5.复数模的运算与几何意义

[决胜高考数学母题](第008号)

复数模的运算与几何意义

复数与坐标平面內的点具有一一对应关系,由此可定义复数的模:若复数z=a+bi,则z 的模|z|=22b a +,复数的模具有优美的运算性质和直观的几何意义.

[母题结构]:(Ⅰ)(模的运算):|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|z|2=|z 2|,|21z z |=|

|||21z z . (Ⅱ)(几何意义):复数的两层几何意义:复数z=a+bi ←→Z(a,b)←→OZ =(a,b).

(Ⅲ)(模的意义)①|z-z o |?z 对应的点Z 与z o 对应的点Z o 的距离;②|z-z 1|=|z-z 2|?复数z 对应的点Z 在线段Z 1Z 2的垂直平分线上,其中Z 1、Z 2分别是复数z 1、z 2的对应点;③|z-z 0|=R ?复数z 对应的点Z 在以点Z 0为圆心,半径为R 的圆上,其中Z 0是复数z 0的对应点;④|z-z 1|+|z-z 2|=|z 1-z 2|?复数z 对应的点P 在线段Z 1Z 2上,其中Z 1、Z 2分别是复数z 1、z 2的对应点.

[母题解析]:略.

1.模的运算

子题类型Ⅰ:(2010年课标卷高考试题)已知复数z=2)31(3i i

-+,则|z|=( ) (A)41 (B)2

1 (C)1 (D)

2 [解析]:由z=2)31(3i i

-+?|z|=2|31||

3|i i -+=222=2

1.故选(B). [点评]:利用复数模的运算性质求复数的模,无需把所给复数化成a+bi 的形式,可直接求解,减少计算量,是解决该类高考试题的最佳途径.

[同类试题]:

1.(2013年课标Ⅱ卷高考试题)|i

+12|=( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1

2.(2013年山东高考试题)复数z=i

i 2)2(-(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B)41 (C)5 (D)5 2.几何意义

子题类型Ⅱ:(2003年上海春招试题)复数z=i

i m 212+-(m ∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

[解析]:由z=i i m 212+-=51(m-2i)(1-2i)=51(m-4)-52(m+1)i;如果在第一象限,则???<+>-0

104m m ,而该不等式组无解.故选(A). [点评]:复数的几何意义:复数z=a+bi ←→点Z(a,b);本题把复数的几何意义与解不等式进行有机结合,不仅体现了知识的交汇,而且呈现了逆向思维.

[同类试题]:

3.(2007年复旦大学保送生考试试题)复数z=i

i a 212+-(a ∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

4.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3.模的意义

子题类型Ⅲ:(2002年北京高考试题)己知z 1,z 2∈C,且|z 1|=1,若z 1+z 2=2i,则|z 1-z 2|的最大值是( )

(A)6 (B)5 (C)4 (D)3

[解析]:令z 1、z 2对应的点分别为P 、Q,A(0,2),由|z 1|=1?点P 在圆x 2+y 2=1上;又由z 1+z 2=2i ?点Q 满足:OP +OQ =OA ,

且|z 1-z 2|=|PQ|=|OP -OQ |=|2OP -(OP +OQ )|=|2OP -OA |≤2|OP |+|OA |=4,当且仅当z 1=-i,z 2=3i 时,等号成立.故选(C).

[点评]:复数的几何意义有两个层次:复数z=a+bi ←→点Z(a,b)←→向量OZ =(a,b);复数模的意义:|z-z o |?z 对应的点Z 与z o 对应的点Z o 的距离;由此作图,根据几何直观是解决模的最值问题的最佳选择.

[同类试题]:

5.(1990年广东高考试题)如果z 1,z 2是复数,且|z 1|=3,|z 2|=4,|z 1-z 2|=5,那么|z 1+z 2|的值是 .

6.(2003年安徽春招试题)若复数z 满足|z-1|=|z-2|=|z-i|,则z= .

4.子题系列:

7.(2013年广东高考试题)若i(x+yi)=3+4i,x,y ∈R,则复数x+yi 的模是( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

8.(2010年江苏高考试题)设复数z 满足z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 .

9.(2013年辽宁高考试题)复数z=1

1-i 的模为( ) (A)21 (B)2

2 (C)2 (D)2 10.(2013年课标Ⅱ卷高考试题)|

i +12|=( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1

11.(2013年山东高考试题)复数z=i

i 2)2(-(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B)41 (C)5 (D)5

12.(2013年重庆高考试题)已知复数z=i

i 215+(i 为虚数单位),则|z|= . 13.(2017年江苏高考试题)已知z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 .

14.(2017年高考全国Ⅲ理科试题)设复数z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) (A)21 (B)2

2 (C)2 (D)2 15.(2017年山东高考试题)已知a ∈R,i 是虚数单位.若z=a+3i,z z =4,则a=( )

(A)1或-1 (B)7或-7 (C)-3 (D)3

16.(2017年高考全国Ⅲ文科试题)在复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

17.(2011年山东高考试题)复数z=i

i +-22(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

18.(2005年辽宁高考试题)复数z=i

i ++-11-1在复平面内,z 所对应的点在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

19.(2005年浙江高考试题)在复平面内,复数i

i +1+(1+3i)2对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

20.(2004年北京春招试题)当3

2

21.(2017年北京高考试题)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( )

(A)(-∞,1) (B)(-∞,-1) (C)(1,+∞) (D)(-1,+∞)

22.(2008年江西高考试题)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

23.(2003年北京高考试题)若z ∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

24.(2004年北京高考试题)满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )

(A)一条直线 (B)两条直线 (C)圆 (D)椭圆

25.(1994年全国高考试题)如果复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( ) (A)1 (B)2 (C)2 (D)5

26.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M,m,则m

M = . 27.(1989年广东高考试题)满足条件|z|=1及|z+

21|=|z-23|的复数z 的集合是 . 5.子题详解:

1.解:|i +12|=|1|2i +=2

2=2.故选(C). 2.解:|z|=|

i i 2)2(-|=|||2|2i i -=5.故选(C). 3.解:z=i i a 212+-=51(a-4)-5

2(a+1)i.故选(A). 4.解:由A+B>900?cosB-sinA<0,sinB-cosA>0.故选(B).

5.解:在复平面内,令z 1,z 2对应的点分别为A,B,则|OA|=3,|OB|=4,|AB|=5?△OAB 是直角三角形?|z 1+z 2|=|AB|=5.

6.解:在复平面内,令点A(1,0),B(2,0),C(0,1),由|z-1|=|z-2|知,复数z 对应的点P 在线段AB 的垂直平分线x=23上,又由|z-1|=|z-i|知,复数z 对应的点P 在线段AC 的垂直平分线y=x ?y=x=

23?P(23,23)?z=23+2

3i. 7.解:由i(x+yi)=3+4i ?|i||x+yi|=|3+4i|?|x+yi|=5.故选(D).

8.解:由z(2-3i)=6+4i ?|z|=2.

9.解:|z|=|11-i |=|1|1-i =22.故选(B).

10.解:|i +12|=|1|2i +=2

2=2.故选(C). 11.解:|z|=|

i i 2)2(-|=|||2|2i i -=5.故选(C). 12.解:|z|=|i

i 215+|=5. 13.解:由z=(1+i)(1+2i)?|z|=|1+i||1+2i|=2?5=10.

14.解:由(1+i)z=2i ?|1+i||z|=|2i|?|z|=2.故选(C).

15.解:由z z =4?|z|=2?a=1或-1.故选(A).

16.解:由z=i(-2+i)=-1-2i.故选(C).

17.解:由z=

i i +-22=51(3-4i).故选(D). 18.解:由z=i

i ++-11-1=i-1.故选(B). 19.解:由i i +1+(1+3i)2=2

)341(3i ++-.故选(B). 20.解:由3m-2>0,m-1<0.故选(D).

21.解:由(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i 在第二象限?a<-1.故选(B).

22.解:由sin2>0,cos2<0.故选(D).

23.解:在复平面内,令z,-2+2i,2+2i 对应的点分别为P,A,B,则|PA|=|z+2-2i|=1,|z-2-2i|=|PB|≥|AB|-1=3.故选(B).

24.解:令z 1=i 则z 1对应的点Z 1(0,1),设z 对应的点为P,则|z-i|=|3+4i|?|PZ 1|=5?点P 的轨迹是圆.故选(C).

25.解:在复平面上,设A(0,-1),B(0,1),M(-1,-1),P:z,则|AB|=2,由|z+i|+|z-i|=2?点P 在线段AB 上?|x+i+1|=|PM|≥|AM|=1.故选(A).

26.解:在复平面上,设A(-1,-1),B(1,1),C(0,-1),则|AB|=22?|z+1+i|+|z-1-i|=22点P 在线段AB 上?M=|BC|= 5,m=2

2. 27.解:在复平面内,令点A(-

21,0),B(23,0),由|z+21|=|z-23|?复数z 对应的点P 在线段AB 的垂直平分线x=21上;又由|z|=1?点P 在圆x 2+y 2=1上?y=±

23?z=21±23i ?复数z 的集合是{21±23i}.