开环频率特性
自动控制原理(11J-19)PDF
解: 由图示特性可知,系统为2型系统, 开环频率特性应为
ω K (1 + j ) 5 G ( jω ) = ( jω ) 2
ω L(ω ) = 20 lg 2 + 20 lg 1 + ω 5 K
2
0
L(ω)
-- 40dB/dec
-- 20dB/dec 5 10
ω
(1) 利用低频段特性求K值： （已知：ωa=7.07）
s→0
L1 (ω )＝20 log
K
ω
2
= −20 log
ω2
K
7
(Ka=K)
8
9
“2” 型系统Bode图特点:
(1) 起始段为斜率: - 40dB/dec (2) 起始线段(或其延长线)在ω=1处的幅值为:
Ka L1 (ω ) = 20 lg ( jω ) 2
= 20 lg K a = 20 lg K
的交接频率时，斜率增加
(5) 最后在各转折频率附近作误差修正，得精确曲线。
13
3. Bode图相频特性的简捷绘制
● 在低频区，对数相频特性由
−ν × 90 o 开始。
● 在高频段，ω→∞，相频特性趋于
− (n − m) × 90o
● 如果在某一频率范围内，对数幅频特性 L(ω) 的斜率
保持不变，则在此频率范围内，相位也几乎不变。
(2)对于1型系统, 静态位置误差系数为: Kv = K = 10
ess = 1/Kv = 1/K = 1/10 = 0.1
（3）该系统的相位特性
30
ϕ（ω） = -90 − arctg
0
相位特性 ω
0.01
ω
0.01 K (1 + j
5-5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系
ωc d( ) ω1
=
ωc 2 ωc 2 1+ ( ) 1+ ( ) ω1 nω1
1
1/ n
=0
ωc 2 ω 2 ωc ) =n 或 = = n 或 ωc = ω1ω2 ω1 ωc ω1 ωc = n 时,相位裕量有最大值. 选择 K 使 ω1 lg ω2 lg ωc = lg ωc lg ω1 即ωc 在对数频率特性中频段的几何中点,或中频段对称于ωc . 按上式确定穿越频率的系统(–2/–1/–2)为对称最佳系统.
第5章 频域分析法
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 频率特性及其表示法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制 用频率特性分析控制系统的稳定性 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 闭环系统频率特性 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系
1
5.5 系统瞬态特性与开环频率特性
1 开环对数频率特性的基本性质 2 系统瞬态特性和开环频率特性的关系
ξ 之间的关系
ωc = 2ξ 2 + 4ξ 4 + 1ωn
ωc (ωc ) = arctan 2 2ξωn π
γ (ωc ) =
π
2
arctan
ωc 2ξωn = arctan ωc 2ξωn
2ξ
γ (ωc ) = arctan
2ξ 2 + 4ξ 4 + 1
19
2 系统瞬态特性和开环频率特性
ω1
相角位移
ωc 2 1+ ( ) K ω1 K = KT1 A(ωc ) = 2 = 1 ωc = ωc 2 , ωc 1 + ( ) ω1 ω2
ωc
ω2
ω
5-3 系统开环频率
和
K v =2 l K −2 l ω =0 0g v 0g v jω ω=ω
v
(5-95)
20lg G ( jω) ω=ωa =20lg 2
ω2
Ka
ω= a ω
2 =20lg Ka −20lgωa =0 (5-96)
8
由上面两式分别得到
ωv = Kv
图5-29 例5-3 Bode图
15
斜率为-20dB/dec的折线段的延长线（图 中虚线）与横轴交点频率应为ωv，从交 接频率 1开始，对数频特性转折成斜率 为-60dB/dec的直线。 (b) 相频特性 在图5-29上分别画出积分环节的相频 特性（1）和振荡环节相频特性（2），然 后将它们在纵轴方向上相加便得到系统开 环相频特性曲线（3）。 例5-4 已知系统的开环传递函数为
−2 K T ( −T2ω2)K 1 ς v v G jω)H( jω) = 2 2 2 ( −j 4 T ω +( −T2ω2) ς 1 4 2T2ω3 +( −T2ω2)2ω ς 1
当ω→0时有 l im G（jω）H（jω）＝ －2ζKvT－j∞ ω→0 即渐近线是一条与实轴交点为－2ζKvT 且垂直于实轴的直线，图5-28绘制出该系 统在不同阻尼比的渐近线（虚线) 及对应开环频率特性的极坐标图。
ω = Ka或 a =ω2 K a a
（5-97） （5-98）
通过上面的分析，在绘制传递函数为式（5-93）和（5-94） 的对数幅频特 性时，可用下述两种方法之一进行。
dB
dB
a
0
20log K V
A
−20dB/ dec
a
二阶开环的频率特性
同济大学电子与信息工程学院实验中心实验报告实验课程名称：自动控制原理任课教师：王中杰实验项目名称：二阶开环系统的频率特性曲线二阶开环系统的频率特性曲线一．实验要求1．研究表征系统稳定程度的相位裕度γ和幅值穿越频率c ω对系统的影响。
2．了解和掌握二阶开环系统中的对数幅频特性)(ωL 和相频特性)(ωϕ，实频特性)Re(ω和虚频特性)Im(ω的计算。
3．了解和掌握欠阻尼二阶开环系统中的相位裕度γ和幅值穿越频率c ω的计算。
4．观察和分析欠阻尼二阶开环系统波德图中的相位裕度γ和幅值穿越频率ωc ，与计算值作比对。
二．实验内容及步骤本实验用于观察和分析二阶开环系统的频率特性曲线。
由于Ⅰ型系统含有一个积分环节，它在开环时响应曲线是发散的，因此欲获得其开环频率特性时，还是需构建成闭环系统，测试其闭环频率特性，然后通过公式换算，获得其开环频率特性。
计算欠阻尼二阶闭环系统中的幅值穿越频率ωc 、相位裕度γ： 幅值穿越频率： 24241ξξωω-+⨯=n c （3-2-3）相位裕度：424122arctan)(180ξξξωϕγ++-=+=c （3-2-4）γ值越小，Mp%越大，振荡越厉害；γ值越大，Mp%小，调节时间ts 越长，因此为使二阶闭环系统不致于振荡太厉害及调节时间太长，一般希望：30°≤γ≤70° （3-2-5）本实验以第3.2.2节〈二阶闭环系统频率特性曲线〉为例，得：ωc =14.186 γ=34.93° 本实验所构成的二阶系统符合式（3-2-5）要求。
被测系统模拟电路图的构成如图3-2-2所示。
（同二阶闭环系统频率特性测试构成） 本实验将数/模转换器（B2）单元作为信号发生器，自动产生的超低频正弦信号的频率从低到高变化（0.5Hz~16Hz ），OUT2输出施加于被测系统的输入端r (t)，然后分别测量被测系统的输出信号的开环对数幅值和相位，数据经相关运算后在虚拟示波器中显示。
自动控制理论_19开环对数频率特性曲线的绘制
穿越法判断包围圈数 设 N 为开环幅相频率特性曲线穿越（－ 1 ， j0 ） 点左侧负实轴的次数， N ＋表示正穿越的次数（从 上往下穿越）， N －表示负穿越的次数（从下往上 穿越），则
R 2N 2( N N )
5.2 例 系统开环传递函数为 G ( s) H ( s) 2 ( s 2)(s 2s 5)
圈时，F(s)总的相角增量为
n i 1
F ( s) ( s zi ) ( s pi )
i 1
n
( s z1 ) ( s z2 ) ( s zn ) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
s
s zi
B
A
F ( s)
F
F
z 1 p1 z 2
z i 1
j
s
s zi
zi
s
j
B
A
F ( s)
F
F
z 1 p1 z 2
z i 1
S 平面上的闭合曲线 Γs 内部仅有 1 个 F(s) 的零点， F (s) 的其 它零极点如图所示。当闭合曲线Γs上任一点S沿顺时针方向转动一
第五章
频率域方法
5.3
开环对数频率特性曲线的绘制
根据叠加原理，绘出各环节的对数幅频特性 分量，再将各分量的纵坐标相加，就得到整个系 统的开环对数幅频特性；将各环节的相频特性分 量相加，就成为系统的开环对数相频特性。
例
10(0.5s 1) G( s) s ( s 1)(0.05s 1)
1 180 ，即A() 1 （－1，j0）点表示成幅角形式是 ( ) 180 而A(ω)＝1对应于对数幅频坐标图上L(ω)＝0 的水平线； () 180则对应于对数相频坐标图上－ 180°的水平线。因此可以进行坐标系转换。
自动控制原理_卢京潮_利用开环频率特性分析系统的性能
5.6 利用开环频率特性分析系统的性能在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得直接、准确。
因此，须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。
考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以Bode 图为基点，首先讨论开环对数幅频特性)(ωL 的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。
实际系统的开环对数幅频特性)(ωL 一般都符合如图5-49所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。
将)(ωL 人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。
低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指穿越频率（或截止频率）c ω附近的频段；高频段指频率远大于c ω的频段。
这三个频段包含了闭环系统性能不同方面的信息，需要分别进行讨论。
需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。
一般控制系统的频段范围在Hz 100~01.0之间。
这里所述的“高频段”与无线电学科里的“超高频”、“甚高频”不是一个概念。
5.6.1 )(ωL 低频渐近线与系统稳态误差的关系系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。
因此，)(ωL 低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。
根据)(ωL 低图5-49 对数频率特性三频段的划分频段可以确定系统型别υ和开环增益K ，利用第3章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。
5.6.2 )(ωL 中频段特性与系统动态性能的关系开环对数幅频特性的中频段是指穿越（或截止）频率c ω附近的频段。
设开环部分纯粹由积分环节构成，图5-50（a ）所示的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为dec dB /20-，相角 90)(-=ωϕ，因而相角裕度 90=γ；图5-50（b ）的对数幅频特性对应两个积分环节，斜率为dec dB /40-，相角 180)(-=ωϕ，因而相角裕度 0=γ。
自控理论 4-6频域指标与时域指标的关系
2 −40
ω
作业
4 - A -14、 4 -B - 4 、
K s(Ts + 1)
c(t)
例：已知最小相位系统的开环对数幅频特 性曲线，试求： 性曲线，试求：
L(ω)
(1) 开环传递函数 开环传递函数G(s)； ； (2) 剪切频率 ωc ； (3) 相角裕量 γ(ωc)； (4) r(t)=(1/4)t2 时的 ess 。
6 0
−40 −20 0.5
ωc
令 G ( jω c ) = 1,
解得
ω c = ω n − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
γ = 180 + ϕ (ω c ) = tg
0 −1
(4 − 30)
(4 − 31)
求γ
2ζω n
ωc
将式(4-30)代入式 代入式(4-31)得 将式 代入式 得
求γ
γ = 180 + ϕ (ω c ) = tg
2.
r(t)
25 s( s + 6)
c(t)
ωn2 =25 得 ζ =0.6 ωn=5
2ζ = 59.2 0
γ = tg
−1
− 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
ω c = ω n − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1 = 3.58
3.
Mr =
1 2ζ 1 − ζ
2
= 1.04
ω r = ω n 1 − 2ζ 2 = 2.65
结论
8 t sω c = tgγ
(4 − 36)
( 2) ω c与ζ、ω n 都有关,当ζ 一定，ω c ↑→ ω n ↑→ t s ↓ 一定，
自动控制原理-频率特性与系统性能的关系
A(ω)= ω
1
ω 2ζωn
第四节 频率特性与系统性能的关系
二阶系统的开环对数频率特性曲线
时域法中：
L(ω)/dB
σ%—系统的平稳性
-20dB/dec
ts —系统的快速性
0
ωc
Φ(ω)
2ξ ωn
ω
频域法中：
0
-40dB/dec
ω
ωc
-90
—系统的快速性 -180
第五章 频率特性法
第五节 频率特性与系统性能的关系
频率特性法是通过系统的开环频 率特性和闭环频率特性的频域性能指 标间接地表征系统瞬态响应的性能。
一、开环频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系
第四节 频率特性与系统性能的关系
一 、开环频率特性与系统性能的关系
常将开环频率特性分成低、中、高 三个频段。
第四节 频率特性与系统性能的关系
（2）中频段的斜率与动态性能的关系 频段较Φ设(宽s系)=，统1可+G中G(近频s()s似)段=认斜1+为率ωSωS整2c为22c2个-=4曲0Sd2ω+线Bωc/2是dce2 c一，条且斜中 率为-40系dB统/d处ec的于直临线界。稳定状态。
开环传递函数：
L(ω)/dB
2. 中频段
穿越频率ωc附近的区段为中频段。它 反映了系统动态响应的平稳性和快速性。
（1）穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统中频段斜率为20dB/dec且中频
段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲 线是一条斜率为-20dB/dec的直线。
第四节 频率特性与系统性能的关系
中频段对数幅频特性曲线
开环传递函数：
G解对(设 ωj：tωt应g性1g：)-的(-1=11ωω的的ωω)变ωcjω3c2曲频关ω--3c化tt(g线=率系g1ω-ω范K-+111如3特。3jc(21围=ω==ω性图+73110j2ω8):ω～o(o12ω+) j2ωω,0可3L-)2(求ω0ωd)B1得//dd-ω4Be0:c2dBω/d-4ec0cdBω/d3ec ω
自动控制原理
可见，开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性 之和；系统开环相频等于各环节相频之和。 将各环节对数幅频特性用其渐近线代替，以及对数 运算的优点（乘除运算对数化后变为加减），可以 很容易绘制出开环对数频率特性。
图5-19
例 5-2的Bode图
例 已知系统的开环传递函数，试绘制系统的 开环Bode图。
系统开环包括了五个典型环节
ω2=2 rad/s
ω4=0.5 rad/s
ω5=10 rad/s
例 绘制开环传递函数
K G( s) (1 s)(1 10s)
的零型系统的Bode图。
解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别
解 系统开环频率特性
10 G ( j ) H ( j ) (1 j )(1 j 0.1 ) 10(1 0.12 2 ) 10 1.1 j 2 2 2 (1 )(1 0.1 ) (1 2 )(1 0.1 2 )
ω 由0→∞变化时，找几个特殊点：
设反馈控制系统如图5-21所示，其开环传递 函数为: G(s)H(s) 开环频率特性为: G(jω)H(jω) 在绘制开环极坐标曲线时，可将G(jω)H(jω) 写成实频和虚频形式 G(jω)H(jω) = p(ω) + jθ(ω)
图5-21 反馈控制系统
或写成极坐标形式
G( j ) H ( j ) A( )e j ( )
2. 系统开环对数幅频特性有如下特点
①
低频段的斜率为－20νdB/dec，ν为开环系统中所包 含的串联积分环节的数目。
开环对数频率特性和时域指标.
5-6 开环对数频率特性和时域指标根据系统开环对数频率特性对系统性能的不同影响，将系统开环对数频率特性分为三个频段。
即低频段、中频段和高频段。
一、 低频段低频段通常是指开环对数幅频特性的渐近曲线在第一个交接频率以前的频段，这一频段完全由开环传递函数中的积分环节和放大环节所决定。
低频段的对数幅频为ωωωωlg 20lg 20lg 20)()(lg 20⨯-==v K Kj H j G v (5-32)式中v 为开环传递函数中的积分环节数。
根据式(5-32)及积分环节数，就可作出开环对数幅频特性曲线的低频段，如图5-39所示。
若已知低频段的开环对数幅频特性曲线，则很容易得到K 值和积分环节数v ，故低频段的频率特性决定了系统的稳态性能。
二、中频段中频段是指开环对数幅频特性曲线截止频率c ω附近的频段。
这决定系统的稳定程度，即决定系统的动态性能。
设有二个系统，均为最小相位系统，它们的开环对数幅频特性曲线除中频段的斜率不同(即一个为20-dB/dec,另一个为40-dB/dec) 之外， 其余低频、 高频段均相同。
并且中频段相当长，如图5-40 所示。
显然，系统(a)有将近90°的相裕量，而系统(b)则相裕量很小。
假定另有二个系统， 均为最小相位系统， 开环对数幅频特性曲线除中频段 (斜率为 -20 dB/dec ) 线段的长度不同外， 其余部分完全相同， 如图 5-41 所示。
显然， 中频段线段较长的系统 (a) 的相裕量将大于中频段线短的系统(b)。
可见，开环对数幅频特性中频段斜率最好为20-dB/dec ，而且希望其长度尽可能长些，以确保系统有足够的相角裕量。
如果中频段的斜率为40-dB/dec 时，中频段占据的频率范围不宜过长，否则相裕量会很小；若中频段斜率更小(如60-dB/dec)，系统就难以稳定。
另外，截止频率c ω越高，系统复现信号能力越强，系统快速性也就越好。
三、 高频段高频段是指开环对数幅频特性曲线在中频段以后的频段(一般c ωω10>的频段)。
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4.4 开环频率特性
4.4 开环频率特性
根据开环传递函数求出的频率特性称为开环频率特性。
开环频率特性和开环传递函数一样，在控制系统地分析中具有十分重要的作用。
设系统的开环传递函数为
(4.34)
开环频率特性为
(4.35)
幅频特性为
(4.36)
相频特性为
(4.37)
4.4.1 开环频率特性的极坐标图
绘制开环频率特性的极坐标图，必须直接计算出某一频率下的幅值和相角，从而给出开环频率特性曲线。
用计算机通过专用的程序绘制开环频率特性曲线的极坐标图十分方便。
例2 系统的开环传递函数如下：
绘制开环频率特性的极坐标图
解
不同频率下的幅值和相角如下:
根据上面数据呼出的开环频率特性曲线如图4.18所示。
图 4.18 例1的开环频率特性
4.4.2 开环频率特性的对数频率特性图
用对数坐标表示的频率特性曲线，在绘图方面比极坐标相对简单。
对于开环对数幅频特性
(4.38)
对于开环对数相频特性
(4.39)
绘制开环对数频率特性的步骤如下：
（1）先画出除比例环节外其余各环节的对数幅频特性的渐近线；
（2）从低频段开始，以每个转折频率为界，对频率进行分段；
（3）每段内的斜率相加，从最左边开始按割断斜率首尾相接，画出开环对数幅频特性的渐近线；
（4）将纵坐标分度值移动；
（5）相频曲线则相加得到总的对数相频特性。
下面通过例子进一步说明绘制开环对数频率特性的画法。
例3 系统的开环传递函数为
绘制开环对数频率特性曲线。
解开环传递函数由五个环节串联而成，它们是：比例环节；积分环节；惯性环节；一阶微分环节；振荡环节。
我们将其对数幅频特性曲线依次编
为，将其对数相频特性曲线依次编
为。
开环传递函数共有3个转折频率，它们是：
惯性环节，转折频率0.5。
一阶微分环节，转折频率2。
振荡环节，转折频率8。
先在对数幅频特性坐标图上画出各典型环节的对数幅频特性曲线或渐近线，在对数相频特性坐标图上画出各典型环节的相频特性，然后按上面所说的步骤即可绘制出开环对数频率特曲线，如图4.19所示。
图 4.19 开环对数频率特性曲线。