2011第十六届华杯复赛B卷(含解析)

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷（小学组）（时间：2011年4月16日10：00~11：30）一、填空题（每小题10分，共80分） 1．357935+7946810++=_________．2．将120名男生和140名女生分成若干组，要求每组中的男生数相同，女生数也相同，则最多可以分成__________组．3．A ，B 两地相距500千米，甲、乙两人同时骑自行车从A 地出发去B 地．甲每天骑30千米，乙每天骑50千米，但乙骑一天休息一天．第__________天的行程结束时，乙距B 地的路程是甲距B 地的路程的二倍．4．三个牧人在一起，甲对乙说：“如果把你的羊给我一只，然后把我的羊总数的五分之一给你，我们两个的羊就一样多了．”甲对丙说：“如果把你的羊给我两只，然后把我的羊总数的七分之二给你，我们两个的羊就一样多了．”那么三个人羊的总数最少是__________．5．如右图，两条线段将边长10厘米的正方形分为两个高度相等的直角梯形1S ，2S 和一个直角三角形，其中两个梯形的面积相差10平方厘米．那么图中所示的直角三角形的边长x =__________厘米．6．用同一种颜色对44⨯方格的6个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右图）．那么共有__________种涂色的图案．7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是__________（立方厘米）．8．不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是__________．二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．长方形ABCD 的面积是416平方厘米，梯形AFGE 的顶点F 在BC 上，D 是腰EG 的中点．试求梯形AFGE 的面积．10．某年级一、二两个班在植树节进行植树活动，两个班植树的总棵数相同，都在250~300棵之间．两个班都有一人不植树，为大家送水，一班的其他人每人植树7棵，二班的其他人每人植树13棵．求这两个班的总人数．11．求所有满足如下条件的四位数n ：（1）n 的第一位和第三位数字相同；（2）n 的第二位和第四位数字相同；（3）n 的各位数字的乘积是2n 的约数．12．100名运动员的编号是从1到100．若每个运动员在黑板上写下自己编号中的最大奇因子，那么所有运动员在黑板上写下的数的总和是多少？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a ，其中050a <≤．现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少?14．在下面的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，那么满足要求的不同算式共有多少种?第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）参考答案1 2 3 4 5 6 743 2712020 15 43 47 100038 9 10 11 12 13 1417 416 62 1111，1212，2424，3636，15153344109a；1a+；50．100 参考解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．357935+7946810++=_________．【考点】速算巧算【难度】☆☆【答案】43 27120【解析】原式1111302015127743 468+10282827 46810120120120+++=-+-+--=-=-=．2．将120名男生和140名女生分成若干组，要求每组中的男生数相同，女生数也相同，则最多可以分成__________组．【考点】最大公因数【难度】☆☆【答案】20【解析】(120,140)20=，最多可分成20组，每组6名男生，7名女生．3．A，B两地相距500千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地出发去B地．甲每天骑30千米，乙每天骑50千米，但乙骑一天休息一天．第__________天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．【考点】行程问题【难度】☆☆☆【答案】15【解析】若2a天的行程结束后，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍，则有2(500202)50050a a⨯-⨯=-⨯，a无整数解；若21b-天的行程结束后，乙距B地的路程是甲距B 地的路程的二倍，则有[]250030(21)50050b b⨯-⨯-=-⨯，解得8b=．所以第15天的行程结束后，乙距B 地的路程是甲距B 地的路程的二倍．4．三个牧人在一起，甲对乙说：“如果把你的羊给我一只，然后把我的羊总数的五分之一给你，我们两个的羊就一样多了．”甲对丙说：“如果把你的羊给我两只，然后把我的羊总数的七分之二给你，我们两个的羊就一样多了．”那么三个人羊的总数最少是__________． 【考点】倍数问题 【难度】☆☆☆ 【答案】43【解析】设甲、乙、丙分别有a 、b 、c 只羊，根据题意，可列出如下等式：14(1)(1)(1)55b a a -++=+，25(2)(2)(2)77c a a -++=+．化简后得：3855b a =+，32077c a =+．所以三个人的羊的总数为383201624557735a abc a a a a +++=++++=++为整数，所以a 取最小可能值19时，三个人的总数和最少，为2194143⨯++=．5．如右图，两条线段将边长10厘米的正方形分为两个高度相等的直角梯形1S ，2S 和一个直角三角形，其中两个梯形的面积相差10平方厘米．那么图中所示的直角三角形的边长x =__________厘米．【考点】几何 【难度】☆☆☆ 【答案】4【解析】1211(2S S S -=的上底1+S 的下底）215(2S ⨯-的上底2S +的下底11)5(2S ⨯=的下底2S -的上底5)5102x ⨯==，解得4x =．6．用同一种颜色对44⨯方格的6个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右图）．那么共有__________种涂色的图案．【考点】计数问题 【难度】☆☆☆ 【答案】7【解析】642004110330032103111=+++=+++=+++=+++=+++22202211=+++=+++，所以共有7种涂色的图案．7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是__________（立方厘米）．【考点】立体几何 【难度】☆☆☆ 【答案】10003【解析】这个几何体如下图所示，其中面BCE ⊥面ABCD ，EF BC ⊥，它的体积为11000101010=33⨯⨯⨯立方厘米．8．不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是__________． 【考点】数论 【难度】☆☆ 【答案】17【解析】首先证明，不少于27的奇数都能分解成3个不相等的合数．若这个数能被3整除，那么这个数必能分解成69a ++，其中a 是一个大于9且能被3整除的数；若这个数被3除余1，那么这个数必能分解成46b ++，其中b 是一个大于6且能被3整除的数；若这个数被3除余2，那么这个数必能分解成68c ++，其中c 是一个大于8且能被3整除的数．所以不小于27的奇数都能分解成3个不相等的合数．在小于27多的奇数中，254615=++，23689=++，21489=++，19469=++而不相等的合数之和最小为468++等于18，所以17必然无法写成3个不相等的合数之和． 综上可得，不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是17．二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．长方形ABCD 的面积是416平方厘米，梯形AFGE 的顶点F 在BC 上，D 是腰EG 的中点．试求梯形AFGE的面积．【考点】几何 【难度】☆☆☆ 【答案】416【解析】连接FD 的直线与AE 的延长线相交于H ．则DFG △绕点D 逆时针旋转180︒与DHE △重合，D F D H =，=AFD ADH S S △△．梯形AEGF 的面积AFH =△的面积2AFD =⨯△的面积=长方形ABCD 的面积=416（平方厘米）．10．某年级一、二两个班在植树节进行植树活动，两个班植树的总棵数相同，都在250~300棵之间．两个班都有一人不植树，为大家送水，一班的其他人每人植树7棵，二班的其他人每人植树13棵．求这两个班的总人数． 【考点】倍数问题 【难度】☆☆☆ 【答案】62【解析】设一班有x 人，二班有y 人．则7(1)13(1)x y -=-，所以，13(1)x -，7(1)y -．于是131x m =+，71y m =+，其中m 是自然数．因为2507(1)13(1)300x y ≤-=-≤，所以25091300m ≤≤， 解得3m =，最终得到1317162x y m m +=+++=．11．求所有满足如下条件的四位数n ：（1）n 的第一位和第三位数字相同；（2）n 的第二位和第四位数字相同；（3）n 的各位数字的乘积是2n 的约数． 【考点】倍数因数 【难度】☆☆☆☆【答案】1111，1212，2424，3636，1515【解析】设101n abab ab ==．依题（3），有222a b n ，所以ab n ，即101ab ab ．由于101是质数，(,101)1ab =，故ab ab ，即(10)ab a b +，于是有a b 且10b a ．讨论：Ⅰ．当b a =时，21111a a a ⇒，∴111111a b n ==⇒=；Ⅱ．当2b a =时，22126a a a ⇒⇒ⅰ．1a =，221212b n =⇒=，ⅱ．2a =，342424b n =⇒=， ⅲ．3a =，263636b n =⇒=；Ⅲ．当5b a =时，25153a a a ⇒．∴1a =，551515b n =⇒=．12．100名运动员的编号是从1到100．若每个运动员在黑板上写下自己编号中的最大奇因子，那么所有运动员在黑板上写下的数的总和是多少？ 【考点】数论 【难度】☆☆☆☆ 【答案】3344【解析】每一个自然数n 都可以表示成2r n g =，其中0r ≥，g 是奇数，是n 的最大奇因子．现在将自然数1~100如下分类．0类(0r =)：1，3，5，…，99，奇因子之和为1357992500+++++= ． 1类(1r =)：2，6，10，…，98，奇因子之和为13549625++++= ． 2类(2r =)：4，12，20，…，100，奇因子之和为13525169++++= ． 3类(3r =)：8，24，40，…，88，奇因子之和为1351136++++= ． 4类(4r =)：16，48，80，奇因子之和为1359++=． 5类(5r =)：32，96，奇因子之和为134+=． 6类(6r =)：64，奇因子为1．因此，所有运动员在黑板上写下的数之和是3344．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a ，其中050a <≤．现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少? 【考点】立体几何 【难度】☆☆☆☆【答案】当09a <<时，水深为109x a =；当949a ≤<时，水深为1a +；当4950a ≤≤时，水深为50． 【解析】由题设知，水箱底面积40251000S =⨯=水箱．水箱体积=100050=50000V ⨯水箱， 铁块底面积=1010100S ⨯=铁． 铁块体积1010101000V =⨯⨯=铁．（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50时，1000100050000a +=，得49a =． 所以，当4950a ≤≤时，水深为50（多余的水溢出）． （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10时，1000100010000a +=，得9a =． 所以，当949a ≤<时，水深为402510101014025a a ⨯⨯+⨯⨯=+⨯．（3）由（2）知，当09a <<时，设水深为x ，则10001000100x a x =+．得109x a =． 答：当09a <<时，水深为109x a =；当949a ≤<时，水深为1a +；当4950a ≤≤时，水深为50．14．在下面的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，那么满足要求的不同算式共有多少种?【考点】数字谜 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】100【解析】等式成立时有1793201116949=--≤华杯决赛201116040=1811≤--．进而得到，华=1，杯=7或8． (1)当杯=8时，共72种情况．10⨯决+赛+日+月201118001604011=---=．①决1=时，赛，月，日中有一个为1，其它为0，共3种情况． ②决0=时，赛+月+日11=， 赛=0，月+日11=有8种情形； 赛=1，月+日10=有9种情形；赛分别为2，3，…9时，对应的情形为10，9，…，3，计52种情形． (2)当杯=7时，共28种情况．10⨯决+赛+日+月2011170016040111=---=．不可能有决9<的情况，否则需要，赛+月+日要大于30，所以决9=．此时赛+月+日21=， 赛不能小于3，否则要求，月+日大于18．赛分别为3，4，…9时，对应的情形为1，2，…，7，计28种情形． 综合上述讨论，满足要求的不同算式共有100种．。