宏观经济学分析方法系列：(课堂放映版、11硕已讲)微分与差分动力(dynamic)系统

================= ================= 附录：宏观经济学分析方法：微分方程或差分方程动力（动态）系统（10、11硕已讲，精细订正版）经济分析中常常涉及大量的微分方程与差分方程，如Solow 经济中描述资本存量运动的Solow 方程，以及随后涌现出来的各种描述跨时变量运动的方程等等。

微分方程或差分方程的求解方法和解的性质是很重要的，是理解经济动态（特别是经济增长理论）的必要数学基础。

零、逆矩阵的求法对于一个矩阵A ，其逆矩阵1-A 是指满足关系A A I AA 11--==的惟一矩阵．注意只有当A 为方阵且非奇异时，逆矩阵1-A 才存在．逆矩阵乘上原矩阵简化为单位矩阵，所以，逆矩阵在线性代数中起着普通代数中的倒数的作用．求逆矩阵的公式为AdjA AA 11=-例1 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=413132514A 求其逆矩阵1-A ． 解：1．检查A 是否为方阵，因为只有方阵才可能有逆存在．这里A 为33⨯维的，A 是方矩阵．2．计算A 的行列式以确信0≠A ，因为只有非奇异矩阵才可能有逆存在．98351152)]3(3)1)(2)[(5()]3(1)4)(2[(1)]1(1)4(3[4≠=++=----+-----=AA 为非奇异的；3)(=A ρ．3．求A 的余子式矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=14616731171113321412541351131443544151133243124113C转置余子式矩阵以得到共轭矩阵．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='=14776311116113C AdjA4．以98/1/1=A 乘共轭矩阵，得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1429.00714.00714.00612.03163.01122.01633.00102.01327.0711********9831981198169819813147763111161139811A 5．作乘法1-AA 或A A 1-以检验答案的正确性．如果答案正确，两个积均应为单位矩阵I ．零、矩阵的特征根与特征向量到目前为止，我们能够利用主子式来检验海赛行列式和二次型的符号定性．符号定性也可以利用矩阵的特征根来检验．给定矩阵A ，如果能够找到一向量0≠V 及标量c ，使得 cV AV = (12．4) 则，标量c 称为特征根，向量V 称为特征向量．方程(12．4)也可表示为cIV AV =整理，得0)(=-cIV AV0)(=-V cI A (12．5)其中cI A -称为A 的特征矩阵．由于假设0≠V ，则特征矩阵cI A -必为奇异的，从而其行列式必为零．如果A 为33⨯矩阵，则0333231232221131211=---=-ca a a a c a a a a ca cI A在(12．5)中，由于0=-cI A ，则(12．5)有无穷个解V ．可以通过标准化V 的元素i v ，即要求i v 满足12=∑i v ，以得到惟一解．见例9． 如果1) 所有特征根c 为正的，则A 为正定的． 2) 所有特征根c 为正的，则A 为正定的．3) 所有的c 为非负的，且至少有一个0=c ，则A 为半正定的．4) 所有c 为非正的，且至少有一个0=c ，则A 为半负定的． 5) 有些c 为正，而另一些则为负，则A 为符号不定的．例8 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6336A 求A 的特征根． 解：由于特征矩阵cI A -的行列式必为零，所以cc cI A ----=-6336 （12．6）390)3)(9(027120)3)(3()6)(6(212-=-==++=++=-----c c c c c c c c 由于二个特征根均为负，则A 为负定的．注意：(1) 21c c +必等于A 的对角线上的元素之和，(2)21c c 一定等于行列式A 的值．例9 继续例8，求第一个特征根91-=c 的特征向量： 解：将9-=c 代入(12．6)，033330)9(633)9(62121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡------v v v v （12.7）由于系数矩阵为线性相关的，则(12．7)有无穷多个解，矩阵与向量相乘得到两个完全相同的方程，03321=+v v以1v 求解2v 得12v v = (12. 8)再标准化(12．8)的解，使得12221=+v v (12．9)将12v v -=代入(12．9)，得到1)(2121=-+v v所以，1221=v ，2121=v . 取正平方根，5.0211==v ，由(12．8)，12v v -=.因此5.02-=v ，则第一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5.05.01V求第二个特征根32-=c 的特征向量： 将32-=c 代入(12．6)，03333)3(633)3(62121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡------v v v v乘积为03321=+-v v03321=-v v所以，21v v =.标准化12221=+v v 1)(2222=+v v 1222=v5.02=v 5.01=v所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.02v一、联立微分方程的矩阵解(I) （重点！10、11硕，讲）设有一个由n 个一阶自控线性微分方程所组成的方程组，其中任何一个导数都不是其他导数的函数．并且为了便于简化记号，这里我们限定2=n ．“自控”，就是指所有的ij a 和i b 都是常数。

12121111b y a y a y++= 22222212b y a y a y++= (19. 1) 用矩阵形式表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212221121121b b y y a a a a y y或B AY Y+=该系统的全部解包括n 个方程．每一个方程依次由(1)一个余解c y 和(2)一个特解p y 组成． 1．(a)余解具有下列形式，t r ni t r t r i i c e C k e C k e C k y i2122111∑=+== (19．2)其中i k 是一个标量或常数，)12(⨯=i C 是由常数组成的列向量，称为特征向量，i r 是一个标量，称为特征根．(b)特征根也称为特征值，他们可以通过解二次式24)]([)(2AA Tr A Tr r i -±=(19. 3)得到，其中A 是矩阵A 的行列式，)(A Tr 是A 迹。

)(A Tr 等于A 主对角线上的元素之和．这里，设)22(⨯=A ，2211)(a a A Tr +=(c)要求特征向量的解，需要求解0)(=-i i C I r A (19．4) 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-i ii i r a a a r a r a a a a I r A 22211211222112111001)( i r 是一个标量，I 是单位阵，这里为2I 。

方程(19．4)称为特征值向量方程，特征向量可通过解(19．4)中的i C 得到．为避免只有零解，限定矩阵)(I r A i -为奇异阵。

2. 特解p y 是稳定状态的解． 特解由下式得到，B A Y y p 1--== (19. 5)其中，1-A 是A 的逆矩阵，B 是由常数组成的列向量．模型的稳定性由特征根决定： 如果所有的0<i r ，模型是动态稳定的. 如果所有的0>i r ，模型是动态非稳定的．如果i r 取不同符号，解处于鞍点平衡，而且除非沿鞍式路径，否则模型不稳定．例1 求解下列一阶自控线性微分方程组12)0(125.051211=--=y y y y4)0(24522212=-+-=y y y y解：1．为了便于计算，将上述方程组转化方矩阵形式．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2412525.052121y y y y B AY Y+=2．然后求余函数． 由(19．2)，余函数有形式t r t r c e C k e C k y 212211+=再由(19．3)，得特征根为24)]([)(,221AA Tr A Tr r r -±=其中，241251055)(2211=-==+=+=A a a A Tr代入，22102)24(4)10(10,221±=-±=r r 6421==r r 是特征根或特征值．3．下面我们求解特征向量．因为)(I r A i -为奇异阵，由(19．4)得，0)(=-i i C I r A其中0)(2122211211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-c c r a a a ra C I r A i ii i (a)首先，将41=r 代入，得0125.014525.045)(2121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=-c c c c C I r A i i 然后通过简单的行与列相乘得到，212121215.0025.005.0c c c c c c c c ==+-==-因为)(I r A i -被限定为奇异阵，所以方程之间是线性相关的．选择任意一个方程即可．由于线性相关性，将有无穷多个特征向量满足方程．我们可通过选择一个单位向量使方程标准化，即，12221=+c c 该式被称为欧几里得距离条件．我们也可简单地为—个量选取一个任意值，然后通过方程解出其他量．选择后者，11=c ． 如果11=c ，则25.0/12==c . 因此，对应于41=r 的特征向量是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21211c c C 通解中余函数的第一部分的两个元素是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t ce k e k e k y 4141411221(b)其次，将62=r 代入得，0125.016525.0652121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----c c c c行与列相乘得，212121215.0025.005.0c c c c c c c c -==---==--如果11=c ，则25.012-=-=c 因此，对应于62=r 的特征向量2C 为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21212c c C 通解中余函数的第二项的两个元素是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t t ce k e k e k y 6262622221将两部分合并得方程组的补解，t t e k e k t y 62411)(+= t t e k e k t y 6241222)(-=4．我们现在求稳定状态解p y . 由(19．5)知B A Y y p 1--==其中24125,525.05,2412=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=A A B , 余子阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=55.025C ，伴随阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡='=525.05.C A Adj 因此，逆矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-525.052411A 代入(19.5)得⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2412525.05241Y 行与列相乘得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=631447224121y y Y于是通解p c y y t y +=)(是3)(62411++=t t e k e k t y622)(62412+-=t t e k e k t y (19．6)由于041>=r 且062>=r ，均衡不稳定。