关于复变函数中对数函数的一点讨论
复变函数中的单值分析理论
复变函数中的单值分析理论复变函数是复数域上的函数，即函数的自变量与值都是复数。
单值函数，顾名思义，指的是在定义域上的每个点都有唯一的函数值。
在复变函数中，单值性是一个重要的性质，涉及到开覆盖问题、解析延拓、路径无关积分等诸多复变函数的理论与问题。
本文将针对复变函数中的单值分析理论展开讨论。
1. 单值函数的定义在复变函数中，如果对于函数f(z)，对于每一个z，都有唯一的f(z)与之对应，即函数值在整个定义域上具有唯一性，那么这个函数就称为单值函数。
单值函数在复变函数理论中占据着重要地位，许多重要的函数都是单值函数，比如指数函数、三角函数、对数函数等。
2. 单值函数的解析性质单值函数的解析性质是复变函数理论中的一个核心问题。
根据解析函数的定义，如果一个函数在某个开区域上可导，那么它在这个区域上是解析函数，因此单值函数的解析性质与其在定义域上的光滑性息息相关。
对于单值函数来说，要讨论其解析性质，首先需要保证其在定义域上是单值，即不存在多值性的情况。
3. 单值函数的解析延拓在复变函数中，存在一种重要的性质叫做解析延拓。
当一个函数在某个区域上解析时，我们希望通过某种方法将其解析性质延拓到更大的区域上。
对于单值函数来说，解析延拓的问题便是如何将其定义域进行扩展，使得函数在更广泛的区域内具有唯一性和解析性质。
解析延拓是复变函数中的一个核心问题，涉及到单值性、连续性、光滑性等多方面的分析。
4. 单值函数的路径无关积分路径无关积分是复变函数理论中一个重要的概念。
对于单值函数来说，路径无关积分指的是函数在定义域上的积分与路径无关，即积分的结果只与积分曲线的端点有关，与具体的路径无关。
路径无关积分在复变函数的理论与实际应用中都有着重要的作用，特别是在物理学、工程学等学科中的应用较为广泛。
综上所述，复变函数中的单值分析理论涉及到单值函数的性质、解析性质、解析延拓和路径无关积分等多个方面。
理解和研究单值函数的理论，对于深入理解复变函数的性质和应用具有重要意义，也为复变函数理论的进一步发展提供了重要的基础。
复变函数
（6）sin z 的零点为 z n (n 0,1,2,)
1 cos z 的零点为 z (n ) (n 0,1,2,) iz 2 iz e e 0 sin z 0
2i 2iz e 1
e (cos 2 x i sin 2 x) 1 x n , y 0
例如
sin z lim 1 z 0 z
第 6 次 作 业
第67页 第二章习题 12. (1)(4) 13.(2)(6)
15.
18.
20.(1)(3)
21.(2)
第 三 节
初等解析函数
一 指数函数 1 定义： 函数f z e (cos y i sin y )
x
称为指数函数。 指数函数记作： exp( z ) z 或者 e 。即
exp( z ) e e (cos y i sin y)
z x
2 复指数函数的性质： 复指数函数exp(z)具有如下性质： 当z取实数x时(y=0),复指数函数与实 （1） 指数函数一致，故可看成实指数函数的 扩张。 当z取虚数时(x=0), 得到欧拉公式
e e 余弦函数 cos z z 2 z e e 双曲正弦函数 sh z z 2 z e e 双曲余弦函数 ch z 2
e e 正弦函数 sin z 2 i iz
iz
iz
iz
当z为实变数 时，左边的 定义与初等 微积分中的 三角函数的 定义一致
2 性质
㈠ 解析性 z iz 由于指数函数 e ,e 在整个复平面上 是解析的，所以前面定义的三角函数与双 曲函数在整个复平面上解析，而且
sin z sh z
cos z ch z
复变函数知识点概括
第六章
①基本概念：
共形映射
转动角，伸缩率，圆的对称点
例 试求映射 w f ( z ) z 在 z 1 i 处的 转动角和伸缩率？
②分式线性映射：
1 ( i ) w z b ( ii ) w az(a 0) ( iii )w z
称为： 平移 整线性 反演
（i）上半平面到上半平面
且满足条件 w ( 2i ) 0, arg w( 2i ) 0的分式线 性映射.
(iii)单位圆到单位圆
za we 1 az
i
( 为实数 )
例
1 求将单位圆映射为单位 圆且满足条件w 0, 2 1 w 0的分式线性映射 . 2
(iv)角形域映射成角形域
⑤
留数定理
z dz c : 正 向z 2 例 计 算c 4 z 1
z 解： c z 4 1 dz 2 i{Re s[ f ( z), 1] Re s[ f ( z),1] 1 1 1 1 Re s[ f ( z ), i] Re s[ f ( z ), i]} 2 i[ ] 0 4 4 4 4
z z0
( 4)
规则II 若z0是f ( z )的m级极点
1 d m 1 Re s[ f ( z ), z0 ] lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} (5) ( m 1)! z z0 dz P(z) 规则III 设f ( z ) P ( z ), Q( z )在z0处解析, Q( z )
2
i
2 3
第三章
复变函数的积分
计算积分：
①利用曲线方程的表达式
x 3t 例：计算 zdz OA : (0 t 1) C y 4t C : z 3t 4ti 0 t 1 解
复变函数复变函数2
z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
复变函数2-3
所以 sin x 0 ,
将 x k 代入 cos x sinh y sin 1
1, k 0 , 2 , 4 , sinh y ( 1 ) sinh 1 , y 1, k 1, 3 ,
k
即
2n i, z n 0 , 1, 2 , ( 2 n 1) i ,
23
例11 解方程 sin z i sinh 1 . 解
设 z x iy ,
sin z sin( x yi ) sin x cosh y i cos x sinh y i sinh 1 ,
故有 sin x cosh y 0, 因为 cosh y 0 ,
cos x sinh y sin 1
1
数 w z
n
及 z w 的反函数
w zn
n
z.
15
例7 求 1 解
1
2
2
和 i 的值 .
2 Ln1
i
e
e
2 ki 2
cos( 2 2 k ) i sin( 2 2 k ) 其中 k 0 , 1 , 2 , .
i e
i i Ln i
e
1 2 k i ln 2 4 2
2 k 4
cos
1 1 ln 2 i sin ln 2 2 2
其中 k 0 , 1 , 2 , .
17
2. 幂函数的解析性
3 i i Arg ( 3
3i )
3 ln 2 3 i arctan 2k 3
ln 2 3 i 2 k . 6
复变函数教材中一个结论的商榷
Ｌ
ｎ
， （ ￡Ｅ Ｚ）
．
Ｌｎ
一
Ｌｎ ｚ．
， ２
一
１一
ｎ
参 考 文 献
［ ］西 安 交 通 大 学 高等 数 学 教 研 室 ． 变 函 数 （ 四 版 ）北 京 ： 等 教 育 出 版社 ，９ ６ １ 复 第 ． 高 １ ９． Ｉ］陈 小 柱 等 ． 性 代 数 复变 函数 概 率 统 计 习 题全 解 ． 连 ： － ２ 线 大 大连 理 工 大 学 出版 社 ，９ ８ １ ９． ［ ３李 建林 ． 变 函 数积 分变 换 导 教 导 学 导考 ． 安 ： 北 工业 大 学 出 版 社 ，０ １ ３ 复 西 西 ２ ０．
中 图分 类 号
０１４ ５ ７ ．
对 实变 函数 成立 的结论 ， 复变 函数 往往未 必成立． 对 实变 函数 与复变 函数 既有共 通 之处 ， 有 更 本 质 上的差别 ， 对于 一个具体 问题 还 需具 体 分 析． ［ ］中就 有 一个 关 于 复 变 函数 的 结 论 不 很 妥 文 １ 当 ， 必要指 出 ， 同行 交流 商榷． 有 与
５ ５
ｌ ｚｌ ｉ ｒｚ＋ ２ ｉ ＋ ｒ ｎ ｌ ＋ ｇ ａ ７— ａ ｒｋ
—
ｎ
，
（ Ｅ Ｚ，走 Ｅ Ｋ ） ．
， ２
， ２
， ２
由引理易 知 ，ｔｌ ＝ ｛ ｛ Ｅ Ｚ｝ ｔ ｋ＋７ ｌ Ｉ Ｅ Ｚ 聊 Ｅ Ｋ， ）一 Ｚ， 以 ｋ ｎ 所
文［ ］ ４ 页 中间有如下 一段话 ：还应 当注意 的是 ， １第 ７ “ 等式 Ｌ ｚ ｎ ｎ ， ｎ 一 ＿ Ｌ ｚ不再 ｎ 一 Ｌ ｚ Ｌ １ ｎ ＿
复变函数
z为w的 宗量 （自变量）
定义域
11
区域的概念
1. 全由内点组成 2. 具有连通性 圆形区域
Imz y
z0 r
RezOຫໍສະໝຸດ x圆形域闭圆域
12
P9. 2(1)
求
解：
的值．
13
Sinz 和 cosz具有实周期 2π，即：
在实数领域中 但在复数领域中将定义按照指数函数展为实部和虚部，就可求得模：
这样
和
可以大于 1
由C-R条件
39
求 v 的方法有：
• 曲线几分法 • 凑全微分法 • 不定积分法
40
求 v 的方法有：
• 曲线几分法 • 凑全微分法 • 不定积分法
41
求 v 的方法有：
• 曲线几分法 • 凑全微分法 • 不定积分法
42
Imz y
(x,y)
Rez
O
(x,0)
43
44
45
46
47
48
由欧拉公式
得到
6
（复数的表达） 例题： 求下列函数的有限表达式
由欧拉公式
得到
7
所以得
8
求下列函数的有限表达式
9
第一篇 复变函数论
第一章 复变函数
第一节 复数与复数运算
第二节 复变函数 重点：
第三节 导数
复变函数定义、复变函数的表示.
第四节
解析函数
区域的概念、构成区域的两个条件、区域 的表示. 复变初等函数.
热流线族
v(x,y) 热流量函数 AB间穿过的热流量
55
平面无旋液流
v(x,y) 流量函数
速度势分布 正交曲线族
流线族
高等数学中的复变函数理论
复变函数理论是高等数学中的一个重要分支，它研究的是定义在复数域上的函数。
复变函数理论在微积分、实分析、数论、物理学等领域都有重要的应用，并且在理论上也有深刻的数学内涵。
复变函数与实变函数不同，它的自变量和取值都是复数。
复变函数的定义与实变函数类似，即给定一个定义域，根据一定的规则，用复数表示自变量和函数值之间的关系。
复变函数的定义域可以是一个区域，也可以是一个点的集合。
在复变函数的研究中，我们常常用几何的方法来理解和表达，例如极坐标和复平面等。
复变函数的基本性质包括解析性、连续性和可微性。
解析性是指函数在它的定义域内有导数，连续性是指函数在定义域内无间断点，可微性是指函数在定义域内的每一点都可导。
与实变函数不同的是，复变函数的可导不仅要求存在导数，还要求导数的极限存在且有界。
这些性质为复变函数的研究提供了基础，也是理解复变函数的重要手段。
复数的特殊性质也影响了复变函数的性质。
如复数域上的对数函数和指数函数，它们具有单值性和多值性两种不同的函数关系。
复变函数的多值性为其带来了更加丰富的特性，例如辐角函数和多值函数等。
同时，复变函数的解析性也足以保证其在一定区域内的连续性和光滑性。
复变函数理论有很多重要的定理和方法。
其中最著名的是复变函数的柯西—黎曼条件和柯西—黎曼方程。
柯西—黎曼条件是复变函数解析性的充分必要条件，它蕴含了复变函数的导数存在与连续性之间的关系。
柯西—黎曼方程则是柯西—黎曼条件在实部和虚部上的展开，它们为解析函数提供了更加具体的性质描述。
柯西—黎曼定理和柯西—黎曼方程是复变函数理论中的基石，它们揭示了复变函数的特殊性质和行为规律。
在应用层面上，复变函数的理论在物理学、工程学和数学物理学等领域有广泛的应用。
例如在电磁场理论中，电场和磁场分别用复变函数的实部和虚部表示，通过这种方式可以简化复杂的计算和分析过程。
另外，在流体力学和电动力学等领域，复变函数的解析性和连续性也为问题的求解提供了更直观和高效的方法。
复变函数第二,三章4-1
( 2 ) Ln
z1 z2
Ln z 1 Ln z 2 ,
( 包括原点 )的复平面内 , 处处可导 , 主值支
( 3 ) 在除去负实轴
和其它各分支处处连续
,且
(ln z )
1 z
,
( Ln z )
1 z
.
说明 由于对数函数的多值性, 对性质(1)和(2), 两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的 任一值, 右端必有值与它相对应．反之也成立．
D
与之相反的方向就是曲线的负方向.
25
2.复积分的定义:
设函数 D 内起点为 把曲线 w f ( z ) 定义在区域 A 终点为 D 内 , C 为区域 , B 的一条光滑的有向曲线 n 个弧段 , 设分点为
12
( 4 ) sin z 是奇函数， cos z 是偶函数；
sin( z ) sin z , cos( z ) cos z .
(5) 遵循通常的三角恒等式，如
cos( z 1 z 2 ) cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2 , sin( z 1 z 2 ) sin z 1 cos z 2 cos z 1 sin z 2 , 2 2 sin z cos z 1 .
1 i
的 模 、 辐 角.
9
2. 幂函数的解析性
( 1 ) 幂函数 z 在复平面内是单值解析
n
的,
n 1 ( z ) nz .
n
(2) 幂函数 w z 函数 ,
( 除去 n 情况外 ) 是一个多值
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面
1 ( z ) z .
复变函数
第一讲 复数与复变函数复变函数论的出发点是复数．复数的基本定义及结论每个复数z 具有iy x +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，x ,y 分别记作z x Re =，z y Im =．复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等．复数的四则运算定义为：)()()()(21212211b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)()())((122121212211b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++22222112222221212211)()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a +-+++=++复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C ．C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面．复数的模定义为：22||y x z +=；复数的辐角定义为：i x yz π2arctanArg +=；复数的共轭定义为：iy x z -=；复数的三角表示定义为：)sin (cos ||Argz i Argz z z +=；在复平面中，我们可以定义一些基本集合．设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为},,|| |{C z r a z z ∈<-设E a C E ∈⊂,为E 的极限点，若E r a U r ⋂>∀),(,0中有无穷个点；E a ∈为E 的内点，若0>∃r ，使得E r a U ⊂),(．开集：所有点为内点的集合；闭集: 开集的余集我们称为闭集．区域：1、D 是开集；2、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D ．复变函数的定义：设C G⊂，如果对于G 中任意以点z ，有确定的复数w 同它对应，则称在G 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =．注1 此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应；注2 同样可以定义函数的定义域与值域； 注3 复变函数等价于两个实变量的实值函数． 复变函数的极限：设函数)(z f w =在集合E 上确定，0z 是E 的一个聚点，a 是一个复常数．如果任给0>ε，可以找到一个与ε有关的正数0)(>=εδδ，使得当E z ∈，并且δ<-<||00z z 时，ε<-|)(|a z f ，则称a 为函数)(z f 当z 趋于0z 时的极限，记作：)()()(lim 0,0z z A z f A z f Ez z z →→=∈→当或复变函数连续性的定义： 如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续.如果),(),()(y x iv y x u z f +=，000iy x z +=，)(z f 在0z 处连续的充要条件为：，，),(),(lim),(),(lim00,,00,,0000y x v y x v y x u y x u y y x x y y x x ==→→→→复变函数的导数: 设函数)(z f w =在点z 的某邻域内有定义，zz ∆+0是邻域内任意一点，对于)()(00z f z z f w -∆+=∆，如果极限z z f z z f z wz z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，为复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作:)('0z z dz dw z f =或.解析函数： 如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数．导数的四则运算：)(')()()(')]'()([)(')('))'()((z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f +=±=±[]2)]([)(')()()(')()('z g z g z f z g z f z g z f -=.关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析．注解3 闭区间上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析； 注解4 解析性区域；注解5 四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等可以推广到复变函数求导的情形. 关于函数的解析性，有著名的Cauchy-Riemann 条件：函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是：1、实部),(y x u 和虚部),(y x v 在D 处可微；2、),(y x u 和),(y x v 满足：柯西-黎曼条件（简称C-R 方程）x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ ,关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解； 注解2 解析函数的导数形式更简洁. 基本初等函数： 指数函数： 对于复数iy x z+=，定义)sin (cos exp y i y e z e w x z +===为指数函数由此有Euler 公式： y i y e iysin cos +=；指数函数的基本性质：1、函数ze w =在整个复平面内有定义并且解析，z z e e =)'(；2、指数函数ze w =是实指数函数在复平面上的解析推广；3、定义得 ,2,1,02||±±=+==k k y Arge e e z x z ，π4、0≠ze；5、指数函数的代数性质（加法定理）：2121z z z z e e e +=；6、指数函数是周期i π2为的周期函数；7、指数函数的几何性质：对数函数：对数函数的基本性质：定义复对数函数是指数函数的反函数：满足方程)0(≠=z z e w 函数)(z f w =称为对数函数，记为z w Ln =.注解 1、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为i π2 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数；注解 2、0 iArg |z |ln Lnz ≠+==z z,w .多值函数的单值化：、由于iArgz z z +=||ln Ln ，而是Argz 通常正数的自然 对数，Argz 是多值函数，所以对数函数的多值性是由于幅角函数的多值性引起的，每两个函数值相差的整数倍；、象Argz 一样，取主值arg z ，则得到Ln z 的一个单值分支，记为ln z ，也称为Ln z 的主值，即z i z z arg ln ln +=，所以，,...)2,1,0(2ln ln ±±=+=k k z z π注解：当0>=x z 时，主值x z ln ln =就是实变量的对数函数. 对数函数的基本性质：1、对数函数的定义域为整个复平面去掉原点，是一个多值解析函数；2、对数函数的代数性质：Ln Ln )/Ln(2121z z z z -= Ln Ln )Ln(2121z z z z +=3、对数函数的解析性质：对数函数的主值分支在除去原点和负实数轴的复平面上解析，并且有：z zz 1d d ln =4、对数函数的几何性质： 幂函数的定义：利用对数函数，可以定义幂函数：设a 是任何复数，则定义z 的a 次幂函数为：z a ae z Ln =当a 为正实数，且0=z 时，还规定0=az .幂函数的基本性质： 1、对应于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数； 2、当a 是正整数时，幂函数是一个单值函数；3、当n 1=α（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； 4、当n 1=α（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； 5、当q p a =是有理数时，幂函数是一个q 值函数； 6、当a 是无理数时，幂函数是一个无穷值多值函数三角函数三角函数的定义：利用Euler 公式，我们有：y i y eiysin cos +=，y i y e iysin cos -=-，所以定义2iziz e e -+和ie e iziz 2--分别为复变量的余弦函数z cos 和正弦函数z sin .三角函数的基本性质：1、z cos 和z sin 是单值函数；2、z cos 和z sin 是以π2为周期的周期函数；3、z cos 是偶函数，z sin 是奇函数；4、212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±；5、;1cos sin22=+z z6、z cos 和z sin 在整个复平面解析，并且有：.cos )'(sin ,sin )'(cos z z z z =-=第二讲 利用积分研究解析函数----复变函数的积分设C 是复平面一条光滑简单曲线，其起点为A ，终点为B 。
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，
所有 能取 到的值是 相 同的，因此有 Ｌ ｎ （ １ ＋ｉ ） ＝ Ｌ ｎ （ １ ＋ｉ ） ＋Ｌ ｎ （ １ ＋ｉ ）， 所以Ｌ Ⅲ ＝ｎ Ｌ ｒ ￣ ｖ Ｌ ｎ ｚ ＝ｎ Ｌ ｎ ｚ却不 一 定成 立 ． 可 以做推 广 得 到 ： Ｌ ｎ ｚ ＝Ｌ ｎ ｚ ＋Ｌ ｎ ｚ ＋ Ｌ ｎ ｚ≠ Ｌ ｎ ｚ． ２ Ｌ ｎ ： Ｌ ｍ 在复 数域 上 成 立
另一方面，２ Ｌ ｎ （ １ ＋ １ ） ＝ ２ ０ ｎ √ ＋ １ ＋ ２ ｋ ｒ ｃ ｉ ） ＝ ｌ ｎ ２ ＋ １ ＋ ４ ｋ ｒ ｔ ｉ ， ＝ｏ ， ± １ ， ± ２ ， ．因为其中的２ １ 取值上比４ １
多 ， 所 以 ｎ （ ＋ １ ） 地ｎ （ １ ＋ １ ） ， 而 Ｌ ｎ （ １ ＋ Ｄ ＋ Ｌ ｎ （ １ ＋ １ ） ＿ １ ｎ √ １ ＋ ； １ ＋ ２ ＿ １ ｎ √ １ ＿ ｋ ４ ｉ ＋ ２ ｋ ２ ＝ ２ １ ｎ ， ／ ２ ＋ １ ＋ ２
，
∈ Ｒ， 而 当 ∈Ｃ 时 ，
ｋ ｚ ｔ 将 ｚ设 为它 的三 角 结 构式 ： ：， （ ｃ 。 ｓ ＋ｉ ｓ ｉ ｎ ） ，则 ： （ Ｃ Ｏ Ｓ — Ｏ ＋２ ＋ｉ ｓ ｉ ｎｏ＋２ ／ ａ）
—
．
收稿日期：２ ０ １ ３ ． ０ ５ ． ２ ０ 基金项目：衡水学院 ２ ０ １ ３ 年度 “ 服 务地方发展 ”重 点课题 （ ２ ０ １ ３ ０ ０ ７ ） 作者简介 程凤林 （ １ ９ ８ ３ － ） ， 戈 河北张家 口 ｋ ， 衡水学院数学与计算机科学学院讲师， 理学 硕士
，
∈ Ｒ ，而复变函数课本 １ 。 ２ 上指出Ｌ ｎ ｚ ： Ｌ ｎ ｚ ，Ｌ ｎ 鼍 ／ ： Ｌ ｍ
而Ｌ ｎ ｚ ： Ｌ ｎ ｚ在
两个式子在复数域上一般是不成立的．本文将证 明Ｌ ｎ ＝￣ Ｌ ｎ ｚ 式子在复数域上是成立的
复数 域 上则 是 不成 立 的 ． １ Ｌ ｎ ｚ ＝ｎ Ｌ ｎ ｚ 在 复数 域 上 一般 不 成 立 例 １ 计算Ｌ ｎ （ １ ＋１ ） ＝Ｌ ｎ （ ２ ｉ １
另一方面 Ｌ ｍ： ｌ ｎ ｒ ＋１ （ ｉ ８ ＋２ １ ￣ ｉ ） ： １ ｎ ， ＋ ｉ ０ ＋ 三 兀 ｉ ｚ其 中 ：ｏ ， ± １ ， ± ２ ， ， １ ：ｏ ， ±１ ， ± ２ ， ， ：０ ， １ ， ２ ， ， １
，
ｎ
ｎ
Hale Waihona Puke ｎ ｎ ｎ
ｎ
根据 ，ｚ ， 的 取值 范 围 ，可 知 ｚ ： ＋ ．所 以可得 Ｌ ｎ ： Ｌ ｍ
Ｌｎ ：Ｉ
Ｌ ： Ｉ ： 在复数域上是成 立的
关键词 ：复 变函数 对数 函数，多值性 中图分类号 ：Ｏ ７ １ ４ ５ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ３ — ２ ０ ６ ５ （ ２ ０ １ ４ ） ０ １ — ０ ０ ０ ７ — ０ ２
在 许 多 复变 函 数课 本 中 都会 涉及 初 等 函数 这 一 节 ，在复 数 域 上讨 论 的初 等 函数 与 实 数域 上 的初 等 函数 有 些 性 质 是一 致 的 ，而有 一 些 性质 在 实 数域 上成 立 在 复 数域 上 是不 成立 的 ，或 者有 些在 实 数域 上 不 成立 的 性质 在 复
数域上却是成立的．关于初等函数中对数函数这一部分，因为复数域上对数函数具有多值性 ，所以就出现 了一
些 复数 域 上 与 实数 域 上 的不 同， 本文 重 点讨 论 Ｌ ｎ ｚ
上 是成 立 的 即 Ｌ Ⅲ ＝ｎ Ｌ ｒ ￣ ｖ， Ｌ ｎ ＝ＩＬ ｒ ￣ ｖ
Ｌ ｍ ，Ｌｎ ： Ｌ ｍ 这 两个 式 子 ．这 两 个 式 子在 实 数 域
程 凤 株
（ 衡水学院 摘 数学与计算机科学学院，河北 衡水 ０ ５ ３ ０ ０ ０ １
要 ：在复变函数课本 中关 于初等函数这一节 中的对数 函数部 分，课本中提到 Ｌ ｍ ： Ｌ ｍ ，Ｌ ｎ ： Ｌ 两个式子一
般 是 不 成 立 的 ，本 文 将 针 对上 述 两 个 式 子是 否成 立展 开讨 论 ，证 明 了 Ｌ ｎ ｚ ＝ Ｌ ｎ ｚ在 复 数 域 上 一般 不成 立 ，而
第 １ ６卷
第 １ 期
衡 水 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｍｕ ｌ ｏ ｆＨｅ ｎ ｇ ｓ ｈ ｕ ｉ Ｕｎ ｉ ｖｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ ｌ １ ６ ． Ｎｏ １ Ｆ ｅ ｂ ２ Ｏ １ ４
２ ［ ） １ ４ 年 ２ 月
关于 复 变 函 数 中对 数 函 数 的 一 点 讨论
，
解 套用 对数函 数公式Ｌ ｎ ｚ ＝ ｌ ｎ ｌ ｚ ＋ １ ａ ｒ ｇ （ ｚ ） ＋ ２ ｋ ｒ ｃ ｉ ， 其中 ＝ ｏ ， ± １ ， ± ２ ，
Ｌ ｎ （ １ ＋ｉ ） ＝Ｌ ｎ （ ２ ｉ ） ＝ｌ ｎ ２ ＋￣ｉ ＋２ ｋ ｒ ｔ ｉ ，
一
＝Ｏ ±１ ， ±２ ，
，
８
Ｌｎ ： Ｌｎ ：１ ｎ
衡 水 学 院 学报 投 稿 平 台 ｈ ｔ ｉ ｐ ： ／ ／ ｈ ｓ ｓ ｚ ｃ ｂ ｐ ｔ ｃ ｎ ｋ ｉ ｎ ｅ ｔ ／
＋ｉ０＋２ ｋ ￣ ＋２ １ ： ｌ ｎＦ ＋ｉＯ＋２ ｋ ￣ ｒ
第 １ ６ 卷
＋ ２ １ ： １ ｎ ， ＋ ！ ＋ 三 型ｒ ＋ １
ｎ
例 ２ 计算 Ｌ ｎ ￣ ／ １ ＋ｉ 的 值
＋２ ｋ ； ｃ ＋２ ｋ ； ｃ
广 ． ．
解 √ ＝ √ （ 。 。 。 。 ＝ ＿
＋ ｉ ｓ ｉ ｎ 。 ＝ ＿