椭球面 双曲面 抛物面
椭球面双曲面抛物面§7.9 二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。相应地，将平面叫做一次曲面。
一般的三元方程F x y z
(,,)=0所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，
那未怎样了解它的形状呢?
利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。
一、椭球面
由方程
x a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2
1
++=
(1)
所表示的曲面叫做椭球面。
1、由(1)可知：
x a y b z c
≤≤≤
,,
这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为
x a y b z c
=±=±=±
,,
其中常数a b c
,,叫做椭球面的半轴。
2、为了进一步了解这一曲面的形状，先求出它与三个坐标面的交线
x a y b
z
y
b
z
c
x
x
a
z
c
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
+=
=
?????
+=
=
?
?
?
??
+=
=
?
?
?
??
这些交线都是椭圆。
3、用平行于xoy坐标面的平面z z z c
=≤
11
()
去截椭球面，其截痕(即交线)
为
x a c
c z y b c c z z z 222122
2212
1
1()()-+-==???????
这是位于平面 z z =1内的椭圆，它的两个半轴分别等于 a c c z 21
2
-与
b c c z 21
2
-，其椭圆中心均在z 轴上，当z 1
由0渐增大到c 时， 椭圆的截面
由大到小，最后缩成一点。 4、以平面
y y y b =≤11()或 x x x a =≤11()去截椭球面分别可得与
上述类似的结果。
综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。
5、特别地，若a
b =，而a
c ≠，则 (1) 变为
x a y a z c 22222
21++=
这一曲面是xoz 坐标面上的椭圆 x a z c 22
2
21+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，因
此，称此曲面为旋转椭球面。
它与一般椭球面不同之处在于
如用平面z z z c =≤11()与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在z
轴上的圆
x y a c c z z z 222
221
2
1+=-=?????()
其半径为a c c z 21
2
-。
6、若 a b c ==，那未(1)变成
x y z a 2222++=
这是球心在原点，半径为a 的球面。
二、抛物面
由方程
x p y q z p q 22
22+=()与同号
(2)
所表示的曲面叫做椭圆抛物面。
设p q >>00,， 用截痕法来考察它的形状 1、用坐标面xoy z (
)=0与该曲面相截，其截痕为
O (,,)000
2、用平行于xoy 坐标面的平面z
z z =>110()与该曲面相截，所得截痕为
x pz y qz z z 212
11221+==???
??
这是中心在z 轴， 半轴分别为
21pz 与 21qz 的椭圆。
另外，平面z z z =<110()与该曲面不相交，因此，原点O (,,)000是该
曲面的顶点。 3、用坐标面xoz y
()=0与该曲面相截， 其截痕为
x pz y 220==??
?
这是一条抛物线，它的轴与z 轴相重合，顶点为O (,,)000。
用平行于xoz 坐标面的平面y
y =1与该曲面相截，其截痕为
x p z y q y y 212122=-=??
???()
这是一条抛物线，它的轴平行于z 轴， 顶点为
(,,)
0211
2
y y q 。 4、类似地， 用坐标面
yoz x ()=0以及平行于yoz 面的平面x x =1去截该曲
面时， 其截痕也是抛物线。
综上所述，方程(2)所表示的曲面形状如下
特别地，如果p
q =，那么方程(2)变为
x p y p z p 22
220+=>()
这一曲面可看成是xoz 面上的抛物线
x pz 2
2=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，这曲面叫做旋转抛物面。
由方程
-+=x p y q z p q 2222()与同号
所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面。
当 p q >>00,时，它的形状如下图所示
点O (,,)000称之为鞍点。
三、双曲面
由方程
x a y b z c 22222
21+-=
(3)
所表示的曲面叫做单叶双曲面。
下面用截痕法来考察它的形状 1、用坐标面xoy z (
)=0与该曲面相截，其截痕为
x a y b z 222
210+==?????
这是一个中心在原点，且半轴分别为a 与b 的椭圆。 2、用平行于xoy 面的平面z
z =1去截曲面，其截痕为
x a y b z c z z 2212
11+=+=?????
它是中心在z 轴上，两个半轴分别为a c c z 212+与b c c z 21
2
+的椭圆。
3、用坐标面xoz y (
)=0与该曲面相截， 其截痕为
x a z c y 22
10-==?????
它是中心在原点，实轴为x 轴，虚轴为z 轴的双曲线。 4、用平行于xoz 面的平面y
y y b =≠±11()去截曲面，其截痕为
x a z c y b y y 222212211-=-=?????
它是中心在y 轴，两个半轴的平方为a b b y 22212-与c b b y 22
212
-的双曲线。
如果y b 122
<，那么双曲线的实轴平行于x 轴，虚轴平行于z 轴。 如果y b 122>，那么双曲线的实轴平行于z 轴，虚轴平行于x 轴。
如果y b 1=，那么平面y b =去截曲面所得截痕为一对相交于点(,,)00b 的
直线，它们是
x a z
c y b
x a z
c y b -==?????+==?????00和
如果y b 1=-，那么平面y b =-去截曲面所得截痕为一对相交于点
(,,)00-b 的直线，它们是
x a z c y b
x a z
c y b -==-?????+==-?????00和
5、类似地，用坐标面yoz x (
)=0和平行于yoz 面的平面x x =1去截曲面， 所
得的截痕也是双曲线，而用平面x a =±去截曲面，其截痕曲线为两对相交的直
线。
综上所述， 单叶双曲面的形状如下
由方程
x a y b z c 22222
21-+=-
(4)
所表示的曲面叫做双叶双曲面。利用截痕法可以判定出它的形状为
抛物面天线的工作原理
抛物面天线的工作原理 普通抛物面天线的结构如图3-1所示。馈源是一种弱方向性天线，安装在抛物面前方的焦点位置上，故普通抛物面天线又称为前馈天线。由馈源辐射出来的球面波被抛物面往一个方向(天线轴向)反射，形成尖锐的波束，这种情况与探照灯极为相似。 图 3-1 普通抛物面天线的结构图图 3-2 普通抛物面天线的几何关系图 抛物面是由抛物线绕它的轴线(z轴)旋转而成的，如图3-2所示。在yoz平面上，以F为焦点，O 为顶点的抛物线方程为： 相应的立体坐标方程为： 为了便于分析，也可引入极坐标。令极坐标系(ρ，ψ) 的原点与焦点F重合，则相应的旋转抛物面的方程可表示为： 设D为抛物面口径的直径，为口径对焦点所张的角(简称口径张角)，由上述关系式可导出决定抛物面口径张角的抛物面焦径比： 焦径比的大小表征了抛物面的结构特征，f/D越大，口径张角越小，抛物面越浅，加工就容易，但馈源离主反射面越远，天线的抗干扰能力就越差，反之亦然。 抛物面具有如下重要的几何光学特性：由焦点发出的各光线经抛物面反射，其反射线都平行于z轴；反之，当平行光线沿z轴入射时，则被抛物面反射而聚焦于F点。其原因是，由焦点发出的各光线经抛物面反射后到达口径面的行程相等（这一结论可利用抛物线的以下性质来证明：从抛物线任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离）。
微波的传播特性与光相似，因此，位于焦点F的馈源所辐射的电磁波经抛物面反射后，在抛物面口径上得到同相波阵面，使电磁波沿天线轴向传播。如果抛物面口径尺寸为无限大，那么抛物面就把球面波变为理想平面波，能量只沿z轴正方向传播，其它方向辐射为零。但实际上抛物面的口径是有限的，这时天线的辐射是波源发出的电磁波通过口径面的绕射，它类似于透过屏上小孔的绕射，因而得到的是与口径大小及口径场分布有关的窄波波束。 3.2.2 偏馈天线 前馈抛物面天线的馈源位于天线的主波束内，因而对所接收的电磁波形成了遮挡，其结果降低了天线的增益，增大了旁瓣。将馈源移出天线反射面的口径，可消除馈源及其支撑物对电磁波的遮挡。图3-3示出了偏馈反射面天线的结构示意图。 实际上，偏馈反射面是在旋转抛物反射面上截取一部分而构成的。它同样可将焦点发出的球面波转换成沿轴向传播的平面波。馈源的相位中心仍放在原抛物面的焦点上，但馈源的最大辐射须指向偏馈反射面的中心。尽管反射面的轮廓呈椭圆型，但它的口径仍是一个圆。此外，对于偏馈天线而言，电磁波的最大辐射方向并不在偏馈反射面的法向，而是与法向成一定的夹角。这一特点也是偏馈天线的另一特 色，如图3-4所示。对于偏馈天线有式中，ψo是抛物面轴线与焦点到反面中心联线的夹角。反射面在这条中心两旁张成2ψe的角度。 图 3-3 偏馈天线的结构图 图 3-4 偏馈反射面天线的几何关系图
单叶双曲面和双叶双曲面d
求单叶双曲面和双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面用matlab怎么画或其参数方程？ 2009-12-07 15:46tianzan2006|分类：数学|浏览4969次 有个例子就成，选修可的实验报告。大一高数学的不太好，现在乘机补课。。。 向左转|向右转 方式二：短信免费下载 下载链接将通过短信免费下发到您的手机 发送短信 分享到： 2009-12-07 19:43提问者采纳 花画圆的程序： for i=-3:0.001:3 y=-sqrt(9-i^2); plot(i,y); hold on end hold on for i=-3:0.001:3
y=sqrt(9-i^2); plot(i,y); hold on end %椭圆 for i=-6:0.01:6 y=-sqrt(36-i^2)/2; plot(y,i); hold on end %双曲线 for i=-6:0.01:6 y=-sqrt(36+i^2)/2; plot(y,i); hold on end hold on for i=-6:0.01:6 y=sqrt(36+i^2)/2; plot(y,i); hold on end hold on for i=-6:0.01:6 y=sqrt(36-i^2)/2; plot(y,i); hold on end %抛物线 for i=0:0.01:6 y=-sqrt(2*6*i); plot(y,i); hold on end hold on for i=0:0.01:6 y=sqrt(2*6*i); plot(y,i); hold on end
§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 一、直纹曲面： 柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面. 二、直母线： 1．单叶双曲面+－＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为 (λ, μ为参数, 且不全为零) 与 (λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似. 2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为 (λ为参数) 与 (λ'为参数) 3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.
4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17. 三、性质： 1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交. 2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面. 3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点. 例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线. 解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为 与 将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1, 代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为 与 即 与 例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线. 解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为 它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有 3×+2×+(－4)×＝0, 解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为
抛物面天线的工作原理
面天线的结构和工作原理 一、抛物面天线 （一）抛物面天线的结构 常用的抛物面天线从结构上看，主要由两部分组成： 照射器，由一些弱方向性天线来担当，想短电对称振子天线，喇叭天线。 作用：是把高频电流转换为电磁波并投射到抛物面上。 抛物面，它一般有导电性能较好的铝合金板构成，其厚度为1.5-3（mm），或者用玻璃钢构成主抛物面，然后在其内表面粘贴一层金属网或金属栅栏。网孔的最大值要求小于λ/8-λ/10，过大将造成对电磁波的漏射现象，影响天线的正常工作性能。 作用：构成天线辐射场方向性的主要部分。 图 1-1 普通抛物面天线的结构图图 1-2 普通抛物面天线的几何关系图（二）工作原理 抛物面具有如下重要的几何光学特性：由焦点发出的各光线经抛物面反射，其反射线都平行于z轴；反之，当平行光线沿z轴入射时，则被抛物面反射而聚焦于F点。其原因是，由焦点发出的各光线经抛物面反射后到达口径面的行程相等（这一结论可利用抛物线的以下性质来证明：从抛物线任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离）。 微波的传播特性与光相似，因此，位于焦点F的馈源所辐射的电磁波经抛物面反射后，在抛物面口径上得到同相波阵面，使电磁波沿天线轴向传播。如果抛物面口径尺寸为无限大，那么抛物面就把球面波变为理想平面波，能量只沿z轴正方向传播，其它方向辐射为零。但实际上抛物面的口径是有限的，这时天线的辐射是波源发出的电磁波通过口径面的绕射，它类似于透过屏上小孔的绕射，因而得到的是与口径大小及口径场分布有关的窄波波束。 二、卡塞格伦天线
（一）卡塞格伦天线的结构 卡塞格伦天线是一种双反射面天线，其主反射面是旋转抛物面，副反射面是旋转双曲面。卡塞格伦天线的结构与普通抛物面天线的差别，不仅在于多了一个副反射面，而且把馈源安装到了主反射面后面上，如图1-3所示。故有时也把卡塞格伦天线称为后馈天线。 图 1-3 卡塞格伦天线的结构图 （二）卡塞格伦天线的工作原理 卡塞格伦天线的工作原理是，根据双曲面的性质，由F2发出的电磁波被副面反射，其反射的电磁波方向可以看成是共轭焦点F1发出的射线方向。又因为F1是抛物面的焦点，所以，由F2发出的电磁波经副反射面和主反射面反射后，在口径面形成同相场，从而得到平行于轴向的电磁辐射波。 双反射面的优点之一在于可以采用赋形技术。如果修正旋转双曲面的形状，使口径场分布符合要求，同时适当地修改主面以校正由于副面改变而引起的口径场相位差，那么，卡塞格伦天线将有较高的电性能。但卡塞格伦天线的副面直径一般要取较大，这在小口径天线中会造成较大的遮挡，所以在小天线中很少采用卡塞格伦结构方案。
椭球面面积的近似计算
椭球面面积的近似计算 专题摘要：利用曲面面积计算公式和函数幂级数展开的麦克劳林公式，给出椭球面表面积的近似计算公式。 我们知道半径为R 的球的表面积为2 4R π，但椭球的表面积如果通过曲面面积计算公式来计算，其积分为第二类椭圆积分，不能通过重积分方法计算出表面积值。下面给出近似计算公式。 设椭球面方程为 a b c c z b y a x ≤≤=++,122 2222， （1） 由对称性我们只需求出第一卦限部分的表面积再乘8即可。由曲面面积计算公式[40]。 dxdy y z x z S D ????+??+=2 2)()( 1， （2） 其中}1:),{(2222≤+=b y a x y x D ，22 221b y a x c z --=。于是 222221b y a x x a c x z --- =??， 2 22221b y a x y b c y z ---=?? 所以 2 2222 4224222222211)()(1b y a x y b c x a c b y a x y z x z --++--=??+??+， 设2 0,10,sin ,cos π θθθ≤≤≤≤==r rb y ra x ，则上述广义极坐标变换的Jacobi 行列 式为abr J = 2 22222 2 2 221)sin cos (1)()(1r b a r c r y z x z -++-=??+??+θ θ 2 22221) cos 1()(1r e r b c r --+-=θ， 其中22 1a b e -=。从而
θθπabrdrd e b c r r S ?? --+-=102 2222 ]1)cos 1()[(1118， （3） 由于有幂级数展式 ]1,1[6 4231421211132-∈-???+?-+ =+x x x x x ， 所以当x 很小时有 x x 2 1 11+ ≈+， （4） 因为,10≤≤e 所以)2 0(1cos 02 π θθ≤ ≤≤≤e ，因此 1]1)cos 1()[(1222≤--≤-θe b c r 根据（4）式有 ]1)cos 1()[(211]1)cos 1()[(1222222--+≈--+θθe b c r e b c r ，（4） 所以 θθπdrd e b c r r r ab S ]}1)cos 1()[(211{18102 22 22 --+ -≈?? ???? ????---+-=2 022 10232]1)cos 1()[(21118π θθd dr e b c r r r r ab ?--+=2 22]}1)cos 1()[(311{8π θθd e b c ab ?--+=2 222]2cos )(61)(61)(3132[8πθθd e b c e b c b c ab )]1 1(1231[8222b a c a b ++=π。 不难看出，当c b a ==时，π2 4a S =，即为球的表面积。 此方法也适用于求椭圆周长的近似值。
弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮设计与制造的现状_张金良
弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮设计与制造的现状张金良⑴ 邓效忠⑴ 郭 强⑵ 魏冰阳⑴ 方宗德⑶ ⑴471003 河南科技大学 ⑵471004 中国一拖集团有限公司通配厂 ⑶710072 西北工业大学 摘要 在大量查阅和研究的基础上,对国内外有关弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮的设计、接触性能分析、制造技术的最新研究动态做了介绍,并对今后的研究作了展望。 Abstract An introduction on design,mechanical analysis,manufacture technology and nonlinear oscillation analysis of spi-ral bevel and hypoid gears is presented,and future research field is pointed out. 关键词:弧齿锥齿轮 准双曲面齿轮 齿面接触分析 设计制造技术 引言 随着计算技术、信息技术以及基础科学的进步,弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮传动技术近年来也有很大的发展,新的设计理念、加工方法、实验测试技术不断涌现,并朝着高速、重载、轻质的方向发展。 锥齿轮的齿面形式完全由加工机床所决定,传统的曲线齿锥齿轮的加工机床主要有3种,即Glea-son、Klingelnber g和Oerlikon机床,目前应用最为广泛的是Gleason制机床,因此,本文主要以Gleason制为介绍的主要内容。 1 设计及接触分析研究现状 传统的Gleason技术[1]是以“局部共轭原理”为基础的。首先切出大轮齿面,然后选取一计算参考点,求出与大轮齿面做线接触的小轮齿面在参考点处的位置、法向量以及法曲率等一阶、二阶接触参数,然后根据要求修正小轮齿面在参考点处的法曲率,并以此为基础来确定小轮切齿调整参数。由此可见,修正小轮齿面在参考点处的法曲率是弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮技术的关键和难点,并且修正后的齿面啮合性能只能通过试切滚检或通过仿真分析后才能知道。因此,为了得到满意的啮合性能往往需要反复多次,且需要经验的积累。 文献[2]撇开Gleason技术,提出了局部综合法。就是在参考点处指定齿面接触点的迹线方向、传动比变化率以及瞬时接触椭圆长轴的长度,利用微分几何理论,推导出小轮齿面在参考点处的主曲率及主方向,由此得到加工小轮的机床调整参数。借助于局部综合法,可以利用二阶接触参数有效地预控齿面在参考点处及其附近的啮合性能。通过局部综合法加工参数设计,我们只能预控参考点处接触迹线方向、传动比变化率以及瞬时接触椭圆长轴的长度等二阶接触参数;由齿面的光滑连续性,可以控制参考点附近齿面的二阶性质,但是无法控制远离参考点的齿面性质,可能出现接触迹线严重弯曲,瞬时接触椭圆长轴的长度变化剧烈等现象,以至于齿面接触区域出现菱形、鱼尾形、扇形、三角形或梯形等情形。出现以上的问题,都是由于齿面三阶以及更高阶接触参数值的变化所引起的。 文献[3]用曲率张量和活动标架法等数学工具建立了一套完整的三阶接触分析体系。用该方法不仅可计算出瞬时传动比、加速度、接触迹线的方向、瞬时接触区域的形状,而且还可计算出高阶加速度、接触迹线的测地曲率及瞬时接触区域的变化情况。他们利用加工机床多余可选的参数来优化弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮的三阶接触参数,并以此来实现在整个传动过程中都有较好的接触性能。该方法是一个分析、研究、设计、制造高质量的局部点接触共扼齿面的有效工具。三阶接触分析理论可以说是局部综合法的自然发展,两者构成了一个完整的体系。 在弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮齿形设计方面,文献[4]提出了非零变位的思想。该方法突破了传统的齿轮设计在选取变位系数时只能进行高度变位的 ＊国家自然科学基金(50175090)资助项目9 拖拉机与农用运输车
黄之--椭球被平面截得的截面面积
椭球被平面截得的截面面积 上海 黄之 本文首先得到平面截椭球所得的截面的面积，然后提出一些与此相关的问题.其中一些比较繁杂的运算会省略，因为那将耗费很大篇幅. 一， 因为容易看到，任何一个平面截椭球，截面必然是椭圆，其在轴截面的投影也是一个椭圆，所以，应该首先得出平面上椭圆的面积的一般公式. 设XOY 面上有一条二次曲线为0:2 2 =+++++f ey dx cy bxy ax F ，首先通过平移变换将它的一次项消去.这只需要设0)())(()(:2 2 =+-+--+-g t y c t y s x b s x a F ,展开后进行系数对比，得到： ac b bde cd ae f g ac b bd ea t ac b be dc s 4,42,4222222--++=--=--= 众所周知，当判别式ac b 42 -=?为负数时F 为椭圆，为0时F 为抛物线，为正数时F 为双曲线(都包括退化情形).(s,t)即是F 的对称中心，当判别式为0时F 所表示的抛物线的中 心在无穷远处. 这样，就可以把任何一个椭圆化为形如0:2 2 =+++g cy bxy ax E ，下面求E 的面积.首先将它的xy 项消去，即进行旋转变换.易得：将E 绕着原点逆时针旋转θ角后的方程为： 0)cos cos sin sin ()2cos 2sin )(()sin cos sin cos (222222=+++++-++-g y c b a xy b c a x c b a θθθθθθθθθθ 这样，只需让b a c -= θ2cot 即可消去交叉项，此时E 变为： 0:22=++g By Ax D 其中θθθθθθθθ2222 cos cos sin sin ,sin cos sin cos c b a B c b a A ++=+-= (顺便指出，由此可以得到E 有两条对称轴：x k y 2,1=，其中k 为0)(22 =--+b k c a bk 的实根.) 显然D 的面积为AB g S | |π =，将A ，B 的表达式以及b a c -=θ2cot 代入，最终计算出E 的 面积，也就是F 的面积为： 04,| |22<-=?? -=ac b g S π
单叶双曲面
4．5 双曲面 1． 1． 单叶双曲面 方程：)0,,(122 222 2>=?+c b a c z b y a x 性质： （1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2）有四个顶点)0,,0(,)0,0,(b a ±±。 （3）形状：与xOy 的交线 ==+0 122 22 z b y a x （1）是一个椭圆。 与xOz 的交线 ==?0 122 22y c z a x （2）是双曲线。 与yOz 的交线 ==?0 122 22x c z b y （3）是双曲线。 与平行于xOy 的平面h z =的交线 =?=+h z c h b y a x 2222221 （4）是一个椭圆。 与平行于xOz 的平面h y =的交线 =?=?h y b h c z a x 2222221 （5）是双曲线。 容易知道图形（4）的两对顶点分别在双曲线（2）与（3）上。因此，单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别沿着两个定双曲线（2）与（3）上滑动。（插图演示）
与平行于xOz 的平面h y =的交线 =?=?h y c h c z a x 2222221是双曲线。考虑h 的范围（插图演示） 特例 若b a =，)0,(122 222 2>=?+c a c z a y a x 是一个单叶旋转双曲面。 2． 2． 双叶双曲面 方程： )0,,(122 2222>?=?+c b a c z b y a x 性质： （1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2）只与z 轴相交，有两个顶点),0,0(c ±。 （3）形状：与xOz 的交线 =?=?0 122 22 y c z a x （6）是双曲线。 与yOz 的交线 =?=?0 122 22x c z b y （7）是双曲线。 与平行于xOy 的平面h z =的交线 ≥=+?=+c h h z c h b y a x 2222221 （8）是一个椭圆或一个点。 容易知道图形（8）的两对顶点分别在双曲线（6）与（7）上。因此，双叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别沿着两个定双曲线（6）与（7）上滑动。（插图演示）
椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法(第十六届北京高中数学知识应用竞赛论
椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法 ——第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文 论文标题：椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法 作者姓名：吴欢庆、吴斯乾（合作） 性别：男学校：北京市通州区第四中学 年级：高二指导教师：曹凤华、李江涛 准考证号： 0311
[内容摘要]：我选这个课题是因为我父亲在工作中遇到了需要计算椭圆周长而又不会算的问题，我为了解决我父亲的困难，所以对这方面做了一些研究。我们用类比推理的方法，提出了椭圆周长近似的简单算法，并推广到怎样计算旋转椭球体的表面积。我们采用简单推导加上用C语言编程计算的方法，让程序运行了约一个小时，得到了一组比较精确的数据，一定程度上解决了计算椭圆周长难的问题。对一些需要计算椭圆周长的工程应用有一定的帮助。 [关键词]：椭圆周长，椭球表面积，椭圆积分，修正因子 本人郑重声明：所呈交的数学应用论文是本人在指导教师的指导下独立进行研究的成果，除文中已经注明引用的内容外，本文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。 论文作者签名：吴欢庆吴斯乾 2013年3月30日
椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法 圆是最美的图形，但自然界中的正圆，少之又少。行星运行的轨道是椭圆的，地球是一个椭球体，在生物界里很难看到完美的圆。许多的图形都是不规则的，椭圆是独特的，与众不同。 众所周知，椭圆积分属于高等微积分的知识，求解椭圆周长的积分存在着很大的难度，在实际的生活应用中给人们带来很大的困扰。当你需要求一个椭圆物体的周长时，总是会没有头绪，仿佛不知道它的计算公式（其实本来就没有公式），没有了这些数据，做起研究就会不知所措。 我的一个朋友以前做关于种子完整度的研究，用到了圆形度来描述种子的形状。他在他的博客中这样写道： “为了检测表皮破裂种子，我调用IMAQ Vision 里的形状分析函数得到了面积周长长度宽度等一些形状参数。根据种子图像轮廓，发现用种子的圆形度： 2 4P C A π=，（P 为周长，A 为面积）可以比较好地区分完整和破碎种子。后来我想，种子的轮廓更接近椭圆，何不用‘椭圆形度’衡量面积和周长的关系呢？可是我记不得椭圆周长的计算方法，百度之，发现我原本就不可能知道。” 椭圆是一个不怎么完美的图形，椭圆周长的积分不能用像圆的周长和面积那样简单的公式表达，所以我们只能计算椭圆周长的近似值。因为没有一个确定的公式，当我们需要精确计算椭圆周长的时候，麻烦就来了。 我父亲是做机床生意的，有次我和父亲去公司，遇到了一位做管道设备的客户，他需要把圆形的管道截成斜面，然后沿着斜面再接上一个椭圆形的管道，这位客户要求把铝板卷成椭圆的管道，至于用多宽的铝板，就需要计算椭圆截面的周长。由于这样一个斜的截面不方便测量，虽然可以做一些试验，来确定铝板的宽度，而这样必定会耗费很多时间和精力。如果材料比较贵的话，用试验的方法就不太可取了。对于普通的工人来说，没有多少数学知识，又不能设计程序计算，怎样求椭圆的周长就成了一个问题。而我，懂得一些微积分，也想帮父亲解决这个问题，所以我想找出一个计算椭圆周长的简单方法。
试析在实际生活中双曲抛物面的作用
试析在实际生活中双曲抛物面的作用 摘要：在几何中,由一族直线运动所产生的曲面叫做直纹面,这些运动的直线称为直母线。双曲抛物面就是典型的直纹面,并且它有两族直母线。本文通过对双曲抛物面的直纹性进行研究,探索了双曲抛物面在建筑、电力工程、日常生活、宇宙学中的应用,并进一步研究了手工制作双曲抛物面的方法。 关键词： 几何 双曲抛物面 手工制作 直纹性 在生活中,比如随意舞动一根棍子,棍子运动的轨迹面就会包含直线,这样的曲面就是由直线构成,而双曲抛物面正是这样一种曲面。它是由两族直线分别组成,正是因为这种特殊性使得这种曲面有一些特性,在生活中有它独特的应用。 定义1:[1]在几何中,由一族直线运动所产生的曲面叫做直纹面,这些运动的直线称为直母线。定义2:[2]在直角坐标系下,由方程表示的曲面叫做双曲抛物面,其中a,b为任意的正常数。 双曲抛物面的直纹性:[3]性质1:双曲抛物面是直纹面,是直线运动所产生的曲面。性质2:同一族的任意两条直母线异面。性质3:任意一条直母线会和另一族所有的直母线相交。性质4:对双曲抛物面上的任意一点,两族直母线中各有一条直母线经过该点。 一、双曲抛物面在实际生活中的应用
双曲抛物面可以由直线运动所产生,易于在建筑中实施,且其形状不同于一般的平面型建筑,它集美观与实用于一体。因此,双曲抛物面在工程等方面有着广泛的应用。 (一)扭面。 水利工程中的扭面是利用双曲抛物面形状构造的,它是水闸、船闸的中间连接面。水闸侧墙是直立剖面,扭面ABCD部分是采用的双曲抛物面,这种扭面构造可以使水流平顺,减少水头损失,在工程中应用广泛。 (二)屋盖。 现代建筑中经常采用钢筋混泥土双曲抛物面薄壳作为屋盖,例如夏威夷休闲度假厅、波兰华沙火车站等。不仅外观新颖有创意性,在实用性方面具有利于排水、防止渗漏、减轻自重节约材料、受力性能较好等优点。双曲抛物面是直纹面,任意一条直母线会和另一族所有的直母线相交。这样,在一条直母线上,被另一族直母线分摊受力,相互作用,相互稳固。即使有部分点脱节,也还有其他直母线受力作用。显然也利于排水,顺流性好。在建筑中直线是最简单最原始的形状,它不需要折损,不用减少它的承受力。相对很多其它曲面而言,双曲抛物面的屋顶大大地节省了资源成本,且建造工艺简单,在建筑上就有专门的双曲抛物面的施工工法。 (三)上海体育馆。 上海体育馆整体也是一个双曲抛物面的结构,不仅利用了它的直纹性还因为它是抛物曲面。上海体育馆可以提供给观众最大的视域、更好的观赏点,同时也使得在有限的空间中容纳更多的观众。在建筑学中,抛物线拱是一种常用的模式,能够承受相当大的压力。
椭球面上任意梯形面积C#
publicpartialclass Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } Read_data r_d = new Read_data(); privatevoid button1_Click(object sender, EventArgs e) { openFileDialog1.Filter = "文本文档(*.txt)|*.txt"; r_d.read_text =null; r_d.row = 0; try { openFileDialog1.ShowDialog(); } catch (Exception) { MessageBox.Show("打开错误"); return; } //读取数据 r_d.Read_text(openFileDialog1.FileName); textBox1.Text = openFileDialog1.FileName; textBox1.Enabled = true; } Trapezoid tpz1; Trapezoid tpz2; privatevoid button2_Click(object sender, EventArgs e) { string[] s = r_d.read_text.Split(','); //初始化两个梯形 tpz1 = new Trapezoid(); tpz2 = new Trapezoid(); tpz1.X1=Convert .ToDouble( s[0]); tpz1.Y1=Convert .ToDouble( s[1]); tpz1.X2=Convert .ToDouble( s[2]); tpz1.Y2=Convert .ToDouble( s[3]); tpz2 .X1=Convert .ToDouble (s[4]); tpz2 .Y1=Convert .ToDouble (s[5]); tpz2 .X2=Convert .ToDouble (s[6]); tpz2 .Y2=Convert .ToDouble (s[7]); //获取梯形面积 tpz1.get_s(); tpz2.get_s(); button3.Enabled =true; MessageBox.Show("数据已处理！"); } privatevoid button3_Click(object sender, EventArgs e)
双曲面
3．单叶双曲回转面 由一直母线绕一条与它交叉的直导线回转而形成的曲面。如一直母线AB绕与其交叉的直导线OO为轴回转，则形成了单叶双曲回转面。其投影如图9-15所示。 4．双曲抛物面 由一直母线沿两条交叉的两直导线运动，运动中所有素线始终平行某一导平面而形成的曲面，如图9-16所示。交叉两直线AB和CD为导线，P 为导平面，AC为直母线，它与导平面P平行，CP为铅垂面。当 直母线AC运动到A1 C1 位置时，仍保持与交叉两直线相交，且与导平面P平行，这样连续运动所形成的曲面即为一双曲抛物面。该曲面用水平面截切得截交线为双曲线，如果正平面或侧平面截切得截交线为抛物线，故因此得名双曲抛物面。图9-14锥状面 图 9-15单叶双曲回转面的投影
曲纹面 以任意的平面曲线为母线绕回转轴旋转而形成的曲面称为曲纹面。常见曲纹面有回转椭球面、回转抛物面等。 1．回转椭球面 回转椭球面是椭圆绕其自身的长轴或短轴旋转而形成的曲面。图 9-17所示的回转椭球面的投影，是绕长轴旋转形成的，正面投影是椭圆本身大小，而水平投影是以短轴为直径的圆。 2．回转抛物面 回转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转而形成的曲面。回转抛物面的正面投影就是抛物线本身，而水平投影是圆，如图 9-18所示。 图 9-16 双曲抛物面 图 9-17回转椭圆面 图9-18回转抛物面 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线 1、 求下列直纹面的直母线族方程： （1） （2） 解：（1）从原方程得： x y z +-=axy z =2 22y z x -=-
即： 亦即： 为了避免取极限，将上方程写成： （1） 若将原方程变形为：，则可得到： （2） 若令，，则（2）便是（1） 原曲面的直母线族是（1），其中不全为零。 （2）原方程变形为： 亦即： （1） y y z x z x ?-=-+))((???-=-=+?=--=+y t z x ty z x t z x y y z x )(?? ?-=-=+sy t z x ty z x s )()(222x z y -=-?? ?-=-=+ux z y v vx z y u )()()(2 1s t u -=) (2 1s t v +=∴t s ,ay x z =t ay x z ==?? ?==∴t ay xt z
双曲抛物面屋顶设计
双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计 采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑. 下面是一个单块双曲抛物面薄壳屋盖及其制作过程的大致的示意图
其数学表示由下面两个曲面1(,)z x y 和2(,)z x y 以及平面 , x a y b =±=±围成的空间区域构成.
2222+ 2,(,)+ 2,,x y x y x y f f a b x a y b z x y y f f b a x a a x a y b ?????-? ? ??? ????≤≤?=????- ?????≤≤+--≤≤-≤??δδλλ 12(,)(,)z x y z x y =-δ 其中的参数, 例如, 可以是 0.6 m; 0.26 m; 1.48 m; 8.25 m; =0.025 m; =0.11 m.x y f f a b ====δλ 把直径为6 mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线 2 x x z f a ??= ??? 的临近处从原点(0,0,0)往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋, 然后再浇注混凝土或树脂. 示意图见图1. 注意: 做本题时有一些工程术语我们无需详细了解.
a) 配筋特征图; b) 预应力钢筋投影在x – y平面上的布置图; c) 预应力钢筋布置侧面图.
图中, 1. 几何轴线; 2. 预应力钢筋; 3. 受压钢筋; 4. 钢筋网; 5. 构造钢筋. 1?: 预应力钢筋分布宽度;2?: 通过原点的直母线位置. 图2 张拉台座及胎模示意图 1. 钢横梁(锚固面); 2. 两端混凝土边梁; 3. 中间混凝土边梁; 4. 边梁之间的联接法兰; 5. 边梁联接处锚固在地里; 6. 60L 角钢拉条; 7. 素混凝土垫层; 8. 预应力钢筋 图3 马鞍面薄壳作为厂房屋盖的示意图 本题用到的参数、含义以及数值举例： 0.6 m; 0.26 m; 1.48 m; 8.25 m; 0.025 m; 0.11 m.x y f f a b ======δλ a 为板宽之半 2 A a =+λ, λ称为翼缘宽度; 0.11 m, 2.74 m A ==λ. b 为屋盖长度之半 2L b = +l , l 称为挑檐长度; =0.75 m, 15 m L =l . δ为屋盖的垂直厚度, 0.05 m =δ. 预应力钢筋的直径为5 mm 0.005 m =.
图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式及要求
图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式及要求 一、 图幅理论面积计算公式 ???-+---??=m 12m 12m 122cos5(2 5Csin cos3(23Bsin cos (21Asin 603604P B B B B B B B B B L πb ）））???-+--m 12m 12cos9(29Esin cos7(27Dsin B B B B B B ）） （1） 式中： a —椭球长半轴(单位：米)，α—椭球扁率， b —椭球短半轴(单位：米)。 е2﹦(a 2﹣b 2)/a 2。 A ﹦1﹢（3/6）е2﹢（30/80）е4 ﹢（35/112）е6 ﹢（630/2304）е8 。 B ﹦ （1/6）е2﹢（15/80）е4 ﹢（21/112）е6 ﹢（420/2304）е8 。 C ﹦ （3/80）е4 ﹢ （7/112）е6 ﹢（180/2304）е8 。 D ﹦ （1/112）е6 ﹢ （45/2304）е8 。 E ﹦ （5/2304）е8 。 ΔL —图幅东西图廓的经差（单位：弧度）。 (B 2﹣B 1)—图幅南北图廓的纬差（单位：弧度），Bm ﹦（B 1﹢B 2）/2。 二、椭球面上任意梯形面积计算公式 ?? ? -+---?=m 12m 12m 122cos5(25Csin cos3(23Bsin cos (21Asin 2S B B B B B B B B B L b ）））? ? ? -+--m 12m 12cos9(29Esin cos7(27Dsin B B B B B B ）） （2） 其中：A,B,C,D,E 为常数，按下式计算: е2﹦(a 2﹣b 2)/a 2 A ﹦1﹢（3/6）е2﹢（30/80）е4﹢（35/112）е6﹢（630/2304）е8 B ﹦ （1/6）е2﹢（15/80）е4﹢（21/112）е6﹢（420/2304）е8 C ﹦ （3/80）е4﹢ （7/112）е6﹢（180/2304）е8 D ﹦ （1/112）е6﹢（45/2304）е8 E ﹦ （5/2304）е8
控制测量学将地面观测值归算至椭球面
将地面观测值归算至椭球面 6.4.1 概述 参考椭球面是测量计算的基准面。在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。在归算中有两条基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 6.4.2 将地面观测的水平方向归算至椭球面 1．垂线偏差改正u δ 地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以u δ表示。 如图所示，以测站A 为中心作出单位半径的辅助球，u 是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以ηξ,表示，M 是地面观测目标m 在球面上的投影。 垂线偏差改正的计算公式是： 1cot )cos sin (Z A A m m u ηξδ''-''-='' 1tan )cos sin (αηξm m A A ''-''-= 式中：ηξ,为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；m A 为测站点至照准点的大地方位角；1Z 为照准点的天顶距；1α为照准点的垂直角。 垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。 2.标高差改正h δ 标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，
双曲面讲解
双曲面 一、单叶双曲面 1、定义4.5.1：在直角坐标系下，由方程 （a,b,c>0）（1）所表示的图形称为单叶双曲面； 而方程（1）称为单叶双曲面的标准方程。 注：在直角坐标系下，方程 或所表示的图形也是单叶双曲面 2、性质与形状 （i）对称性：单叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。 （ii）有界性：由方程（1）可知，单叶双曲面（1）是无界曲面 （iii）与坐标轴的交点与坐标面的交线： 单叶双曲面（1）与x,y轴分别交于（±a，0，0），（0，±b，0）而与z轴不交，上述四点称为它的顶点。 （1）与三坐标面交于（2）（3） （2）（3）均为双曲线，（4）为椭圆，（4）叫做单叶双曲面的腰椭圆；（2）（3）有共同的虚轴与虚轴长。 （iv）与平行于坐标面平面的交线： 为考察（1）的形状，我们先用平行于面的平面去截它，其截线为 （5） 对k ，（5）均为椭圆，其两轴端点为（0，±b，k）∈（2）， （±a，0，k）∈（3），容易知道这两对端点分别在（4）与（3）上， 其半轴为b和a，当∣k∣逐渐增大时，椭圆（5）逐渐变大。可见，单叶双曲面（1）是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在（3）与（4）上滑动。 再用一组平行于面的平面去截（1），其截线为
（6） 当∣k∣时，（6）为一双曲线，其实轴∥y轴， （如图5.3） 虚轴∥z轴，其顶点（k，±b，0）∈（4）， 当∣k∣=a时，（6）为二相交线，其交点为（k，0，0） 当∣k∣>a时，（6）仍为双曲线，但其实轴∥z轴，虚轴∥y轴，其顶点 （k，0，±a）∈（3） 最后，若用一组平行于面的平面去截（1），其截线情况与上述相仿。二双叶双曲面： 1 定义4.5.2：在直角坐标系下，由方程 （a,b,c>0）（1） 所表示的图形称为双叶双曲面；而（1）称为双叶双曲面的标准方程。 注：在直角坐标系下，方程 或所表示的图形也是双叶双曲面。 2 性质与形状： （i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。 （ii）有界性：由（1）可见，双叶双曲面为无界曲面。 （iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线： 双叶双曲面（1）与x,y轴不交，而与z轴交于（0，0，±C）——顶点 又（1）与三坐标面交于 （2）（3）（4）（2）（3）均为双曲线，其实轴为z轴，虚轴分别为y轴和x轴，其顶点
关于统一图幅理论面积与图斑椭球面积
关于统一图幅理论面积与图斑椭球面积计算要求的通知（国土调查办发〔2008〕32号） 2008-04-01 信息来源：国务院第二次全国土地调查领导小组办公室 各省、自治区、直辖市第二次土地调查领导小组办公室，国土资源厅（国土环境资源厅、国土资源局、国土资源和房屋管理 局、房屋土地资源管理局），解放军土地管理局、新疆生产建设兵团国土资源局： 面积计算是第二次土地调查的一项重要内容，国务院第二次全国土地调查领导小组办公室组织有关专家，依据《第二次全国 土地调查技术规程》，对图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式进行了细化，明确了面积计算方法，统一了公式中的有关参数， 现将《图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式及要求》予以印发，请各地严格遵照执行。 附：图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式及要求 二〇〇八年三月二十七日 附件： 图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式及使用规定.doc 图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式及要求 一、 图幅理论面积计算公式 ?? ?-+---??=m 12m 12m 122cos5(25Csin cos3(23Bsin cos (21Asin 603604P B B B B B B B B B L πb ）））??? -+--m 12m 12cos9(29Esin cos7(27Dsin B B B B B B ）） （1） 式中： a —椭球长半轴(单位：米)，α—椭球扁率， b —椭球短半轴(单位：米)。 е2﹦(a 2﹣b 2)/a 2。 A ﹦1﹢（3/6）е2﹢（30/80）е4 ﹢（35/112）е6 ﹢（630/2304）е8 。 B ﹦ （1/6）е2﹢（15/80）е4 ﹢（21/112）е6 ﹢（420/2304）е8 。
单叶双曲面
§5 双曲面 一 单叶双曲面： 例：z y 面上的双曲线?? ???==-0122 22x c z b y 绕z 轴旋转，所得旋转面为 122 2222=-+c z b y a x ——旋转单叶双曲面 1、定义：在直角系下，由方程 122 2222=-+c z b y a x （a,b,c>0） （1） 所表示的图形称为单叶双曲面；而方程（1）称为单叶双曲面的标准方程。 注：在直角系下，方程 1222222=+-c z b y a x 或122 2222=++-c z b y a x 所表示的图形也是单叶双曲面 2、性质与形状： （i ）对称性：单叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。原点称为（1）的中 心。 （ii ）有界性：由方程（1）可知，单叶双曲面（1）是无界曲面 （iii ）与坐标轴的交点与坐标面的交线： 单叶双曲面（1）与x,y 轴分别交于（±a ，0，0），（0，±b ，0）而与z 轴不交，上述 四点称为它的顶点。 （1）与三坐标面交于???=0)1(x ，???=0)1(y ，? ??=0)1(z ，即 ?????==-012222x c z b y （2） ?????==-012222y c z a x （3）?? ???=+=+0122 22z b y a x （4） （2）（3）均为双曲线， （4）为椭圆，它们的顶点均是单叶双曲面（1）的两对顶点。 （iv ）与平行于坐标面平面的交线： 为考察（1）的形状，我们先用平行于y x 面的平面去截它，其截线为? ??=k z )1(， 即 ?? ???=+=+k z c k b y a x 22 22221 （5） 对?k ，（5）均为椭圆，其顶点为（0，±b 22 1c k +，k ）∈（2）， （±a 221c k +，0，k ）∈（3） ，其半轴为b 221c k +和a 22 1c k + ，当∣k ∣逐 渐增大时，椭圆（5）逐渐变大。可见，单叶双曲面（1）是由一系列“平行”椭圆