.945373 S.D.dependent var 0.399117S.E. of regressi on 0.093284 Akaike info criterion -1.782779Sum squared resid 0.113124 Schwarz criteri on -1.688372101.201973.926471.3689530.1942Log likelihood F-statistic15.37084 Hannan-Qu inn criter. -1.783784 243.2817 Durbi n-Watson stat0.252175Prob(F-statistic)0.000000t( 3 )= 15.597> t 0.025 (13)=2.160,说明在95%的置信水平下，解释变量 X 通过了显著性检验，即 X 对lnY 有显著影响 3. Y 对lnX 的回归Depe ndent Variable: GNP Method: Least Squares Date: 05/26/10 Time: 20:43 Sample: 1973 1987 In cluded observatio ns: 15VariableCoefficie nt Std. Error t-Statistic Prob. C -16328.64 694.9991 -23.49448 0.0000 LOG(M2)2584.789 93.8253127.548960.0000 R-squared0.983159 Mean depe ndent var 2791.473 Adjusted R-squared 0.981864 S.D.dependent var 1048.951 S.E. of regressi on 141.2622 Akaike info criterion 12.86268 Sum squared resid 259415.0 Schwarz criteri on 12.95708 Log likelihood -94.47008 Hannan-Quinn criter. 12.86167 F-statistic758.9450Durbin-Wats on stat0.592403Prob(F-statistic) 0.000000在显著性水平a =0.05, t( 3 )= 27.549> t 0.025 (13)=2.160,说明在95%的置信水平下，解释变量 X 通过了显著性检验，即 lnX 对Y 有显著影响4. Y 对X 的回归Y=101.20 +1.5323 X Depe ndent Variable: GNP Method: Least Squares Date: 05/24/10 Time: 23:32 Sample: 1973 1987 In cluded observatio ns: 15VariableCoefficie nt Std. Error t-Statistic Prob.在显著性水平a =0.05 , Y = -16329.0+ 2584.8 lnXM2 1.532336 0.039425 38.86674 0.0000R-squared 0.991468 Mean depe ndent var 2791.473Adjusted R-squared 0.990811 S.D.dependent var 1048.951S.E. of regressi on 100.5496 Akaike info criterion 12.18274Sum squared resid 131432.8 Schwarz criteri on 12.27715Log likelihood -89.37059 Hannan-Quinn criter. 12.18174F-statistic 1510.623 Durbin-Wats on stat 0.873998Prob(F-statistic) 0.000000在显著性水平a =0.05, t( 3 )= 38.867> t0.025 (13)=2.160,说明在95%的置信水平下，解释变量X通过了显著性检验，即X对Y有显著影响.上述4个模型均通过了统计检验，且F值均较大，r2也都较大，回归模型对各自因变量变异的解释程度较高。