高中物理必修2学案word版含答案2

第4节 万有引力理论的成就学习目标核心提炼1.了解万有引力定律在天文学上的应用。

2个应用——测天体质量、发现未知天体 1个基本思路——万有引力提供向心力2个重要关系——⎣⎢⎢⎡G MmR 2＝mg G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。

3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。

一、天体质量的计算阅读教材第41～42页“科学真是迷人”及“计算天体的质量”部分，知道利用g 、R 和G 计算地球质量的方法，知道利用T 、r 和G 计算太阳质量的方法。

1．地球质量的计算(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。

(2)关系式：mg ＝G MmR 2。

(3)结果：M ＝gR 2G ，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。

2．太阳质量的计算(1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。

(2)关系式：G Mmr 2＝m 4π2T 2r 。

(3)结论：M ＝4π2r 3GT 2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量。

(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M ，公式是M ＝4π2r 3GT 2。

思维拓展如图1所示是卡文迪许测量引力常量的示意图。

卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G 的值，从而“称量”出了地球的质量。

图1(1)卡文迪许测出G后，他是怎样“称量”地球的质量的呢？(2)已知地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。

答案(1)在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即mg＝G mMR2，解得地球的质量M＝gR2G，只要测出G、g、R来，便可“称量”地球的质量。

(2)M＝gR2G＝9.8×（6.4×106）26.67×10－11kg≈6.0×1024 kg。

二、发现未知天体阅读教材第42～43页“发现未知天体”部分，知道发现未知天体的几个史实及所用到的理论依据。

1．海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。

1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。

2．其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。

思考判断1．天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。

(×)2．海王星的发现确立了万有引力定律的地位。

(√)3．牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。

(×)预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中问题1问题2 问题3天体质量和密度的计算[要点归纳] 1．天体质量的计算“自力更生法”“借助外援法”情景已知天体(如地球)的半径R 和天体(如地球)表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg ＝G MmR 2行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G Mmr 2＝m v 2r或G Mmr 2＝mω2r 或G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r结果天体(如地球)质量：M ＝gR 2G中心天体质量：M ＝r v 2G或M ＝r 3ω2G或M ＝4π2r 3GT 2 2.天体密度的计算(1)一般思路：若天体半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3，将质量代入可求得密度。

(2)特殊情况①卫星绕天体做半径为r 的圆周运动，若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3，将M ＝4π2r 3GT 2代入得：ρ＝3πr 3GT 2R 3。

当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2。

②已知天体表面的重力加速度为g ，则ρ＝M43πR 3＝gR 2G43πR3＝3g4πRG 。

[精典示例][例1] 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。

宇航员从距该星球表面高度为h 处，沿水平方向以初速度v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G 。

求： (1)该星球表面的重力加速度。

(2)该星球的平均密度。

解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有 L ＝v t ，h ＝12gt 2，解得g ＝2h v 2L 2。

(2)在星球表面满足GMmR 2＝mg 又M ＝ρ·43πR 3，解得ρ＝3h v 22πGRL 2。

答案 (1)2h v 2L 2 (2)3h v 22πGRL 2【误区警示】 求解天体质量的注意事项(1)计算天体质量的方法：M ＝gR 2G 和M ＝4π2r 3GT 2。

不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心星体。

(2)注意R 、r 的区分。

R 指中心天体的球体半径，r 指行星或卫星的轨道半径。

若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有R ＝r 。

[针对训练1] 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。

“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120。

该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A.eqB ．1C ．5D ．10解析 根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ∝r 3T 2，代入数据得恒星与太阳的质量比约为1.04，所以B 项正确。

答案 B天体运动的分析与计算[要点归纳]1．解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G MmR 2＝ma ，式中a 是向心加速度。

2．常用的关系式(1)G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r 。

(2)mg ＝G MmR 2即gR 2＝GM ，该公式通常被称为黄金代换式。

3．四个重要结论：设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动。

(1)由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝GMr ，r 越大，v 越小。

(2)由G Mm r 2＝mω2r 得ω＝GMr 3，r 越大，ω越小。

(3)由G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 得T ＝2πr 3GM ，r 越大，T 越大。

(4)由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GMr 2，r 越大，a n 越小。

以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。

[精典示例][例2] 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。

1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，具轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km 。

1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上。

设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )图2A．a2＞a1＞a3B．a3＞a2＞a1C．a3＞a1＞a2D．a1＞a2＞a3解析东方红二号和地球赤道上随地球自转的物体的角速度相同，东方红二号的轨道半径大于地球赤道上随地球自转的物体的半径，由a＝ω2r得a2＞a3，东方红一号和东方红二号由万有引力提供向心力：G Mmr2＝ma，结合二者离地面的高度可得a1＞a2，选D。

答案 D[针对训练2](多选)如图3所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a 和b质量相等，且小于c的质量，则()图3A．b所需向心力最小B．b、c的周期相同且大于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度解析因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，而b所受的引力最小，故A正确；由GMmr2＝ma n得，a n＝GMr2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由GMmr2＝4π2mrT2得，T＝2πr3GM，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由G Mmr2＝m v2r得，v＝GMr，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。

答案ABD1．(万有引力提供向心力)(2017·郑州高一检测)若太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视为半径为r 的圆。

已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( ) A ．GM ＝4π2r 3T 2B ．GM ＝4π2r 2T 2C ．GM ＝4π2r 2T 3D ．GM ＝4πr 3T 2解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，有G Mmr 2＝m 4π2T 2r ，所以GM ＝4π2r 3T 2，选项A 正确。

答案 A2．(重力加速度的估算)(2017·宁波高一检测)若某黑洞的半径R 约45 km ，质量M 和半径R 的关系满足M R ＝c 22G (其中c 为光速，G 为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( ) A ．108 m/s 2 B ．1010 m/s 2 C ．1012 m/s 2D ．1014 m/s 2解析 黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m 的物体有：F 万＝G Mm R 2＝mg ，又有M R ＝c 22G ，联立解得g ＝c 22R ，代入数据得重力加速度g ＝1012 m/s 2，C 项正确。

答案 C3．(星球表面重力加速度的计算)(2017·济宁高一检测)火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速度约为( ) A ．0.2g B ．0.4g C ．2.5gD ．5g解析 由星球表面的物体所受的重力近似等于万有引力知，对火星上的物体，m 1g 火＝GM 火m 1R 2火①对地球上的物体，m 2g ＝GMm 2R 2②联立①②式得g 火g ＝M 火R 2MR 2火＝1×2210×1＝0.4，则g 火＝0.4 g 。